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認(rèn)證類型：個(gè)人認(rèn)證

認(rèn)證主體：李**（實(shí)名認(rèn)證）

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IP屬地：河北 上傳時(shí)間：2024-11-10 格式：DOCX 頁數(shù)：41 大小：442.15KB 積分：6 舉報(bào) 版權(quán)申訴

PAGE1第25講等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和（10類核心考點(diǎn)精講精練）1.5年真題考點(diǎn)分布5年考情考題示例考點(diǎn)分析2024年天津卷，第19題,15分由遞推數(shù)列研究數(shù)列的有關(guān)性質(zhì)等比數(shù)列通項(xiàng)公式的基本量計(jì)算求等比數(shù)列前n項(xiàng)和裂項(xiàng)相消法求前n項(xiàng)和2023年天津卷，第19題,15分等差數(shù)列與等比數(shù)列綜合應(yīng)用等差數(shù)列通項(xiàng)公式的基本量計(jì)算求等差數(shù)列前n項(xiàng)和寫出等比數(shù)列的通項(xiàng)公式2023年天津卷，第5題,5等比數(shù)列通項(xiàng)公式的基本量計(jì)算利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求數(shù)列中的項(xiàng)2022年天津卷，第18題,15分等差數(shù)列通項(xiàng)公式的基本量計(jì)算等比數(shù)列通項(xiàng)公式的基本量計(jì)算錯(cuò)位相減法求和分組(并項(xiàng))法求和2021年天津卷，第19題,15分等差數(shù)列前n項(xiàng)和的基本量計(jì)算由定義判定等比數(shù)列錯(cuò)位相減法求和數(shù)列不等式恒成立問題2020年天津卷，第19題,15分等差數(shù)列通項(xiàng)公式的基本量計(jì)算求等差數(shù)列前n項(xiàng)和等比數(shù)列通項(xiàng)公式的基本量計(jì)算分組(并項(xiàng))法求和2.命題規(guī)律及備考策略【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是天津高考卷的必考內(nèi)容，設(shè)題穩(wěn)定，難度高，分值為15分【備考策略】1.理解、掌握等差數(shù)列的基本概念與通項(xiàng)公式2.能掌握等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式3.具備數(shù)形結(jié)合的思想，會(huì)根據(jù)函數(shù)的特征解決等差數(shù)列的最值與單調(diào)性問題4.會(huì)解數(shù)列的前n項(xiàng)和問題【命題預(yù)測(cè)】本節(jié)內(nèi)容是天津高考卷的必考內(nèi)容，一般給出數(shù)列求解數(shù)列的通項(xiàng)與求和問題。知識(shí)講解知識(shí)點(diǎn)一．等差數(shù)列的有關(guān)概念1.等差數(shù)列的定義一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差都等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，公差通常用字母d表示，定義表達(dá)式為an－an－1＝d(常數(shù))(n≥2，n∈N*)．2.等差中項(xiàng)由三個(gè)數(shù)a，A，b組成等差數(shù)列，則A叫做a與b的等差中項(xiàng)，且有2A＝a＋b.知識(shí)點(diǎn)二．等差數(shù)列的有關(guān)公式1.通項(xiàng)公式：an2.前n項(xiàng)和公式：Sn知識(shí)點(diǎn)三．等差數(shù)列的常用性質(zhì)1.若{an}為等差數(shù)列，且p＋q＝s＋t，則ap＋aq＝as＋at(p，q，s，t∈N*)．2.等差數(shù)列{an}的單調(diào)性當(dāng)d>0時(shí)，{an}是遞增數(shù)列；當(dāng)d<0時(shí)，{an}是遞減數(shù)列；當(dāng)d＝0時(shí)，{an}是常數(shù)列．知識(shí)點(diǎn)四．等差數(shù)列前n項(xiàng)和的常用性質(zhì)1.當(dāng)d≠0時(shí)，等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝eq\f(d,2)n2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a1－\f(d,2)))n是關(guān)于n的二次函數(shù)．2.在等差數(shù)列{an}中，若a1>0，d<0，則Sn存在最大值；若a1<0，d>0，則Sn存在最小值．知識(shí)點(diǎn)五．等差數(shù)列的常用結(jié)論1．等差數(shù)列通項(xiàng)公式的推廣：an＝am＋(n－m)d(m，n∈N*)．2．已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an＝pn＋q(其中p，q為常數(shù))，則數(shù)列{an}一定是等差數(shù)列，且公差為p.3．?dāng)?shù)列{an}是等差數(shù)列?Sn＝An2＋Bn(A，B為常數(shù))．這里公差d＝2A.4．若{an}，{bn}均為等差數(shù)列且其前n項(xiàng)和為Sn，Tn，則eq\f(an,bn)＝eq\f(S2n－1,T2n－1).5．若等差數(shù)列{an}的項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)2n，則(1)S2n＝n(a1＋a2n)＝…＝n(an＋an＋1)；(2)S偶－S奇＝nd，eq\f(S奇,S偶)＝eq\f(an,an＋1).6．若等差數(shù)列{an}的項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)2n＋1，則(1)S2n＋1＝(2n＋1)an＋1；(2)eq\f(S奇,S偶)＝eq\f(n＋1,n).考點(diǎn)一、等差數(shù)列基本量的計(jì)算1.（22-23高三上·新疆阿克蘇·階段練習(xí)）設(shè)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若a3A．