河南省鄭州市某中學(xué)2024-2025學(xué)年高二年級上冊9月月考 數(shù)學(xué)試題（含答案）

2024—2025學(xué)年鄭州市宇華實驗學(xué)校高二(上)9月月考

數(shù)學(xué)

注意事項：

1.答題前，考生務(wù)必用黑色碳素筆將自己的姓名、準(zhǔn)考證號、考場號、座位

號在答題卡上填寫清楚。

2.每道選擇題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，

如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號。在試題卷上作答無效。

3.非選擇題必須用黑色字跡鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目

指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答

案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答的答案無效。

4.考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。

一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四

個選項中，只有一項是符合題目要求的.

-L+.L

1.已知。>°、b>0,。+26=4,則a+12,的最小值為()

24

A.2B.4C.5D.5

log1(a-l)<log1(ft-l)

2.已知§3,則下列說法一定成立的是()

i>i

A.abB.12022J12021J

C.ln(a-b)>0D.若就萬，則點C在線段4s上

i23

f(x)=----+——+-----1(0<a<b<c)

3.定義函數(shù)x-ax-bx-c,設(shè)區(qū)間(外刀的長度為“一",

則不等式/(“)>°解集區(qū)間的長度總和為()

A.5B.6C.a+b+c+5D.a+b+c+6

4.口袋中裝有除顏色外完全相同的3個紅球、2個白球和1個黃球，從中任取一個

球，事件A表示“取到的是紅球”，事件8表示“取到的是白球”，事件C表示

“取到的是黃球”，則()

AP(AuB)=lB.事件48，C可能同時發(fā)生

C.7與否互斥D.事件N與事件8不相互獨立

71

5.已知二面角"-/一尸的大小為2,其棱/上有43兩點，NG30分別在這個二面

角的兩個半平面小夕內(nèi)，且都與垂直，已知4B=1,AC=6,BD=2,貝汁

CD=（）

A.2B.&C.^3D,

f（x）=cosfnjf-—（weN,

6.若函數(shù).I4八，在188」上單調(diào)遞減，則滿足條件的〃的個數(shù)

為（）

A.4B.3C.2D.1

7.已知在O8C中，滿足點。在/c邊上，且此平分//灰?,

6=26,則8。的最大值為（）

A.3B.1C.V3D.4

8.復(fù)數(shù)Z=i+2i2+3i3+xxx+2024i2°24的虛部是（）

A.1012B.1011C.TO"D.T012

二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選

項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，有選錯的得0分，若只有2

個正確選項，每選對1個得3分；若只有3個正確選項，每選對1個得2分.

9.下列選項正確的是（）

A.命題“女>0,x'+x+GO”的否定是Vx<°,x2+x+l<0

B.滿足｛1仁”［｛123｝的集合〃的個數(shù)為4

C.已知工=吆3,V=lg5,貝！jlg45=2x+y

D.已知指數(shù)函數(shù)/6）=優(yōu)（。>0且"1）的圖象過點（2"）,則log”收=1

/（x）=sin2x+—g（x）=cos2x+—

10.已知函數(shù)I3九I6Jt則下列說法正確的是（）

A.V=/（x）的圖象關(guān)于點［12'0］對稱

715兀

B.g?）在區(qū)間L5'6」上單調(diào)遞增

71

C.將g（x）圖象上的所有點向右平移％個單位長度即可得到/（龍）的圖象

D.函數(shù)"x）="x）+g（x）的最大值為出

f（x）=sin+—+sincox--+coss（0>0）

11.已知函數(shù)I6JI6J,則下列結(jié)論正確的有

A.將函數(shù)y=2sin@x的圖象向左平移石個單位長度，總能得到、=/（x）的圖象

B.若。=3,則當(dāng)「9」時，/CO的取值范圍為[，2]

C.若"龍）在區(qū)間（°2兀）上恰有3個極大值點，則6＜（°~6

D.若“龍）在區(qū)間13'12）上單調(diào)遞減，貝u-0-y

三、填空題：本大題共3個小題，每小題5分，共15分.

