冪函數(shù)與二次函數(shù)（學(xué)生版）-2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)學(xué)案（新高考）

第02講募函數(shù)與二次函數(shù)

（6類核心考點(diǎn)精講精練）

12.考情探究

1.5年真題考點(diǎn)分布

5年考情

考題示例考點(diǎn)分析關(guān)聯(lián)考點(diǎn)

2024年新I卷，第1題,5分解三次不等式交集的概念及計(jì)算

2023年新I卷，第1題,5分二次函數(shù)圖象解不等式集合間的基本運(yùn)算

二次函數(shù)單調(diào)區(qū)間求參數(shù)值函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)值

2023年新I卷，第4題,5分

或范圍判斷指數(shù)型復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性

2.命題規(guī)律及備考策略

【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的命題載體內(nèi)容，通常會(huì)結(jié)合其他知識(shí)點(diǎn)考查，需要掌握塞函數(shù)的基本

性質(zhì)，難度中等偏下

11廠

【備考策略】1.掌握事函數(shù)的定義及一般形式，掌握y=x,y=x2/=x3,y=xT=—,v=x2=4的圖象

X

和性質(zhì)

2.理解并掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)（單調(diào)性、對(duì)稱性、頂點(diǎn)、最值等）

3.理解并掌握嘉函數(shù)＞=x"，a=里（&w0）的單調(diào)性和奇偶性

P

4.會(huì)解一元二次不等式、分式不等式、單絕對(duì)值不等式和高次不等式

【命題預(yù)測(cè)】本節(jié)內(nèi)容會(huì)結(jié)合其他函數(shù)內(nèi)容綜合考查，需綜合性學(xué)習(xí)備考

知識(shí)點(diǎn)1嘉函數(shù)的圖象

知識(shí)點(diǎn)2幕函數(shù)的單調(diào)性

______________知識(shí)點(diǎn)3-函數(shù)的奇偶性

核心知識(shí)點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)4二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)

知識(shí)點(diǎn)5二次函數(shù)的單調(diào)性與最值

知識(shí)點(diǎn)6解一元二次不等式、分式不等式與高次不等式

考點(diǎn)1幕函數(shù)的圖象

考點(diǎn)2幕函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性

考點(diǎn)3利用黑函數(shù)單調(diào)性進(jìn)行大小比較

核心考點(diǎn)考點(diǎn)4幕函數(shù)的綜合應(yīng)用

考點(diǎn)5解一元二次不等式、分式不等式與高次不等式

考點(diǎn)6二次函數(shù)的綜合應(yīng)用

知識(shí)講解

1.幕函數(shù)

(1)塞函數(shù)的定義及一般形式

形如y=xa(aeR)的函數(shù)稱為暴函數(shù)，其中x是自變量，a為常數(shù)

(2)塞函數(shù)的圖象和性質(zhì)

①塞函數(shù)的單調(diào)性

。＞0時(shí)，/(尤庵第一象限單調(diào)遞增

。＜0時(shí)，/a勝第一象限單調(diào)遞減

②嘉函數(shù)的奇偶性

a為整數(shù)卜為偶數(shù)’?。榕己瘮?shù)

比[a為奇數(shù)，/（x）為奇函數(shù)

f（x）=Xa\[p為偶數(shù)時(shí)，/（X）為非奇非偶函數(shù)

。為分?jǐn)?shù)，設(shè)。=2用3粉葉k為奇數(shù)，/（X）為奇函數(shù)

,0為奇數(shù)時(shí)《為偶數(shù)，/⑴為偶函數(shù)

2.一元二次方程:

ax2+bx+c=0（。w0）

①方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根=A=b2-4ac>0

A>0

②方程有同號(hào)兩根=<c

xxx2=—>0

、a

A>0

③方程有異號(hào)兩根=<c

xx=—<0

r2a

bc

④韋達(dá)定理及應(yīng)用：X]+/=--,XyX——

~a2a

X；+X；=（X]+々）2—2再々，k一12|=J（再+、21—4項(xiàng)/=~~i~i—----；~;---

2

X：+X：=（X]+x2）（x；-X[X2+xf）=（Xj+x2）[（X]+x2）-3中2]

3.二次函數(shù)

2

2,zb.24ac-b.c、小曰b

①一般式:y—cix+bx+c—H---）H-------（awO）,對(duì)稱軸ZEX=-------,

2a4。2a

后上日/b4ac-b.

