2025年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)之圖形的相似

2025年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)新題速遞之圖形的相

選擇題（共10小題）

1.（2023秋?交城縣期末）如圖，AB//CD,AC,8。相交于點O,若。4=1,OC=3,BD=7,則OD的

長為（）

721

A.-B.4C.—D.5

24

CD3

2.（2023秋?交城縣期末）如圖，在△ABC中，DE//AB,尸為A5的中點，CF交DE于點G,且一=一,

BD2

則下列結(jié)論錯誤的是（）

DE3

A.—=-

AE2AB~5

S^CDG____3

C.DG=EG

S^CBA10

3.（2024?道里區(qū)校級開學(xué)）如圖，點。是AABC邊3C上一點，連接AD,使NBAO=NC,則下列結(jié)論

正確的是（）

C.AC：BC=AB：ADD.A^=BD?BC

4.（2024?羅湖區(qū)校級模擬）如圖，△ABC中，NA=76°,AB=8,AC=6.將△ABC沿圖示中的虛線剪

開，剪下的陰影三角形與原三角形不相似的是（)

c

5.（2023秋?岳陽縣期末）如圖，AB//CD//EF,AF交BE于點、G,若AC=CG,AG=FG,則下列結(jié)論錯

1DG1CG1

A.—=―B.—=一C.—=―D.—=一

BG2EF2BE3CF3

6.（2024?海淀區(qū)校級模擬）2020年是紫禁城建成600年暨故宮博物院成立95周年，在此之前有多個國家

曾發(fā)行過紫禁城元素的郵品.圖1所示的摩納哥發(fā)行的小型張中的圖案，以敞開的紫禁城大門和大門內(nèi)

的石獅和太和殿作為郵票和小型張的邊飾，如果標(biāo)記出圖1中大門的門框并畫出相關(guān)的幾何圖形（圖2）,

我們發(fā)現(xiàn)設(shè)計師巧妙地使用了數(shù)學(xué)元素（忽略誤差），圖2中的四邊形ABCD與四邊形是位似

圖形，點。是位似中心，點4是線段OA的中點，那么以下結(jié)論正確的是（）

A.四邊形ABCD與四邊形A8C。的相似比為1：1

B.四邊形ABC。與四邊形ABC。的相似比為1：2

C.四邊形ABC。與四邊形ABO的周長比為3：1

D.四邊形ABC。與四邊形A'BC。的面積比為4：1

7.（2024?溫州模擬）如圖1是《九章算術(shù)》中記載的“測井深”示意圖，譯文指出：“如圖2,今有井直

徑CD為5尺，不知其深A(yù)D,立5尺長的木CE于井上，從木的末梢E點觀察井水水岸A處，測得“入

徑C—為4寸，問井深4。是多少？（其中1尺=10寸）”根據(jù)譯文信息，則井深4。為（）

E

井深

井水水面

圖1圖2

A.500寸B.525寸C.50寸D.575寸

8.（2024?陸豐市模擬）神奇的自然界中處處蘊含著數(shù)學(xué)知識.如圖是古希臘時期的帕提農(nóng)神廟（Parthenon

Temple）,我們把圖中的虛線表示為矩形ABC。，并發(fā)現(xiàn)A。：OC-0.618,這體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中的（）

C.軸對稱D.黃金分割

9.（2024?巧家縣模擬）如圖，。是△ABC邊上一點，添加一個條件后，仍不能使△AC￡>S^ABC的

是（）

ADCD

A./ACD=/BB.ZADC^ZACBC——=一D.AC2^AD'AB

ACBC

10.（2024?五華區(qū)校級模擬）如圖，△ABC與是位似圖形，點O為位似中心，OC：CF=1：2.若

△ABC的周長為6,則△￡）￡1下的周長是（

二.填空題（共5小題）

11.（2024?哈爾濱模擬）如圖，△ABC中，/ABC=60°,A8=15,8C=24,是△ABC的角平分線,

E在AC上，ZAZ）E=30°，則線段DE的長為.

abc3x4~2v—z

12.（2024?永修縣校級模擬）已知一=一二-，則-------（其中3x-2y+zW0）的值

xyz3x-2y+z

是.

39

13.（2024?宛城區(qū)校級開學(xué)）已知一=一（％、y均不為0）,則％,y成比例關(guān)系，

4%5y

x

y-,

abca+b

14.（2023秋?濰坊期末）已知一=一=一40,則;一值為

432b+c-------------------------------

15.（2024?湖北模擬）如圖，將正方形A8C。沿直線EF折疊，使點8的對應(yīng)點M落在邊上，點C落

DP1AE

在點N處，MN與CD交于點、P,折痕分別與邊AB,CD交于點、E,F,連接若二■=：,則二的

CP2BE

三.解答題（共5小題）

16.(2024?湖北模擬)如圖，A8是。。的直徑，弦CD交AB于點RBELCD,垂足為E,AC=5,BC

=10.

