一元二次方程根的分布問題（3大壓軸考法）解析版-2024-2025學年人教版高一數(shù)學壓軸題攻略

專題07一元二次方程根的分布問題

注意：本節(jié)專題提前涉及到第三章的部分簡單概念

目錄

解題知識必備.......................................

壓軸題型講練........................................................4

題型一、一元二次方程根的零分布.............................................4

題型二、一元二次方程根的k分布.............................................8

題型三、一元二次方程根在區(qū)間上的分布.....................................11

壓軸能力測評（9題）...............................................14

X解題知識必備2

一、二次函數(shù)相關(guān)知識

對于形如丁=辦2+次+c（aw。）的二次函數(shù)，有以下性質(zhì)：

—77+J/72—4/7「

1、判別式：△=斤—4ac；求根公式：x="；

2a

、、bc

2、韋達定理：玉+=---，XyX=一；

a2a

3、二次函數(shù)對稱軸%=—--,定點坐標（————-一--）.

2a2a?4ac

二、一元二次方程的根的基本分布——零分布

所謂一元二次方程根的零分布，指的是方程的根相對于零的關(guān)系.比如一元二次方程有一正根，有一負根,

其實就是指這個一元二次方程一個根比零大，一個根比零小，或者說，這兩個根分布在零的兩側(cè).

A=Z?2-4ac>0

八

<b

1、方程有兩個不等正根和％OXj+々二------>0

a

xx=—>0

x2a

A=Z?2-4ac>0

b八

2、方程有兩個不等負根石,看。<%+“2=-------<0

a

c

xx=—>0

{2a

3、方程有一正根和一負根，設兩根為％,兀2O%1兀2=￡<0

a

三、一元二次方程根的k分布

兩根都小于左即兩根都大于4即一根小于左，一大于女即

分布情況

xx<k,x2<kxx>k.x2>kx1<k<x2

yk1y八U/

k

\L

大致圖象（4>0）TF7^

rrx

A>0A>0

上〉

得出的結(jié)論k/W<0

2a2a

J㈤〉0J⑻〉0

hu

大致圖象（?<0）

TTrvTTr

A>0A>0

一上〉

得出的結(jié)論Lkk/W>o

2ala

f（%0/（左）<0

A>0A>0

綜合結(jié)論

-2<k-2〉左

<<a-/（左）<0

（不討論a）2ala

a"（左）>02-f（k）>0

四、一元二次方程根在區(qū)間的分布

根的分布圖像限定條件

L

1A<0

mnx

01

A=0

xx=x2<m

或％=x>m

1/.\/2

0mnx

A>0

在區(qū)間內(nèi)二b

?-----<m

2a

沒有實根4f(m)>0

A>0

b

?----->n

la

/(?)>0

mn\x

rf(m)<0

\Fmn[fW<0

7(m)>0

[fW<o

o^

在區(qū)間(m,ri)內(nèi)

有且只有一個實根y

JW>0

\y

A>0

b

在區(qū)間內(nèi)m<-----<n

la

有兩個不等實根\JA>0

??壓軸題型講練??

【題型一一元二次方程根的零分布】

一、多選題

1.(23-24高一上?山西太原?階段練習)已知關(guān)于x的方程必+?+0+3=0,貝I().

A.當a=2時，方程有兩個不相等的實數(shù)根

B.方程無實數(shù)根的一個充分條件是-2<。<4

C.方程有兩個不相等的負根的充要條件是“>6

D.方程有一個正根和一個負根的充要條件是a<-4

【答案】BC

【分析】對于A選項：利用一元二次方程的判別式即可判斷；對于B選項：利用一元二次方程無實數(shù)根的

條件和充分條件的性質(zhì)即可判斷；對于C,D選項：利用判別式以及韋達定理即可判斷；

【詳解】對于A選項：當。=2時，X2+2x+5=0,此時△=22-4xlx5=-16<0,

此時方程沒有實數(shù)根，故A選項錯誤；

對于B選項：方程無實數(shù)根的充要條件是A=〃-4xlx(a+3)<0,即-2<。<6,

所以方程無實數(shù)根的一個充分條件是｛。卜2<々<6｝的子集，顯然-2<“<4符合，故B選項正確;

△=Q2-4X1X(Q+3)〉0

對于C選項：方程有兩個不相等的負根的充要條件是V%+%2=一〃<0，

xl-x2=a+3>0

解得：a>6,故C選項正確；

對于D選項：方程有一個正根和一個負根的充要條件是［△="一4x：xV+3)>0,

。+3<0

解得：。<-3,故D選項錯誤；

故選：BC.

