空間直線、平面的垂直 2025年高考數(shù)學(xué)基礎(chǔ)專項(xiàng)復(fù)習(xí)

第七章立體幾何與空間向量2025年高考數(shù)學(xué)專項(xiàng)復(fù)習(xí)第四節(jié)空間直線、平面的垂直目錄線線角壹直線與平面垂直的判定與性質(zhì)貳線面角叁二面角肆平面與平面垂直的判定與性質(zhì)伍線線角壹教材知識(shí)萃取空間中如果兩個(gè)角的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行,那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ).提醒

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方法技巧求異面直線所成角的步驟（1）構(gòu)造：根據(jù)異面直線的定義，用平移法（常利用三角形中位線、平行四邊形的性質(zhì)）作出異面直線所成的角.（2）證明：證明作出的角就是要求的角.（3）計(jì)算：求角度（常利用三角形的有關(guān)知識(shí)）.（4）結(jié)論：若求出的角是銳角或直角，則它就是所求異面直線所成的角；若求出的角是鈍角，則它的補(bǔ)角就是所求異面直線所成的角.

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直線與平面垂直的判定與性質(zhì)貳教材知識(shí)萃取

任意一條教材知識(shí)萃?。?）直線與平面垂直的判定定理和性質(zhì)定理文字語言圖形語言符號(hào)語言判定定理如果一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條②______直線垂直，那么該直線與此平面垂直.

性質(zhì)定理垂直于同一個(gè)平面的兩條直線④______.

相交

平行

教材知識(shí)萃取規(guī)律總結(jié)垂直關(guān)系中常用的6個(gè)結(jié)論（1）若一條直線垂直于一個(gè)平面，則它垂直于這個(gè)平面內(nèi)的任何一條直線（證明線線垂直的一個(gè)重要方法）．（2）若兩條平行線中的一條直線垂直于一個(gè)平面，則另一條直線也垂直于這個(gè)平面．（3）若一條直線垂直于兩平行平面中的一個(gè)平面，則這條直線與另一個(gè)平面也垂直.教材知識(shí)萃?。?）兩個(gè)相交平面同時(shí)垂直于第三個(gè)平面，它們的交線也垂直于第三個(gè)平面．（5）三垂線定理：平面內(nèi)的一條直線，如果它和這個(gè)平面的一條斜線的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直.（6）三垂線定理的逆定理：平面內(nèi)的一條直線，如果它和這個(gè)平面的一條斜線垂直，那么它也和這條斜線在這個(gè)平面內(nèi)的射影垂直.教材知識(shí)萃取方法技巧1.證明線面垂直的常用方法

教材知識(shí)萃取2.證明線線垂直的常用方法（1）利用線面垂直的性質(zhì)證明線線垂直；

（3）平面幾何中常見的垂直，如直徑所對(duì)的圓周角為直角，菱形對(duì)角線相互垂直等.3.證明線面垂直的關(guān)鍵是證明線線垂直，而證明線線垂直則需借助線面垂直的性質(zhì)．教材知識(shí)萃取三垂線定理:平面內(nèi)的一條直線如果和穿過這個(gè)平面的一條斜線在這個(gè)平面內(nèi)的射影垂直,那么它也和這條斜線垂直.三垂線定理的逆定理:平面內(nèi)的一條直線如果和穿過這個(gè)平面的一條斜線垂直,那么它也和這條斜線在這個(gè)平面內(nèi)的射影垂直.結(jié)論拓展教材素材變式

CA.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

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線面角叁教材知識(shí)萃取

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解后反思用幾何法求線面角時(shí)，若線面角不易找到，則可以用等體積法求解，此時(shí)的目標(biāo)是求出直線上一點(diǎn)到平面的距離，它的好處是不需要找到此點(diǎn)在平面上的射影，運(yùn)用本方法時(shí)一般需先找到一個(gè)對(duì)應(yīng)的三棱錐，再轉(zhuǎn)換三棱錐的頂點(diǎn)，根據(jù)等體積法求高.二面角肆教材知識(shí)萃取二面角與兩個(gè)平面的夾角

半平面教材知識(shí)萃取二面角的大小可以用它的平面角來度量,二面角的平面角是多少度,就說這個(gè)二面角是多少度.二面角的平面角的取值范圍是⑥______.平面角是直角的二面角叫做直二面角.

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圖1

圖2

圖3二級(jí)結(jié)論三垂線定理平面內(nèi)的一條直線如果與穿過這個(gè)平面的一條斜線在這個(gè)平面上的射影垂直，那么它也與這條斜線垂直.三垂線定理的逆定理:平面內(nèi)的一條直線如果與穿過該平面的一條斜線垂直，那么它也垂直于這條斜線在平面內(nèi)的射影.用定義法作二面角的平面角，經(jīng)常會(huì)用到三垂線定理及其逆定理.此時(shí)請(qǐng)?zhí)貏e關(guān)注線面垂直或面面垂直的信息，因?yàn)槿裟苷业揭粋€(gè)半平面內(nèi)的一個(gè)點(diǎn)在另一個(gè)半平面上的射影，那么借助三垂線定理或其逆定理，構(gòu)造二面角的平面角就非常簡(jiǎn)單了.

平面與平面垂直的判定與性質(zhì)伍教材知識(shí)萃?。?）平面與平面垂直的定義一般地，兩個(gè)平面相交，如果它們所成的二面角是⑥__________，就說這兩個(gè)平面互相垂直.直二面角教材知識(shí)萃?。?）平面與平面垂直的判定定理和性質(zhì)定理文字語言圖形語言符號(hào)語言判定定理如果一個(gè)平面過另一個(gè)平面的⑦_(dá)____，那么這兩個(gè)平面垂直.

性質(zhì)定理兩個(gè)平面垂直，如果一個(gè)平面內(nèi)有一直線垂直于這兩個(gè)平面的⑨______，那么這條直線與另一個(gè)平面垂直.

垂線交線教材知識(shí)萃取方法技巧證明面面垂直的方法（1）利用面面垂直的定義，即判定兩平面所成的二面角為直二面角，將證明面面垂直的問題轉(zhuǎn)化為證明二面角的平面角為直角的問題.

教材知識(shí)萃取方法技巧教材素材變式

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圖1圖2圖3圖4方法技巧要證面面垂直，需要在其中一