江西省某中學(xué)2025屆高三年級(jí)上冊(cè)8月月考數(shù)學(xué)試題（含答案）

江西省上高二中2025屆高三上學(xué)期8月月考數(shù)學(xué)試題

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求

的。

1.復(fù)數(shù)滿足箸=iz,則z等于()

A.1+iB.-1+iC.1—iD.-1—i

2.已知集合A={x\y=lg(3—x)},B={y\y=V-x2+6%},則/C\B=()

A.(-oo,3]B.(-oo,3)C.[0,3]D.[0,3)

3.已知直線=fcx+1與圓C:(x+l)2+y2=r2(r>0),則“VkeR,直線[與圓C有公共點(diǎn)”是"r>

72"的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

1

4.已知角a,夕滿足tanatanS=—3,cos(a+4)=展則cos(a-/?)=()

131

A--4BTD.-

5.甲、乙、丙、丁四人排成一列，丙不在排頭，且甲或乙在排尾的概率是()

111?

AyB-3C-2D-3

6.若曲線y=ln(x+2a)的一條切線為y=ex—2b(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))，其中a,b為正實(shí)數(shù)，則白+^的

取值范圍是()

A.[2,e)B.(e,4]C.[4,+oo)D.[e,+oo)

20212x2021

7.已知又是數(shù)列{a九}的前幾項(xiàng)和，若(1-2%)=b0+7%+b2x+…+6202i?數(shù)列的首項(xiàng)

%.=?+…+箸an+l=Sn,5n+l?貝均021=()

乙，z

11

A?一礪B.礪C,2021D.-2021

8.著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說過：“數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬事體.”事實(shí)上，有很多代數(shù)問題可以轉(zhuǎn)化

為幾何問題加以解決，如：J-a)2+(y-6尸可以轉(zhuǎn)化為平面上點(diǎn)M(x,y)與點(diǎn)N(a,b)的距離.結(jié)合上

述觀點(diǎn)，可得y=V「2+4久+8+V/4x+8的最小值為()

A.4<2B.2<2C.<2+/10D.3+<5

二、多選題：本題共3小題，共15分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。

9.下列說法正確的是()

A.數(shù)據(jù)12,13,14,15,17,19,23,24,27,30的70%分位數(shù)是23.5

B.已知關(guān)于久的不等式a/+bx+c<0的解集為(—oo,1)U(5,+oo),則不等式b久+c>0的解集是

C.函數(shù)/(久+1)的定義域?yàn)閇0,1],貝仔(2D的定義域?yàn)閇2,4]

D.若3a=業(yè)=36,貝脛+〈的值為1

ab

10.已知a>0,b>0,直線4：x+(a—4)y+1=0,l2：2bx+y—2=0,且kl。，則()

-114

A.0<a/><2B.a2+4/?2>8C.a2+d2>5D.±2：

a+12b5

11.數(shù)學(xué)有時(shí)候也能很可愛，如題圖所示是小。同學(xué)發(fā)現(xiàn)的一種曲線，因形如小恐龍，因此命名為小恐龍曲

線,對(duì)于小恐龍曲線C1：久2+y3—a盯=20,下列說法正確的是()

A.該曲線與久=8最多存在3個(gè)交點(diǎn)

B.如果曲線如題圖所示(x軸向右為正方向，y軸向上為正方向)，貝必>0

C.存在一個(gè)a,使得這條曲線是偶函數(shù)的圖像

D.a=3時(shí)，該曲線中x>8的部分可以表示為y關(guān)于x的某一函數(shù)

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.已知命題“三X6[1,4],/—nix+420”是假命題，則小的取值范圍是.

x=

13.設(shè)函數(shù)rrfi.)\begin{cases}ax-9r>c.