二、填空題

2.(23-24高一上.北京?期中)已知方程尤+根=0有兩個不相等的正根，則實數(shù)機的取值范圍

是.

【答案】(0」)

【分析】利用判別式與韋達定理得到關(guān)于機的不等式組，從而得解.

【詳解】因為加-2)%+加=0有兩個不相等的正根，即x2+4(m-2)X+4m=0有兩個不相等的正根,

A=16(加一2『-4x4m>0

所以-4(m-2)>0,解得。<加<1.

4m>0

故答案為：(0,1).

三、解答題

2

3.(24-25高一上?上海?課堂例題)已知方程f+4mx-4-12m=0.

(1)若關(guān)于機的方程總有實數(shù)解，求x的取值范圍；

(2)求證：無論機取何實數(shù)，關(guān)于尤的方程尤2+4"四一4-12/=。必有互異實數(shù)根.

【答案】⑴卜8,-⑹U("+8)

(2)證明見解析

【分析】(1)根據(jù)一元二次方程有實數(shù)根，判別式A20即可求解;

(2)根據(jù)一元二次方程有互異實數(shù)根，根據(jù)韋達定理玉馬<。即可求解.

【詳解】(1)已知關(guān)于m的方程12病-4尤77?一/+4=0有實根，

A=fy-4X12X(-X2+4)>0,

整理得x2>3><*?x<-A/3或x2#).

所以x的取值范圍為~，-@U("可.

(2)*.*A=16m2—4(—4—12加=64m2+16>0,

???無論機為何值，關(guān)于元的方程有兩個不相等的實數(shù)根.

又根據(jù)韋達定理兩根之積為-4-12”<0,

故無論機為何值，關(guān)于I的方程有兩個異號實數(shù)根.

4.(23-24高一上?山東濰坊?階段練習)關(guān)于x的方程以2+%+1=。至少有一個負實根，求。的取值范圍.

【答案】a~~7

4

【分析】首先分〃=0和兩種情況討論，當awO時又分為方程有一正根一負根、有兩個負實根兩種情

況，即可求解

【詳解】①當〃=0時，解得％=-1,滿足條件；

②當awO時，顯然方程沒有零根，由A=l-4。之0,得

4

設方程的兩個實數(shù)根為和馬

A=l-4a>0

若方程有兩異號實根，貝!I1n，解得avO；

石々二—<0

、a

A=1-4(2>0

若方程有兩個負的實根，貝！J玉Z=’>。，解得.

a4

%+々=--<0

a

綜上，若方程+1=0至少有一個負的實根，則

4

5.(23-24高一上?山東臨沂?期末)已知關(guān)于無的不等式化2一24-3卜2+化+1卜+1>0億eR)的解集為M.

(1)若〃=R,求上的取值范圍；

⑵若存在兩個不相等負實數(shù)a,b,使得M=｛x|x<a或x>。｝,求實數(shù)上的取值范圍.

13

【答案】⑴｛用心-1或左>可｝

⑵［出《口

【分析】(1)分類討論，結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)可得；

(2)由一元二次不等式的解集結(jié)合一元二次方程根的分布可得.

【詳解】(1)當左2_203=0時，左=-1或左=3.

當上=一1時，1>0恒成立；

當左=3時，4x+1>0,解得不恒成立，舍去.

4

左2-2左一3>0,

當-一2"3*°時'1=(左+1)2_4代_2"3)<0,

解得%>與13或k<-l.

13

綜上可知，k的取值范圍為｛用上4-1或％>不｝.

(2)由/-2左一3>0可得上>3或k<-1.