頂點(diǎn)是（一一,-------）；

2a4a

②頂點(diǎn)式：y=a（x+加了+左（aw0）,對(duì)稱軸是％=-私頂點(diǎn)是（一掰，左）；

③交點(diǎn)式：y=。（%-玉）（%-％2）。0），其中（國(guó),0），（x250）是拋物線與入軸的交點(diǎn)

4.二次函數(shù)的性質(zhì)

9b

①函數(shù)y=ax2+ZZX+C（Qw0）的圖象關(guān)于直線、=----對(duì)稱。

2a

②Q〉0時(shí)，在對(duì)稱軸（、=-■2）左側(cè)，y值隨X值的增大而減少；在對(duì)稱軸（、=--2）右側(cè)；y

2a2a

h4dC—/72

的值隨X值的增大而增大。當(dāng)x二-二時(shí)，1取得最小值

2a4a

③。<0時(shí)，在對(duì)稱軸(x=—2)左側(cè)，y值隨X值的增大而增大；在對(duì)稱軸(x=-2)右側(cè)；j

2a2a

b4(jc—h~

的值隨X值的增大而減少。當(dāng)x=-2時(shí)，■取得最大值

2a4。

5.解一元二次不等式

“三個(gè)二次”：一元二次不等式與一元二次方程及二次函數(shù)的聯(lián)系

判別式

A>0A=0A<0

A=62-4ac

一元二次方程有兩個(gè)不等實(shí)根有兩個(gè)相等實(shí)根

2

ax+bx+c=0(aw0)x1,x2(設(shè)b無(wú)實(shí)數(shù)根

Xi=Xj--------

的根X]<x2)la

11

二次函數(shù)IZ

y=ax2+bx+c(a>0)V

X|X2

的圖象vv0\Xl=X2X

n\x

2卜…》

ax+bx+c>0(a>0){X|X<X^4X>X}

12R

的解集

ax2++c<0(a>0)

kk<x<x2]

的解集00

6.解分式不等式

①<0O/(x)g(x)<0②〉0o/(x)g(x)>0

/㈤J\.x)

③綱W0n網(wǎng)g，<0④綱2J/(x)g(x)20

/(x)1/(X)H0/(x)1/(*o

7.解單絕對(duì)值不等式

Ixl>a{a>0)nx<或x2a,x|<a(a>0)=>-Q<x<a

考點(diǎn)一、幕函數(shù)的圖象

■典例——引領(lǐng)

1.(23-24高三?階段練習(xí))已知哥函數(shù)/(x)的圖象過點(diǎn)(16,4),則函數(shù)“X)的圖象是()

二

2.（2023高三?山西運(yùn)城?學(xué)業(yè)考試）如圖的曲線是塞函數(shù)y=x"在第一象限內(nèi)的圖象.已知"分別取±2,土;四

個(gè)值，與曲線G、G'G'Q相應(yīng)的〃依次為（）

3.（23-24高三?階段練習(xí)）函數(shù)〃月="2+2》+1與g（x）=/在同一直角坐標(biāo)系中的圖象不可能為（）

即時(shí)性測(cè)I

1.（23-24高三?階段練習(xí)）已知哥函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)尸（8,4）,則該幕函數(shù)的大致圖象是（）

2.（23-24高三?階段練習(xí)）（多選）現(xiàn)有4個(gè)塞函數(shù)的部分圖象如圖所示，則下列選項(xiàng)可能成立的是（）

B.p=4,加=3,q=_,n--2

D.p=于加=§，q=-2,H=—

3.(22-23高三?全國(guó)?對(duì)口高考)給定一組函數(shù)解析式：

(Dy=；(2)y=;y=x;y=x;)y=X'；(Z)y='

