數(shù)學(xué)課后導(dǎo)練：正態(tài)分布

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精課后導(dǎo)練基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)1。如果提出統(tǒng)計(jì)假說：某工人制造的零件尺寸服從正態(tài)分布N(μ,σ2),當(dāng)隨機(jī)抽取其一個(gè)值a時(shí)，下列哪種情況中，可以說明假設(shè)不成立(）A。a∈（μ-3σ，μ+3σ）B.a(μ—3σ,μ+3σ）C.a∈（μ—2σ,μ+2σ）D。a（μ-2σ，μ+2σ)答案：B2。設(shè)隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N（10，22)，且P(｜ξ-10|＜a)=0。9，則a=___________（a取整數(shù)）。答案：a=3.3.正態(tài)總體的概率密度函數(shù)f（x)=(x∈R）,則正態(tài)總體在區(qū)間（1,4）內(nèi)取值的概率________________.答案:0.9974。ξ服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。試求:（1)P(ξ＜1。8）；(2)P（—1＜ξ＜1。5）；（3）P（ξ＞1。5）;(4)P（｜ξ｜＜2)。解析：標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)曲線關(guān)于y軸對稱,且有P（x＜x0）=Φ（x0）,Φ(-x0)=1-Φ(x0），關(guān)于Φ（x）的計(jì)算可查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表，可得（1)P（ξ＜1.8）=Φ(1.8)=0。9641;（2）P（—1＜ξ＜1。5)=Φ(1.5）-Φ（-1）=0.9332—1+Φ（1)=0。7745；(3）P（ξ＞1.5）=1—Φ(1。5)=1-0.9332=0.0668；（4)P（｜ξ｜＜2)=Φ(2）—Φ（-2)=2Φ（2）—1=2×0。9772-1=0.9544.5。在某次人事錄用考試中，某科的分?jǐn)?shù)ξ—N（80,100）(滿分100分)，已知某考生通過查分得知自己的成績?yōu)?2分，且排名第20名，而總共錄取人數(shù)為50名，問錄取分?jǐn)?shù)線約為多少（若下限分?jǐn)?shù)有相同者，再補(bǔ)充其他規(guī)定）.解析：因?yàn)棣巍狽（80,100），由條件知P(ξ≥92)=1-P(ξ＜92)=1-Φ（）=1-Φ（1。2）=1-0.8849=0。1151。這說明成績在92分和92分以上的這20名考生在全體考生中占11.51％。因此考生總數(shù)大致為≈174名,故前50名考生在全體考生中占的比例為0。2874。設(shè)第50名考生的成績?yōu)閤，則P（ξ≥x)=1—P（ξ＜x)=1-Φ(）=0。2874。Φ（）=0.7126，=0。56，解得x=85。6.所以錄取分?jǐn)?shù)線約為86分。綜合運(yùn)用6?？傮w密度曲線是函數(shù)f(x)=，x∈R的圖象的正態(tài)總體有以下命題：(1)正態(tài)曲線關(guān)于直線x=μ對稱;（2）正態(tài)曲線關(guān)于直線x=σ對稱；（3）正態(tài)曲線與x軸一定不相交;（4)正態(tài)曲線與x軸一定相交，其中正確的命題是（）A。（2）（4）B.（1)(4)C。(1)(3)D。(2)（3）答案：C7。假設(shè)總體服從正態(tài)分布N(3，）時(shí),如果要拒絕這個(gè)統(tǒng)計(jì)假設(shè)，則在一次試驗(yàn)中的取值a應(yīng)落在區(qū)間____________內(nèi).答案：a∈（-∞，］∪[，+∞)。8。設(shè)隨機(jī)變量ξ—N（μ,σ2），而且已知P(ξ＜0.5）=0。0793,P(ξ＞1.5）=0.7611,求μ與σ。解析:因?yàn)棣巍狽（μ，σ2),所以P（ξ＜0。5）=Φ(）=0.0793,即1—Φ（）=0.0793，所以Φ(）=0。9207，查表得=1.41,易得=0.71.解方程組,得.9.假設(shè)某次數(shù)學(xué)考試成績ξ服從正態(tài)分布N（70,102），已知第100名的成績是60分，求第20名的成績約是多少分？解析:由題意可知:P（ξ≥60）=1-P（ξ＜60)=1-Φ（）=1—Φ（-1）=0。8413.這說明數(shù)學(xué)成績在60分和60分以上的考生（共100名)在全體考生中占84.13%，因此考生總數(shù)大致為≈119名,故前20名考生在全體考生中的比率大約為：≈0。1681。設(shè)t為第20名考生的成績，則有P（ξ≥t)=1-Φ()≈0.1681。從而Φ（)≈0。8319，經(jīng)查表，得≈0.96，于是第20名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績約為79.6分。拓展探究10。一投資者在兩個(gè)設(shè)資方案中選擇一個(gè)，這兩個(gè)投資方案的利潤x(萬元）分別服從正態(tài)分布N（8,32）和N（6,22），投資者要求利潤超過5萬元的概率盡量地大，那么他應(yīng)選擇哪一個(gè)方案？