2025高考數學專項復習：曲率與曲率半徑問題（含答案）

2025高考數學專項復習曲率與曲率半徑問題含答案

曲率與曲率半徑問題

1.（2024?浙江溫州二模）如圖，對于曲線「存在圓C滿足如下條件：

①圓。與曲線「有公共點4且圓心在曲線「凹的一側；

②圓C與曲線「在點A處有相同的切線；

③曲線「的導函數在點A處的導數（即曲線r的二階導數）等于圓。在點人處的二階導數（已知圓

（a?—a）2+（9—^丫二產在點處的二階導數等于丁上——）；

（b-J/）

則稱圓。為曲線r在A點處的曲率圓，其半徑r稱為曲率半徑.

⑴求拋物線“在原點的曲率圓的方程；

⑵求曲線夕=上的曲率半徑的最小值；

X

（3）若曲線g=e”在（g,6的）和（x2fj）（gWx2）處有相同的曲率半徑，求證：g+g<—ln2.

???

2.有一種速度叫“中國速度”，“中國速度”正在刷新世界對中國高鐵的認知.由于地形等原因，在修建高

鐵、公路、橋隧等基建中，我們常用曲線的曲率(Curwa施re)來刻畫路線彎曲度.如圖所示的光滑曲

線。上的曲線段設其弧長為As,曲線。在人，8兩點處的切線分別為JZB，記以加的夾角為

△。(△夕40,尋)，定義匠=1-^1為曲線段弱的平均曲率，定義KQ)=lim|4^|=—I"面,為

2lAslo|Asl

^(l+(f(.))T

曲線C:y=/(T)在其上一點A{x,y)處的曲率.(其中/3)為f(x)的導函數,/"(⑼為f<x)的導函數)

⑵記圓療+才=2025上圓心角為名的圓弧的平均曲率為a.

①求a的值；

②設函數gQ)=ln3+45a)—ce"T,若方程g(x)=m(m>0)有兩個不相等的實數根如電，證明:

而—如<1一與半，其中e為自然對數的底數，e=2.71828….

3e—3

3.定義:若h，(x)是h(x)的導數，h"(x)是h\x)的導數，則曲線y=拉(⑼在點(/,”/))處的曲率K=

---'——-；已知函數/(c)=e"sin降+c),g(a;)=x+(2a—l)cosc,(a<[■),曲線u=g(c)在點

{i+[^)]T

(O,g(O))處的曲率為今；

(1)求實數a的值；

(2)對任意xG[—爭0],何㈤>g，㈤恒成立,求實數m的取值范圍；

(3)設方程/(%)=g\x)在區(qū)間(2幾兀+爭2九兀+￡)(nEN*)內的根為g,22,,Xn,…比較iCn+i與2rl

+2兀的大小，并證明.

???

4.（2024.湖北黃岡.二模）第二十五屆中國國際高新技術成果交易會（簡稱“高交會”）在深圳閉幕.會展

展出了國產全球首架電動垂直起降載人飛碟.觀察它的外觀造型，我們會被其優(yōu)美的曲線折服.現代

產品外觀特別講究線條感,為此我們需要刻畫曲線的彎曲程度.考察如圖所示的光滑曲線。：夕=/（0

上的曲線段其弧長為As,當動點從入沿曲線段4B運動到8點時，4點的切線驍也隨著轉動到

B點的切線人記這兩條切線之間的夾角為△/它等于的傾斜角與蜃的傾斜角之差）.顯然，當弧長

固定時，夾角越大，曲線的彎曲程度就越大；當夾角固定時，弧長越小則彎曲程度越大，因此可以定義

卜=|得|為曲線段AB的平均曲率；顯然當8越接近A,即As越小，K就越能精確刻畫曲線。在點

4處的彎曲程度，因此定義K=lim|^!|=（若極限存在）為曲線。在點A處的曲率.（其中

y'，g"分別表示g=/（%）在點A處的一階、二階導數）

（1）已知拋物線力2=2pg（p>0）的焦點到準線的距離為3,則在該拋物線上點（3,g）處的曲率是多少？

⑵若函數g（力）----；，不等式9（e-）<^（2—costox）對于力ER恒成立，求⑶的取值范

圍；

2

（3）若動點A的切線沿曲線/O）=2T-8運動至點Bg,f（Xn））處的切線,點B的切線與T軸的交點

為（4+i,0）（nCN*）.若傷=4,0=$一2,7；是數列｛bj的前八項和，證明Tn<3.