(1)求證：ADBEsAABC；

(2)若AC=CF,求A尸和即的長.

17.(2024?榕江縣模擬)如圖，在平行四邊形A3CD中，E是邊上的中點，連接CE并延長與54的延

長線交于點F,與BD交于點G,連接DF、AC.

(1)試判斷四邊形ACZ)尸的形狀，并證明；

(2)若CF=n,求CG的長.

18.(2024?斗門區(qū)校級模擬)如圖，點。是△ABC的邊上一點，ZABC=ZACD.

(1)求證：AABC^^ACD；

(2)當(dāng)AO=2,AB=3時，求AC的長.

19.(2024?包河區(qū)校級三模)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，AABC的三個頂點坐標(biāo)分別為A(-2,1),B

(-1,4),C(-3,2).

(1)畫出△ABC關(guān)于y軸對稱的圖形△ALBICI,并直接寫出CI點的坐標(biāo)；

(2)以原點。為位似中心，位似比為1：2,在y軸的左側(cè)，畫出AABC放大后的圖形232c2,并直

20.(2023秋?陵城區(qū)期末)如圖，△ABC在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)三頂點的坐標(biāo)分別為A(-1,2),B(-3,

3),C(-3,1).

(1)畫出△ABC關(guān)于y軸對稱的△421Ci；

(2)以8為位似中心，在8的下方畫出28c2,使23c2與△ABC位似且相似比為2：1；

(3)直接寫出點42和點C2的坐標(biāo).

2025年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)新題速遞之圖形的相似（2024年9月）

參考答案與試題解析

一.選擇題（共10小題）

1.（2023秋?交城縣期末）如圖，AB//CD,AC,相交于點。若。4=1,0c=3,BD=1,則0。的

長為（）

721

A.-B.4C.—D.5

24

【考點】相似三角形的判定與性質(zhì).

【專題】圖形的相似；運算能力；推理能力.

【答案】c

【分析】先證明進(jìn)而得到空=即可求出。D=

0D3BD44

【解答】解：???A8〃C。，

AAOB^ACOD,

.OBOA

…OD~OC

VOA=1,OC=3,

.OB1

??OD—3，

?￡￡2

??BD—4，

?；BD=7,

.OD3

??—―f

74

故選：c.

【點評】本題考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，熟記相似三角形的性質(zhì)與判定定理是解題的關(guān)鍵.

CD3

2.（2023秋?交城縣期末）如圖，在△ABC中，DE//AB,尸為A2的中點，CF交DE于點G,且——=一,

BD2

則下列結(jié)論錯誤的是（）

A

DE3

A.--=-B.—=—

AE2AB5

DSHDG3

C.DG=EG

SLCBA10

【考點】相似三角形的判定與性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；平行線分線段成比例.

【專題】圖形的相似；運算能力.

【答案】D

【分析】由。得出AECG^AACF,ABCF^ADCG,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)

進(jìn)行判斷.

【解答】W：,：DE//AB,

：.AEDC^AABC,AECGSAACF,ABCFS^DCG,

.DECDCECEEGDGCD

"BA~CB~CACA~AF,BF~CB'

..CD3

?=—，

BD2

.CD_CE_CD_3

??CB-CA-CD+BD-5'

CECE3

~故A選項正確，不符合題意；

AECA-CE2

DE3

—-=7,故5選項正確，不符合題意；

BA5

丁方為A3的中點，

1

??人/=BF，S。CF~S^BCF~]^LABC?

..DGCDCEEGCDCE

?BF-CB'CA~AFfCB~CA

.DGEG

BF~AF

??.Z)G=EG故C選項正確，不符合題意；

??CD3i

,~S4ACF~S^BCF=04ABC，

:.S；CDG=故。選項不正確，符合題意；

S^CBA2S&CBF2cB250

故選：D.

【點評】本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)，熟知平行于三角形的一邊的直線與其他兩邊相交，所構(gòu)成

的三角形與原三角形相似是解題的關(guān)鍵.

3.（2024?道里區(qū)校級開學(xué)）如圖，點。是AABC邊BC上一點，連接A。，使則下列結(jié)論

正確的是（）

A

D

A.AC：BC=AD：BDB.AB2=CD?BC

C.AC：BC=AB：ADD.AB2=BD,BC

【考點】相似三角形的判定與性質(zhì).

【專題】圖形的相似.