因為不等式解集的兩個端點就是對應方程的實數(shù)根，

所以關(guān)于x的方程伙,一2左一3)f+伏+l)x+l=0伏eR)有兩個不相等的負根,

A=(^+l)2-4(^2-2^-3)>0,

人+1

設為七，x2,貝,X]+%2=——2----------<0，，

K,—2化—3

------->0,

I12k2-2k-3

解得3"<1?3，

綜上可知，k的取值范圍為[后3cl

6.(23-24高一上.河南.階段練習)已知見,馬是一元二次方程(必2+1)/-(4%+1)*+1=0的兩個不相等的實

數(shù)根.

(1)若兩根同號，求實數(shù)上的取值范圍；

(2)求使得1k+亨+4的值為整數(shù)的整數(shù)k的值.

【答案】

(2)1

【分析】(1)一元二次方程兩個不相等的實數(shù)根.則△>(),兩根同號則王馬>。，解不等式組可得;

（2）&+三+4變形為（再+%）+2,由韋達定理代入整理可得6+器三，由整數(shù)要求得8左-324左2+1,

尤2占瓦/4左一+1

進而求解驗證左值可解.

再入2=-9——>0,Q

【詳解】（1）由題意得一必-+1即%

△=（4左+1）2—4（4公+1）>0,8

所以實數(shù)%的取值范圍為“上>|};

3

（2）由（1）知，當女〉7時，方程有兩個實數(shù)根，

O

f4Z+11

可知%%=4F7T,X1%2=4FTT，

于是&+強+4=?+々）-+2="+1）2+2=6+^1,

x2再再入24左+14k+1

由左>■!，貝!|8%—3>0,則^1>0,

844+1

即要使等一的值為正整數(shù)，且人為整數(shù)，則當二21,

4K+14r+1

貝!I有4r+1W8左-3,化簡得（1）2M0,貝!）左=1,

令左=1,此時表3=1為整數(shù)，貝!U=1滿足題意.

故使得，+2+4的值為整數(shù)的整數(shù)k的值為1

【題型二一元二次方程根的k分布】

一、填空題

1.（23-24高一上.江蘇連云港.階段練習）已知方程/-2依+。2一4=0的一個實根小于2,另一個實根大于

2,求實數(shù)。的取值范圍___________.

【答案】（0,4）

【分析】設“x）=d-2依+/_4,結(jié)合題意，得到〃2）<0,即可求解.

【詳解】設〃x）=Y-2依+。2-4,

因為方程爐-2依+/一4=0的一個實根小于2,另一個實根大于2,

則滿足了（2）=/一4a<0,解得0<a<4,即實數(shù)。的取值范圍為（0,4）.

故答案為：（0,4）.

2.（23-24高一上?重慶?期末）關(guān)于x的一元二次方程/+（4-1）尤+4-2=0有一個根小于一1,另一個根大

于1,則。的取值范圍是.

【答案】-2<?<0

【分析】根據(jù)二次函數(shù)圖像特征，滿足即得a的取值范圍.

【詳解】設〃力=爐+(〃-1)兀+4-2,開口向上,

/(l)=l+(a2-l)+a-2<0

由題意知，

/(-l)=l-(a2-l)+a-2<0

ci~+ci—2<0—2<Q<1

，解得

4〈0或4)1

—Q-+a<0

所以—2<a<0.

故答案為：-2<a<0.

3.(2023高一?全國?課后作業(yè))關(guān)于x的方程/一〃尤+1=0的兩根均大于1,則實數(shù)。的取值集合為.

【答案】0

【分析】不妨設關(guān)于x的方程f一辦+1=0的兩實數(shù)根為七，x2,利用韋達定理推出矛盾，即可得解.

【詳解】不妨設關(guān)于X的方程/一4尤+1=0的兩實數(shù)根為4，%,貝也無2=1，

若兩根均大于1,則占％>1,矛盾，

故不存在實數(shù)a,使得關(guān)于X的方程x2-ax+l=0的兩根均大于1,

即實數(shù)。的取值集合為。.

故答案為：0

二、解答題

4.(23-24高一上?江蘇南京?階段練習)已知命題p：*cR,尤2_a比+140.