5.（2024?高三?浙江寧波?期末）在幾何學常常需要考慮曲線的彎曲程度，為此我們需要刻畫曲線的彎曲程

度.考察如圖所示的光滑曲線上的曲線段卷，其弧長為As,當動點從人沿曲線段助

運動到口點時，人點的切線lA也隨著轉動到B點的切線傷，記這兩條切線之間的夾角為△仇它等于lB

的傾斜角與Q的傾斜角之差）?顯然，當弧長固定時，夾角越大，曲線的彎曲程度就越大；當夾角固定

時，弧長越小則彎曲程度越大，因此可以定義為曲線段會的平均曲率;顯然當B越接近A,

即As越小，K就越能精確刻畫曲線。在點4處的彎曲程度，因此定義K=lim|絲|=」^（若極

限存在）為曲線。在點4處的曲率.（其中'分別表示V=/（/）在點△處的一階、二階導數）

（1）求單位圓上圓心角為60°的圓弧的平均曲率；

（2）求橢圓與+才=1在處的曲率；

（3）定義鼠U）=版為曲線y=/（工）的“柯西曲率”.已知在曲線/（0=x\^x-2x上存在兩點

（1+式）

PQiJQi））和Q（g,/（g）），且PQ處的“柯西曲率”相同，求西+溝的取值范圍.

6.（2024?高三?遼寧?期中）用數學的眼光看世界就能發(fā)現很多數學之“美”.現代建筑講究線條感，曲線

之美讓人稱奇.衡量曲線彎曲程度的重要指標是曲率，曲線的曲率定義如下:若r（2）是/（⑼的導函

數，是rQ）的導函數,則曲線g=/Q）在點3JQ））處的曲率長=——■

（i+[f（x）]2y

（1）求曲線/（2）=ln/+/在（1,1）處的曲率&的平方;

⑵求余弦曲線八（力）=cosx（xER）曲率4的最大值；

???

7.曲線的曲率定義如下:若是/(0的導函數,。(力)是r(0的導函數,則曲線g=/(乃在點QJQ)

)處的曲率K=-----------------已知函數/(/)=excosx,g(力)=acosrc+rc(a<0),曲線g=g(/)在點

{i+[fW]2F

(0,g(0))處的曲率為4.

(1)求實數a的值；

(2)對任意的①G[-y,0],tf(x)—g，(x))0恒成立,求實數t的取值范圍；

⑶設方程/(c)=g'(c)在區(qū)間(2n兀+等,2/1兀+(71eN+)內的根從小到大依次為如電，-??,xn,…，

求證:^n+1―力n>2兀?

8.(2024?湖南永州?三模)曲線的曲率定義如下:若尸(⑼是/Q)的導函數，令?3)=尸(⑼,則曲線y=

f(x)在點(S,7(T))處的曲率K=->-7-已知函數/3)=工+t(a>0)，g(x)=(cc+l)ln(2：

(1+[73)尸尸口

+1),且/(⑼在點(0,/(0))處的曲率7<=4.

⑴求a的值,并證明：當力>0時，/(x)>g{x)；

⑵若幻=電色半,且黑=仇電電…勾dCN*),求證：(71+2)北<)譚.

n+1

9.曲率是曲線的重要性質，表征了曲線的''彎曲程度”，曲線曲率解釋為曲線某點切線方向對弧長的轉動

率,設曲線C：y=/（力）具有連續(xù)轉動的切線，在點Q,/（乃）處的曲率K=一刈，其中抓x）

[i+（fW）2F

為/（名）的導函數,一"⑺為?（X）的導函數，已知/（①）=/ln力一爭—?力2.

（l）a=0時,求/（尤）在極值點處的曲率；

（2）a>0時,r（土）是否存在極值點,如存在，求出其極值點處的曲率；

⑶必）=2xex-4e“+a2x2,aC（0,十），當/⑺，g（c）曲率均為0時，自變量最小值分別為電，g，求

證：與沙.

10.用數學的眼光看世界就能發(fā)現很多數學之“美”.現代建筑講究線條感，曲線之美讓人稱奇，衡量曲線

彎曲程度的重要指標是曲率，曲線的曲率定義如下:若rQ）是/（⑼的導函數，尸Q）是廣3）的導函

數,則曲線夕=/（2）在點（力,/（力））處的曲率/<=>一7,

（i+[f（x）]7

（1）求曲線/（力）=ln/+力在（1,1）處的曲率&的平方；

⑵求余弦曲線九（力）=cosx（xER）曲率&的最大值；

（3）余弦曲線無（力）=cos%（%€R）,若gQ）=e%（力）+xhr

數，并寫出證明過程.