【答案】D

【分析】由已知條件：/BAD=/C,可判定再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)進(jìn)

行判斷即可.

【解答】解：：/胡乃二/3/B=NB,

：.AABDsdCBA,

.ABBD

??一,

BCAB

即：AB2=BD'BC.

故選：D.

【點評】此題主要考查的是相似三角形的判定和性質(zhì)，能夠發(fā)現(xiàn)隱含條件公共角是解答此題的關(guān)鍵.

4.（2024?羅湖區(qū)校級模擬）如圖，△ABC中，NA=76°,AB=8,AC=6.將△ABC沿圖示中的虛線剪

開，剪下的陰影三角形與原三角形不相似的是（）

A.ABB.A-B

c

【考點】相似三角形的判定.

【專題】圖形的相似；推理能力.

【答案】c

【分析】根據(jù)相似三角形的判定定理對各選項進(jìn)行逐一判定即可.

【解答】解：4陰影三角形與原三角形有兩個角相等，故兩三角形相似,

故本選項不符合題意;

8、陰影三角形與原三角形有兩個角相等，故兩三角形相似,

故本選項不符合題意;

C、兩三角形的對應(yīng)邊不成比例，故兩三角形不相似,

故本選項符合題意;

。、陰影三角形中，/A的兩邊分別為6-2=4,8-5=3,則兩三角形對應(yīng)邊成比例且夾角相等，故兩

三角形相似,

故本選項不符合題意.

故選：C.

【點評】本題考查的是相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解答此題的關(guān)鍵.

5.（2023秋?岳陽縣期末）如圖，AB//CD//EF,AF交BE于點G,若AC=CG,AG=FG,則下列結(jié)論錯

1DG1CG1

A.—=―B.—=一C.—=一D.—=—

BG2EF2BE3CF3

【考點】平行線分線段成比例.

【專題】線段、角、相交線與平行線；推理能力.

【答案】C

【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理進(jìn)行逐項判斷即可.

【解答】解：

.DGCG

??—,

BGAG

'：AC=CG,

.DGCG1

??BG-AG-2’

故A正確，不符合題意；

9：CD//EF,

.CDCG

??—,

EFFG

*：AC=CGfAG=FG,

:?FG=2CG,

：.EG=2DG,

CDCG1

???__—____—__—_,

EFFG2

故5正確，不符合題意；

u

：AB//CD//EFf

.BGAG

??,

EGFG

■:AG=FG,

：?BG=EG,

：.BE=2BG,

..DGCG1

9BG~AG~2

：.BG=2DG,

?；BE=4DG,

.DG1

??—―,

BE4

故C錯誤，符合題意；

U：CD//EF,

.CGDG

??CF-DE

■;BG=2DG,BE=4DG,

：.DE=3DG,

,CGDG1

,,CF―DE―3’

故。正確，不符合題意；

故選：C.

【點評】本題考查了平行線分線段成比例定理，根據(jù)平行線分線段成比例定理逐一分析四個結(jié)論的正誤

是解題的關(guān)鍵.

6.（2024?海淀區(qū)校級模擬）2020年是紫禁城建成600年暨故宮博物院成立95周年，在此之前有多個國家

曾發(fā)行過紫禁城元素的郵品.圖1所示的摩納哥發(fā)行的小型張中的圖案，以敞開的紫禁城大門和大門內(nèi)

的石獅和太和殿作為郵票和小型張的邊飾，如果標(biāo)記出圖1中大門的門框并畫出相關(guān)的幾何圖形（圖2）,

我們發(fā)現(xiàn)設(shè)計師巧妙地使用了數(shù)學(xué)元素（忽略誤差），圖2中的四邊形ABCD與四邊形AECD是位似

圖形，點。是位似中心，點A是線段OA的中點，那么以下結(jié)論正確的是（）

A.四邊形A8C。與四邊形AEC7J的相似比為1：1

B.四邊形ABC。與四邊形的相似比為1：2

C.四邊形A8CO與四邊形AECD的周長比為3：1

D.四邊形ABC。與四邊形ABC。的面積比為4：1

【考點】位似變換.

【專題】圖形的相似；幾何直觀.

【答案】D

【分析】先利用位似的性質(zhì)得到A'B'：AB=1：2,然后根據(jù)相似的性質(zhì)進(jìn)行判斷.

【解答】解：：四邊形ABC。與四邊形AEC。是位似圖形，點。是位似中心，點A是線段04的中點，

：.OA'：OA=l：2,

.\A,B'：AB=1：2,

四邊形ABC。與四邊形ABCD'的相似比為2：1,周長的比為2：1,面積比為4：1.

故選：D.