70 B．80 C．120 D．140【答案】A【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)求解即可.【詳解】在等差數(shù)列an中，a3+故S7故選：A2.（22-23高三上·貴州黔東南·階段練習(xí)）已知Sn為等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和，且S5=aA．5 B．6 C．7 D．8【答案】B【分析】根據(jù)等差數(shù)列性質(zhì)求出a3【詳解】等差數(shù)列S5=a所以a1+2d=0,a因?yàn)镾n≤a?2nd+n?2n+nnn?1可得n≤6.故選：B.1.（2024·天津北辰·三模）已知在等比數(shù)列an中，a4a8=12a6，等差數(shù)列bn的前A．60 B．54 C．42 D．36【答案】C【分析】首先根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)計(jì)算出a6，然后得出等差數(shù)列的b【詳解】由等比數(shù)列的性質(zhì)可知a4a8=a62所以S7故選：C2.（2024·天津?yàn)I海新·三模）已知數(shù)列an為各項(xiàng)不為零的等差數(shù)列，Sn為數(shù)列an的前n項(xiàng)和，4A．4 B．8 C．12 D．16【答案】D【分析】由數(shù)列的遞推式，分別令n=1,n=2，結(jié)合等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，解方程可得首項(xiàng)和公差，再根據(jù)等差數(shù)列通項(xiàng)公式即可得到答案．【詳解】設(shè)等差數(shù)列an公差為d，∵4∴當(dāng)n=1時(shí)，4S1=4∴a1當(dāng)n=2時(shí)，4S2=a2?a3?4a∴a1∴a8故選：D．3.（2022·河南安陽·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，已知a5=2a4≠0【答案】5【分析】由等差數(shù)列性質(zhì)得到a3=0，再由【詳解】由a5所以a3所以S5所以k=5，故答案為：5考點(diǎn)二、等差數(shù)列的判斷與證明1.（2024·山西晉中·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，a1=1(1)證明：數(shù)列1S(2)設(shè)數(shù)列bn滿足bn=【答案】(1)證明見解析(2)?【分析】（1）由題意可得2Sn?Sn+1=S（2）利用（1）中結(jié)論求得Sn，再分類討論n=1與n≥2兩種情況，求得b1【詳解】（1）因?yàn)?Sn?Sn?1因?yàn)镾1=a1=又1S1=（2）由（1）得1Sn=2+2當(dāng)n=1時(shí)，b1當(dāng)n≥2時(shí)，a所以bn所以b12.（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知數(shù)列an滿足：a1=12，a2=1，n+1【答案】證明見解析，a【分析】將等式兩邊同除以n(n+1)(n+2)可判斷2n【詳解】將n+1n+2anan整理得2×2n+1a因?yàn)閍1=12，所以2nan1.（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知數(shù)列an滿足a1=2,【答案】證明見解析【分析】令cn【詳解】證明：令cn=2cn+1?=a因?yàn)閍1=2，所以所以數(shù)列2n2.（2024·陜西安康·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列an滿足a(1)證明：數(shù)列2n(2)設(shè)bn=an+1a【答案】(1)證明見解析(2)2n+4【分析】（1）利用等差數(shù)列的定義即可證明；（2）根據(jù)（1）問，求出數(shù)列2nan的通項(xiàng)公式，從而求得數(shù)列an【詳解】（1）證明：令cn=2cn+1又a1=2所以數(shù)列2n（2）由（1）知，cn又cn=2所以bn所以T====3.（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且Sn【答案】證明見解析【分析】當(dāng)n=1求出a12，然后將【詳解】證明：當(dāng)n=1時(shí)，a1=a當(dāng)n≥2時(shí)，由Sn=a所以Sn+S故數(shù)列Sn2是以4.（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn滿足Sn=na【答案】證明見解析【分析】給Sn=nan+1?n2?n兩邊加上an+1，化簡(jiǎn)可得S【詳解】證明：因?yàn)镾n=na所以Sn即Sn+1所以(n+1)a因?yàn)閚+1≠0，所以an+2所以an+2?a當(dāng)n=1時(shí)，S1=a綜上，an+1?a所以an考點(diǎn)三、等差數(shù)列的性質(zhì)1.（·北京·高考真題）在等差數(shù)列an中，已知a1+A．4 B．5 C．6 D．7【答案】A【分析】設(shè)首項(xiàng)為a1，公差為d，由已知有5a1【詳解】解：∵{an}為等差數(shù)列，設(shè)首項(xiàng)為a由已知有5a1+10d=20即a3故選：A．2.（·北京·高考真題）已知等差數(shù)列an滿足aA．a(chǎn)1+a101>0 B．a(chǎn)1【答案】C【分析】利用等差數(shù)列的性質(zhì)可得a1【詳解】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，得a1因?yàn)閍1+a所以a1故選：C．1.（2024·遼寧·模擬預(yù)測(cè)）記等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若a1+aA．60 B．80 C．140 D．160【答案】C【分析】根據(jù)給定條件，求出等差數(shù)列an【詳解】等差數(shù)列an中，a3+a4公差d=a4?所以S10故選：C2.（2024·青海海西·模擬預(yù)測(cè)）前n項(xiàng)和為Sn的等差數(shù)列an中，若S6A．6 B．7 C．8 D．9【答案】A【分析】由前n項(xiàng)和定義和等差中項(xiàng)可解.【詳解】由S6?S故選：A．3.（2024·廣西柳州·模擬預(yù)測(cè)）在等差數(shù)列an中，若a2+A．