曲率與曲率半徑問題

1.（2024?浙江溫州二模）如圖，對于曲線「存在圓C滿足如下條件：

①圓。與曲線「有公共點A,且圓心在曲線「凹的一側;

②圓C與曲線「在點A處有相同的切線;

③曲線「的導函數在點A處的導數（即曲線r的二階導數）等于圓。在點人處的二階導數（已知圓

（a?—a）2+（9—^丫二產在點處的二階導數等于丁上——）；

0-J/）

則稱圓。為曲線r在A點處的曲率圓，其半徑r稱為曲率半徑.

（1）求拋物線“在原點的曲率圓的方程;

⑵求曲線夕=工的曲率半徑的最小值；

X

⑶若曲線夕=e"在（g,e"1）和3,e救）（如￥電）處有相同的曲率半徑，求證：電+g<—ln2.

【解析】（1）

記/（2）=2?,設拋物線y=療在原點的曲率圓的方程為±2+（y—》）2=廿,其中b為曲率半徑.

則/Q)=22,尸3)=2,

2

故2=/"(0)=b

(6—0)3

所以拋物線g=力2在原點的曲率圓的方程為62+（期

（2）設曲線y=/（力）在（g,%）的曲率半徑為r.則

x—a

r（g）=一0

Vo-b

法一：

/"(3)=

(.b-yo)3

2r

由(g-a)2+斯-&)2=/知，[f(j；0)]+1=,

(yo-fe)

3.

2

所以｛[f(^0)]+iF

用r以丁:—：-----：—

Lf〃(g)l

3.

2

故曲線g=!在點（/。，隊）處的曲率半徑度二

x\i\

\3

+1)

1\32_21

,2

所以72=一與一--4>2,則產=23,舄+1冷,

國撲:+

???

則丁=4（屆＞血，當且僅當舄=」7,即舄=1時取等號,

故廠＞，2,曲線■在點（1,1）處的曲率半徑

X

"__1_x（）—a

,,__君_一.—\a-\-bx^-2x0\

去一：2—產，—FT=『'

〔高一爐二微。+1

所以12，而產=（g_a）2+（%—匕）2=0.+二—,

x0—a=——T—2至2至.01

2%。

所以j=2號（舄+劣）,解方程可得r=《（就+劣￥，

,端2\舟

則產=［（舄+」7y＞2,當且僅當式=±,即式=1時取等號，

41端曷

故r＞，^,曲線夕=,在點（1,1）處的曲率半徑r=四.

X

3.

（3）法一：函數沙=e'的圖象在（立,"）處的曲率半徑r=（e"+l）”,

ex

故『3=e3+e3,

424222

由題意知：e鏟'+「鏟'=e科+履嚴令友=”"心=6產，

則有/+；=〃+；,

方1*2

所以/—■—:，即（力1一力2）（力1+力2）=J，故板2（"+.）=1.

因為劣1W62,所以力W力2,

3.

所以1=笊2（力1+力2）＞?于2?2/圾2—2（據2）'=2ex'+x'2,

所以。!+x2<-ln2.

3.

法二：函數9=e"的圖象在（，,e'）處的曲率半徑r=（1+1』,

ex

3

=（/*=+3e2.+3+e-2。

e21

令±i=e?""2=I?,則有力;+331+3+1=￡+332+3+占，

則（力1—力2）,+12+3——）=0,故%1+力2+3——=0,

因為為W電，所以力W力2,

所以有0=力1+力2+3—:＞2/力力2+3—~~~,

力12*1*2

令t=J）12，貝寸2力+3—~7-V0,即0＞2力3+3力2—1=（/；+1）2（2力-1）,

t

故1V；,所以eXi+X2=J/；也=tV/，即61+gV—山2;

3.