(1)若。為真命題，求實數(shù)。的取值范圍；

⑵命題4：關(guān)于尤的一元二次方程幺+(。-1卜+。-2=0的一根小于0,另一根大于3,若P、4至少有一個

是真命題，求實數(shù)。的取值范圍.

【答案】⑴aV-2或。22

(2)a<-1或a22

【分析】(1)由題意可得A2O,即可解得實數(shù)。的取值范圍；

(2)求出當命題4為真命題時。的取值范圍，然后考慮當P、4均為假命題時實數(shù)。的取值范圍，結(jié)合補

集思想可求得P、4至少有一個是真命題，實數(shù)。的取值范圍.

【詳解】⑴解：由題意，若P為真，則A=a2—4N0,解得“4-2或aN2.

(2)解：若＜7為真,爐+(a—i)無+a_2=0o(%+l)(x+a—2)=0,方程兩根為一1和2—a,

貝！J由題意得2—a＞3,所以av—1,

|—2＜Q＜2

當P、夕均為假命題時，有、?，可得-

因此，如果P、q中至少有一個為真時，。＜-1或。22.

5.(22-23高一上?全國?單元測試)己知關(guān)于x的方/一2工+4=0.當。為何值時,

(1)方程的一個根大于1,另一個根小于1?

(2)方程的一個根大于一1且小于1,另一個根大于2且小于3?

【答案】

(2){a[-3＜a＜。}.

【分析】(1)根據(jù)方程根的分布，可得不等式，求得答案；

(2)根據(jù)方程根的分布，可得不等式組，求得答案；

【詳解】(1)二次函數(shù)y=/-2尤+。的圖象是開口向上的拋物線，

故方程f-2x+a=0的一個根大于1,另一個根小于1,

則12一2+"0,解得。＜1,所以a的取值范圍是{?。?}.

(2)方程/一2%+。=0的一個根大于-1且小于1,另一個根大于2且小于3,

作滿足題意的二次函數(shù)y=x1-2x+a的大致圖象，

解得—3<a<0.所以a的取值范圍是{。卜3<a<O}.

【題型三一元二次方程根在區(qū)間上的分布】

一、單選題

1.（22-23高一上?江蘇揚州?階段練習）已知一元二次方程好—爪％+1=0的兩根都在（0,2）內(nèi)，則實數(shù)機的

取值范圍是（）

A.B.2,|JC.2,1[D.（-ao,-2]0^2,^

【答案】B

【分析】設/（力=尤2Tm+1，根據(jù)二次函數(shù)零點分布可得出關(guān)于實數(shù)機的不等式組，由此可解得實數(shù)加的

取值范圍.

A=m2-4>0

YYl

0<I<2,解得24相<半

【詳解】設〃x）=d-m+l,由題意可得-

/(o)=i>o2

/(2)=-2/?+5>0

因此，實數(shù)機的取值范圍是2,1

故選：B.

二、填空題

2.（23-24高一上?江蘇南京?階段練習）設機為實數(shù)，若二次函數(shù)>=--x+m在區(qū)間（-8,1）上有兩個零點，

則機的取值范圍是.

【答案】

【分析】由題意方程/-龍+m=0在區(qū)間內(nèi)有兩個不同的根，根據(jù)二次方程根的分布即可求出參數(shù)的

取值范圍.

【詳解】二次函數(shù)y=x2—x+m的對稱軸為X=；,且開口向上，

因為二次函數(shù)y=V一元+%在區(qū)間（y,l）上有兩個零點，

所以方程％2一%+機=0在區(qū)間內(nèi)有兩個不同的根，

A=l-4m>0

記方程f一%+m=0的兩根為國，貝！I<（玉一1）+（工2-1）=玉+入2-2=1-2<。,

（玉-1）-（%—1）=%科2—（玉+12）+1=機―1+1〉0

解得0＜根＜；,所以機1

4

故答案為：10，；

三、解答題

3.(23-24高一上?浙江寧波?階段練習)已知函數(shù)，(%)=/+2(。+2)*+/-1.

⑴〃x)=0有兩根七,無2,且無1＜。＜々，求實數(shù)。的取值范圍；

(2)〃x)=0有兩根再,3,且-4＜不＜尤2＜。，求實數(shù)a的取值范圍.