7 B．12 C．16 D．24【答案】B【分析】觀察數(shù)列下標(biāo)根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)進(jìn)行求解．【詳解】在等差數(shù)列an若m+n=p+q，則am所以a2+a故選：B4.（2020·北京懷柔·一模）在等差數(shù)列an中，a4+A．5 B．6 C．7 D．10【答案】D【分析】利用等差中項(xiàng)即可求解.【詳解】由a4+a故a2故選：D考點(diǎn)四、等差數(shù)列前n項(xiàng)和性質(zhì)1.（2024·河南周口·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)Sn為等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和，已知S3=4，A．12 B．14 C．16 D．18【答案】B【分析】根據(jù)題意可知S3，S6?S3，S9?【詳解】由等差數(shù)列的性質(zhì)可知，S3，S6?S3，S9?且S3=4，所以a16故選：B.2.（24-25高三上·廣東·開學(xué)考試）在等差數(shù)列an中，S3=3，S6=10，SA．13 B．17 C．21 D．23【答案】C【分析】由等差數(shù)列性質(zhì)可知S3，S6?【詳解】由等差數(shù)列的性質(zhì)可知，在等差數(shù)列an中S3，S6所以2S所以S9故選：C．1.（2023·陜西榆林·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列an，bn都是等差數(shù)列，記Sn，Tn分別為an，bA．85 B．75 C．73【答案】C【分析】利用等差數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)及和與項(xiàng)的關(guān)系即可求解.【詳解】由SnTn因?yàn)閿?shù)列an，b所以不妨令Sn所以a7b5所以a7故選：C2.（2024·河北衡水·三模）已知數(shù)列an，bn均為等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和分別為SnA．2 B．3 C．5 D．6【答案】A【分析】根據(jù)題意，利用得出數(shù)列的性質(zhì)和得出數(shù)列的求和公式，準(zhǔn)確計(jì)算，即可求解.【詳解】因?yàn)閿?shù)列an,b且b6+b10=因此a7故選：A．3.（2024·山西朔州·一模）設(shè)Sn為等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和，若S9A．52 B．3 C．92【答案】A【分析】利用等差數(shù)列的性質(zhì)可得a5，從而可求2【詳解】因?yàn)镾9=452，故9a故2a故選：A4.（24-25高三上·浙江·開學(xué)考試）已知等差數(shù)列an前n項(xiàng)和為Sn，若a7A．913 B．1213 C．75【答案】D【分析】根據(jù)給定條件，利用等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式、等差數(shù)列性質(zhì)計(jì)算即得.【詳解】在等差數(shù)列an中，由a7a故選：D考點(diǎn)五、等差數(shù)列前n項(xiàng)和最值問題1.（2024·遼寧葫蘆島·二模）等差數(shù)列an中，a1>0A．7 B．8 C．9 D．10【答案】B【分析】根據(jù)條件，可得數(shù)列an為遞減數(shù)列，且a8>0【詳解】在等差數(shù)列an中，a1>0，由S∴a8>0，a所以使得前n項(xiàng)的和最大的n值為8.故選：B.2.（2024·山東泰安·三模）已知Sn為等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和，a1=?21，A．?99 B．?100 C．?110 D．?121【答案】D【分析】設(shè)an的公差為d，根據(jù)題意列出方程組，求得d=2，得到an=2n?23【詳解】設(shè)an的公差為d，因?yàn)閍1=?21可得a1=?217a1可得Sn所以當(dāng)n=11時(shí)，Sn取得最小值S故選：D.1.（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知Sn為等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和，若3a10+a12A．9 B．10 C．10或11 D．11【答案】B【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)求解即可.【詳解】由等差數(shù)列的性質(zhì)知a8+3a又3a10+a12=2a10+2則當(dāng)Sn取最小值時(shí)，n=10故選：B．2.（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）記等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，公差為d，已知a4=?2,SA．1 B．4 C．5 D．4或5【答案】D【分析】由題意可得數(shù)列an的通項(xiàng)公式，找出數(shù)列a【詳解】由題意可知a1+3d=?29所以an令an≤0，則2n?10≤0，解得所以Sn取最小值時(shí)n=4或n=5故選：D．3.（2024·四川瀘州·三模）記Sn為等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和，已知a1=?14，a2A．6 B．7 C．7或8 D．8或9【答案】C【分析】要求Sn取最小值時(shí)，先求an的通項(xiàng)，由2a3=a2+a【詳解】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)可得2a所以a3=?10，所以所以an=2n?16，當(dāng)n≤8時(shí)，an當(dāng)n>9時(shí)，an所以當(dāng)n的取值為7或8時(shí)，Sn故選：C4.（2024·寧夏銀川·三模）設(shè)為Sn等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和，已知S1、S2、S4成等比數(shù)列，S2【答案】6【分析】設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，則由S2=2a1+2可求出d=2，再由S1、S【詳解】設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，由S2=2a1由S1、S2、S4成等比數(shù)列，得(2因此an則6an?