基本不等式求最值（5大壓軸考法）原卷版-2024-2025學(xué)年人教版高一數(shù)學(xué)壓軸題攻略

專題04基本不等式求最值

目錄

解題知識必備.......................................

壓軸題型講練........................................................2

題型一、條件等式求最值.......................................................2

題型二、常數(shù)代換法............................................................2

題型三、消參法................................................................3

題型四、雙換元法..............................................................4

題型五、二次(一次)商式的最值.............................................5

壓軸能力測評(13題)..............................................8

x解題知識必備??

一、重要不等式

Pa,beR,有。之+/之？〃/?,當(dāng)且僅當(dāng)〃=6時，等號成立.

二、基本不等式

如果a>0,b>Q,則而當(dāng)且僅當(dāng)a=b時，等號成立.

巴皮叫做正數(shù)人的算術(shù)平均數(shù)，J法叫做正數(shù)a,〃的幾何平均數(shù).基本不等式表明：兩個正數(shù)的算

2

術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù).

三、與基本不等式相關(guān)的不等式

(1)當(dāng)時，有,當(dāng)且僅當(dāng)a=匕時，等號成立.

(2)當(dāng)。>0,6>0時，有12T茄，當(dāng)且僅當(dāng)a=匕時，等號成立.

a+3

(3)當(dāng)a,"eR時，有(審］當(dāng)且僅當(dāng)。=匕時，等號成立.

四、利用基本不等式求最值

已知x>0,y>0,那么

(1)如果積孫等于定值尸，那么當(dāng)x=y時，和x+y有最小值26；

(2)如果和x+y等于定值S,那么當(dāng)x=y時，積孫有最大值

五、利用基本不等式求最值的幾種方法

(1)直接法：條件和問題間存在基本不等式的關(guān)系，可直接利用基本不等式來求最值.

(2)配湊法：利用配湊法求最值，主要是配湊成“和為常數(shù)”或“積為常數(shù)”的形式.

(3)常數(shù)代換法：主要解決形如“已知x+產(chǎn)改為常數(shù))，求￡的最值”的問題，先將￡轉(zhuǎn)化為

(9+《)?’再用基本不等式求最值.

y/i

(4)消參法：當(dāng)所求最值的代數(shù)式中的變量比較多時，通?？紤]利用已知條件消去部分變量后，湊出“和為常

數(shù)”或“積為常數(shù)”的形式，最后利用基本不等式求最值.

六、常見求最值模型

模型一：nvc+—>2y[mn(m>0,H>0),當(dāng)且僅當(dāng)％=時等號成立；

xVm

模型二：mx-\——=m(x—a)-\——-——Fma>2y1mn+ma(m>0,n>0)?當(dāng)且僅當(dāng)=J'■時等號成立；

x-ax-aVm

模型三：———=--—4——(a>0,c>0),當(dāng)且僅當(dāng)x時等號成立；

ax+bx+c奴+H￡2y/ac+bVa

x

號井irm/、mx(n-mx)1,mx+n-mxf,八八八n、生口e也n開行口

模型四：x(n-mx)=--------------<—?(---------------)x2=——(m>0,n>0,0<x<—),當(dāng)且僅當(dāng)％=—時等號

mm24mm2m

X壓軸題型講練2

【題型一條件等式求最值】

一、單選題

1.(23-24高一上?浙江溫州?期末)已知加，T?GR+,滿足療〃+2根〃2_4=0,則機(jī)+2〃的最小值為()

A.20+1B.V15C.罷D.40+9

2.(23-24高一上.河北邯鄲?期中)若a>b,且必=2,則段二工t1"匕的最小值為()

a-b

A.2A/5-2B.276-4C.2A/5-4D.276-2

二、填空題

3.（23-24高一上?云南大理?階段練習(xí)）已知x>2,y>l,；vy-x-2y=2,則x+y的最小值是.

4.（23-24高一上?安徽蚌埠?期末）已知實數(shù)aN0,6N0,cN0且a+8+c=l,則（c-2axe-％）的最大值

為,最小值為?