【點評】本題考查了位似變換：如果兩個圖形不僅是相似圖形，而且對應(yīng)頂點的連線相交于一點，對應(yīng)

邊互相平行，那么這樣的兩個圖形叫做位似圖形，這個點叫做位似中心.兩個位似圖形必須是相似形;

對應(yīng)點的連線都經(jīng)過同一點，對應(yīng)邊平行或共線.

7.（2024?溫州模擬）如圖1是《九章算術(shù)》中記載的“測井深”示意圖，譯文指出：“如圖2,今有井直

徑CO為5尺，不知其深A(yù)D,立5尺長的木CE于井上，從木的末梢E點觀察井水水岸A處，測得“入

徑CF'為4寸，問井深是多少？（其中1尺=10寸）”根據(jù)譯文信息，則井深4。為（）

E

末梢,|

I

/井深,”

-------------A1----------'B

井水水面

圖1圖2

A.500寸B.525寸C.50寸D.575寸

【考點】相似三角形的判定與性質(zhì)；矩形的性質(zhì).

【專題】圖形的相似；推理能力.

【答案】D

【分析】根據(jù)數(shù)學(xué)常識和相似三角形的性質(zhì)，構(gòu)建方程求解即可.

【解答】解：5尺=50寸，

設(shè)8C=尤尺.

?.?四邊形A8CD是矩形，

J.CF//AB,

:.4EFCsdEAB,

.CFEC

??—,

ABEB

.450

50%+50

解得尤=575,

經(jīng)檢驗：x=575是分式方程的解.

.1.40=575（寸）.

故選：D.

【點評】本題考查了相似三角形的應(yīng)用，矩形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用參數(shù)構(gòu)建方程解決

問題，屬于中考?？碱}型.

8.（2024?陸豐市模擬）神奇的自然界中處處蘊含著數(shù)學(xué)知識.如圖是古希臘時期的帕提農(nóng)神廟^Parthenon

Temple},我們把圖中的虛線表示為矩形A8CQ,并發(fā)現(xiàn)A。：DC-0.618,這體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中的（）

AB

A.平移B.旋轉(zhuǎn)C.軸對稱D.黃金分割

【考點】黃金分割；軸對稱的性質(zhì)；平移的性質(zhì)；旋轉(zhuǎn)的性質(zhì).

【專題】線段、角、相交線與平行線；應(yīng)用意識.

【答案】D

【分析】根據(jù)黃金分割的定義，即可解答.

【解答】解：神奇的自然界中處處蘊含著數(shù)學(xué)知識.如圖是古希臘時期的帕提農(nóng)神廟Temple）,

我們把圖中的虛線表示為矩形ABC。，并發(fā)現(xiàn)ADDC^0.618,這體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中的黃金分割，

故選：D.

【點評】本題考查了黃金分割，軸對稱的性質(zhì)，平移的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，熟練掌握黃金分割的定義是

解題的關(guān)鍵.

9.（2024?巧家縣模擬）如圖，。是△ABC邊A3上一點，添加一個條件后，仍不能使的

是（）

ADCD

A./ACD=/BB.ZADC^ZACBC.—=—D.

ACBC

【考點】相似三角形的判定.

【專題】圖形的相似；推理能力.

【答案】C

【分析】直接利用相似三角形的判定方法分別分析得出答案.

【解答】解：A、當(dāng)/ACO=N3時，再由NA=/A,可得出△ACDS^ABC,故此選項不合題意；

B、當(dāng)NAOC=NAC8時，再由NA=NA,可得出△AC^S/VIBC,故此選項不合題意；

ZDCD

C、當(dāng)一=一時，無法得出△ACOSAABC,故此選項符合題意；

ACBC

ACAD

D、當(dāng)4。2=&。乂8時，即一=_,再由NA=/A,可得出AACDs△age,故此選項不合題意；

ABAC

故選：C.

【點評】此題主要考查了相似三角形的判定，正確掌握相似三角形的判定方法是解題關(guān)鍵.

10.（2024?五華區(qū)校級模擬）如圖，△ABC與△￡）￡產(chǎn)是位似圖形，點。為位似中心，OC：CF=1：2.若

△A8C的周長為6,則的周長是（）

A.6B.12C.18D.24

【考點】位似變換.

【專題】圖形的相似；推理能力.

【答案】C

【分析】根據(jù)位似圖形的概念得到△ABCs△。.，BC//EF,得到△BOCs△EOF,根據(jù)相似三角形

Be

的性質(zhì)求出一，再根據(jù)相似三角形的周長比等于相似比計算即可.