以2

12.已知幕函數(shù)＞=/1）的圖像過點（4J,且當(dāng)xe[l,+oo）時，恒有3/（》）＜加_2》

則實數(shù)a的取值范圍為.

13.已知直四棱柱46'-//功02的棱長均為2,/物氏60°.以〃為球心，括為

半徑的球面與側(cè)面67的為的交線長為________.

14.如圖，兩個正方形ABCD,CDEF的邊長都是2,且二面角/一。。一￡的大小

為60。，M,N分別為對角線/C和尸。上的動點，且滿足AM=FN,則線段MN

的最小值為.

四、解答題：本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或

演算步驟.

f（x^=x+--—a（aeR）

15.（13分）已知函數(shù)x2'＜

⑴若,（X）在（°，+8）上的最小值為-2,求4的值；

（2）若函數(shù)恰有3個零點，求。的取值范圍.

16.（15分）某植物園種植一種觀賞花卉，這種觀賞花卉的高度（單位：cm）介

于口5,25]之間，現(xiàn)對植物園部分該種觀賞花卉的高度進行測量，所得數(shù)據(jù)統(tǒng)計如下

圖所示.

上頻率/組距

0.075----

%51719212325高福/切

(1)求。的值；

⑵若從高度在口517)和口7,19)中分層抽樣抽取5株，在這5株中隨機抽取3株,

記高度在口517)內(nèi)的株數(shù)為才，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望E(X)；

(3)以頻率估計概率，若在所有花卉中隨機抽取3株，求至少有2株高度在

[21,25]的概率.

17.（15分）在中，內(nèi)角4,B,C的對邊分別為a,b,c,

.B+C75,._75.

csin---=——osm2C+——csinCrcosBD

242

(1)求sin/的值；

7?

/T/ABD=—

⑵如圖，”6J5,點。為邊/c上一點，且2DC=5D8,2,求

“8C的面積.

18.(17分)如圖，已知四棱臺/8CZ)-的上、下底面分別是邊長為2和

4的正方形，平面山刀人,平面46切，4"=2。=，過，點?是棱的中點,

點。在棱BCh.

⑴若BQ=3QC,證明：PQ〃平面/期4；

（2）若二面角尸一紗一”的正切值為5,求60的長.

/（x）=/sin（0x+0）/>0,口〉0,附〈女

19.（17分）函數(shù)I2J的部分圖象如圖所示.

（1）求函數(shù)/（X）的解析式；

71

（2）將函數(shù)/（X）的圖象先向右平移了個單位，再將所有點的橫坐標(biāo)縮短為原來的

1G兀兀

2（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)g（x）的圖象，求g（x）在112'%」上的最大值和最

小值；

71兀

（3）若關(guān)于x的方程gOO一加二°在L12'%」上有兩個不等實根，求實數(shù)機的取值

范圍.

數(shù)學(xué)參考答案

一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四

個選項中，只有一項是符合題目要求的.

1.【答案】D

【解析】因為。>°、b>0,“+26=4,所以S+l)+26=5,

---------1------

所以a+12bQ+12b

6/+12b6Z+12b4

=-2+---------1---------

52ba+1,2bQ+15

a+12b3

當(dāng)且僅當(dāng)2ba+124時取等號,

-------十一

所以0+12b的最小值為5.

故選D.

2.【答案】B

6Z—1>0

6-1>0

log(a-l)<log(Z>-l)

11即

【解析】因為330>b>i.