5.（23-24高一下.安徽安慶?開學(xué)考試）已知實數(shù)。，b,。滿足/+廿+02=1,則必+歷+2可的最大值為

【題型二常數(shù)代換法】

一、單選題

14

1.（23-24高一上?山東?期中）已知0<”3,則一+——的最小值是（）

a3-a

A.1B.2C.3D.4

12

2.（23-24高一上.安徽宣城?期末）已知％+y=l,且x>0,y>。，則丁+—7的最小值是（）

2xy+1

4-9C.1D.在

A.—B.—

343

2

3.（23-24高一下?湖北?階段練習(xí)）已知尤>0,y>0,且4x+y=l,則二"的最小值為（）

xy

A.6立B.4應(yīng)C.4D.6

A7V2

4.（23-24高一上?湖北武漢?期末）已知x>0,y>0且％+y=i,則一的最小值為（）

x+1y+2

A.-B.白C.1D.-

423

21

5.（23-24高三上?山東?階段練習(xí)）已知實數(shù)X,y滿足無>y>。，且3x-y=2,貝i]——+——的最小值為

x+yx-y

()

A.3B.4C.5D.6

【題型三消參法】

一、單選題

14q

1.（23-24高一上?安徽阜陽?期末）已知a>0,b>。且a+Z?=l,貝！J+的取小值為()

4〃2a+b

379

A.-B.-C.2D.-

244

46

2.（23-24高一上.江蘇蘇州?階段練習(xí)）已知6>“>0,3a+b=ab,則:;一；+丁的最小值為（）

2a-lb-3

A.2B.3C.6D.-

3

3.（23-24高一上?江蘇無錫?階段練習(xí)）若。>0,6>0,且必=a+A+l,a+助的最小值為（）

A.15B.8+4血C.17D.6+40

4.（22-23高一上?遼寧大連?期末）若。>0*>0,。+8=1,則"+3'+/_一,的最大值為（）

a+2bb+1b

A.V2B.2-72C.3-A/2D.3-2近

二、填空題

41

5.（23-24高一上?四川眉山?期末）已知a>0,b>O且a+4=ab,貝！J—+;—；的最小值為_________.

fab-l

6.（23-24高一上?浙江?期中）已知實數(shù)x>0,y>0,且滿足,+'=1,則以的最小值是______.

xyxxy

【題型四雙換元法】

一、填空題

1.（23-24高一上?浙江杭州?期中）已知實數(shù)x、y滿足x（x+y）=2+2/,貝。7/-好的最小值為.

2.（2023?全國?模擬預(yù)測）已知”>1,b>[,-'-+-^-=1,則工+工的最大值為____.

2a-12b-1ab

111231

3.（22-23高三上?江蘇泰州?階段練習(xí)）已知不6>彳，一+：=7,則7~的最小值_______,

23ab2a-15b—v

【題型五二次（一次）商式的最值】

一、單選題

1.（22-23高一上?四川眉山?階段練習(xí)）設(shè)6>0,仍+6=1，則題的最小值為（）

A.0B.1C.2D.4

2.（23-24高三上?河南漂河?期末）設(shè)正實數(shù)x、y、z滿足尤2-沖+丫2-2=0,則也的最大值為（）

z

A.4B.2C.3D.1

二、填空題

3k③+3k

3.（23-24高一上?上海浦東新?期中）已知實數(shù)上>0,貝】[3公+14*14左2+的最大值為.

4.（23-24高一上?江蘇宿遷?期中）已知2Vx<4,則^一十二二的最小值為________.

x-24-x

5⑵-23高一上?湖南益陽?階段練習(xí)）已知cd則函數(shù)廣勺的最小值是一

??壓軸能力測評“

一、單選題

1.（23-24高一■上?福建龍巖?期末）已知且x+y-孫=5,則2x+y的最小值是（）

A.2及B.4C.4夜D.5

2.（23-24高一上?重慶?期末）已加正實數(shù)x,y滿足尤+2y-孫=-1,則2x+y的最小值為（）

A.15+「-B.—C.10D.11

48

3.（23-24高一上?遼寧大連?期末）已知x,y為正實數(shù)，且無+'=1,則葉如二的最小值為（）

'孫

A.24B.25C.6+4gD.60-3

2

4.（23-24高一下?遼寧葫蘆島?開學(xué)考試）已知x>0,y>0,且4x+y=l,則上土E的最小值為（）

xy

A.5B.472C.4D.2近

2

5.（23-24高一下?湖南.開學(xué)考試）已知加2>〃>0,則機(jī)2+/的最小值為（）

yjn（m-n）

A.4B.6C.8D.2

6.（2024?廣西?模擬預(yù)測）已知Q,0￡（YO,0）,且〃+4/?="-5,則次?的取值范圍為（）

A.[25,+8）B.[1,+^）C.（0,5]D.（0,1]

11m

7.（2025?甘肅張掖?模擬預(yù)測）已知a”>c,若--+--=——成立，則實數(shù)加的最小值為（）

a-bb-ca-c

A.2B.3C.4D.5

二、多選題

8.（23-24高一下?安徽銅陵期末）已知正數(shù)。/滿足〃+?=1,則下面不等式正確的是（）

A.abV：B.tz2+4Z?2>1

8

81

C.—1-->18