法三：函數y=e"的圖象在（2,e'）處的曲率半徑r=

故城=苫+6表

設g)=苫+商，則g，Q)='者等量產箍J),

所以當力G(-00,一/ln2)時g'Q)V0,當力G(--|-ln2,+00)時g'(z)>0,

所以。(力)在(一8,—^-In2)上單調遞減，在(一^-ln2,+8)上單調遞增，

故有Xi<―^-ln2<x2,

所以Xi，—ln2一力2e(—8,—，ln2),

要證Xi+x2<—ln2,即證xr<—ln2—x2,

即證g(/2)=g(力i)>g(—ln2—62)將g+力2<TII2,

下證：當力e(一■^-ln2,+8)時，有g(x)>g(—ln2一力),

設函數G(力)=g{x)—g(—ln2—力)(其中x>—~^-ln2),

則G(c)=g，(力)+g，(一ln2—6)=￡~(2e2”—D(e薩一2-e/>0,

故GQ)單調遞增，GQ)>G(-yln2)=0,

故g(力2)>g(Tn2-a;2)，所以6i+gV—ln2.

3.

法四：函數y=e”的圖象在(x,ex)處的曲率半徑7='十」,

ex

有卡=弋1)3=e4.+3e2.+3+e-2,,

e

設無(c)=e4"+3e2'+3+e-2”.

則有h\x)=4e4x+6e2x-2e-2x=2e~2x(e2x+l)2(2e2'-l),

所以當a;C(—oo,—gln2)時"(re)VO,當cC(—《ln2,+oo)時/z'(c)>0,

故％(c)在(-00,-yln2)上單調遞減，在(一］ln2,+00)上單調遞增.

故有Xi<—^-ln2<a?2,

所以Xi,—1112—電C(—oo,—^-ln2),

要證力1+力2V—ln2,即證g<—ln2—x2,

即證九(g)=以/1)>h(—ln2—x2).將力i+%2V—1口2,

下證：當c6(―^-ln2,+oo)時，有h(x)>h(—ln2—x),

設函數H(cc)=h(x)—Zz(—ln2—力)(其中x>—^-ln2),

則H'O)=/z'O)+〃(_ln2_2：)=(2e2l-l)2(l+-1-e-23：+^e-to)>0,

故HQ)單調遞增，故8(a;)>H(—Jln2)=0,

故/z(a；2)>無(—ln2—g)，所以0+gV—ln2.

2.有一種速度叫“中國速度”，“中國速度”正在刷新世界對中國高鐵的認知.由于地形等原因，在修建高

鐵、公路、橋隧等基建中，我們常用曲線的曲率(Curvature)來刻畫路線彎曲度.如圖所示的光滑曲

線。上的曲線段AB,設其弧長為As,曲線。在A,B兩點處的切線分別為&邑,記驍,3的夾角為

△。加404])，定義匠=^3為曲線段觸的平均曲率，定義以力)=肥|黑]=一'⑷3為

(1+(/'(%)))2

曲線C:y=f㈤在其上一點AQ,g)處的曲率.(其中/(力)為于㈤的導函數，/〃(乃為/㈤的導函數)

⑴若/(6)=sin(2c),求K(卞)；

(2)記圓/2+娟=2025上圓心角為卷的圓弧的平均曲率為a.

①求Q的值；

②設函數9(/)=ln(力+45Q)-6e'T,若方程0(/)=m(m>0)有兩個不相等的實數根力2,證明：

區(qū)—如<1—粵孚，其中e為自然對數的底數，e=2.71828….

3e—3

【解析】⑴/(%)=sin(2%)，r(T)=2cos(2%),/"(%)=-4sin(2x),

所以/'(￡)=2cosf==-4si吟=-4,

上傳)11-41.

----------------3-=-----------3=4d.

{i+{r傳)}卞(1+。尸

⑵①由圓的性質知圓/+才=2025上圓心角為弓的圓弧的弧長為AS=1R.

OO

弧的兩端點處的切線對應的夾角△夕二當，

O

所以該圓弧的平均曲率匠=24=4=丁'=三,也即a=士.

MlRA/20254545

②由于&=今，故g(c)=ln(a?+l)—xe^1^C(―1,+co),

又g(O)=O,g'(①)O+l)e'T,g”(c)=~1--(rr+2)e:c~1<0,

力十，(%+1)

所以g'3)在(―1,H-oo)上單調遞減，而g，(。)=1—：>0,g'(l)=^--2=―<0.

