二次函數(shù)的應用（講義）（原卷版）-2024年中考數(shù)學一輪復習

第14講二次函數(shù)的應用

目錄

題型08圖形問題

一、考情分析

題型09圖形運動問題

二、知識建構(gòu)題型10二次函數(shù)綜合問題

題型01最大利潤/銷量問題

類型一線段、周長問題

題型02方案選擇問題

類型二面積周長問題

題型03拱橋問題

類型三角度問題

題型04隧道問題

類型四特殊三角形問題

題型05空中跳躍軌跡問題

類型五特殊四邊形問題

題型06球類飛行軌跡

題型07噴泉問題

考點要求新課標要求命題預測

二次函數(shù)的應用在中考中較為常見，其中，二次函數(shù)在實際生

活中的應用多為小題，出題率不高，一般需要根據(jù)題意自行建議二

二次函數(shù)的>能用二次函數(shù)解次函數(shù)模型；而利用二次函數(shù)圖象解決實際問題和最值問題則多

應用決實際問題為解答題，此類問題需要多注意題意的理解，而且一般計算數(shù)據(jù)較

大，還需根據(jù)實際情況判斷所求結(jié)果是否有合適，需要考生在做題

過程中更為細心對待。

最大利潤/銷量問題

噴泉問題

二

次方案選擇問題

函

數(shù)拱橋問題

與

實

隧道問題

際

應

用空中跳躍軌跡問題

球類飛行軌跡問題

.夯基-必備基礎(chǔ)能謝迪

用二次函數(shù)解決實際問題的一般步驟:

1.審：仔細審題，理清題意;

2.設(shè)：找出題中的變量和常量，分析它們之間的關(guān)系，與圖形相關(guān)的問題要結(jié)合圖形具體分析，設(shè)出適當

的未知數(shù);

3.歹小用二次函數(shù)表示出變量和常量之間的關(guān)系，建立二次函數(shù)模型，寫出二次函數(shù)的解析式;

4.解：依據(jù)已知條件，借助二次函數(shù)的解析式、圖象和性質(zhì)等求解實際問題;

5.檢：檢驗結(jié)果，進行合理取舍，得出符合實際意義的結(jié)論.

【注意】二次函數(shù)在實際問題中的應用通常是在一定的取值范圍內(nèi)，一定要注意是否包含頂點坐標，如果

頂點坐標不在取值范圍內(nèi)，應按照對稱軸一側(cè)的增減性探討問題結(jié)論.

利用二次函數(shù)解決利潤最值的方法：巧設(shè)未知數(shù)，根據(jù)利潤公式列出函數(shù)關(guān)系式,再利用二次函數(shù)的最值

解決利潤最大問題是否存在最大利潤問題。

利用二次函數(shù)解決拱橋/隧道/拱門類問題的方法：先建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼?再根據(jù)題意找出已知點

的坐標，并求出拋物線解析式，最后根據(jù)圖象信息解決實際問題。

利用二次函數(shù)解決面積最值的方法：先找好自變量，再利用相關(guān)的圖形面積公式,列出函數(shù)關(guān)系式，最后

利用函數(shù)的最值解決面積最值問題。

【注意】自變量的取決范圍。

利用二次函數(shù)解決動點問題的方法：首先要明確動點在哪條直線或拋物線上運動,運動速度是多少，結(jié)合

直線或拋物線的表達式設(shè)出動點的坐標或表示出與動點有關(guān)的線段長度，最后結(jié)合題干中與動點有關(guān)的條

件進行計算.

利用二次函數(shù)解決存在性問題的方法：一般先假設(shè)該點存在，根據(jù)該點所在的直線或拋物線的表達式，設(shè)

出該點的坐標；然后用該點的坐標表示出與該點有關(guān)的線段長或其他點的坐標等；最后結(jié)合題干中其他條

件列出等式，求出該點的坐標，然后判別該點坐標是否符合題意，若符合題意，則該點存在，否則該點不

存在.

.提升-必考題理理

題型01最大利潤/銷量問題

【例1】（2023?湖北武漢?校聯(lián)考模擬預測）某商店以一定的價格購進甲、乙兩種商品若干千克，銷售統(tǒng)計發(fā)

現(xiàn)，甲商品從開始銷售至銷售的第x天總銷量%（千克）與x的關(guān)系如圖1所示，且%是％的二次函數(shù).乙商

品從開始銷售至銷售第％天的總銷量力（卜9），刈=3”，其中3是關(guān)于x的一次函數(shù)，其圖象如圖2.

（1）分別求出月，%與％的函數(shù)關(guān)系；

（2）甲、乙兩種商品購進量相差多少；

（3）分別求出甲、乙兩種商品哪天銷量最大，并求出最大銷售量是多少.

