概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)課件：數(shù)理統(tǒng)計(jì)基礎(chǔ)知識(shí)

2首頁(yè)返回退出首頁(yè)返回退出第一節(jié)總體和隨機(jī)樣本一、總體與個(gè)體二、樣本數(shù)理統(tǒng)計(jì)概率論中，概率分布已知.隨機(jī)變量及其概率分布全面描述了隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計(jì)規(guī)律.如：某養(yǎng)雞廠母雞的年產(chǎn)蛋量如：某校學(xué)生身高狀況數(shù)理統(tǒng)計(jì)數(shù)理統(tǒng)計(jì)中，概率分布未知或不完全知道.如:1.某養(yǎng)雞廠母雞的年產(chǎn)蛋量2.某校學(xué)生身高狀況3.某廠生產(chǎn)的燈泡的使用壽命數(shù)理統(tǒng)計(jì)的內(nèi)容：對(duì)觀測(cè)大量隨機(jī)現(xiàn)象得到的數(shù)據(jù)進(jìn)行收集、整理和分析的方法.§6.1總體和隨機(jī)樣本6.1.1總體總體:研究對(duì)象的全部可能觀察值叫做總體.個(gè)體:組成全體的每個(gè)觀察值叫做個(gè)體.總體:該校的所有學(xué)生的身高個(gè)體:每個(gè)學(xué)生的身高實(shí)際問題中，要研究的是有關(guān)對(duì)象的各種數(shù)量指標(biāo).

總體可以用一個(gè)隨機(jī)變量及其分布來(lái)描述.常用隨機(jī)變量的記號(hào)或用其分布函數(shù)表示總體.1.考察某校大一新生（共2000人）的身高.2.觀測(cè)某地每天最高氣溫.3.某廠生產(chǎn)的所有電視顯像管的壽命.要了解總體的性質(zhì)需要對(duì)個(gè)體進(jìn)行觀測(cè)統(tǒng)計(jì),方法有兩種:1.全面觀測(cè)耗費(fèi)人力物力太多，有的具有破壞性2.抽樣觀測(cè)從研究對(duì)象的全體中抽取一小部分進(jìn)行觀察和研究,從而對(duì)整體進(jìn)行推斷.6.1.2隨機(jī)樣本樣本:樣本容量:樣本中個(gè)體的數(shù)量從一批產(chǎn)品中抽5件,檢驗(yàn)產(chǎn)品是否合格.樣本容量為5

樣本是隨機(jī)變量.抽到哪5輛是隨機(jī)的容量為n的樣本可以看作n維隨機(jī)變量(X1,X2,…,Xn).

但是，一旦取定一組樣本，得到的是n個(gè)具體的數(shù)(x1,x2,…,xn)，稱為樣本的一次觀察值，簡(jiǎn)稱樣本值.

由于抽樣的目的是為了對(duì)總體進(jìn)行統(tǒng)計(jì)推斷，為了使抽取的樣本能很好地反映總體的信息，必須考慮抽樣方法.

最常用的一種抽樣方法叫作“簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣”它要求抽取的樣本滿足下面兩點(diǎn):1.代表性：X1,X2,…,Xn中每一個(gè)與所考察的總體有相同的分布.2.獨(dú)立性：X1,X2,…,Xn是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量.簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本：X1,X2,…,Xn相互獨(dú)立，且與總體X同分布.若總體X的分布函數(shù)為F(x)，則其簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本的聯(lián)合分布函數(shù)為

簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本是應(yīng)用中最常見的情形，今后，當(dāng)說到“X1,X2,…,Xn是取自某總體的樣本”時(shí)，若不特別說明，就指簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本.解：解：6.1.3經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)定義樣本分布函數(shù):

Fn(x)=fn(X≤x)

樣本分布函數(shù)Fn(x)是事件“X≤x”的頻率.從總體X中抽取容量為n的樣本，得到如下結(jié)果例如，設(shè)總體X具有一個(gè)樣本值1,2,3,0,x<1,觀測(cè)值xi頻率fn(x)123則樣本分布函數(shù)為例如，設(shè)總體X具有一個(gè)樣本值1,1,2,則樣本分布函數(shù)為格里汶科定理

研究總體X的概率密度，通常用頻率直方圖進(jìn)行描述，它通常是把數(shù)據(jù)的值域分成若干相等的區(qū)間,于是數(shù)據(jù)就按區(qū)間分成若干組,在每個(gè)區(qū)間上作一個(gè)小矩形：2.所有的小長(zhǎng)方形的面積之和＝１.