EF

【解答】解：：OC：CF=1：2,

：.OC：。尸=1：3,

?；△ABC與ZxDEF是位似圖形，

:.△ABCs^DEF,BC//EF,

:.ABOCsAEOF,

.BCOC1

?'EF-OF—3’

.,.△ABC的周長：△。所的周長=1：3,

△ABC的周長為6,

.?.△。跖的周長為18,

故選：C.

【點評】本題考查的是位似變換、相似三角形的性質(zhì)，熟記位似圖形的概念是解題的關(guān)鍵.

二.填空題（共5小題）

11.（2024?哈爾濱模擬）如圖，△ABC中，ZABC=60°,AB=15,8c=24,AO是△ABC的角平分線,

E在AC上，ZAZ）E=30°,則線段￡>￡的長為2企T.

【考點】相似三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理.

【專題】等腰三角形與直角三角形；圖形的相似；運算能力.

【答案】2舊.

【分析】先過點C作C兀LAB于T,先算出B7=12,CT=12V3,再算出力C='AT?+E=21,然

后過點8作BK〃AC交4。延長線于點K,證明△BOKs/Xc/M,列式計算得8。=10,CD=]4,運用

角的關(guān)系得出8。=10,CD=14,證明△朋△EA。，最后運用勾股定理列式計算，即可作答.

【解答】解：如圖，過點C作C7UAB于T,

VBC=24,ZABC=60°,

：.BT=24Xa=12,CT=V242-122=12V3

VAB=15,

：.AT=AB-BT=3,

RtA4CT中，AC=>JAT2+CT2=21,

過點B作BK//AC交AD延長線于點K,

,：AD是△ABC的角平分線，

：.ZBAD=ZCAD=a,

,JBK//AC,

：.ZK=ZDAC,

；.NBAD=NK,

：.BK^AB=15f

?：NBDK=NCDA,

：.ABDK^/\CDA,

.BDBK155

99CD~AC~21~77

：.BD=10,CD=14,

VZB=60°,/BAD=a,

ZADC=ZBAD+ZB=60°+a,

VZADE=30°,

：.ZEDC=30°+a,

VZDEC=ZADE+ZDAE=30°+a,

：.ZEDC=ZDEC,

：.EC=CD=14.

：.AE=AC-CE=1,

在AB上截取A7=AE=7,連接。R

U：AD=AD,

：.AFAD^AEAD,

：.DF=DE,

過點。作ZUJLA3于L

：.BL=5,DL=5V3,LF=AB-BL-AF=3,

RtADLF中，DF=2V21=DE

故答案為：2V21

【點評】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，難度較大，正確

掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵.

abc3x+2y-z3CI+2Z7-c

12.（2024?永修縣校級模擬）已知一=一=一,t（其中3尤-2y+zW0）的值是

xyz3a-Zb±c

【考點】比例的性質(zhì).

【專題】分式；運算能力.

3a+2b-c

【答案】

3Q—2b+c

X"Vz

【分析】設(shè)一=:=一=k,則攵，z=或，代入原式化簡計算即可.

abc

abc

【解答】解：???一=一=一，

xyz

txyz

abc

貝!Jx~~cikjy~~bkjz=c%,

3x+2y—z3ak+2bk—ck3a+2b-c

3%—2y+z3ak-2bk+ck3a—2b+c

3a+2b-c

故答案為:

3a—2b+c

【點評】本題考查比例的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用參數(shù)解決問題，屬于中考?？碱}型.

39X5

13.（2024?宛城區(qū)校級開學(xué)）已知募=豆（x、y均不為。），則尤，y成^比例關(guān)系，廠f

【考點】比例的性質(zhì).

【專題】實數(shù)；運算能力.

【答案】正,.

【分析】判斷兩種相關(guān)聯(lián)的量是否成正、反比例，就看這兩種量是對應(yīng)的乘積一定還是商一定，如果是

乘積一定，就成反比例，如果是商一定，就成正比例.

39

【解答】解：因為一=二，

4%5y

13

所以一=—,

4%5y

所以12x=5y,

_x5

所以一=

y12

x5

所以x,y成正比例關(guān)系，-=—.

故答案為：正，

【點評】本題考查了正比例、反比例的判斷，組成比例的四個數(shù)，叫做比例的項.兩端的兩項叫做比例

的外項，中間的兩項叫做比例的內(nèi)項.

abca+b7

14.（2023秋?濰坊期末）已知一=一=一40,則;一值為-.

432b+c-5-

【考點】比例的性質(zhì).

【專題】計算題；運算能力.

7

【答案】

abc

【分析】設(shè)i=]=5=k(kK0),則a=4k,b=3k,c=2k,據(jù)此代入所求式子中求解即可.

