數(shù)學(xué)課后導(dǎo)練：指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的關(guān)系

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精課后導(dǎo)練基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)1.函數(shù)y=的反函數(shù)(）A.是奇函數(shù),在(0,+∞)上是減函數(shù)B.是偶函數(shù),在(0,+∞)上是減函數(shù)C.是奇函數(shù)，在（0,+∞）上是增函數(shù)D。是偶函數(shù),在（0,+∞）上是增函數(shù)解析：令f(x）=（ex-e-x）,則f(-x）=（e—x-ex）=—f(x）?！鄁（x）為奇函數(shù)。又e〉1,∴y=ex與y=e—x在（0,+∞)上分別為增函數(shù)和減函數(shù).∴f（x）在（0,+∞)上為增函數(shù).答案：C2。若f(10x）=x,則f(5）等于(）A.log510B。lg5C.105解析：方法一：令u=10x則x=lgu.∴f(u）=lgu.∴f（5）=lg5。方法二：令10x=5,∴x=lg5.∴f(5）=lg5.故選B。答案:B3.若函數(shù)f(x)=2x—1+3的反函數(shù)的圖象經(jīng)過P點(diǎn)，則P點(diǎn)的一個坐標(biāo)是（）A.（1，2）B.（5,2）C。（3,1）D.(4，2)解析：y=2x—1+3的反函數(shù)為f(x）=1+log2(x-3)，檢驗(yàn)知過點(diǎn)P（5，2)。答案：B4。要使函數(shù)y=x2-2ax+1在［1，2］上存在反函數(shù)，則a的取值范圍是（）A.a≤1B。a≥2C。a≤1或a≥2解析:f(x)=(x-a)2+1—a2，由反函數(shù)存在條件知a≤1或a≥2.答案：C5。若y=f—1(x）為函數(shù)y=f（x)的反函數(shù)，且y=f（x）的圖象過點(diǎn)(3,1）,則y=f—1（log2x)的圖象必過點(diǎn)()A。(1，8)B。(8,1）C。（2,3）D.（3，2）答案：C6.函數(shù)y=—1（x≤0）的反函數(shù)是(）A。y=(x≥—1)B.y=（x≥—1)C。y=（x≥0)D.y=（x≥0)解析：∵x≤0，∴≥0.∴y≥—1。由y=—1得y+1=，∴x2=（y+1)3.∵x≤0,∴x=.∴反函數(shù)為y=(x≥-1).答案：B7。已知函數(shù)y=f(x）存在反函數(shù)，且f(3）=0,則函數(shù)y=f-1（x+1）的圖象必過點(diǎn)（）A.（2，0)B。(0,2)C.（3，—1)D.(—1，3)解析：由f(3）=0知y=f（x)過點(diǎn)(3，0),∴y=f-1（x)過點(diǎn)（0,3）.∴y=f-1（x+1)過點(diǎn)(—1，3).答案:D8.已知函數(shù)y=f（x)的圖象為右圖中的線段AB，則f-1（x）=________。答案：2x—2（0≤x≤1）9。設(shè)g（x)=則g［g(）］=________.解析:g()=ln=-ln2〈0,∴g[g（）］=g(—ln2)=e—ln2=e=。答案：綜合運(yùn)用10。模擬函數(shù)y=1+ax(0〈a〈1）的反函數(shù)的圖象大致是(）答案：A11。函數(shù)f(x）=ax（a〉0且a≠1）的部分對應(yīng)值如下表：x02f(x）11.69則不等式f-1（｜x|）<0的解集為_______.解析:由條件知f(2)=1.69,∴a2=1。69.∴a=1。3.∴f（x)=1。3x，f-1（x)=log1.3x。由log1。3｜x|<0得0<|x|<1?！?1〈x<1且x≠0.答案：｛x|—1〈x<1且x≠0}12。求函數(shù)的反函數(shù)。解析：當(dāng)x≤—1時，f(x）=y=x2+1，∴x2=y-1?！鄁—1（x）=(x≥2)。當(dāng)x〉—1時，f(x）=y=1-x，則f—1（x）=1—x（x<2）.∴f-1(x）=13。已知函數(shù)f（x）=3x且f-1(18）=a+2,g(x)=3ax—4x的定義域?yàn)閰^(qū)間［0,1］.（1)求g（x)的解析式；(2）求g（x）的值域.解析：(1)∵f（x)=3x且f-1（18）=a+2,∴f（a+2）=3a+2∴3a∵g(x）=3ax—4x=（3a)x—4x∴g(x）=2x-4x（0≤x≤1).(2)令t=2x（0≤x≤1)，∴t∈［1，2］。則g(x)=y=-t2+t=-（t—)2+,∴當(dāng)t=1即x=0時,g(x）max=0；當(dāng)t=2即x=1時，g（x)min=-2.故g（x）的值域?yàn)椋邸?,0].14。設(shè)函數(shù)f(x）=ax2+bx+c(a、b〉0）滿足f（1—x）=f（1+x），比較f(2x）與f(3x)的大小。解析：∵f（x)滿足f（1-x)=f(1+x)，∴f（x）關(guān)于直線x=1對稱。又a>0，f(x)開口向上,當(dāng)x〈0時,2x<1，且3x〈1,2x>3x,f(x)為減函數(shù)，故f(2x）〈f（3x)；當(dāng)x〉0時,2x>1，3x>1,3x〉2x，且f(x）為增函數(shù)，故f(3x)〉f(2x)；當(dāng)x=0時，f(3x)=f(2x）,故f(3x)≥f(2x）.15。是否存在實(shí)數(shù)a，使得f（x)=loga（ax)在區(qū)間[2，4］上是增函數(shù)？若存在,求出a的取值范圍。若不存在,請說明理由。解析：設(shè)t=，由對數(shù)定義有ax>0.∴at2-t〉0.∵a>0，t>0,∴t〉。又知u=at2-t=a（t）2在(，+∞）上是增函數(shù),故要使f（x）在[2，4]上單調(diào)增,應(yīng)有a〉1且≤2.∴存在實(shí)數(shù)a〉1滿足題設(shè)要求.拓展探究16.已知函數(shù)f（x）=loga（ax-1）（a>0，且a≠1).(1）證明函數(shù)f（x)的圖象不與y軸相交;（2）當(dāng)a〉1時判斷函數(shù)f（x)的單調(diào)性；（3)求函數(shù)y=f（2x)與g（x)=f—1（x）的圖象的交點(diǎn)坐標(biāo).（1)證明:∵ax-1>0,∴ax>1?！喈?dāng)a〉1時,x>0,這說明a>1時，函數(shù)圖象在y軸右側(cè);當(dāng)0〈a〈1時,x<0，說明0<a〈1時,函數(shù)圖象在y軸左側(cè).∴a〉0，且a≠1時，f(x)的圖象總不與y軸相交。(2）證明：當(dāng)a〉1時，有x〉0，由0〈x1<x2,得1〈〈?！鄁(x2)—f(x1)=loga?！?1〉a—1,∴〉1.∴l(xiāng)oga〉0，即f（x2)〉f(x1）?！喈?dāng)a〉1時，f(x）在定義域(0,+∞)上是增函數(shù).(3)解析：∵f（x)=loga（ax—1)，∴f—1（x）=log