一<丁

所以“b,故A錯誤；

因為(20221在R上單調(diào)遞減，且所以12022)U022；；

又b>l,所以y=在(0，+°°)單調(diào)遞增，所以(2022J<[2021),

所以-(2022JU021JT,故B正確；

因為a>b>l,所以a-6>0,當(dāng)0<0-6<1時，ln(a-6)<0,

當(dāng)°-6>1時，ln("6)>0,故c錯誤；

又a>b>l,所以仍>1,由就=必前可得點。在48延長線上，故D錯誤;

故選B.

3.【答案】B

【解析】

畫出/（x）的圖象，記/（X）的三個零點為再，迎外，

貝|J/（*）＞0解集區(qū)間的長度總和為a_〃）+（工2-b）+（毛—°）=（再+%+%3）—（〃+"。）,

(、(x-b^(x—c)+2(x-a^(x-c)+3(x—a^(x-(x—a^(x—b^(x-c)

通分得(x-?)(x-ft)(x-c)

,己P(%)=(x_b)(x_C)+2(X—Q)(X-c)+3(x-tz)(x-Z))-(x—a)(x-6)(x一0)①

〃(x)的三個零點為五,移3則。(X)=-(X-X|)(X-X2)(X-X3；^,

對比①②兩式中i的系數(shù)得，l+2+3+(a+6+c)=x1+x2+x3；

所以區(qū)間長度總和(X|+X2+X3)-(a+6+c)=6.

故選B.

4.【答案】D

尸⑷=1號尸⑻=1="?=:尸(/8)=0

【解析】由己知可得

（（）（）（）

PIAVJB'\=P—A+P—B'-PIAB'=2-+-3-G=-6,A選項錯誤；

因為P（/8）=Q所以尸（加）=°,事件4員C不可能同時發(fā)生，B選項錯誤；

事件彳表示“取到的不是紅球”即“取到的是黃球或白球”，事件豆表示“取到

的不是白球”即“取到的是黃球或紅球”，

事件48可以同時發(fā)生，即“取到的是黃球”，不是互斥，C選項錯誤；

P（/3）=0,尸⑷[/（BA:,因為P（AB）P（A\P（B'\

23,不等于尸⑷尸⑺，所以事件/與事件8不相

互獨立，D選項正確.

故選D.

5.【答案】D

【解析】如下圖所示，以HB、8。為鄰邊作平行四邊形ABDE,連接CE,

因為8D_L48,AEHBD,則/E_LN8,

TT

，一行。,z,NCAE=-

又因為ZC,NB,ACca,/Eu￡,故二面角a-/一/的平面角為2,

因為四邊形N8DE為平行四邊形，則AE=BD=2,DE=AB=1,

因為4C=/，故△ZCE為直角三角形，則CE=+2?=V6

因為DE/1AB,則。E_LNE,DE上AC,因為NCn/E=/,故?！?,平面/CE,

因為CEu平面/CE,則血CE,故。"=〃爐+"爐=J（@+F=g.

故選D

6.【答案】C

【解析】若〃=

兀，r兀，7兀

-<x<—0<2x--<-—W3x----<—<兀

若"=2或"=3,則對88有42,或848

所以"?'一々,""］,根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性知/（X）在8」上單調(diào)遞減，滿足條件;

弁型］=-1〈-也=力型］

若〃=4,則U6J218人所以/（x）不滿足條件；

3n-2n-2n、n-2.3n-2

--------=—>1---<k<--------

若"25,則由884可知，存在正整數(shù)發(fā)滿足88

左+左+

兀4左+13兀41141（）A

—<-------71<一-------71=cosfai=-1

此時84〃8,4及）44J

713兀

從而,（X）在8，-8"

上存在極值點，不可能單調(diào)遞減，不滿足條件

綜上，滿足條件的有〃=2和"=3.

故選C.

7.【答案】A

【解析】因為ctan8=（2a-c）tanC,

sinCsinB_（2sin-sinC）sinC

由正弦定理，得cosBcosC,

由sinC>0,得sin6cosC=2sinAcosB-sinCcosB,

所以sinBcosC+cosBsmC=2sinAcosB,即sin（8+C）=2sin/cos8

因為5+。+4=兀，所以sin4=2sin4cosB,又sin4>0,

1兀

cosB=—B=—

所以2,因為0<5<兀，所以3.