【解答】解：=7=1*0,

432

一、r。bc

:?可設(shè)1=~=~=k(kW0),

.\a=4k,b=3k,c=2k,

.a+b4/c+3/c7

b+c3/c+2/c5

7

故答案為：g.

【點評】本題主要考查了比例的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握相關(guān)知識的靈活運用.

15.(2024?湖北模擬)如圖，將正方形A3CQ沿直線跖折疊，使點3的對應(yīng)點“落在邊上，點。落

DP1AE

在點N處，MN與CD交于點P,折痕分別與邊A3,CD交于點2F,連接3M.若3=二，則菽的

CP2BE

【考點】相似三角形的判定與性質(zhì)；等腰三角形的判定與性質(zhì)；正方形的性質(zhì)；翻折變換(折疊問題).

【專題】圖形的相似；推理能力.

【答案】

MDMPDP1

【分析】延長MMBC交于點Q.根據(jù)△OA/Ps/^c。尸得出萬]=——=—=解方程得.

【解答】解：如圖，延長MN,8C交于點Q.

A

\9AD//BC,

：.ADMPs^CQP.

tMDMPDP1

??QC-QP-CP-2’

；?QC=2MD,QP=2MP,

設(shè)。尸=〃，MD=x,則。尸=2〃，QC=2x,正方形ABC。邊長為3〃，

.\BQ=3a+2x,

由翻折和正方形的性質(zhì)可得，NEMP=/EBC=90°,EM=EB=3a-AE.

：./EMB=ZEBM.

：.ZEMP-NEMB=ZEBC-ZEBM,即/BMP=ZMBC,

JMQ=BQ=3Q+2x.

八

.?.MRP.n=^1MnQ"=—3Q+—2%.

在RtZXOMP中，M0+Dp2=Mp2,

解得：xi=0(舍)，％2=可。?

.123

AM=3?！猤-ci=5。.

在RtZxAEM中，AEr+AM1=EM1,

：.AE2+(|a)2=(3a-AE)2

解得：AE=^a,

BE=EM=3a—a=a,

36

?.些?一_或qq-_，

BE—a13

故答案為：—.

【點評】本題主要考查了正方形與折疊問題，相似三角形的性質(zhì)與判定，等腰三角形的性質(zhì)與判定，勾

股定理等等，正確作出輔助線構(gòu)造相似三角形是解題的關(guān)鍵.

三.解答題（共5小題）

16.（2024?湖北模擬）如圖，48是。。的直徑，弦CO交A8于點RBEA.CD,垂足為E,AC=5,BC

=10.

(1)求證：ADBEsAABC；

(2)若AC=CF,求AF和的長.

【考點】相似三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理；垂徑定理；圓周角定理.

【專題】圖形的相似；推理能力.

【答案】（1）見解析；

（2）AF=2V5,ED=3.

【分析】（1）由直徑所對的圓周角等于90°得出/AC8=90°,由已知條件可知/BED=90°,由同弧

所對的圓周角相等得出即可證明△OBESAMC.

（2）過點C作CGLAB,垂足為G,由勾股定理求出A8,證明△ACGs^ABC,由相似三角形的性質(zhì)

得出AC2^AG'AB,求出AG,由等腰三角形的性質(zhì)得出FG=71G=V5,ZCAF^ZCFA,即可求出AF,

根據(jù)對頂角相等以及同弧所對的圓周角相進(jìn)一步得出/。4/=/。弘=/3尸￡）=/_8。/，進(jìn)一步可求出

BDDE

BD,由（1）得結(jié)論得出——=——即可求出ED.

ABAC

【解答】（1）證明：：AB為直徑，

AZACB=90°,

'：BE±CD,

：.ZBED=90°,

所對的圓周角為汨和/BAC,

NBDE=ZBAC,

:ADBEsAABC.

(2)解:如圖，過點C作CGLA2,垂足為G,

VZACB=90°,AC=5,8c=10,

：.AB=<AC2+AB2=V52+102=575,

,：CG1AB,

：.AGC=ZACB=90°,

又NA=/A,

AACG^AABC,

.ACAG

??一,

ABAC

即AC2=AG^B,

?.AG=V5.

9

：AC=CFf

：.FG=AG=y[S9ZCAF=ZCFA,

：.AF=2V5,

?:NCFA=NBFD,ZCAF=ZBDF,

：.ZCAF=ZCFA=ZBFD=/BDF,

：.BD=BF=AB-AF=5A/5-2^5=3V5,

,/△DBES^ABC,

BDDE

??一j

ABAC

3V5DE

即B=—

5V55

：.ED=3.

