2020-2021學年湖北省高一下學期期中聯(lián)考數(shù)學試題（解析版）

試卷第=page22頁，共=sectionpages44頁2020-2021學年湖北省高一下學期期中聯(lián)考數(shù)學試題一、單選題1．下列說法正確的是（）A．四棱臺的側棱長一定相等 B．有兩個側面垂直于底面的四棱柱是直四棱柱C．圓柱的任意兩條母線所在直線互相平行 D．三棱錐的四個面不可能全是直角三角形【答案】C【分析】根據(jù)簡單幾何體的結構特征逐一判斷四個選項的正誤，即可得正確選項.【詳解】對于選項A：只有正四棱臺的側棱長一定相等，其它四棱臺的側棱長不一定相等故，選項A錯誤；對于選項B：四棱柱的兩個平行側面垂直于底面，該四棱柱不一定是直四棱柱，如圖平面和平面都垂直于底面，但該四棱柱不是直四棱柱，故選項B錯誤；對于選項C：圓柱的任意兩條母線所在直線互相平行，故選項C正確；對于選項D：三棱錐的四個面可能都是直角三角形，如圖：長方體中，三棱錐四個面都是直角三角形，故選項D錯誤.故選：C.2．已知復數(shù)，則復數(shù)z在復平面內(nèi)對應的點在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D【分析】結合復數(shù)的除法運算，求出復數(shù)，然后根據(jù)復數(shù)的幾何意義，即可求出結果.【詳解】，則復數(shù)z(在復平面內(nèi)對應的點在第四象限.故選：D.3．下列幾何體中，棱的條數(shù)最多的是（）A．四棱柱 B．五棱柱 C．五棱錐 D．六棱錐【答案】B【分析】根據(jù)幾何體的結構特點分析每個幾何體棱的數(shù)量，由此作出選擇.【詳解】四棱柱有12條棱，五棱柱有15條棱，五棱錐有10條棱，六棱錐有12條棱，因此棱數(shù)最多的是五棱柱.故選：B.4．已知向量，若，則（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)向量垂直對應的坐標關系得到關于的方程，由此求解出的值.【詳解】因為，所以，解得.故選：D.5．在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，則“”是“是直角三角形”的（）A．充要條件 B．充分不必要條件C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【分析】結合余弦定理，角化邊，即可求解【詳解】由，得，即，則是直角三角形；反之，若是直角三角形，則與不一定相等.故“”是“是直角三角形”的充分不必要條件.6．已知m，n為兩條不同的直線，為兩個不同的平面，則下列命題正確的是（）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】B【分析】A：結合兩直線的位置關系可判斷或異面；B：結合線面平行的性質(zhì)可判斷；C：結合線面的位置關系可判斷或相交；D：結合線面的位置關系可判斷或.【詳解】A：若，則或異面，故A錯誤；B：因為，所以在平面內(nèi)存在不同于n的直線l，使得，則，從而，故，故B正確；C：若，則或相交，故C錯誤；D：若，則或，故D錯誤.故選：B7．道韻樓以“古?大?奇?美”著稱，內(nèi)部雕梁畫棟，有倒吊蓮花?璧畫?雕塑等，是歷史?文化?民俗一體的觀光勝地道韻樓可近似地看成一個正八棱柱，其底面面積約為平方米，高約為11.5米，則該八棱柱的側面積約是（）A．460平方米 B．1840平方米 C．2760平方米 D．3680平方米【答案】D【分析】利用是正八邊形，求得，利用余弦定理求得，利用底面面積求得，從而求得側面積.【詳解】如圖，由題意可知底面是正八邊形，，由余弦定理可得，則.因為底面的面積為平方米，所以，解得.則該八棱柱的側面積為平方米.故選：D.8．已知復數(shù)，且，則（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)，得到，又因為因為，所以，且，從而可得到所以或求解即可得出結果.【詳解】由題意可得，所以，即，所以.因為，所以，且.因為，所以或解得，則.故選：C.二、多選題9．