所以n=6.故答案為：6考點(diǎn)六、等差數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用1.（24-25高三上·湖北·階段練習(xí)）長(zhǎng)江被稱為黃金水道，而三峽大壩則是長(zhǎng)江上防洪發(fā)電的國(guó)之重器.三峽大壩壩前正常蓄水位為海拔175米，而壩下通航最低水位為海拔62米.為了改善船舶的通航條件，常常會(huì)通過修建階梯船閘來實(shí)現(xiàn)，船只只需要像爬樓梯一樣，以實(shí)現(xiàn)上升或者下降.假設(shè)每個(gè)閘室之間的水位差均可控制在15至25米之間，則要保證全年通航，那么三峽大壩船閘至少需要修建閘室的個(gè)數(shù)為（

）

A．4 B．5 C．6 D．7【答案】B【分析】由已知，水位差為175?62=113米，每個(gè)閘室之間的水位差均可控制在15至25米之間，由113÷25=4.52，可知船閘至少需要修建閘室5個(gè).【詳解】因?yàn)槿龒{大壩壩前正常蓄水位為海拔175米，而壩下通航最低水位為海拔62米,所以水位差為175?62=113米，又每個(gè)閘室之間的水位差均可控制在15至25米之間，則113÷25=4.52，所以船閘至少需要修建閘室5個(gè).故選：B.2.（2024·遼寧·模擬預(yù)測(cè)）2024年春節(jié)前夕，某商城針對(duì)顧客舉辦了一次“購(gòu)物送春聯(lián)”的促銷活動(dòng)，活動(dòng)規(guī)則如下：將一天內(nèi)購(gòu)物不少于800元的顧客按購(gòu)物順序從1開始依次編號(hào)，編號(hào)能被3除余1，也能被4除余1的顧客可以獲得春聯(lián)1對(duì)，否則不能獲得春聯(lián)．若某天符合條件的顧客共有2000人，則恰好獲得1對(duì)春聯(lián)的人數(shù)為（

）A．167 B．168 C．169 D．170【答案】A【分析】將能被3除余1且被4除余1的正整數(shù)按從小到大排列所得的數(shù)列記為an【詳解】將能被3除余1且被4除余1的正整數(shù)按從小到大排列所得的數(shù)列記為an則an故an?1為12的倍數(shù)，所以所以an令1≤an≤2000，即1≤12n?11≤2000，且n∈且n∈N*，又故選:A1.（23-24高三下·上海·開學(xué)考試）天干地支紀(jì)年法源于中國(guó)，中國(guó)自古便有十天干與十二地支，十天干即甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；十二地支即子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌，亥．天干地支紀(jì)年法是按順序以一個(gè)天干和一個(gè)地支相配，排列起來，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，例如，第一年為“甲子”，第二年為“乙丑”，第三年為“丙寅”…，以此類推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新開始，即“甲戌”，“乙亥”，然后地支回到“子”重新開始，即“丙子”…，以此類推．2024年是甲辰年，高斯出生于1777年，該年是（

）A．丁酉年 B．丁戌年 C．戊酉年 D．戊戌年【答案】A【分析】依題意天干以十年為一個(gè)周期，地支以十二年為一個(gè)周期，求出相隔的年數(shù)，再由周期性判斷即可.【詳解】天干以十年為一個(gè)周期，地支以十二年為一個(gè)周期.1777年與2024年相隔2024?1777=247年，247=24×10+7，即天干有24個(gè)周期，余7年；247=12×20+7，即地支有20個(gè)周期，余7年.故甲往前數(shù)7年為丁，辰往前數(shù)7年為酉，故1777年為丁酉年.故選：A.2.（2024·云南曲靖·二模）小明同學(xué)用60元恰好購(gòu)買了3本課外書，若三本書的單價(jià)既構(gòu)成等差數(shù)列，又構(gòu)成等比數(shù)列，則其中一本書的單價(jià)必然是（

）A．25元 B．18元 C．20元 D．16元【答案】C【分析】根據(jù)非零常數(shù)列的定義，結(jié)合題意即可直接得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)檫@3本書的單價(jià)既是等差數(shù)列，又是等比數(shù)列，所以該數(shù)列為非零常數(shù)列，則每本書的單價(jià)為603故選：C.3.（2023·山西·模擬預(yù)測(cè)）干支紀(jì)年法源于中國(guó)，中國(guó)自古便有十天干與十二地支，十天干即：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；十二地支即：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥．干支紀(jì)年法是按順序以一個(gè)天干和一個(gè)地支相配，排列起來，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，比如第一年為“甲子”，第二年為“乙丑”，第三年為“丙寅”，…，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新開始，即“甲戌”、“乙亥”，之后地支回到“子”重新開始，即“丙子”，…，依此類推．已知2024年是甲辰年，則2124年為（

）A．丁辰年 B．癸未年 C．甲午年 D．甲申年【答案】D【分析】本題由題意可得數(shù)列天干是10個(gè)為一個(gè)循環(huán)的循環(huán)數(shù)列，地支是以12個(gè)一個(gè)循環(huán)的循環(huán)數(shù)列，以2024年的天干和地支分別為首項(xiàng)，即可求解．【詳解】天干可看作公差為10的等差數(shù)列，地支可看作公差為12的等差數(shù)列，由于2124?2024=100，故100年后天干為甲，由于100÷12=8??4，余數(shù)為4，故100年后地支為“辰”后面第四個(gè)，即“申”，所以2124年為甲申年．故選：D4.（2024·山西晉城·一模）生命在于運(yùn)動(dòng)，某健身房為吸引會(huì)員來健身，推出打卡送積分活動(dòng)（積分可兌換禮品），第一天打卡得1積分，以后只要連續(xù)打卡，每天所得積分都會(huì)比前一天多2分．若某天未打卡，則當(dāng)天沒有積分，且第二天打卡須從1積分重新開始．某會(huì)員參與打卡活動(dòng)，從3月1日開始，到3月20日他共得193積分，中途有一天未打卡，則他未打卡的那天是（