解析：對第一個(gè)方案，有x—N(8,32)，于是P（x＞5）=1—P（x≤5）=1—F(5）=1-Φ（)=1—Φ（—1）=1-［1-Φ（1)］=Φ(1）=0.8413.對第二個(gè)方案，有x—N（6,22）,于是P（x＞5)=1-P(x≤5)=1—F（5）=1—Φ（）=1-Φ(-0.5）=Φ（0。5)=0.6915.相比之下，“利潤超過5萬元”的概率以第一個(gè)方案為好,可選第一個(gè)方案.備選習(xí)題11.設(shè)隨機(jī)變量ξ-N（μ，σ2)，且P(ξ≤C）=P(ξ＞C），則C等于（）A。0B。σC?！藾。μ解析：由正態(tài)曲線的圖象關(guān)于直線x=μ對稱可得答案為D。答案：D12。某廠生產(chǎn)的零件外直徑ξ-N（8。0,0。152）（mm），今從該廠上、下午生產(chǎn)的零件中各隨機(jī)取出一個(gè)，測得其外直徑分別為7.9mm和7.5mm，則可認(rèn)為()A.上、下午生產(chǎn)情況均為正常B.上、下午生產(chǎn)情況均為異常C.上午生產(chǎn)情況正常、下午生產(chǎn)情況異常D.上午生產(chǎn)情況異常、下午生產(chǎn)情況正常解析：根據(jù)3σ原則,在8+3×0.15=8。45（mm）與8—3×0。15=7。55(mm）之外時(shí)為異常。答案:C13.隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N(0,1),如果P（ξ＜1）=0。8413,求P（-1＜ξ＜0）。解析：∵ξ-N(0，1）,∴P(—1＜ξ＜0）=P（0＜ξ＜1)=Φ（1)-Φ（0）=0。8413—0.5=0.3413.14。將溫度調(diào)節(jié)器放置在貯存著某種液體的容器內(nèi),調(diào)節(jié)器設(shè)定在d℃，液體的溫度ξ（單位：℃)是一個(gè)隨機(jī)變量，且ξ—N(d，0。52）.（1）若d=90°,求ξ＜89的概率;(2)若要保持液體的溫度至少為80℃的概率不低于0。99，問d至少是多少？（其中若η—N（0,1），則Φ（2）=P（η＜2)=0.9772，Φ(—2.327)=P（η＜-2。327）=0.01)。解析:（1)要求P（ξ＜89)=F（89),∴ξ—N(d,0.5)不是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，而給出的是Φ(2），Φ（-2。327)，故需轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的數(shù)值.P（ξ＜89）=F（89)=Φ()=Φ(—2)=1-Φ（2）=1—0。9772=0.0228.（2）由已知d滿足0.99≤P（ξ≥80)，即1—P（ξ＜80)≥1—0.01，∴P(ξ＜80）≤0.01?！唳?)≤0。01=Φ（-2。327）?！唷?2.327。d≥81.1635。故d至少為81.1635。15。已知測量誤差ξ—N（2,100)(cm)，必須進(jìn)行多少次測量，才能使至少有一次測量誤差的絕對值不超過8cm的頻率大于0.9？解析：設(shè)η表示n次測量中絕對誤差不超過8cm的次數(shù)，則η-B(n,p).其中P=P（｜ξ|＜8）=Φ(）—Φ(）=Φ（0。6）-1+Φ（1)=0.7258—1+0。8413=0.5671.由題意，∵P(η≥1）＞0.9，n應(yīng)滿足P（η≥1）=1—P（η=0)=1—（1—p)n＞0.9,∴n＞.因此，至少要進(jìn)行3次測量，才能使至少有一次誤差的絕對值不超過8cm的概率大于0。9.16.某企業(yè)準(zhǔn)備通過招聘考試招收300名職工，其中正式工280人，臨時(shí)工20人，報(bào)考的人數(shù)是1675人，考試滿分是400分,考試后得知，考試平均成績μ=166分，360分以上的高分考生有31人，某考生甲得256分，問他能否錄?。磕芊癖黄笧檎焦?？(參考數(shù)據(jù)：標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表（部分）)Φ（x0）=p(x＜x0)x00123456789……………0.90.81590.81860.82120。82130.82640.82890.83150。83400。83650。8389……………2.00.97720。97780。97830.97880。97930.97980。98030。98080.9810。9817解析:分二步解答.第一步，預(yù)測最低分線，設(shè)最低分?jǐn)?shù)線為x1,考生的成績?yōu)棣?，則對一次成功的考試來說，ξ服從正態(tài)分布。由題意知:ξ—N（166，σ）,∴η=—N(0,1）?！吒哂?60分考生占全體考生,∴P(ξ＞360）=P（η＞)=,∴P（η≤)=1-≈0。981,由題后附表可知=2。08，即σ=93，∴ξ-N(166,93).∵最低分?jǐn)?shù)線的確定應(yīng)該使錄取考生的概率等于。即P(η＜)=，∴P(η≤)=1-≈0.819，查附表得=0.91.∴x1≈251,即最低分?jǐn)?shù)線為251分.第二步,預(yù)測考生甲的考試名次，確定他是否能被錄取，在ξ=256時(shí),由題后附表知:P（η≤）=P(η≤）=P（η≤0.968)