因此必存在唯一的gg(0,1)使得g〈g)=0且g(%)在(―l,g)上為正，在(g,+8)為負，即gQ)在

(―l,g)上單調遞增，在(T0,+oo)上單調遞減，

而g(0)=0,又g(4)=1吟—吟一/>0，，2V^>3oe>小ln_|>/=e3<9oeV號)，

g⑴=ln2—KO,

所以三力G使得g(t)=0,即g(/)的圖象與力軸有且僅有兩個交點(0,0),(^,0),易得g{x}在(0,0)處的

切線方程為lQ:y=fl—~=———x,

ve7e

在(t,0)處的切線方程為lt:y=(d]—(力+(a?—t),

下面證明兩切線I?！钡膱D象不在g(c)的圖象的下方：

令%0)=g(±)一(住]_?+1)或)(①一力)=g(x)-g(±)3-1),則h'(x)=g'(x)-g'(t).

因為h,f{x)=g"{x}V0,所以h\x)在(―1,+oo)單調遞減，而hf(t)=0,

所以〃⑶在(一1,。上為正，在U，+oo)為負，即八㈤在(一1力上單調遞增，在(力,+8)單調遞減,

因此h(x)&h(t)—g{t)—0=0,即gQ)W(—―(力+l)e-i)(力一力),

即gQ)的圖象恒在其圖象上的點(右0)處的切線的下方(當且僅當x=t時重合).

同理可證(將t視為0即可)，g(t)<(1--)rr

設直線V=m(m>0)與兩切線l0,k交點的橫坐標分別為X0,Xt,

則易得X。=上。,X尸———------+￡且X。<gV◎VX,

eT±——

因為小(；,1),故“―(t+1)尸e(一■—聶)￡(一多。),

立￡1、>TYIJ.,TYV?,-12772/

所以X=—------------+力<--+t<l---,

3

普-(--4

因此Ef|<X「X°<1—等—告=1—(5=『

OGJLJ6O

3.定義：若若(劣)是h(x)的導數,h"(x)是八'(力)的導數，則曲線g=h⑺在點(力,無(力))處的曲率K=

----'--；已知函數/(力)=e、in(卷+劣)，g(x)=x+(2a—l)cosre,(QVJ),曲線g=g(c)在點

{1+制⑻即’

(O,g(O))處的曲率為彳；

(1)求實數a的值；

(2)對任意xe[一爭o],何㈤>g3恒成立，求實數nz的取值范圍；

(3)設方程/(力)=g[c)在區(qū)間(2n7r+?2n7r+5)(neN*)內的根為如力2,…應，…比較為+i與g

+2兀的大小，并證明.

【解析】⑴由已知g'(力)=—(2a—l)sin/+Lg"(/)=—(2a—l)cosrc,

所以一土=工2,解得a=0(。=1舍去),

八二4

(1+12)2

所以Q=0；

x

(2)由(1)得g(/)=x—cosxff(x)=e、in(5+N)=ecosx,

則g，(x)=1+sinre,

對任意的名€[―5，。]，時(力)一。'(力)>0,即M"以九/一sin/-l>0恒成立，

令力=—■，則館,0+1—1=0>0,不等式恒成立，

當力e午,0~|時，cos/>0,原不等式化為館>sin%+1,

2」excosx

令慨,）=包些土l,,e

e,cos/-?。],

(cos/)eicosa;—e。(cos/—sin力)(sin/+1)

則h\x)=

(excosx)2

1—sinMOSA8S，+sin,=(1—cosaOQ+sino;)川

excos2a;e'cos之力

所以h（x）在區(qū)間（一］,o］單調遞增，所以7i（x）niax=%（0）=1,

所以7n>1,

綜上所述，實數TH的取值范圍為［1,+8）；

（3）rcn+i>/九+2兀，證明如下：

由已知方程/（6）=g'（力）可化為excosx-sinx-1=0,

令0（2）=eicosa;—sinx—1,貝U0'（力）—e”（cosc—sin/）—cosrc,

因為力e（2九兀+年,2九兀十5),所以cosx<sinrr,COST>0,

0

所以dQ）VO,所以0（N）在區(qū)間（2九兀+~|■:,2n?r+(n6TV*)上單調遞減,

2九兀+號/兀12加+裝V31

故0（2口兀+會）ecos2n7u+—sin(2ri7r+-1~)—1—e-------1

322

>]/席_岑_1〉22義3+1乂]_乎_1>0,

0(2H兀+])——2V0,

所以存在唯一力()6(2九兀+等,2?1兀+~|~),使得0(/0)=0,

又彩e(2n7r+-1-,2n7u+-|-),xn+1—E(2幾兀+會,2九兀+5),

71

貝|J0(0九+i—2兀)=ej+L2cos(力九+1—2兀)—sin(rrn+i—2TT)—1

_27r

=e^+icosa；n+i_sina;n+1—1

+1-27r

=e^cosa;n+i—e^tos^+i

=(已””+廠2兀一1"+】)COS為+1<0=0(咻)

由(p(x)單調遞減可得力九+]—2兀>力打，

所以xn+1>/九+2兀.