C.⑥④③②⑦①⑤D.⑥④③②⑦⑤①

考點(diǎn)二、塞函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性

典例引領(lǐng)

L（上海?高考真題）下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)，又是在區(qū)間（0,+◎上單調(diào)遞減的函數(shù)為（）

22

A.y=x~B.>=/C.y=xD.y=x3

2.（2023?全國(guó)?專題練習(xí)）如圖所示是函數(shù)y=/（冽、〃cN*且互質(zhì)）的圖象，則（)

B.加是偶數(shù)，〃是奇數(shù),且生＜1

n

c.力是偶數(shù)，"是奇數(shù)，且竺＞1D.m,〃是偶數(shù)，且巴＞1

nn

3.（23-24高二下?浙江?期中）幕函數(shù)加eZ）的圖象關(guān)于了軸對(duì)稱，且在（0,+動(dòng)上是減函數(shù)，則

m的值是（）

A.1B.2C.3D.4

即時(shí)檢測(cè)

1.（1993,全國(guó)?高考真題）函數(shù)y=￡在［-1,1］上是

A.增函數(shù)且是奇函數(shù)B.增函數(shù)且是偶函數(shù)

C.減函數(shù)且是奇函數(shù)D.減函數(shù)且是偶函數(shù)

2.（2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）（多選）下列函數(shù)中既是奇函數(shù)，又是定義域上的減函數(shù)的是（

A./(x)=-3x5B.〃x)=2*

C.〃x)=：D.〃司=一2/

3.(2024?廣東廣州?模擬預(yù)測(cè))若基函數(shù)〃x)=(蘇-加-1卜2片3在(0,+動(dòng)上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)機(jī)的值為

()

A.2B.1C.-1D.-2

考點(diǎn)三、利用募函數(shù)單調(diào)性進(jìn)行大小比較

典例引領(lǐng)

232

L(安徽?高考真題)設(shè)a=(|J,b=^|J,C=(|J，則a，b,c的大小關(guān)系是()

A.a>c>bB.a>b>c

C.c>a>bD.b>c>a

231

2.（2023?廣東廣州?二模）已知〃b=V9c=41，則（）

A.c<a<bB.b<c<a

C.b<a<cD.c<b<a

即典性遐

22

1.（2024?福建三明?三模）若a=j^_|y=,c=log^l,則（）

A.c>a>bB.c>b>aC.a>b>cD.b>c>a

2.設(shè)0==則c的大小關(guān)系是()

A.c<a<bB.c<b<a

C.a<c<bD.b<c<a

考點(diǎn)四、卷函數(shù)的綜合應(yīng)用

.典例引領(lǐng)

1.(2024?吉林?模擬預(yù)測(cè))請(qǐng)寫出一個(gè)募函數(shù)/(x)滿足以下條件：①定義域?yàn)椋?,+與；②/(x)為增函數(shù)；③

對(duì)任意的占，工240,+功，都有/［土產(chǎn)小學(xué)則〃x)=.

2023

2.(2023?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè))已知x,"R,滿足(x-1蘆3+x=g,(2^+1)+27=-|,貝ljx+2y=()

A.-1B.0C.1D.2

即時(shí)檢測(cè)

1.（2024?云南曲靖?一模）如圖，在第一象限內(nèi)，矩形NBCD的三個(gè)頂點(diǎn)43,C分別在函數(shù)

y={og^x,y=x\y=與的圖象上，且矩形的邊分別與兩坐標(biāo)軸平行，若/點(diǎn)的縱坐標(biāo)是2,則。點(diǎn)的

TI3J

坐標(biāo)是.

2.（2024?全國(guó)，模擬預(yù)測(cè)）寫出滿足下列條件①②③的一個(gè)函數(shù)：/（可=.