）A．3月5日或3月16日 B．3月6日或3月15日C．3月7日或3月14日 D．3月8日或3月13日【答案】D【分析】利用等差數(shù)列求和公式列方程求解.【詳解】若他連續(xù)打卡，則從打卡第1天開始，逐日所得積分依次成等差數(shù)列，且首項(xiàng)為1，公差為2，第n天所得積分為2n?1．假設(shè)他連續(xù)打卡n天，第n+1天中斷了，則他所得積分之和為(1+3+???+2n?1)+=n(1+2n?1)2+解得n=7或12，所以他未打卡的那天是3月8日或3月13日．故選：D【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查等差數(shù)列的應(yīng)用，注意審題“一天中斷”兩次求和公式的應(yīng)用.考點(diǎn)七、等差數(shù)列分奇偶問題1.（21-22高三上·全國(guó)·階段練習(xí)）已知某等差數(shù)列an的項(xiàng)數(shù)n為奇數(shù)，前三項(xiàng)與最后三項(xiàng)這六項(xiàng)之和為78，所有奇數(shù)項(xiàng)的和為65，則這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)數(shù)nA．9 B．11 C．13 D．15【答案】A【分析】由等差數(shù)列的性質(zhì)與求和公式求解即可【詳解】由已知，a1所以a1所有奇數(shù)項(xiàng)的和為a1于是可得n=9.故選：A.2.（2021·山東濟(jì)南·二模）已知等差數(shù)列an的項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)，其中所有奇數(shù)項(xiàng)之和為319，所有偶數(shù)項(xiàng)之和為290A．28 B．29 C．30 D．31【答案】B【分析】本題可設(shè)等差數(shù)列an共有2n+1項(xiàng)，然后通過S【詳解】設(shè)等差數(shù)列an共有2n+1則S奇=a1+故S=aan+1故選：B.1.（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知數(shù)列an滿足a1=1，an+1=【答案】1980【分析】根據(jù)題中遞推式可求得a2n+1?a2n?1=5【詳解】因?yàn)閍1=1，a2=a即a2n+1?a同理，由a2n+2?a所以an前40項(xiàng)和為S20=(故答案為：1980.2.（23-24高三上·四川成都·期中）數(shù)列an滿足：a1=a2=1,a2n+1?a2n?1【答案】2191【分析】a1=a【詳解】∵a1=1,a2n+1?a2n?1=2,∴a2n?1∵a2=1,a2n+2a2n=2,∴a2n∴S23故答案為：2191.3.（2022高三·全國(guó)·專題練習(xí)）在等差數(shù)列{an}中，S10＝120，且在這10項(xiàng)中，S奇S偶＝11【答案】2【分析】由S奇+S【詳解】解:由S奇+S所以S偶故答案為：2.4.（20-21高三上·廣東汕頭·階段練習(xí)）已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且Sn=3n2+2n+1【答案】an【解析】根據(jù)已知n與Sn的關(guān)系式，利用an={S1【詳解】由Sn當(dāng)n=1時(shí)，a1當(dāng)n≥2時(shí)，an∴an∴奇數(shù)項(xiàng)通項(xiàng)為a2n+1=12n+5，a1故答案為：an【點(diǎn)睛】本題考查了利用an與S考點(diǎn)八、含有絕對(duì)值的求和問題1.（2024·內(nèi)蒙古包頭·一模）已知等差數(shù)列an中，a1=9，a4=3A．245 B．263 C．281 D．290【答案】C【分析】根據(jù)給定條件，求出等差數(shù)列an的公差及通項(xiàng)公式，判斷正數(shù)、負(fù)數(shù)項(xiàng)，再求出T【詳解】等差數(shù)列an中，由a1=9，a則an=a1+(n?1)d=?2n+11，顯然當(dāng)n≤5時(shí)，a所以T=2(a故選：C2.（23-24高三下·北京·開學(xué)考試）已知數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an=n?13，若滿足akA．有3個(gè) B．有2個(gè) C．有1個(gè) D．不存在【答案】A【分析】本題首先可討論當(dāng)k≥13時(shí)，根據(jù)an=n?13得出ak+【詳解】當(dāng)k≥13時(shí)，ak解得k=m+7020，此時(shí)保證等式成立的每個(gè)m值，只有一個(gè)當(dāng)0<k<13時(shí)，a=13?k即k2若整數(shù)k恰有2個(gè)，則首先49?4112?m≥0，解得設(shè)該方程有兩實(shí)數(shù)根k1,k2，則k1+k若k1=1,k2=6，此時(shí)112?m=6若k1=2,k2=5，此時(shí)112?m=10若k1=3,k2=4，此時(shí)112?m=12故m可取到的值有m=106或102或100.故選：A.1.（23-24高三上·遼寧沈陽·期末）已知數(shù)列{an}是首項(xiàng)為25，公差為?2的等差數(shù)列，則數(shù)列{【答案】458【分析】由已知求出數(shù)列an的通項(xiàng)與前n項(xiàng)和Sn，數(shù)列an【詳解】數(shù)列an是首項(xiàng)為25，公差為?2則有an=25+n?1×?2=?2n+27，數(shù)列若an=?2n+27>0，則n∈N數(shù)列an的前30項(xiàng)的和=a故答案為：4582.