4.（2024.湖北黃岡.二模）第二十五屆中國國際高新技術成果交易會（簡稱“高交會”）在深圳閉幕.會展

展出了國產全球首架電動垂直起降載人飛碟.觀察它的外觀造型，我們會被其優(yōu)美的曲線折服.現代

產品外觀特別講究線條感,為此我們需要刻畫曲線的彎曲程度.考察如圖所示的光滑曲線。：夕=/⑺

上的曲線段其弧長為As,當動點從人沿曲線段A8運動到8點時，4點的切線口也隨著轉動到

8點的切線B記這兩條切線之間的夾角為△夕（它等于壇的傾斜角與心的傾斜角之差）.顯然，當弧長

固定時，夾角越大，曲線的彎曲程度就越大；當夾角固定時，弧長越小則彎曲程度越大，因此可以定義

匠=|碧|為曲線段的平均曲率；顯然當B越接近4,即As越小，K就越能精確刻畫曲線。在點

A處的彎曲程度，因此定義K=id整|=」^(若極限存在)為曲線。在點人處的曲率?(其中

y',g"分別表示g=/(劣)在點A處的一階、二階導數)

(1)已知拋物線/=2pg(p>0)的焦點到準線的距離為3,則在該拋物線上點(3,g)處的曲率是多少？

e

⑵若函數gQ)=-------七,不等式g(彳。一)4g(2—cos切/)對于力GR恒成立，求0的取值范

圍；

(3)若動點A的切線沿曲線/(劣)=2/—8運動至點8(4,/(g))處的切線,點B的切線與x軸的交點

為(3+i,0)(nGN*).若g=4,bn=xn—2,看是數列{6n}的前？2項和，證明Tn<3.

【解析】(1),?,拋物線/2=2pg(p>0)的焦點到準線的距離為3,??.p=3,

即拋物線方程為力2=60,即/(%)="=}?,則/'3)=]力，/〃(力)=4，

O33

XXr-

又拋物線在點(3,y)處的曲率，則K=--------——=

(1+1-3272陋12

即在該拋物線上點(3,切處的曲率為夸；

⑵???。(—)=^1號=^^=>—二—9(力

，g(N)在A上為奇函數，又g(力)在A上為減函數.

g(一_)<g(2—cosco力)對于?G_R恒成立等價于coscox>2—e—對于a;G_R恒成立?

又因為兩個函數都是偶函數，

記0(力)=coscox,q(x)=2—e~^e—，則曲線p(力)恒在曲線q(/)上方，

p'(力)=—a)sina)xfq'(x)=———,又因為p(0)=q(0)=1,

所以在劣=0處三角函數p(0的曲率不大于曲線q(c)的曲率，即一回也二4—""您3,

[i+p,2(0)F[1+^2(O)F

又因為p"{x}——a?cosa)x,q"⑸二一e—,

p"(0)=—co2,q"(0)=—1,所以療41,解得：—Kcy<l,

因此，口的取值范圍為[—1,1];

⑶由題可得了'(/)=4T,

所以曲線g=/(c)在點(/九,/(線))處的切線方程是沙一/(跳)=r(跳)(力一線)，

即1一(2x^-8)=4xn(x-xn),

令g=0,得一（第-4）=2嗎（為+1—為），即竟+4=2xnxn+1,

顯然為W0,?，?xn+1=,

2xn

2

,xn2z,八42c（6九+2）2cec（xn—2）

由xn+1=—H---,知xn+1+2=—H-----F2=------,同理xn+1—2——-----,

2xn2xn2xn2xn

2

吉攵/7z+l+2/xn+2\O1力九十2

<x—2）二2『

力n+i—2n,從而坨"I

設比力=%即ae2-所以數列｛斯｝是等比數列,

故飆=2”％=2“一皿3=2-g3,即】g表=2"贖,從而安=3:

bn+i=32…T=1v=X

bn~32n-l-32n-1+l32"、3211-3

當？i=l時，顯然7]=bi=2<3;

當n>1時,bn<-^-bn-1<佶）fen-2<佶）人,

1/1\n-l仇[1—（t）1/1\n

???瑪=bi+b2H---<bi+-61H------F（—）氏=----------=3—3?（―）<3,

o\J/1_、J/

3

綜上，&<3（n€N*）.