①小）的定義域?yàn)镽；②xeR,〃川一（、）；③。-，都有m;得弋.

考點(diǎn)五、解一元二次不等式、分式不等式與高次不等式

典例引領(lǐng)

1.(2024?上海?高考真題)已知xeR,貝I］不等式無(wú)2-2x-3<0的解集為.

2

2.(全國(guó)?高考真題)不等式y(tǒng)V—>。的解集是()

x+3

A.(-3,2)B.(2,+8)

C.(-oo,-3)U(2,+oo)D.(-00,-2)u(3,+oo)

3.(2024?全國(guó)?高考真題)已知集合/=3-5</<5},3={_3,-1,0,2,3},則八()

A.{—1,0}B.{2,3}C.{-3,—1,0}D.{-1,0,2}

即時(shí)檢測(cè)

L(2024?福建福州?一模)已知集合/=B={X|X2-3X<0},則()

A.{x\x<2^x>3}B.{x|-2<x<3}

C.1x|0<x<2!D.{x|x<-2x>3}

2.(2024?全國(guó)?一模)已知集合〃={X￡胃1082國(guó)<1}，A^={x|x3-x<0},則McN=()

A.{-1,1}B.{-1,0,1}

C.{-2,-1,1}D.{-2,—1,0,1}

3.(23-24高三上?河南南陽(yáng)?階段練習(xí))不等式(丁_2、-3)(%2+4]+4)<0的解集是()

A.或x>3}B.{x[T<x<2或2Vx<3}

C.{x|-l<x<31D.{x|-2<x<3}

考點(diǎn)六、二次函數(shù)的綜合應(yīng)用

典例引領(lǐng)

1.（2023?全國(guó),高考真題）設(shè)函數(shù)〃無(wú)）=2"-"）在區(qū)間（0,1）上單調(diào)遞減，貝IJ”的取值范圍是（）

A.(-叫-2]B.[-2,0)

C.(0,2]D.[2,+co)

（2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）若函數(shù)/（乃=9-（加-2）x+l|在上單調(diào)，則實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍為（

A.U3,-B.U

%1_2_L2_1_2—L2J

總11U341

C.D.4,2u3,|

22

3.（2024?廣東揭陽(yáng)?二模）已知函數(shù)/四=-X2+辦+1在（2,6）上不單調(diào)，則。的取值范圍為（

A.(2,6)B.(-co,2]U[6,+00)

C.(4,12)D.(-叫4]U[12,+s)

x一lax,x>1

4.(2024?陜西渭南?二模)已知函數(shù)〃x)=a是R上的增函數(shù)，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是()

—x-l,x<1

12

A.(0,1)B.(0,1]C.(0,1)D.(0,1]

5.（2024?四川成都?二模）已知函數(shù)/（X）=2,+2，+。的值域?yàn)椤?若則實(shí)數(shù)。的取值范圍是

A.(-℃,!)B.(-oo,l]C.(l,+8)D.[1,+co)

即時(shí)性測(cè)I

1.（2024?遼寧?一模）若函數(shù)〃X）=3*+Q在區(qū)間（1,4）內(nèi)單調(diào)遞減，則。的取值范圍是（）

A.(-8,4]B.[4,16]C.(16,+oo)D.[16,+oo)

2.（2024?山東?二模）已知函數(shù)［（x）=2/一加x+1在區(qū)間［T,+s）上單調(diào)遞增，則/⑴的取值范圍是

).

A.[7,+<?)B.(7,+co)

C.(-8,7]D.(-oo,7)

I,I上單調(diào)，則實(shí)數(shù)加的值可以為

3.（2024?河南信陽(yáng)?模擬預(yù)測(cè)）若函數(shù)/（x）=,-（加-2）x+l|在

)

15

A.-1B.——C.一D.3

22

"一T“<"的值域?yàn)镽,則實(shí)數(shù)a的取值范圍

4.（23-24高三下?福建?開學(xué)考試）己知函數(shù)〃x）=<

\x—2a\—2,x>a

為.