B

由S&ABD+ScBD~S4ABe,

17rlJT1jr

—ABxBDxsin—+—BCxBDxsin—=—ABxBCxsin—

得262623,

BC^ABxBC

所以一AB+BC,在“BC中，由余弦定理得/笈+&?2_/外8。=12,

(AB+BCi-n(AB+BCi

ABxBC=-------L----<--------L

所以34

從而N8+BC44月，當(dāng)且僅當(dāng)N3=8C=2百取等號.

廠(AB+BCy-n

BD=--------=—(AB+BC)——<3

、-7

則AB+BC3'AB+BC,

當(dāng)且僅當(dāng)N8=8C=2G取等號，則AD長的最大值為3.

故選A.

8.【答案】D

【解析】Z=i+2i2+3i3+xxx+2O24i2024,

Zxi=i2+2i3+3i4+xxx+2O24i2025,

,024\

Zx(l-i)=i+i2+i3+xxx+i2024-2024泮25=X——I-2O24i2025

所以''>i，①

因為r=1,所以產(chǎn)4=戶°6=1,i2025=i4'5°6+1=i,

-2024i-2024i'(1+i)-2024i+2024

=——1八=1012-1012i

所以化簡①可得—(j)("i)2

所以虛部為T°12.

故選D.

二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選

項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，有選錯的得0分，若只有2

個正確選項，每選對1個得3分；若只有3個正確選項，每選對1個得2分.

9.【答案】BC

【解析】對于A,存在量詞命題的否定是全稱命題，但前提條件不變，

所以命題“太x2+x+l>0-的否定是V無>0,X2+JC+1<0,

故選項A錯誤；

對于B,滿足｛1｝=Ml,2,3｝的集合〃的個數(shù)為23T=4,

故選項B正確；

對于c,x=lg3,y=lg5,所以Ig45=lg5+lg9=lg5+21g3=2x+y,

故選項c正確;

對于D,已知指數(shù)函數(shù)"x)=/(。＞0且"1)的圖象過點G，4),

2.clog,5/2=一

所以a=4,a=2,所以2,故選項D錯誤.

故選BC.

10.【答案】BCD

兀.兀兀.7711

_71sin2x--1■一=sin—=1

【解析】對于A選項：將“一行代入，(無)，得121232

故V=/(x)的圖象不關(guān)于點

對稱，故選項A錯誤;

g(x)=cos2x+—c兀

I6t=2xH—

對于B選項：在，令6,貝°V=cos￡,

715兀_兀7兀1171

xe2'6」，所以t=2xH--G

因為666

7兀1171

根據(jù)余弦函數(shù)圖象可知＞=cost在166」單調(diào)遞增，故選項B正確;

兀

對于C選項：將g(x)圖象上的所有點向右平移％個單位長度,

可得到

g"7171兀c兀=sinf2x+jj=/(x)

cos2x+—=cos2x--=cos——+2x+一

6I623

故選項C正確;

71

〃(x)=/(x)+g(x)=sin2x+—+cos2x+—

對于D選項：36

.兀、(c兀)1.c也rV3_1..

所以力。)sm2x+—+cos2x+—sm2x+——cos2x+——cos2x——sin2xV3COS2X

362222

結(jié)合余弦函數(shù)的性質(zhì)可知："X)=8COS2X"6,故選項

D正確.

故選BCD.

1L【答案】BC

兀兀

f(x)=sin6yxH—+sin—+coscox

【解析】由題可得66

V3.1V3.1

=——sincox-—coscox+——sina)x+—coscox+coscox=2sina)x+—

2222=V3sincox+coscoxI6

71

y=2sin力卜+看2sinCOX+—G)

對于A,V=2sinGx向左平移5個單位長度為I6.