5.（2024?高三?浙江寧波?期末）在幾何學常常需要考慮曲線的彎曲程度，為此我們需要刻畫曲線的彎曲程

度.考察如圖所示的光滑曲線。：夕=/（/）上的曲線段叁，其弧長為As,當動點從A沿曲線段愈

運動到8點時，A點的切線lA也隨著轉動到8點的切線A，記這兩條切線之間的夾角為它等于lB

的傾斜角與蜃的傾斜角之差）.顯然，當弧長固定時，夾角越大，曲線的彎曲程度就越大；當夾角固定

時，弧長越小則彎曲程度越大，因此可以定義匠=為曲線段前的平均曲率;顯然當B越接近4,

即As越小，K就越能精確刻畫曲線。在點A處的彎曲程度，因此定義K=lim|黑|=（若極

限存在）為曲線。在點A處的曲率.（其中端'分別表示"=/（*）在點A處的一階、二階導數）

（1）求單位圓上圓心角為60°的圓弧的平均曲率;

（2）求橢圓,+才=1在（四，1）處的曲率；

（3）定義=”《為曲線"=/（T）的“柯西曲率”.已知在曲線/Q）=xlns-2c上存在兩點

（i+y）

P（現/⑶））和Q（＞2,/（電）），且P,Q處的“柯西曲率”相同，求人+溫的取值范圍.

7t

【解析】⑴左=|制=1=L

3

3

⑵方AA?，娟=-I。—I）="』一to—節(jié)士

2=1677

故式品一三，y/_2，故改=7~~7J-49

(1+打

⑶廣⑺=lnx-l,/"(x)=(,故w(y)=：=產，其中s=^x,

x(1+沙)x^lnx)(3slns)3

令力1=^^"2=^^,則力lln打=加直2,則1岫=—普斗■，其中力=整＞1（不妨32＞幻

t—161

令p（x）—x\nx,p\x）=1+In/=p（力）在（。,工）遞減，在（二,+8）遞增，故1＞32＞工＞力1＞0；

令九（力）=ln（力+與）=ln（^+l）

"⑴=^17口水一'令?、?2^^（土＞1），

（t—1）2

f

則m（t）=—J----,當力＞1時，m'（t）＞0恒成立，故?n⑴在（1,+oo）上單調遞增，

L\T/~\JLJ

可得m（t）＞m（l）=0,即In力—；）＞0,

故有〃⑴=H^[in±一?上]＞。，

則無⑴在（1,+oo）遞增，

又lim/z(t)=ln2—1,lim/i(f)=0,故In(力什與)C(ln2—1,0),

故=tj+12G(2,1).

6.（2024?高三?遼寧?期中）用數學的眼光看世界就能發(fā)現很多數學之“美”.現代建筑講究線條感，曲線

之美讓人稱奇.衡量曲線彎曲程度的重要指標是曲率，曲線的曲率定義如下:若廣（乃是/（為的導函

數，/（乃是/'（功的導函數，則曲線"=/3）在點3，/（乃）處的曲率爪=一3

（i+[fWlT

（1）求曲線/O）=lmr+/在（1,1）處的曲率K的平方;

⑵求余弦曲線九（力）=cosx（xGR）曲率片的最大值；

???

【解析】(1)因為/(力)=111%+力，則/(力)=—+1,產⑺=--y,

xX

0ird)iii

所以居=-----------=--------T=工，

(l+[f(l)]2y(1+275q

(2)因為h{x)=cos%(力67?),貝Uh'{x}=-sin)，h"{x}=-cos/,

所以的=—*3=cos',

(1+[〃3時(1+sin20p

則在=cos2：cos2q

(1+sin2rr)3(2—cos之力了

令力=2—cos?力，則tE[1,2],&=2J,

t3

1幾/.\2—tjnj/,\—t3—3t2(2—t)2t—6

僅,則pf⑴=------幣-----=,

顯然當te[1,2]時，少⑴vo,0⑴單調遞減,

所以p（t）max=P⑴=1,則&最大值為1,

所以范的最大值為1.