【點評】本題主要考查了直徑所對的圓周角等于90°,同弧所對的圓周角相等，相似三角形的判定以

及性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，掌握這些性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

17.(2024?榕江縣模擬)如圖，在平行四邊形ABCQ中，E是邊上的中點，連接CE并延長與54的延

長線交于點F,與8。交于點G,連接。AAC.

(1)試判斷四邊形AC。尸的形狀，并證明；

(2)若CP=12,求CG的長.

【考點】相似三角形的判定與性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；平行四邊形的性質(zhì).

【專題】圖形的相似；推理能力.

【答案】(1)四邊形ACL不是平行四邊形，見解析；

(2)CG=4.

【分析】(1)先證明四△DEC(ASA),則AP=C。，可證四邊形ACDP是平行四邊形;

(2)先證明△BCGs/XOEG,再由相似三角形的性質(zhì)可得結(jié)論.

【解答】解：(1)四邊形AC。尸是平行四邊形，證明如下：

,/四邊形ABCD是平行四邊形，

J.AF//CD,

：.ZFAE=ZCDE,

是邊上的中點，

C.AE^DE,

在△AEf'和△OEC中，

^FAE=NCDE

,AE=DE，

^AEF=/.DEC

:.△AEF妥ADEC(ASA),

J.AF^CD,

"."AF//CD,

.,?四邊形ACDF是平行四邊形；

(2),?,四邊形ACOb是平行四邊形,

1

：AE=DE=CE=FE,

9：CF=n,

：.CE=6,

???四邊形ACDF是平行四邊形，

：.CB//DA,BC=DA,

???ABCGs&DEG,DE=^CB,

CGCB

???—_―_4,o

EGED

：.CG=4.

【點評】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)以及相似三角形的判定與性質(zhì)

等知識.掌握平行四邊形的判定與性質(zhì)是關(guān)鍵.

18.(2024?斗門區(qū)校級模擬)如圖，點。是△ABC的邊上一點，ZABC^ZACD.

(1)求證：AABC^^ACD；

(2)當(dāng)AD=2,AB=3時，求AC的長.

【考點】相似三角形的判定與性質(zhì).

【專題】圖形的相似；推理能力.

【答案】(1)見解答；

(2)V6.

【分析】(1)利用NABC=/AC￡),加上NCAB=/D4C,則根據(jù)相似三角形的判定方法可得到結(jié)論;

(2)由于△A2CSZ\ACZ),則利用相似比可求出AC的長.

【解答】(1)證明：VZABC=ZACD,ZCAB=ZDAC,

：.△ABCs△A。。；

(2)解：VAABC^AACZ),

ABACr3AC

--=---,即—=—,

ACADAC2

.,.AC=V6.

【點評】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)：在判定兩個三角形相似時，應(yīng)注意利用圖形中已有的公

共角、公共邊等隱含條件，以充分發(fā)揮基本圖形的作用.利用相似三角形的性質(zhì)可以計算相應(yīng)線段的長.

19.(2024?包河區(qū)校級三模)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC的三個頂點坐標(biāo)分別為A(-2,1),B

(-1,4),C(-3,2).

(1)畫出△ABC關(guān)于y軸對稱的圖形△AiBiCi,并直接寫出Q點的坐標(biāo)；

(2)以原點。為位似中心，位似比為1：2,在y軸的左側(cè)，畫出AABC放大后的圖形282c2,并直

接寫出C2點坐標(biāo)；

y八

X

【考點】作圖-位似變換；作圖-軸對稱變換.

【專題】平移、旋轉(zhuǎn)與對稱；圖形的相似；幾何直觀.

【答案】⑴△A1B1C1見解答,(3,2)；

(2)△/hB2c2見解答，(-6,4).

【分析】(1)分別作出三個頂點關(guān)于y軸的對稱點，再首尾順次連接即可;

(2)根據(jù)位似圖形的概念作出三個頂點的對應(yīng)點，再首尾順次連接即可.

【解答】解：(1)如圖所示，△4B1C1即為所求,

由圖知，。點的坐標(biāo)為(3,2)；

(2)如圖所示，AA222c2即為所求，C2點坐標(biāo)為(-6,4).

【點評】本題主要考查作圖一軸對稱變換與位似變換，解題的關(guān)鍵是掌握軸對稱變換與位似變換的定義

與性質(zhì)，并據(jù)此得出變換后的對應(yīng)點.

20.(2023秋?陵城區(qū)期末)如圖，△ABC在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)三頂點的坐標(biāo)分別為A(-1,2),B(-3,

3),C(-3,1).