（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知正項(xiàng)等比數(shù)列an滿足a7a9a(1)求數(shù)列an(2)若bn=log2a【答案】(1)a(2)S【分析】（1）利用等比數(shù)列、等差數(shù)列的性質(zhì)，結(jié)合等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求解an（2）利用（1）的結(jié)果得到bn=7?n,n≤7n?7,n>7，對(duì)n分情況求解【詳解】（1）因?yàn)閍7a9a11=64，又設(shè)an的公比為q，因?yàn)閍12+2是a所以a9即a9+a從而an故等比數(shù)列an的通項(xiàng)公式是a（2）由（1）知an=2bn設(shè)bn的前n項(xiàng)和為S當(dāng)n≤7時(shí)，易知數(shù)列bn是首項(xiàng)為6，公差為?1所以Sn當(dāng)n>7時(shí)，易知數(shù)列bn所以S=2=2S所以數(shù)列bn的前n項(xiàng)和S3.（23-24高三上·遼寧丹東·階段練習(xí)）已知等差數(shù)列an的公差為整數(shù)，a3=9，設(shè)其前n項(xiàng)和為Sn，且(1)求數(shù)列an(2)若bn=a2n+1?60【答案】(1)a(2)T【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)即可求解公差，進(jìn)而可求解，（2）分類討論，即可根據(jù)等差數(shù)列求和公式求解.【詳解】（1）設(shè)an的公差為d，依題意得S所以2a3?3d化簡(jiǎn)得3d2?22d+40=0，解得d=4a1所以an（2）依題意得，bn=a其前n項(xiàng)和Hn當(dāng)n≤7時(shí)，bn=59?8n，故Tn當(dāng)n≥8時(shí)，bn故T=?2=?2=4所以Tn4.（23-24高三上·上海·期中）在公差為d的等差數(shù)列an中，已知a1=10，且a1，(1)求d，an(2)若d<0，a1+a【答案】(1)d=4時(shí)an=4n+6，d=?1(2)20【分析】（1）根據(jù)等比中項(xiàng)的性質(zhì)得到方程求出d，從而求出通項(xiàng)公式；（2）由（1）可得an=11?n，令Sn=a1+【詳解】（1）公差為d的等差數(shù)列an中，已知a1=10，且a1，所以2a2解得d=4或d=?1，①當(dāng)d=4時(shí)，an②當(dāng)d=?1時(shí)，an（2）因?yàn)閐<0，所以an令Sn①當(dāng)1≤n≤11時(shí)，an所以an所以Sn②當(dāng)n>11時(shí)，an所以Sn=a=2(a=110?n(21?n)故Sn又a1且當(dāng)n≤11時(shí)Sn所以n>11，則n(n?21)2解得n=20或n=1（舍去）.所以n=20.考點(diǎn)九、等差數(shù)列的單調(diào)性1.（2023·貴州銅仁·二模）設(shè)Sn為等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和，且?n∈N?，都有A．Sn的最小值是S17 B．SC．Sn的最大值是S17 D．S【答案】C【分析】通過分析得數(shù)列an為遞減的等差數(shù)列，根據(jù)a17+a18=0得a17【詳解】由an?an+1>0得a∵a17+a18=0，∴當(dāng)n≤17且n∈N?時(shí)，an>0，當(dāng)n≥18且∴Sn有最大值，最大值為S故選：C.2.（2023·陜西寶雞·一模）已知等差數(shù)列an滿足a4+a7=0,a5+a8=?4，則下列命題：①an是遞減數(shù)列；②使A．①② B．①③C．①④ D．①②③【答案】D【分析】設(shè)出公差為d，列出方程組，求出首項(xiàng)和公差，根據(jù)d<0判斷①正確，寫出Sn=10n?n2，解不等式求出Sn根據(jù)an>0與an<0，得到當(dāng)n=5時(shí)，利用通項(xiàng)公式an=?2n+11求出a6【詳解】設(shè)等差數(shù)列an的公差為d故a4+a由于d<0，故an是遞減數(shù)列，①Sn=9n+n解得：0<n<10，且n∈N故使Sn>0成立的n的最大值是9，an當(dāng)1≤n≤5時(shí)，an>0，當(dāng)n≥6時(shí)，故當(dāng)n=5時(shí)，Sn取得最大值，③a6=?2×6+11=?1，故選：D1.（2022·浙江紹興·一模）已知數(shù)列an為等差數(shù)列，前n項(xiàng)和為Sn，則“2SA．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】D【分析】先說明充分性，由2Sn+1<Sn+Sn+2得到an再舉出反例得到必要性不成立.【詳解】若2Sn+1<Sn故an為單調(diào)遞增數(shù)列，設(shè)公差為d此時(shí)Sn=na令y=d2x2+a1此時(shí)Sn所以數(shù)列Sn充分性不成立，若數(shù)列Sn為單增數(shù)列，設(shè)等差數(shù)列an公差為若d=0，不妨設(shè)a1=1，此時(shí)Sn此時(shí)S1=1,S故“2Sn+1<故選：D2.（2021·北京·模擬預(yù)測(cè)）已知等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和記為Sn,a1A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】由條件求得公差d=?2，從而求得Sn【詳解】設(shè)公差為d，由a1+2a2+Sn=na則當(dāng)a1<1時(shí)，a1+12<1，對(duì)于n∈N弱對(duì)于n∈N+，數(shù)列Sn是單調(diào)數(shù)列，根據(jù)一元二次函數(shù)的性質(zhì)知，對(duì)稱軸a1+12<綜上所說，“a1<1”是“故選：A【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：根據(jù)條件求得公差，及Sn3.（2023·甘肅定西·一模）寫出同時(shí)滿足下面兩個(gè)條件的數(shù)列an的一個(gè)通項(xiàng)公式an①an是遞增的等差數(shù)列；②a【答案】n?1（答案不唯一）【分析】設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，列舉滿足d>0，a3=2【詳解】設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，由①可知d>0，取d=1由a1?a3+2所以數(shù)列an的一個(gè)通項(xiàng)公式a故答案為：n?1（答案不唯一）4.