【答案】⑴-l＜avl

(2)—|＜a＜-l

【分析】(1)根據(jù)二次函數(shù)兩根異號可得A＞0且為無2＜。，解不等式即可求得實數(shù)a的取值范圍；

(2)由兩根的分布范圍可知公＞0,/(0)＞0,/(-1)＞0,且對稱軸在(-4,0)內(nèi)，解不等式即可求得結(jié)果.

【詳解】(1)根據(jù)題意可知，函數(shù)/(x)=/+2(a+2)x+a2-l開口向上，

~_A=4(?+2)2-4(a2-l)＞0

若再＜。＜%,所以只要，')，

%馬=〃2一1＜。

5

a＞—

解得,4；

—1＜Q＜1

因此可得，實數(shù)a的取值范圍是-

△=4（a+2）2-4（/_］）>o

/（0）=a2-l>0

(2)依題意需滿足■2（a+2）9

-4<—-------^<0

2

f（-4）=a2-8a-l>0

解得

4

即實數(shù)a的取值范圍是。＜-1.

4

4.(23-24高一上?天津南開?期中)已知函數(shù)〃力=(。+1)]2一依+〃-l(a￡R).

⑴不等式〃x)＜0的解集為0，求。的取值范圍；

⑵若函數(shù)〃x)的兩個零點在區(qū)間(-M)內(nèi)，求。的取值范圍.

【分析】(1)依題意可得(。+1)/-依+4-120恒成立，分4+1=0、4+1H0兩種情況討論;

(2)分。+1>0、。+1<0兩種情況討論，結(jié)合二次方程根的分布得到方程組，解得即可.

【詳解】(1)因為不等式/'(x)<0的解集為0,

所以(a+1)尤2—依+°一GO恒成立，

當a+l=0,即a=-l時，貝!Jx-22O,解得xN2,顯然不符合題意；

[tz+1>026

當a+lwO時，則需滿足八2A(4、/八/八，解得〃2至，

-R\

即。的取值范圍為之2，+8

(2)若函數(shù)“X)的兩個零點在區(qū)間(-M)內(nèi),

顯然。+1片0,

Q+1>0a+l>0

A>0〃2_4(〃+1)(Q-])>0

-1aray，解得0<a<2,

當a+l>0,則需滿足―<2(a+l)<19即<1</、<1

2(6Z+1)3

f(-i)>o3?！?

/(i)>oa>0

a+1<0a+l<0

A>0/—4(Q+)>o

-1,ay

當。+1<0,則需滿足，<2(aa+l)<1即<1</、<1

f2(a+l)，解得ae0,

f(-i)<o3〃<0

/?<0a<0

綜上可得。e0,——.

I3J

5.(2023高三?全國?專題練習)關(guān)于x的方程/+(伍-3)x+m=0滿足下列條件，求機的取值范圍.

⑴有兩個正根；

(2)一個根大于1,一個根小于1；

(3)一個根在(-2,0)內(nèi)，另一個根在(0,4)內(nèi)；

(4)一個根小于2,一個根大于4；

⑸兩個根都在(。，2)內(nèi).

【答案】⑴Ovg

(2)m<1

4

(3)--<m<0

4

(4)m<-—

2

(5)—<m<1

【分析】根據(jù)二次方程根的分布的性質(zhì)逐一解決每個小問.

【詳解】（1）令y（x）=f+G3）x+m,設/（無）=。的兩個根為再,馬.

x1+x2=3-m>0

由題得，x{x2=m>0,解得Ov機Ml.