5.（2024?河南■模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)/@）=k2-6》+7］在［1,〃?］（加>1）上的最大值為人，在［加,2加-1］上的最

大值為8,若A22B,則實(shí)數(shù)小的取值范圍是

L好題沖關(guān)

基礎(chǔ)過關(guān)

一、單選題

1.（2024?山東日照?二模）已知累函數(shù)的圖象過點(diǎn)（2,4）,則函數(shù)的解析式為（）

X2

A.y=2B.y-xC.y=log2xD.y=sinx

2.（2024?山東日照?二模）己知,則是％3>產(chǎn)的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

3.（2024?北京朝陽(yáng)?一模）已知aeR,則是"函數(shù)〃x）=（l-a）x3在R上單調(diào)遞增〃的（

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

4.（2024?遼寧?模擬預(yù)測(cè)）若a>b,則下列說法正確的是（）

A.a2>b2B.lg(a-6)>0C.a5>b5D.

5.（2024?廣西?二模）下列函數(shù)中，在（0,2）上單調(diào)遞增的是（）

A.f(x)=Vx-1B./(x)=x2-2x

c-=:D.=/

6.(2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè))已知集合私<2},N={X4-8X-20<0},則MCN=()

A.1x|-2<x<10jB.1x|0<x<8|C.{x[2<x<10}D.1x|-2<x<81

7.(2023?江蘇徐州?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/(x)=x2+(q-l)x-l的單調(diào)遞增區(qū)間是口,+8),則實(shí)數(shù)。的值是

()

A.—3B.3C.-1D.1

/、x2+x,-2<x<0/、

8.（2024?北京西城?一模）已知函數(shù)/（x）=,若/（x）存在最小值，貝心的最大值為（）

-y/x,0<x<c

1111

A.—B.—C.—D.-

16842

fy3—1Y<1

9.（2024?新疆喀什?二模）已知函數(shù)〃無(wú),滿足〃-°）,則實(shí)數(shù)。的取值范圍是

[lux,x>1

（）

A.（-oo?2）B.（2,+oo）C.（一嗎0）D.（0,+a?）

二、填空題

10.（2023?廣東珠海?模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)/卜）=—+g—2%+1在區(qū)間[2,+8）上是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)加的取

值范圍是.

能力提升,

一、單選題

1.（2023?四川成都?模擬預(yù)測(cè)）塞函數(shù)〃x）=（--3加-3卜皿在區(qū)間（0,+。）上單調(diào)遞減，則下列說法正確的

是（）

A.機(jī)=4B./（x）是減函數(shù)

c.〃X）是奇函數(shù)D.〃X）是偶函數(shù)

2.（2024?廣東?一模）已知集合/若0,6,ce/且互不相等，則使得指數(shù)函數(shù)了=優(yōu),

對(duì)數(shù)函數(shù)y=bg/,幕函數(shù)＞=中至少有兩個(gè)函數(shù)在（。,+⑹上單調(diào)遞增的有序數(shù)對(duì)（。也c）的個(gè)數(shù)是

（）

A.16B.24C.32D.48

3.（23-24高三上?廣東深圳,期末）已知實(shí)數(shù)機(jī),”滿足（加+1）3+旭=（"-廳+"=0,則一=（）

m

A.-1B.1C.-2D.2

二、填空題

4.（2024?北京延慶?一模）己知函數(shù)/（砌=當(dāng)0＜戊＜1）在區(qū)間（-1,0）上單調(diào)遞減，則。的一個(gè)取值

為.

5.（2024?陜西安康?模擬預(yù)測(cè)）已知命題〃：函數(shù)〃x）=xd+m在區(qū)間（。,+°°）上單調(diào)遞增，命題9：m＜a,

若P是9的充分不必要條件，貝吐的取值范圍是.

1

6.（22-23高一上?全國(guó)?課后作業(yè)）已知幕函數(shù)/（刈=匕）記，若則。的