(1)畫出△ABC關(guān)于y軸對稱的△481C1；

(2)以B為位似中心，在2的下方畫出△A2BC2,使28c2與△ABC位似且相似比為2：1；

(3)直接寫出點A2和點C2的坐標(biāo).

【考點】作圖-位似變換；點的坐標(biāo)；作圖-軸對稱變換.

【專題】平移、旋轉(zhuǎn)與對稱；圖形的相似；幾何直觀；推理能力.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】(1)根據(jù)軸對稱變換的性質(zhì)找出對應(yīng)點即可求解;

(2)根據(jù)位似變換的性質(zhì)找出對應(yīng)點即可求解；

(3)根據(jù)作圖直接寫出坐標(biāo)即可.

【解答】解：(1)如圖1所示，△ALBCI即為所求；

圖1

(2)如圖所示，△A2BC2即為所求;

圖2

(3)依據(jù)圖2可知，&2(1,1),C2(-3,-1).

【點評】本題考查了軸對稱變換的性質(zhì)，位似變換的性質(zhì)，熟練掌握軸對稱變換以及位似變換的性質(zhì)是

解題的關(guān)鍵.

考點卡片

1.點的坐標(biāo)

(1)我們把有順序的兩個數(shù)。和6組成的數(shù)對，叫做有序數(shù)對，記作(。，6).

(2)平面直角坐標(biāo)系的相關(guān)概念

①建立平面直角坐標(biāo)系的方法：在同一平面內(nèi)畫；兩條有公共原點且垂直的數(shù)軸.

②各部分名稱：水平數(shù)軸叫x軸(橫軸)，豎直數(shù)軸叫y軸(縱軸)，x軸一般取向右為正方向，y軸一般取

象上為正方向，兩軸交點叫坐標(biāo)系的原點.它既屬于無軸，又屬于y軸.

(3)坐標(biāo)平面的劃分

建立了坐標(biāo)系的平面叫做坐標(biāo)平面，兩軸把此平面分成四部分，分別叫第一象限，第二象限，第三象限，

第四象限.坐標(biāo)軸上的點不屬于任何一個象限.

(4)坐標(biāo)平面內(nèi)的點與有序?qū)崝?shù)對是一一對應(yīng)的關(guān)系.

2.全等三角形的判定與性質(zhì)

(1)全等三角形的判定是結(jié)合全等三角形的性質(zhì)證明線段和角相等的重要工具.在判定三角形全等時，

關(guān)鍵是選擇恰當(dāng)?shù)呐卸l件.

(2)在應(yīng)用全等三角形的判定時，要注意三角形間的公共邊和公共角，必要時添加適當(dāng)輔助線構(gòu)造三角

形.

3.等腰三角形的判定與性質(zhì)

1、等腰三角形提供了好多相等的線段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是證明線段相等、角相等的

重要手段.

2、在等腰三角形有關(guān)問題中，會遇到一些添加輔助線的問題，其頂角平分線、底邊上的高、底邊上的中

線是常見的輔助線，雖然“三線合一”，但添加輔助線時，有時作哪條線都可以，有時不同的做法引起解

決問題的復(fù)雜程度不同，需要具體問題具體分析.

3、等腰三角形性質(zhì)問題都可以利用三角形全等來解決，但要注意糾正不顧條件，一概依賴全等三角形的

思維定勢，凡可以直接利用等腰三角形的問題，應(yīng)當(dāng)優(yōu)先選擇簡便方法來解決.

4.勾股定理

(1)勾股定理：在任何一個直角三角形中，兩條直角邊長的平方之和一定等于斜邊長的平方.

如果直角三角形的兩條直角邊長分別是。，b,斜邊長為C,那么/+/=,2.

(2)勾股定理應(yīng)用的前提條件是在直角三角形中.

(3)勾股定理公式次+廿二。？的變形有：a=Vc2-b2,b=7c2—d2及c=+爐.

(4)由于/+廬=02>/,所以c>a,同理c>b,即直角三角形的斜邊大于該直角三角形中的每一條直角

邊.

5.平行四邊形的性質(zhì)

(1)平行四邊形的概念：有兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形.

(2)平行四邊形的性質(zhì)：

①邊：平行四邊形的對邊相等.

②角：平行四邊形的對角相等.

③對角線：平行四邊形的對角線互相平分.

(3)平行線間的距離處處相等.

(4)平行四邊形的面積：

①平行四邊形的面積等于它的底和這個底上的高的積.

②同底(等底)同高(等高)的平行四邊形面積相等.

6.矩形的性質(zhì)

(1)矩形的定義：有一個角是直角的平行四邊形是矩形.

(2)矩形的性質(zhì)

①平行四邊形的性質(zhì)矩形都具有