14.對(duì)于函數(shù)y=/(x)和y=g(x),及區(qū)間。，存在實(shí)數(shù)k,6使得/(久)>kx+b>。(久)對(duì)任意xe。恒成

立，貝I稱y=/(久)在區(qū)間D上優(yōu)于y=g(x).若/■(?=ax(%-1)在區(qū)間(0,+8)上優(yōu)于g(x)=Inx,則實(shí)數(shù)a

的取值范圍是

四、解答題：本題共5小題，共60分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

15.(本小題12分)

某地為調(diào)查年齡在35-50歲段人群每周的運(yùn)動(dòng)情況，從年齡在35-50歲段人群中隨機(jī)抽取了200人的信

息，將調(diào)查結(jié)果整理如下：

女性男性

每周運(yùn)動(dòng)超過2小時(shí)6080

每周運(yùn)動(dòng)不超過2小時(shí)4020

(1)根據(jù)以上信息，依據(jù)小概率a=0.01的獨(dú)立性檢驗(yàn)，判斷是否可以認(rèn)為該地年齡在35-50歲段人群每

周運(yùn)動(dòng)超過2小時(shí)與性別有關(guān)？

(2)用樣本估計(jì)總體，從該地年齡在35-50歲段人群中隨機(jī)抽取3人，設(shè)抽取的3人中每周運(yùn)動(dòng)不超過2小

時(shí)的人數(shù)為X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望E(X).

參考公式：f一(a+b)(L)(a+)c)(b+d)'n-a+b+c+d.

a0.100.050.0250.0100.001

Xa2.7063.8415.0246.63510.828

16.(本小題12分)

已知在數(shù)列｛即｝中，％,=1,an+1=1+^g

(1)求證：數(shù)歹！J｛工｝是等差數(shù)列，并求數(shù)列｛時(shí)%+1｝的前n項(xiàng)和6；

an

(2)在△ABC中，角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且。=-------,bcosC+ccosB=-2acosA,求4

an+lan

ABC面積的最大值.

17.(本小題12分)

如圖1,在等腰直角三角形4BC中，N4=90。，BC=6,D,E分別是AC,4B上的點(diǎn)，CD=BE=展0

為BC的中點(diǎn).將△力DE沿DE折起，得到如圖2所示的四棱錐4—BCDE,其中4。=

圖2

(1)求證：A'O1平面BCDE；

⑵求點(diǎn)B到平面4CD的距離.

18.(本小題12分)

已知橢圓C:^+,=l(a>b>0)的右焦點(diǎn)尸的坐標(biāo)為(1,0),且橢圓上任意一點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離之和為4.

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;

(2)過右焦點(diǎn)尸的直線/與橢圓C相交于P,Q兩點(diǎn)，點(diǎn)Q關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為Qi，試問回FPQi的面積是否存在

最大值？若存在，求出這個(gè)最大值；若不存在，請(qǐng)說明理由.

19.(本小題12分)

定義運(yùn)算：黑;=mq-np,已知函數(shù)/(x)=產(chǎn)久篇~g(久)=；-1.

(1)若函數(shù)f(x)的最大值為0,求實(shí)數(shù)a的值；

(2)若函數(shù)以為=/0)+90)存在兩個(gè)極值點(diǎn)%1，上，證明：伙叼)一九(4)_4+2<0；

%1—％2

(3)證明:(1+會(huì))(1+玄)(1+支…(1++)V小

參考答案

l.D

2.D

3.B

4.A

5.B

6.C

7.4

S.A

9.ABD

10.ABD

11.ABC

12.(5,+oo)

13.[0,4]

14.{1}

15.解：(1)

77

由"2="ad-bc)=20°X(6°X2°-8OX40)~ar?4finr

R"—(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)-100x100x140x60~

所以認(rèn)為該地35-50歲年齡段人每周運(yùn)動(dòng)超過2小時(shí)與性別有關(guān)犯錯(cuò)誤的概率不超過a=0.01.

(2)

由題意已知，X?8(3,m)，X=0,1,2,3,

P(X=0)=扁尸=

噂=1)=廢心)-舄)2=贏；

「5=2)=服扁)2-扁)=揣；

噂=3)=優(yōu)扁)3=備?