,故

不一定能得到＞=/(x)的圖象，A錯誤;

c兀71571

xe0,—3xH---Gsin3x+—G

L9」，則6'T[6J

對于B,0=3,6-，所以

B正確；

n717i71i

COXH---G—,兀H----

對C,由xe(0,2兀)可得6(666

9兀Ji13兀[1319

由了3在區(qū)間92兀)上恰有3個極大值點可得2<0，-2

C正

確；

兀5兀兀(DH715(07171

XG(OX+-&——+—,-----+—

對于D,3'12,則636126

因為/(x)單調(diào)遞減,

5①71713?！?/p>

-----+—<—+2H

1262

am兀、?！璗5TI兀717171

-----F—>—+2fai—之---------------—>——

所以362，左eZ,且212312即。12

\+6k<a)<~+—k

解得55左eZ,且°<。412,

a>e1,-]

當(dāng)上=0時，L5」，當(dāng)k=[時，。電r町，D錯誤

故選：BC.

三、填空題：本大題共3個小題，每小題5分，共15分.

12.【答案】(色+8)

口2」

【解析】因為幕函數(shù)尸/⑴的圖像過點I4A所以4,解得：a=-2,所

以〃x)=x，

32

2q〉_____|---

所以3/(X)<G_2x在xe[l,+s)上恒成立可化為：/x在xe[l,+W)上恒成立.

32

gW=^+-,xe[l,+oo)>㈤

令XX，只需/max.

,Zx_122_zx32

；T

因為g(%)=X----x-g(%)，=~所"I以Ir'iX\x在[I,+8)上單減，

所以g(x)M=g(l)=3+2=5.

所以”>5.

所以實數(shù)a的取值范圍為O-00).

故答案為：0'+°°).

V2

------71

13.【答案】2.

【解析】如圖：

取8G的中點為E,'用的中點為尸，CG的中點為G,

因為/胡。=60°,直四棱柱力8c片GA的棱長均為2,所以△2jSG為等邊

三角形，所以*=百，

又四棱柱NBC。-為直四棱柱，所以BB、1平面AXBXCXDX,所以^4,4G,

因為PI8G=耳，所以D.E1側(cè)面BgCB,

設(shè)尸為側(cè)面與球面的交線上的點，貝UDELEP,

因為球的半徑為⑹*=6,所以=v^=血,

所以側(cè)面4GC2與球面的交線上的點到E的距離為亞，

因為|斯HEG|=也，所以側(cè)面4c08與球面的交線是扇形瓦7G的弧前，

ITTT

/B]EF=/C]EG=—ZFEG=-

因為4,所以2,

FG=-x42=—7r

所以根據(jù)弧長公式可得22.

V2

——71

故答案為：2.

2vg

14.【答案】方

【解析】由題意知，四邊形ABCD,CDE廠都是正方形，

貝IJ5.DALDC,DELDC,

所以即為二面角/—CD—￡的平面角，即N/DE=60。.

因為/〃=尸N,AC=DF,設(shè)/M=/UC,OOS1,

則DN=D下一五N=(1—QD尸，且4"=/14C,DN^^-^DF,

—>T—>—>

則MN=M4+AD+DN

=-^AC-DA-\-Q-X)DF

TT—>T—>

=%ZM—QC—￡M+(1—QOC+(IT)DE

—>—>—>

=(-1)04—(24—1)DC—U—])DE,

則MN2=[Q—1)04-(24—i)0C-("I).DE]2

—?——>—>—?—?

=(2—1)2042+(22—1)282+("I)2OF2-2-(2-iyDA.DE

1

=4(2-1)2+4(22—l)2+4(2-1)2-2X4X2(2-1)2

=2（U2-24/1+8=20（'-$2+5,

3T4

當(dāng)2=s時，MN2有最小值司

T2.

所以|MN|N可.