頻率直方圖1.小矩形的面積＝該組的頻率．于是例3.我們來(lái)研究患某種疾病21歲—44歲男子的血壓(收縮壓，以mm-Hg計(jì))這一總體X.為此抽查了63個(gè)男子,測(cè)得如下表中所列的數(shù)據(jù).10013012013811011011513412012211012011516213013011014712212013111013812412212612013014211012812012411011913212513111711214810810711712113011912113211812611798115123141129140120961411061141.求最大值、最小值，并求極差.最大值為162，最小值為96，極差R=162-96=662.分組、定組距．

本例中，將數(shù)據(jù)分成8組，組距為10.作圖過程3.定分點(diǎn)、定區(qū)間．取起點(diǎn)為a=90.5,b=170.5.從而得到的作圖區(qū)間為

I=［90.5,170.5］,可保證所有數(shù)據(jù)均在此區(qū)間內(nèi)．注意：取各小區(qū)間的端點(diǎn)坐標(biāo)常比表中數(shù)據(jù)的精度高一位，以免數(shù)據(jù)落在區(qū)間的端點(diǎn)上．分組頻數(shù)頻率90.5~100.530.048100.5~110.5100.159110.5~120.5180.286120.5~130.5180.286130.5~140.580.127140.5~150.550.079150.5~160.500160.5~170.510.0154.樣本值落入各組的頻數(shù)和頻率如下：90.5110.5

130.5

150.5

170.55.作頻率直方圖：27首頁(yè)返回退出首頁(yè)返回退出第二節(jié)抽樣分布一、統(tǒng)計(jì)量二、抽樣分布6.2.1常用統(tǒng)計(jì)量1.統(tǒng)計(jì)量的定義:

由樣本去推斷總體情況，需要對(duì)樣本(X1,X2,…,Xn).進(jìn)行“加工”，構(gòu)造一些樣本的函數(shù)g(X1,X2,…,Xn).

這種不含任何未知參數(shù)的樣本的函數(shù)稱為統(tǒng)計(jì)量.它是完全由樣本決定的量.是不是例4.2.定義常用統(tǒng)計(jì)量它反映了總體均值的信息其觀察值它反映了總體方差的信息其觀察值其觀察值其觀察值解:

將計(jì)算器置于統(tǒng)計(jì)狀態(tài)；輸入數(shù)據(jù).

6.2.2抽樣分布解：解：性質(zhì)：證明：當(dāng)

n充分大時(shí),其圖形類似于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)變量概率密度的圖形.n=1n=130n=3解：性質(zhì)：證明：證明：解：50首頁(yè)返回退出首頁(yè)返回退出第三節(jié)正態(tài)總體的抽樣分布定理一、單個(gè)正態(tài)總體的抽樣分布定理二、多個(gè)正態(tài)總體的抽樣分布定理§6.3正態(tài)總體的抽樣分布定理樣本均值和樣本方差是統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)中兩個(gè)重要的統(tǒng)計(jì)量，也是隨機(jī)變量，他們的分布是什么？

定理6.1

設(shè)X1,X2,…,Xn是來(lái)自正態(tài)總體的樣本,是樣本均值,那么(1)關(guān)于樣本均值的分布6.3.1單個(gè)正態(tài)總體的抽樣分布定理證明樣本均值作為獨(dú)立樣本（獨(dú)立正態(tài)分布）的線性組合，仍然服從正態(tài)分布.例1

設(shè)X1,X2,…,X10是來(lái)自正態(tài)總體的樣本,是樣本均值,求概率解：

定理6.2（證明略）

設(shè)X1,X2,…,Xn是來(lái)自正態(tài)總體的樣本,是樣本均值,是樣本方差,那么(2)關(guān)于樣本方差的分布例2

設(shè)

X1,X2,…,X10是來(lái)自正態(tài)總體的樣本,是樣本均值,是樣本方差,求概率解：根據(jù)定理6.2,所以,

定理6.3

設(shè)X1,X2,…,Xn是來(lái)自正態(tài)總體的樣本,是樣本均值,是樣本方差,那么(3)關(guān)于樣本均值的另一種分布證明由t分布的義可得:例3

設(shè)

X1,X2,…,X16是來(lái)自正態(tài)總體的樣本,是樣本均值,是樣本方差,求概率解：根據(jù)定理6.3,所以,

定理6.4

設(shè)X1,

X2,…,Xn是來(lái)自正態(tài)總體的樣本,

Y1,Y2,…,Ym是來(lái)自正態(tài)總體的樣本,是第一組樣本的樣本均值和樣本方差,