【變式『1】（2023?廣東深圳?校考模擬預測）深圳某公司生產(chǎn)A、8兩種玩具，每個8玩具的成本是A玩具

的1.5倍，公司投入1600元生產(chǎn)A種玩具，3600元生產(chǎn)8種玩具，共生產(chǎn)玩具1000個，請解答下列問題：

（1）4、8兩種玩具每個的成本分別是多少元？

（2）某大學生自主創(chuàng)業(yè)，在網(wǎng)上銷售8玩具，物價部門規(guī)定每個售價不低于進貨價且每個的利潤不允許高于

進貨價的50%.試營銷階段發(fā)現(xiàn)：當銷售單價是8元時，每天的銷售量為120件，銷售單價每上漲1元，

每天的銷售量就減少20件.求銷售單價為多少元時，該玩具每天的銷售利潤最大？最大利潤是多少？

【變式「2】（2023?安徽六安??？级＃┠硰S家生產(chǎn)一種兒童電動玩具，3月份前4天生產(chǎn)的該兒童玩具售

價y（元/個）和銷量t（個）的數(shù)據(jù)如下表所示：

第尤天1234

售價y/（元/個）30323436

銷量〃個100120140160

從第5天開始工廠對外調(diào)整價格為28元一個，據(jù)統(tǒng)計第5天以后兒童電動玩具銷量f（個）和第x天的關(guān)系

為t=-/+5o%—ioo（5WxW20,且x為整數(shù)）.

（1）直接寫出銷量/（個）與第尤天（前4天）滿足的關(guān)系式，并且求出第5天以后第幾天的銷量最大，最大

值為多少？

（2）若成本價為20元，求該工廠這些天（按20天計）出售兒童電動玩具得到的利潤W（元）與x的函數(shù)關(guān)

系式，直接寫出第幾天的利潤最大及其最大值.

題型02方案選擇問題

【例2】（2023?湖北咸寧?統(tǒng)考模擬預測）“櫻花紅陌上，邂逅在咸安”，為迎接我區(qū)首屆櫻花文化旅游節(jié)，某

工廠接到一批紀念品生產(chǎn)訂單，要求在15天內(nèi)完成，約定這批紀念品的出廠價為每件20元，設(shè)第x天（0<

x<15）每件產(chǎn)品的成本價是y元，y與x之間關(guān)系為：y=0.5x+7,任務完成后，統(tǒng)計發(fā)現(xiàn)工人小王第x

天生產(chǎn)產(chǎn)品尸（件）與x（天）之間的關(guān)系如下圖所示，設(shè)小王第x天創(chuàng)造的產(chǎn)品利潤為W元.

⑴直接寫出尸與龍之間的函數(shù)關(guān)系；

（2）求W與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并求小王第幾天創(chuàng)造的利潤最大？最大利潤是多少？

（3）最后，統(tǒng)計還發(fā)現(xiàn)，平均每個工人每天創(chuàng)造的利潤為288元，于是，工廠制定如下獎勵方案：如果一個

工人某天創(chuàng)造的利潤超過該平均值，則該工人當天可獲得20元獎金，請計算，在生產(chǎn)該批紀念過程中，小

王能獲得多少元的獎金?

【變式2-1］（2023?四川樂山?統(tǒng)考二模）某公司在甲、乙兩城生產(chǎn)同一種產(chǎn)品，受原材料產(chǎn)地，上、下游配

套工廠等因素影響，生產(chǎn)成本不同.甲城產(chǎn)品的成本y（萬元）與產(chǎn)品數(shù)量x（件）之間的關(guān)系式為丫=a/+

"+c（aK0）,圖象為如圖的虛線所示：乙城產(chǎn)品的成本y（萬元）與產(chǎn)品數(shù)量x（件）之間的關(guān)系式為丫=

kx（k0）,其圖象為如圖的實線所示.

⑴求a、b、上的值.

（2）若甲、乙兩城一共生產(chǎn)50件產(chǎn)品，請設(shè)計一種方案，使得總生產(chǎn)成本最小.

（3）從甲城把產(chǎn)品運往A、2兩地的運費（萬元）與件數(shù)（件）的關(guān)系式為：y甲4=y甲B=3久；從乙城

把產(chǎn)品運往A、B兩地的運費（萬元）與件數(shù)（件）的關(guān)系為：y乙4=%，y乙B=2代現(xiàn)在A地需要40件，

8地需要10件，在（2）的條件下，求總運費的最小值（用含"的式子表示）.