述

所以線段MN的最小值為虧.

四、解答題：本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或

演算步驟.

15.（13分）【答案】⑴。=4；（2）（°-°°）

【解析】（1）當(dāng)時，"x）在（0,+8）上單調(diào)遞增，所以/（x）不存在最小值；

「/、a3_I~a3_3

=

/（x?xH--------ci24/x--------a=2、a—a

當(dāng)?！?時，x2vx22,

所以2"一5”-2,解得”=一§（舍去）或6=2,故0=4；

即*/一|（0+1）忙―1|+”0忙-1卜0

3

人|2-1占,,?2--（?+1>+?=0（/>0）

令??,則萬程化為2,

畫出"B'T的圖象如圖所示，

3

（\/_二（。+1）'+a=0（,#0）t

因為耿PY町恰有3個零點，所以2、有兩個根L仇且

0<^<1</2

3

〃（/）=〃—+1），+a

記2,

A（0）=a>0

,11

/z（l）=——a——<0

貝IJ122，解得。>0,

綜上，。的取值范圍是（°，+8）.

e1

16.（15分）【答案】（1）。=°125；（2）分布列見解析，5.（3）2

【解析】（1）依題意可得（°,05+0-075+a+0.15+0.1）x2=l,解得。=0.125；

（2）由（1）可得高度在心⑺和［17,19）的頻率分別為01和015,

所以分層抽取的5株中，高度在U，17）和［17,19）的株數(shù)分別為2和3,

所以x可取o,1,2,

C3i

P（X=O）=T=—

所以'/c；io,

2

C；C_3x2_3P（X=2）=r,3x13

p（x=l）=

1051010

所以X的分布列為:

X012

133

P

10510

E（X）=O

所以105105.

（3）從所有花卉中隨機抽取3株,

記至少有2株高度在121,25］為事件M,

32

￡

P（M）=X=

則I22Il

4

17.（15分）【答案】⑴5；（2）18

csm^^=—bsm2C+—csmCcosB

【解析】（1）因為242

sinCsin史三=—sin^sin2C+—sin2CcosB

由正弦定理可得242

sinCsinsinBsinCcosC+sin2CcosB

則222

sin=—sin5cosC+—sinCcosB

注意到。€（0,兀）,貝l]sinC>0,可得222

B+CitA

且八3+。=兀，則222,

71A

sin=（sinBcosC+sinCcosB）=sin（2+C）=sin（兀一/）

可得22

Ay/~5.rz.AA

cos一二——smZ=sm-cos一

則2222,

A

又因為/?°，無），則cos->0

,可知2

.AV5A

sin——=——cos—=

可得25,225

sin^=2sin-cos-=-

所以225

COS/1=2COS2--1=-

（2）由（1）可得:25，

冗AB54

ZABD=-AD=----=-cDB=AD-sinA=-c

因為2,在RtZ\4BO中，可得cosA3,3,

DC^-DB=~c

又因為20c=5D8,可得23,

貝ljb=/C=4D+OC=5c,

在“8C中，由余弦定理a2=/+c2-26ccos/,

gp180=25c2+c2-6c2=20c2,解得c=3,可知6=5c=15,

114

S.=—besin^=—xl5x3x—=18

所以2BC的面積ARC225

18.（17分）【答案】（1）證明見解析；（2）1

【解析】（1）取“4的中點〃，連接版，MB,如圖,

小A

在四棱臺4sCA中，四邊形4/?？谑翘菪?，4〃=2,AD=4,

Mp=4。+"D=3

又點〃，戶分別是棱44。”的中點，所以〃/。，且2.

在正方形/宛2?中，BC//AD2c=4,又30=3。。，所以8。=3.

從而MV/8Q且MP=8Q,所以四邊形加0是平行四邊形，所以PQ〃MB

又因為班u平面ABBA,P。仁平面/網(wǎng)4,所以PQH平面4BB\A\；