A=(3-m)2-4m>0

(2)若方程％2+(利—3)x+m=0的一個根大于1,一個根小于1,則/⑴=2機-2<0,解得機<1

7(-2)=10-m>0

(3)若方程％2+(m—3)x+m=0一個根在(-2,0)內(nèi)，另一個根在(0,4)內(nèi)，貝!|7(0)=用<。,解得

/(4)=5m+4>0

4

——<m<0

5

(4)若方程％2+(加一3)%+m=0的一個根小于2,一個根大于4,

/(2)=3m-2<04

解得根＜一《

/(4)=5m+4<0

V(2)=3m-2>0

/(0)=m>0

，解得］〈機

（5）若方程/+（加—3）x+m=0的兩個根都在（0,2）內(nèi)，則v,m-3

2

△二(3—m)2-4m>0

??壓軸能力測評X

一、單選題

1.（2024IWJ二?全國?專題練習）關(guān)于x的方程辦之+（a+2）x+9〃=0有兩個不相等的實數(shù)根%,斗，且石＜1＜%，

那么4的取值范圍是（）

22c2

A.——<a<—B.ci>一

755

22

C.a<—D.-----VQ<0

711

【答案】D

【分析】說明。=0時，不合題意，從而將a?+（a+2）尤+9。=?；癁閅+[1+：]X+9=。，令

y=x2+（l+：）x+9,結(jié)合其與x軸有兩個交點，且分布在1的兩側(cè)，可列不等式即可求得答案.

【詳解】當4=0時，依2+（a+2）x+9a=0即為2x=0,不符合題意；

故awO,cix~+（a+2）x+9a=0即為x?+[1H—]x+9=0,

令>=/+（1+2卜+9,

由于關(guān)于x的方程以2+（a+2）x+9a=0有兩個不相等的實數(shù)根%,9，且玉<1<%，

則y=G?+（a+2）x+9a與x軸有兩個交點，且分布在1的兩側(cè)，

故x=l時，y<0,即1+[“1+9<0,解得2<_ii,故_2<〃<0,

故選：D

二、填空題

2.（22-23高一上?北京?期中）已知關(guān)于x的方程犬+2（0+2）彳+/_1=0有一個正根和一個負根，則實數(shù)。的

取值范圍為.

【答案】（-M）

【分析】利用二次方程根的分布可得出關(guān)于實數(shù)。的不等式組，由此可解得實數(shù)。的取值范圍.

【詳解】設方程關(guān)于x的方程爐+2（.+2）*+4-1=。的兩根分別為巧、龍2，

A=4（fl+2）2-4（fl2-l）>0

則，1），解得—1<”1.

王尤2=。~—

故答案為：（-1J）.

3.（23-24高二下?遼寧?期末）已知關(guān)于x的方程d-2x+〃Ll=（）的兩個實數(shù)根同號，則實數(shù)機的取值范圍

為.

【答案】（1,2]

[A>0

【分析】運用n解題即可.

[西尤2>。

A>04-4(m-l)>0￡,

【詳解】根據(jù)題意得到即吁1>。'解得1〈小2.

故答案為：（L2].

三、解答題

4.（2023高一?江蘇?專題練習）己知一元二次方程f+77n+1=0的兩根都在（。,2）內(nèi)，求實數(shù)機的取值范圍.

【答案】（-1-2]

【分析】利用一元二次方程的根的分布求解.

【詳解】設=V4-mx+1,

A=m2-4>0

m<一2或加>2

/(o)=i>o

5

由題意知：，〃2)=4+2m+1>0,即m>——

2

八mA

0<——<2-4<m<0

2

解得一泊4-2.

二實數(shù)m的取值范圍為（。-2].

5.（23-24高一下?云南?階段練習）已知二次函數(shù)“xbr+Q左+5）龍+x）＞0的解集為

（-8,%）口（%2'+。）,%1力％2?

（1）若發(fā)=—1,求五七三的值；

玉超

⑵若不＜0,尤2＜0，求實數(shù)k的取值范圍.

【答案】（1）7

（2）（-1,0）U（0,+＜x＞）

4

【分析】（D根據(jù)題意，轉(zhuǎn)化為網(wǎng)，尤2是方程V+3x+l=0的兩個實數(shù)根，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系，以及

日土豆=①土豆凸衛(wèi)，即可求解.

x{x2再入2

（2）根據(jù)題意，轉(zhuǎn)化為方程f+（2左+5.+二=0的兩個負實數(shù)根，結(jié)合一元二次方程根的分布情況，列

出不等式組，即可求解.