（2021·江蘇南通·模擬預(yù)測(cè)）已知等比數(shù)列an的各項(xiàng)均為正數(shù)，且a6=2（1）求數(shù)列an（2）設(shè)bn=a1a【答案】（1）an=1【分析】（1）利用等比數(shù)列的性質(zhì)，設(shè)等比數(shù)列an的公比為q（2）法一：bn=a法二：因?yàn)閍n=12n?7【詳解】（1）設(shè)等比數(shù)列an的公比為q因?yàn)閍6=2，所以a4+a所以6q2?q?1因?yàn)閍n>0，所以q>0，所以所以an=a（2）法一：bn==1所以數(shù)列bn的最大項(xiàng)為b法二：因?yàn)閍n=1由a2n?1=1所以數(shù)列bn的最大項(xiàng)為b【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：解題關(guān)鍵在于列方程求出an的通項(xiàng)公式和利用二次函數(shù)或指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，判斷bn取最大項(xiàng)時(shí)，考點(diǎn)十、等差數(shù)列中的恒成立問題1.（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，Sn=2an?2，數(shù)列bn的前n項(xiàng)和為A．2,+∞ B．98,+∞ C．【答案】B【分析】用Sn=2an?2求出首項(xiàng)，由n≥2時(shí)，an=Sn?Sn?1，推出數(shù)列【詳解】由Sn=2an?2①可得S1=a1由①-②可得，an=2an?2且公比為2，首項(xiàng)為2，則an=2因bn+1?b則Tn=n+n(n?1)2×2=n2設(shè)cn=n由方程?x2+2x+1=0可得，x=1+故當(dāng)n<3時(shí)，cn+1?cn>0即數(shù)列{c又c2=1，c3=98，因此當(dāng)n=3時(shí)，即實(shí)數(shù)λ的取值范圍是[9故選：B.2.（23-24高三上·山東青島·期末）Sn是等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和，若S4A．7 B．6 C．5 D．4【答案】D【分析】由已知結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)可得：a1>0，d<0，【詳解】由題意得，n=4時(shí)，Sn取得最大值，所以有a1>0，d<0若a4=a若a4=a1+3d>0，aa9故選：D1.（2023·陜西咸陽·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，a1=1，a2=2，且對(duì)于任意A．a(chǎn)n是等差數(shù)列 B．a(chǎn)C．S9=81 【答案】D【分析】推導(dǎo)出an+1?a【詳解】因?yàn)閷?duì)于任意n≥2，n∈N?，滿足所以Sn+1?Sn=所以，數(shù)列an當(dāng)n≥2時(shí)，an所以，an所以，S9S10故選：D.2.（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且a2=4，S8=72，n∈N*．記數(shù)列1Sn+【答案】11【分析】設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式求出a1,d，即可求出an,【詳解】設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，則a2=所以an所以Sn所以1Sn+所以T=131+所以m≥1118時(shí)所以m的最小值為1118故答案為：11183.（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）記Sn為數(shù)列an的前n項(xiàng)和，已知a1=3,6n+2Snn+1【答案】34【分析】根據(jù)所給等差數(shù)列求出Sn,an的關(guān)系，再由此得出數(shù)列【詳解】∵a1=3，∴當(dāng)n≥2時(shí)，Sn?1∴an整理得：annn+2由an∴an=nn+2∴an=nn+2∴1a1+又因?yàn)?a所以m≥34，即m的最小值為故答案為：34.（2024·陜西西安·模擬預(yù)測(cè)）在①a1=1，a1，a3，a9成等比數(shù)列，②a2+a問題：已知數(shù)列an(1)求數(shù)列an(2)數(shù)列an2n的前n項(xiàng)和為Sn，對(duì)任意的n∈N注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．【答案】(1)a(2)2≤m<【分析】（1）若選擇條件①，根據(jù)等比中項(xiàng)的性質(zhì)求出d，即可求出通項(xiàng)公式；選擇條件②，利用下標(biāo)和性質(zhì)得到a1+a5=6，從而求出a1、（2）由（1）可得an2n=n2n，利用錯(cuò)位相減法求出S【詳解】（1）選擇條件①：因?yàn)閿?shù)列an是公差為正數(shù)的等差數(shù)列，設(shè)公差為d又a1=1，a1，a所以a32=a9?a所以an選擇條件②，因?yàn)閍2+a4=6解得a1=1a5=5或a所以a1=1a5=5選擇條件③：因?yàn)閕=13ai則i=46ai即a1+a2+所以a1+a1+d+（2）由（1）可得an所以Sn=兩邊同乘以12得12①?②得Sn所以Sn因?yàn)镾n+1?S于是當(dāng)n=1時(shí)，Sn取得最小值1因?yàn)閚+22n>0所以Sn∈12,2，故由m?3<1．（2024·天津武清·模擬預(yù)測(cè)）在等差數(shù)列an中，公差d≠0，若S21A．12 B．13 C．14 D．15【答案】D【分析】根據(jù)題意，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式，列出方程，即可求解.【詳解】因?yàn)镾21=7a所以21a1+210又因?yàn)閐≠0，所以k故選：D．2．（23-24高三下·天津南開·階段練習(xí)）已知等差數(shù)列an和bn的前n項(xiàng)和分別為Sn,TA．1713 B．3713 C．207【答案】C【分析】由等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式及等差數(shù)列的性質(zhì)，即可求解結(jié)果．【詳解】因?yàn)镾n,Tn是等差數(shù)列anS12=所以a故選：C.3．（2024·天津·一模）已知an為等差數(shù)列，前n項(xiàng)和為Sn，且a1=2，A．54 B．45 C．23 D．