題型03拱橋問題

【例3】（2023?北京豐臺?統(tǒng)考一模）賽龍舟是中國端午節(jié)的習俗之一，也是一項廣受歡迎的民俗體育運動.某

地計劃進行一場劃龍舟比賽，圖1是比賽途中經(jīng)過的一座拱橋，圖2是該橋露出水面的主橋拱的示意圖，

可看作拋物線的一部分，建立如圖所示的平面直角坐標系xOy,橋拱上的點到水面的豎直高度y（單位：m）

與到點。的水平距離x（單位：m）近似滿足函數(shù)關(guān)系y=-0.01（x-30）2+9,據(jù)調(diào)查，龍舟最高處距離

水面2m,為保障安全，通過拱橋時龍舟最高處到橋拱的豎直距離至少3m.

不意圖

（1）水面的寬度。力=m；

（2）要設(shè)計通過拱橋的龍舟賽道方案，若每條龍舟賽道寬度為9m,求最多可設(shè)計龍舟賽道的數(shù)量.

【變式3-1］（2023?廣東深圳?校考模擬預測）某公園內(nèi)人工湖上有一座拱橋（橫截面如圖所示），跨度2B為

4米.在距點A水平距離為d米的地點，拱橋距離水面的高度為米.小紅根據(jù)學習函數(shù)的經(jīng)驗，對d和〃

下面是小紅的探究過程，請補充完整：

(1)經(jīng)過測量，得出了d和/7的幾組對應值，如下表.

d/米00.611.82.433.64

加米0.881.902.382.862.802.381.600.88

在d和//這兩個變量中，是自變量，是這個變量的函數(shù)；

(2)在下面的平面直角坐標系久Oy中，畫出(1)中所確定的函數(shù)的圖象;

(3)結(jié)合表格數(shù)據(jù)和函數(shù)圖象，解決問題：

①求該函數(shù)的解析式：

②公園欲開設(shè)游船項目，現(xiàn)有長為3.5米，寬為1.5米，露出水面高度為2米的游船.為安全起見，公園要

在水面上的C,。兩處設(shè)置警戒線，并且CE=DF,要求游船能從C,。兩點之間安全通過，則C處距橋墩

的距離CE至少為多少米？(魚=1.41,精確到0.1米)

7T

【變式3-2](2023?河南安陽?統(tǒng)考模擬預測)如圖，拱形橋的截面由矩形和拋物線組成，矩形長12m,寬

4m,以當前水面為x軸建立如圖所示的平面直角坐標系.其中拱橋的最高點。到水面OB的距離為10m.

圖1

(1)求該拋物線的解析式；

(2)若一艘貨輪寬為8m,要確保貨輪安全通過拱橋，求其裝完貨物后的最大高度；

(3)若要在拱橋拋物線的左右兩側(cè)同樣的高度安裝兩個攝像頭，要求攝像頭到水面的距離不低于6m、不超過

8m,請直接寫出兩個攝像頭水平距離的最大值.

題型04隧道問題

【例4】(2023?河南平頂山?統(tǒng)考模擬預測)如圖，隧道的截面由拋物線BEC和矩形力BCD構(gòu)成，矩形的長力。

為8m,寬48為2m.以力。所在直線為x軸，線段2D的中垂線為y軸，建立平面直角坐標系，拋物線頂點E

到坐標原點0的距離為5m.

(1)求這條拋物線的解析式；

(2)如果隧道是雙向通道，現(xiàn)有一輛貨車高3.6m,寬2.4m,這輛貨車能否通過該隧道？請通過計算進行說明.

【變式4-1](2023?寧夏銀川?校考二模)如圖，一個橫截面為拋物線形的公路隧道，其最大高度6米，底部

寬度。M為12米，現(xiàn)以。點為原點，所在的直線為x軸建立直角坐標系.

(1)求這條拋物線的表達式；

(2)該隧道設(shè)計為雙向通行道，如果規(guī)定車輛必須在中心線兩側(cè)、距離道路邊緣2米的范圍內(nèi)行駛，并保持

車輛頂部與隧道有不少于1米的空隙，則通過隧道車輛的高度限制應為一米；

(3)在隧道修建過程中，需要搭建矩形支架4D-DC-CB(由三段組成)對隧道進行裝飾，其中C、。在拋

物線上，A,B在地面OM上，求這個支架總長Z的最大值.

【變式4-2](2023?廣東深圳?校聯(lián)考模擬預測)按要求解答

(1)某市計劃修建一條隧道，已知隧道全長2400米，一工程隊在修了1400米后，加快了工作進度，每天比

原計劃多修5米，結(jié)果提前10天完成，求原計劃每天修多長？

(2)隧道建成后的截面圖如圖所示，它可以抽象成如圖所示的拋物線.已知兩個車道寬度OC=。。=4米，

人行道地基AC,2。寬均為2米，拱高0"=10.8米.建立如圖所示的直角坐標系.