所以隨機(jī)變量X的分布列為:

X0123

34344118927

P

1000100010001000

二匚ci廠八:、八343441c189279

所以E(X)=0x—+l4x—+2x—+o3X—=

10

16.1?：(1)由題意，工=匕也=工+2,即二一—工=2,

an+lananan+lan

.?￡｝為等差數(shù)列:首項(xiàng)看=1,公差d=2,

11

.%=2n—1,則冊(cè)=五工

、111

設(shè)b九=a?a=-(----~~~—)，

,Ln,Ln八+十1，2v2n—12n+ly

_111111111

S“=2(1N+2%-弓)+…+2(而=I-2?m)

1111111_11_n

=2(T-3+3-5+"-+2n-l_2n+l)=2(1-2n+l)=2n+l;

(2)bcosC+ccosB=—2acosAf

???由正弦定理，有sinBcosC+sinfeosB=—ZsinZeosZ,

即sin(B+C)=sinA=-2sim4cos4又/E(0,TT),sin/>0,

1A

2--

11

由(1)知a=--------=2,

。九十1

由余弦定理得：a2=b2+c2—2bc?cosA=b2+c2+be,

a2=4>3bc,即be<$當(dāng)且僅當(dāng)b=c=時(shí)取等號(hào)，

e1,.A/37/34/3

???S*BC=5兒?sinX=~^bc<—x-=

即ZL48c面積的最大值為?.

17.解：(1)連接OD,OE,

因?yàn)樵诘妊苯侨切蜛BC中，NB=NC=45°,CD=BE=^2,C0=B0=3,

在4COD中，。。=VCO2+CD2-2C0-COcos45°=<5,同理得OE=<5,

因?yàn)閆D=A'D=A'E=AE=2mo=<3,

所以4。2+OD2=A'D2,A'O2+OE2=A'E2,所以NA。。=Z-A'OE=90°

所以4。1OD,A'O1OE,ODClOE=O,OD,OEu平面BW,

所以4。J_平面BCDE.

(2)取DE中點(diǎn)“，貝九。"1。8,

以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，OH,OB,。4分別為久,V,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，

貝|。（0,0,0）,4（0,0,肩）,。（0,—3,0）,。（1,一2,0）,

設(shè)平面4CD的法向量為元=（x,y,z）,~CA'=（0,3,<3）,CD=（1,1,0）,

所以[，竺—"+-o,令％=],則y=-i,z=C，則元=（1,一1,C），

In-CD=%+y=0

又B（0,3,0）,CB=（0,6,0）,

所以點(diǎn)B到平面ACD的距離為曾=淺=d.

18.1?：(1)由題意可知：c=1,橢圓上任意一點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離之和為4,

所以2a=4,即a=2,/?2=a2—c2=4—1=3,

所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：。+4=1.

(2)由題意可知直線1的斜率不為0,所以設(shè)直線1的方程為：x=my+l,

x=my+1

與橢圓的方程聯(lián)立，得/必

——I--=1

143

消去％,得（3m2+4）y2+6my—9=0,

所以/=36m2+36（3m2+4）>0,

設(shè)Q（%i，yi），P（％2，丫2），則Qi（%i，-yi），

由根與系數(shù)的關(guān)系，得力+為=儡，加.%=在為，

卜_。2一（-曠1）%+為

直線PQi的斜率為:

￡X2-X1-%2-%1

所以直線PQi的方程為y+乃=把打0-久J,

%2一%1

(_9_6m

=巧"2+丫2〉1=(巾匕+1)>2+(7-2+1)匕=27叮1)/2+(%+力)=叫布菽廣石藐

=4,

%+力—力+%—匕+嶺—白普

即直線PQi與x軸交于一個(gè)定點(diǎn)，記為M(4,0),

Mile1icA/flliI36|m|993<3

則SmFPQ|=2\FM\\yi+y2l=r布布=而巨w瑁=丁，

11\m\

等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)爪=±竽.

所以回FPQi的面積的最大值為手.

4

19.解：⑴

由題意知：f(%)=alnx—%+1,

「?/'(%)=?_1(%>0)，

①當(dāng)a40時(shí)，f(%)<0,/(%)在(0,+8)單調(diào)遞減，不存在最大值.

②當(dāng)a>0時(shí)，由,(%)=0得％=a,

當(dāng)％e(0,a),/'(%)>0；xE(a,+oo),f'(x)<0,

???函數(shù)y=/(%)的增區(qū)間為(0,a),減區(qū)間為(a,+8).

???/(X)max=/(a)=alna—a+1=0,

???a=1.

(2)

1

/i(x)=/(%)+g(%)=alnx—x+-,

.xr”、_a11_-x2+ax-l

“函數(shù)h(x)存在兩個(gè)極