18【答案】C【分析】設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，依題意由等差數(shù)列求和公式及通項(xiàng)公式求出d【詳解】設(shè)等差數(shù)列an的公差為d因?yàn)閍1=2，所以3×2+3d=2+d所以a4故選：C4．（2024·天津·一模）已知等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且S4A．6 B．9 C．11 D．14【答案】B【分析】根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式，依據(jù)題意列方程組，解方程組解出a1和d，從而得出an通項(xiàng)公式，進(jìn)而即可得到【詳解】設(shè)等差數(shù)列an的首項(xiàng)為a1，公差為由S4則有4a1+6所以等差數(shù)列an的通項(xiàng)公式為a故a5故選：B．5．（2024·黑龍江哈爾濱·一模）已知數(shù)列an(n∈N?)為等比數(shù)列，Sn為數(shù)列anA．1219 B．114 C．314【答案】A【分析】將3a4,a8,5a6成等差數(shù)列轉(zhuǎn)化為等式【詳解】設(shè)等比數(shù)列an的公比為q若3a4,當(dāng)q=1時(shí)，此時(shí)a2a8=3a4+5a當(dāng)q≠1時(shí)，2a8=3a得2q4?5q2S10故選：A.6．（23-24高三上·天津?qū)幒印て谀┮阎炔顢?shù)列an，bn的前n項(xiàng)和分別為Sn，Tn，且Sn【答案】19【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)以及等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)镾n所以a=1故答案為：191．（2024·天津和平·一模）已知等比數(shù)列an的各項(xiàng)均為正數(shù)，若a1,A．3+1 B．3?1 C．4+23【答案】A【分析】設(shè)等比數(shù)列的公比為q，且q>0【詳解】因?yàn)榈缺葦?shù)列an中的各項(xiàng)都是正數(shù)，設(shè)公比為q，得q又a1可得14又a1≠0，所以q2?2q又q>0，所以則a9故選：A2．（23-24高三上·天津武清·階段練習(xí)）已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且Sn=an2+(【答案】n?1【分析】由Sn=an2+(n?1)【詳解】由Sn=a兩式相減可得Sn+1?整理得an+12令n=1，可得S1=a1當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，可得：Sn=1+3+5+?+(n當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，可得：Sn=2+4+6+?+(n綜上可得：Sn故答案為：n?123．（23-24高三下·天津和平·開學(xué)考試）在數(shù)列an中，an=?1,n=12an(1)求證an+3是等比數(shù)列，并求數(shù)列an(2)設(shè)數(shù)列cn滿足cn=an+3b【答案】(1)證明見解析，an=(2)當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，T2n=?4+4【分析】（1）根據(jù)等比數(shù)列的定義即可求證，利用等差數(shù)列基本量的計(jì)算即可求解，（2）利用分組求和，結(jié)合并項(xiàng)求和以及等比求和公式即可求.【詳解】（1）當(dāng)n≥2時(shí)，an=2an故an+3所以an+3=2設(shè)bn的公差為d，則由b1=2，2b1故bn（2）c故c2而a2n+3b2T==當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，T2當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，T24．（21-22高三上·天津?yàn)I海新·階段練習(xí)）設(shè)an是等差數(shù)列，bn是等比數(shù)列，公比大于0，已知a1=b(1)求數(shù)列an和b(2)若cn=1anan【答案】(1)an=3(2)S【分析】（1）列出公差和公比的方程組求解；（2）利用裂項(xiàng)相消和錯(cuò)位相減分組求和即可.【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，等比數(shù)列bn的公比為依題意，得3q=3+2d3q故an=3+3(n所以，an的通項(xiàng)公式為an=3n，（2）c設(shè)19n(n∴設(shè)2n+1?所以Bn1兩式相減可得：2=1+2×=1+2×=1+13×所以B∴S5．（23-24高三上·山東泰安·階段練習(xí)）已知等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，a1=2，S4=14，數(shù)列(1)求bn(2)設(shè)數(shù)列cn滿足c①求cn前2n項(xiàng)中所有奇數(shù)項(xiàng)和T奇，②若cn的前n項(xiàng)和為【答案】(1)b(2)①T奇=1【分析】（1）構(gòu)造等比數(shù)列，由數(shù)列的遞推公式求通項(xiàng)公式；（2）①用裂項(xiàng)求和法求數(shù)列cn的奇數(shù)項(xiàng)的和；②用分組求和法求數(shù)列cn的前【詳解】（1）因?yàn)閎n+1=3bn所以bn?1是首項(xiàng)為3，公比為3的等比數(shù)列，所以bn所以bn的通項(xiàng)公式為b（2）①設(shè)an的公差為d，因?yàn)閍1=2所以4a1+6d=14所以cn=n所以T奇=②所以T2n=所以T2所以T2又因?yàn)?42n6．（23-24高三上·天津靜?！るA段練習(xí)）已知數(shù)列an,bn,Sn是數(shù)列an的前n項(xiàng)和，已知對(duì)于任意n∈N?(1)求數(shù)列an和b(2)記dn=bn+2?1b(3)記cn=a【答案】(1)an=(2)T(3)75【分析】（1）首先根據(jù)an與Sn的關(guān)系得到an（2）利用裂項(xiàng)相消法即可得結(jié)果；（3）將分組求和與錯(cuò)位相減法相結(jié)合即可得結(jié)果.【詳解】（1）當(dāng)n=1時(shí)，3a1當(dāng)n≥2時(shí)，3所以3a即an是以首先a1=3，公比為3因?yàn)閎1=log所以b4+12=b所以bn（2）由（1）得d=2則T=12=（3