【詳解】⑴解：當上=一1時，函數(shù)〃%）=三+3%+1,

因為〃尤）＞0的解集為（—°,%）U（無2，y），且占W3，

即X],當是方程/+3》+1=0的兩個實數(shù)根，可得玉+%=-3,再々=1,

則石+尤2_（玉+X?）~—2玉x?_（—3）~—2x1_7

XyX2玉工21

（2）解：因為〃力>。的解集為（YO,可）U（X2，X°），且占二々，

即再，多是方程無2+（2左+5）尤+左2=0的兩個實數(shù)根，

2

又因為々<0,x2<0,即方程f+（2k+5）x+左=0的兩個負實數(shù)根，

A=（2%+5）2-442>0

貝!I滿足占+9=一2%一5<0,解得左>-3且左/0，

,24

xxx2=k>0

所以實數(shù)上的取值范圍為（-：,o）UQy）.

4

6.（23-24高一上.浙江金華?階段練習）已知關(guān)于x的方程x2+2（m-l）%+2?7+6=0,當方程的根滿足下列

條件時，求機的取值范圍.

⑴有兩個實數(shù)根，且一個比2大，一個比2??；

（2）至少有一個正根.

【答案】（1）帆<一1

（2）m<-1

【分析】（1）設/。）=%2+2（根-1）%+2機+6,則由題意可得，求解即可得答案；

（2）采用正難則反的原則再進行分類討論即可.

【詳解】（1）設/（x）=%2+2（機一1）%+2m+6,

則由題意可得/（2）=6"+6<0,解得mV-L

（2）關(guān)于x的方程％2+2（m-1）%+2根+6=0無實數(shù)根時，4（m-l）2-4（2m+6）<0,

解得一1〈機v5,

關(guān)于x的方程x2+2（m-l）x+2m+6=0有兩個負實數(shù)根時,

4（m-l）2-4（2m+6）>0

<-2（m-l）<0,解得機）5,

2m+6>0

所以關(guān)于x的方程/+2（m-l）x+2m+6=0無實數(shù)根時或有兩個負實數(shù)根時m>-l,

可得關(guān)于x的方程x2+2（m-l）x+2m+6=0至少有一個正實數(shù)根，貝!|/W.

7.（23-24高二下?內(nèi)蒙古錫林郭勒盟?期末）關(guān)于元的方程/+（加-3卜+根=。滿足下列條件，求加的取值范

圍.

⑴有兩個正根;

(2)一個根大于1,一個根小于1；

(3)一個根在(-2,0)內(nèi)，另一個根在(。,4)內(nèi);

【答案】⑴Ovg;

(2)m<1

4

(3)-~v機<0.

【分析】(1)根據(jù)韋達定理和根的判別式得到不等式，求出

(2)令/(%)=尤2+(〃?一3)天+優(yōu)，設〃x)=0的兩個根為和馬,/(-1)=4>0,故只需/(1)=2〃?一2<0,

求出答案；

(3)根據(jù)方程/+(3)x+根=0一個根在(-2,0)內(nèi)，另一個根在(0,4)內(nèi)，得到不等式，求出答案.

【詳解】⑴令『(句=/+9-3)x+/n,設〃x)=0的兩個根為玉,馬.

x1+x2=3-m>0

由題得,=m>0,解得OvmVI.

A=(3-m)2-4m>0

(2)令/{%)=/+(祇-3卜+加，設〃x)=0的兩個根為X],%.

若方程/+(〃7-3卜+m=0的一個根大于1,一個根小于1,

由于/(一1)=1一(機一3)+機=4>0,/(%)=/+(機-3)%+:幾開口向上,

故只需/(1)=2機一2<0,解得加<1.

(3)令/(力=/+(?1_3卜+〃7,設〃x)=0的兩個根為冷

若方程一+(祖-3)x+〃z=0一個根在(-2,0)內(nèi)，另一個根在(0,4)內(nèi)，

結(jié)合/(%)=彳2+(加一3卜+7找開口向上，

'/(-2)=10-m>0

則/(0)=m<0,解得]<m<0.

f(4)=5m+4>0

8.(23-24高一上?吉林長春?階段練習)已知a,6eN*,c=l,