如圖，在四棱錐中，四邊形是平行四邊形，E，F(xiàn)分別是棱的中點，則（）A．平面 B．平面C．平面 D．平面【答案】AB【分析】連接BD，可得，即可判斷A，B正確.再利用反證法即可推出C、D錯誤.【詳解】如圖，連接.因為四邊形是平行四邊形，且E是棱的中點，所以E是的中點，所以，則平面平面，故A，B正確；因為，所以平面.假設平面，又，則平面平面.因為平面與平面相交，則假設不成立，即平面不成立，故C錯誤；同理可得D錯誤.故選：AB.10．已知復數(shù)，則（）A． B． C． D．【答案】AD【分析】利用求模公式求得復數(shù)的模，判斷出A；求得，求得，判斷出B，利用復數(shù)的平方判斷出C，利用復數(shù)的除法求得，判斷出D.【詳解】由題意可得，則，則A正確，B錯誤；，則C錯誤；，則D正確.故選：AD.11．正六角星是我們生活中比較常見的圖形，很多吊飾品中就出現(xiàn)了正六角星圖案(如圖一).正六角星可由兩個正三角形一上一下連鎖組成(如圖二).如圖三所示的正六角星的中心為O，A，B，C是該正六角星的頂點，則（）A．向量夾角的余弦值是B．若，則C．若，則D．若非零向量，則當取最小值時，【答案】AC【分析】直接利用向量的線性關系，平面向量基本定理，向量的數(shù)量積，模的運算公式求解各個選項，即可判斷．【詳解】由題意可知，則，故A正確；由題意如圖可知，則，故B錯誤；因為，所以，則，故C正確；因為，所以，當時，取最小值，此時，，故D錯誤.故選:AC12．如圖，在正方體中，，E，F(xiàn)，P，M，N分別是的中點，則（）A．平面B．直線與所成的角是C．存在過點E，F(xiàn)的平面與平面平行，平面截該正方體得到的截面面積為D．點E到平面的距離是【答案】ACD【分析】對于A，利用線線平行證面面平行，再利用面面平行的性質(zhì)定理可得證；對于B，由，知是所求的角，在中利用余弦定理可得解；對于C，可知六邊形是平面截該正方體得到的截面，求得面積即可；對于D，利用等體積法，結合錐體的體積公式即可得解.【詳解】對于A，取的中點G，連接，易證，，則平面平面，又平面，所以平面，故A正確；對于B，，是直線與所成的角，又，，所以，則，故B錯誤；對于C，分別取的中點H，K，I，連接，易證平面平面，則存在過點E，F(xiàn)的平面與平面平行，六邊形是平面截該正方體得到的截面，截面的面積是，故C正確；對于D，連接，由等體積法，則三棱錐的體積是，的面積是，設點E到平面的距離是d，則，解得，故D正確.故選：ACD【點睛】方法點睛：證明面面平行常用的方法：（1）面面平行的判定定理：如果一個平面內(nèi)有兩條相交直線都平行于另一個平面，那么這兩個平面平行；（2）利用垂直于同一條直線的兩個平面平行；（3）兩個平面同時平行于第三個平面，那么這兩個平面平行；（4）利用“線線平行”、“線面平行”、“面面平行”的相互轉化．三、填空題13．寫出一個模為5的向量___________.(用坐標表示)【答案】(答案不唯一)【分析】設，由模長公式知x，y只需滿足即可.【詳解】設，x，y只需滿足即可.故答案為：(答案不唯一)14．已知某圓錐的側面展開圖是面積為的半圓，則該圓錐軸截面的面積是___________.【答案】【分析】由題意可求出該圓錐的母線長為2，底面圓的半徑為1，以及該圓錐的高是，進而可求出該圓錐軸截面的面積.【詳解】由題意可知展開圖的半徑是2，所以該圓錐的母線長為2，底面圓的周長為，所以可知底面圓的半徑為1，則該圓錐的高是，故該圓錐軸截面的面積是.故答案為：.15．已知在平面四邊形中，，且，則___________.【答案】1【分析】將已知條件變形，結合向量的多邊形法則可知，由此可得，代入數(shù)據(jù)可求解出的長度.【詳解】因為，所以.因為，所以，即，所以.又，所以.故答案為：.四、雙空題16．已知復數(shù)，且，則的最小值是___________；此時，復數(shù)___________.【答案】1或【分析】根據(jù)復數(shù)的除法運算先求解出，，然后可得的結果，利用基本不等式可求的最小值，同時可求解出此時的值，則可求.【詳解】因為，所以，所以，.因為，且，所以，則.因為，所以，當且僅當時，等號成立，此時，則或.