7.曲線的曲率定義如下:若廣（0是/（0的導函數,「（0是r（0的導函數,則曲線g=/Q）在點（⑨/Q）

\r（x}\

）處的曲率K=------------已知函數/（力）=excosx,g（力）=QCOSN+%（QV0）,曲線g=gQ）在點

{i+[fW]2F

（O,g（O））處的曲率為卓.

（1）求實數a的值；

（2）對任意的劣G[-y,0],tf（x）—g@）>0恒成立,求實數t的取值范圍；

⑶設方程/⑺=g，（4）在區(qū)間（2九兀+?2?i兀+eN+）內的根從小到大依次為如電,-??,xn,…,

求證:^n+1一①九>2兀?

【解析】(1)由已知g'3)=—asinrc+=—acosT,,

所以---―-二工^?，解方程得a=-1

(1+12)14

⑵對任意的力G[—嬴,。],tf(x)—g'(宏)>0,即texcosx—sinrr—1>0恒成立,

令力=一年，則力?0+1—1>0,不等式恒成立

當力e(-4-01時，cosc>0,原不等式化為力當sin-+l

'2」excosx

sin/+1

令九（力）=

excosa;’

(cosrr)eicosa;—ex(cosrr—sina?)(sinreH-1)

則h\x)

(excosx)2

=1—sinaxosc—cosc+sin力

excos2x

_(1—cosrr)(1+sinrr)

e”cos2c

所以九0）在區(qū)間（-y,o]單調遞增，所以最大值為無（0）=1

所以要使不等式恒成立必有力＞1

(3)由已知方程/(劣)=g\x)可化為excosx—sin/—1=0

令0(力)=eicosa?—sine—1,貝U(pr(x)=ex(cosT—sina7)—cosx

因為力e（2幾兀十看,2九兀十卷），所以cosx<sin力,cos力>0

o/

所以(p'{x)<0,0(力)在區(qū)間(2n兀+爭2?2兀+~^)(?1EN+)上單調遞減,

(o兀、2n7r+f兀、.(%兀、12n7r+i1加1

2n7u+—)—ecos(2n7r+--)—sm(2n7r+--)—1=e—--------1

ooo/z

>e2/4■—乎—1>2所看—卓―l>0

0(2幾兀+方)=—2<0

所以存在唯一XQE（2"兀十等,2九兀+]■）,9（g）=0

xnE（2九兀+年,271兀+1，xn+1—2兀6(ZnTr+^gTiTi+V

o乙

0(c九+1-2兀)=e%+L2ncos(力九+1一2兀)-sin(Tn+i-27C)-1

a：n+1-27r

=ecosTn+i—sinrcn+1—1

27c①蕤+i

=ecosTn+i—ecos6九十i

1-271

=(e^'—e^)cosrcn+i

vo=9（X）

由（p（x）單調遞減可得力九+i—2兀＞為即為+i—力九＞2兀

8.(2024.湖南永州.三模)曲線的曲率定義如下:若［3)是/(6)的導函數，令夕(力)=尸(N),則曲線g=

f(G在點(x,f(x))處的曲率K=--->(*"-已知函數/(n)=—+/(Q>0),g(rr)=(力+l)ln(力

(1+了(刈2尸0

+1)，且/3)在點(o,/(o))處的曲率K=4.

(1)求a的值,并證明：當力>0時，/⑻>g(x)；

(2)若第=IndjD，且北=瓦-b2-b3-bn(n6N*),求證：伍+2)或.

n+1

【解析】(i)/'(力)=包+1=夕(力)，“㈤=2,r(o)=1,。>0,

aa

?."3)在點(0,/(O))處的曲率K=苧，

—：=乎,解得&=2.

(i+iT4

當2>0時，/z(a?)=/(c)—g{x}--^-x2+c—(a?+l)ln(c+1),

h'(力)=x-\-l—ln(a;+1)—1=a;—InQ+1),

令u(x)=x—In(力+1),貝Uur(a?)=1---^―-=->0,

力+16+1

工〃3)在%>0時單調遞增，.?.〃(%)>“(0)=0,.?.〃(6)>0,工函數拉Q)在(0,+8)上單調遞增，???八(力)

>>0)=0,因此f(x)>g(x).

⑵證明：由⑴可得：-1-a?2+x>(%+l)ln(T+1),

.hiQ+l)一/(劣+1)

,?,\V/>,a，力>°，

力+12(rc+l)2

人l