故答案為：；或.五、解答題17．在①；②四邊形的面積為24；③四邊形的周長為20這三個條件中任選一個，補充在下面問題中，并作答.如圖，四邊形是圓柱的一個軸截面，，且___________.（1）求該圓柱的體積；（2）若用一細繩從點A繞圓柱一周后到達D處(如圖)，求細繩的最短長度.注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.【答案】條件選擇見解析；（1）；（2）.【分析】選擇①的長度即為高，直接利用圓柱的體積公式即可求解；選擇②結合四邊形的面積等于底面直徑乘以，即可求出的長度，而的長度即為高，直接利用圓柱的體積公式即可求解；選擇③結合四邊形的周長等于（底面直徑加）乘以2，即可求出的長度，而的長度即為高，直接利用圓柱的體積公式即可求解；（2）結合圓柱沿側面展開，得到即為最短長度，然后計算求解即可.【詳解】解：選擇①，（1）由題意可得圓柱的底面圓的半徑，高，則該圓柱的體積.選擇②，（1）由題意可得圓柱的底面圓的半徑，高，則該圓柱的體積.選擇③，（1）由題意可得圓柱的底面圓的半徑，高，則該圓柱的體積.（2）將圓柱沿側面展開，如圖所示，，則.故細繩的最短長度為.18．已知復數(shù).（1）若z是純虛數(shù)，求m的值；（2）若z在復平面內(nèi)對應點在直線上，求m的值.【答案】（1）；（2）或.【分析】首先將復數(shù)化簡為標準形式，確定其實部與虛部，（1）依題意實部為零且虛部不為零得到方程（不等式）組，解得即可；（2）將實部代入，虛部代入得到方程，解得即可；【詳解】解：由題意可得，則z的實部為，虛部為.（1）因為z是純虛數(shù)，所以解得.（2）由題意可得，解得或.19．如圖，在長方體中，，點E，F(xiàn)分別在上(不包含端點)，且.證明：（1）A，，E，F(xiàn)四點共面；（2）直線交于一點.【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.【分析】(1)先通過線線平行，得到線線共面，從而得到四點共面.(2)先證直線與直線相交，再證交點在直線上.即可.【詳解】證明：（1）如圖，連接.因為，所以，所以.由長方體的性質(zhì)可知，所以.故A，，E，F(xiàn)四點共面.（2）由（1）可得，則四邊形是梯形，故直線與直線必相交，記.因為，且平面，所以平面，因為，且平面，所以平面.因為平面平面，所以.即直線交于一點.20．如圖，平面四邊形是某公園的一塊草地，為方便市民通行，該公園管理處計劃在草地中間修一條石路（不考慮石路的寬度），．（1）求該草地的面積；（2）求石路的長度．【答案】（1）；（2）.【分析】（1）連接．在中，利用余弦定理求得AC，再在中，利用余弦定理求得CD，然后草地的面積由和的面積和求解.（2）由，結合求解.【詳解】（1）如圖所示：連接．在中，由余弦定理可得，即，則．在中，由余弦定理可得，則，解得或（舍去）．的面積，的面積，故該草地的面積．（2）因為，所以，所以．由余弦定理可得，，即，解得，故，即石路的長度為．21．如圖，在四棱錐中，直線垂直于平面，，且.（1）求四棱錐的體積.（2）在上是否存在點F，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，說明理由.【答案】（1）；（2）存在，.【分析】（1）利用椎體體積公式，即可求解.（2）分別取的中點E，F(xiàn)，連接.得到四邊形是平行四邊形，所以,即可求解.【詳解】解：（1）如圖，過點D作，交于點M，則.因為，所以四邊形是平行四邊形，所以.因為，所以，所以.則四邊形的面積為.由題意可知是四棱錐的高，則該四棱錐的體積為.（2）分別取的中點E，F(xiàn)，連接.因為E，F(xiàn)分別是的中點，所以.由（1）可知，所以，所以四邊形是平行四邊形，所以.因為平面，平面，所以平面.故存在點F，使得平面，此時，.22．我們知道，對一個量用兩種方法分別計算一次，由結果相同則可以構造等式解決問題，這種思維方法稱為“算兩次”原理，又稱“富比尼原理”，是一種重要的數(shù)學思想.例如：如圖甲，在中，D為的中點，則，兩式相加得，因為D為的中點，所以，于是.請用“算兩次”的