①此拋物線的函數(shù)表達式為.(函數(shù)表達式用一般式表示)

②按規(guī)定，車頂部與隧道頂部在豎直方向上的高度差至少0.5米，則此隧道限高米.

③已知人行道臺階CE,DF高均為0.3米，按照國家標準，人行道寬度不得低于1.25米，該隧道的人行道寬

度設(shè)計是否達標？說明理由.

題型05空中跳躍軌跡問題

【例5】（2023?廣東深圳??？寄M預測）已知某運動員在自由式滑雪大跳臺比賽中取得優(yōu)異成績，為研究他

從起跳至落在雪坡過程中的運動狀態(tài)，如圖，以起跳點為原點O,水平方向為x軸建立平面直角坐標系，我

們研究發(fā)現(xiàn)他在空中飛行的高度y（米）與水平距離x（米）具有二次函數(shù)關(guān)系，記點A為該二次函數(shù)圖象

與x軸的交點，點2為該運動員的成績達標點，軸于點C,相關(guān)數(shù)據(jù)如下：

水平距離無（米）5102030

空中飛行的高度y（米）4.560-18

（1）請求出第一次跳躍的高度y（米）與水平距離x（米）的二次函數(shù)解析式；

（2）若該運動員第二次跳躍時高度y（米）與水平距離無（米）滿足y=-0.05/+l.lx,則他第二次跳躍落

地點與起跳點平面的水平距離為d=米，d30,成績是否達標？.（填寫是或否）

【變式5-1］（2023?北京海淀?統(tǒng)考一模）“兔飛猛進”諧音成語“突飛猛進”.在自然界中，野兔善于奔跑跳躍，

“兔飛猛進”名副其實.野兔跳躍時的空中運動路線可以看作是拋物線的一部分.

y/m,

--------

,,--------------X、

/z、、

、、、，

Oxlm

（1）建立如圖所示的平面直角坐標系.

通過對某只野兔一次跳躍中水平距離無（單位：m）與豎直高度y（單位：m）進行的測量，得到以下數(shù)據(jù):

水平距離x/m00.411.422.42.8

豎直高度y/m00.480.90.980.80.480

根據(jù)上述數(shù)據(jù)，回答下列問題：

①野兔本次跳躍的最遠水平距離為m,最大豎直高度為m；

②求滿足條件的拋物線的解析式；

(2)已知野兔在高速奔跑時，某次跳躍的最遠水平距離為3m,最大豎直高度為1m.若在野兔起跳點前方2m處

有高為0.8m的籬笆，則野兔此次跳躍(填“能”或“不能”)躍過籬笆.

【變式5-2](2022?山東青島?統(tǒng)考一模)跳臺滑雪是以滑雪板為工具，在專設(shè)的跳臺上以自身的體重通過助

滑坡獲得的速度比跳躍距離和動作姿勢的一種雪上競技項目.如圖是某跳臺滑雪訓練場的橫截面示意圖，

取某一位置的水平線為x軸，過跳臺終點A作水平線的垂線為y軸，建立平面直角坐標系.圖中的拋物線

Q：y=-尚/+；久+i近似表示滑雪場地上的一座小山坡，某運動員從點。正上方3米的A點滑出，滑出

后沿一段拋物線C2：y=-++c運動，當運動員運動到離A處的水平距離為4米時，離水平線的高度

8

為7米.

(1)求拋物線C2的函數(shù)解析式；

(2)當運動員與點A的水平距離是多少米時，運動員和小山坡到水平線的高度相同；

(3)運動員從A點滑出后直至和小山坡到水平線的高度相同時，運動員與小山坡的高度差最大是多少米?

題型06球類飛行軌跡

【例6】(2023?河南洛陽?統(tǒng)考二模)擲實心球是某市中考體育考試的選考項目，如圖①是一名男生投實心球，

實心球行進路線是一條拋物線，行進高度y(米)與水平距離x(米)之間的函數(shù)關(guān)系如圖②所示，擲出

時起點處高度為2米，當水平距離段米時，實心球行進至最高點：個米處.

28

圖①圖②

(1)求y關(guān)于x的函數(shù)表達式；

(2)根據(jù)該市2023年中考體育考試評分標準(男生)，投擲過程中，實心球從起點到落地點的水平距離大

于等于12.4米，此項考試得分為滿分17分，按此評分標準，該生在此項考試中是否得滿分，請說明理由.

【變式6-1](2023?河南駐馬店?駐馬店市第二初級中學?？级?某班級在一次課外活動中設(shè)計了一個彈珠

投箱子的游戲(長方體無蓋箱子放在水平地面上).同學們受游戲啟發(fā)，將彈珠抽象為一個動點，并建立了

如圖所示的平面直角坐標系(x軸經(jīng)過箱子底面中心，并與其一組對邊平行，矩形DEFG為箱子的截面示意

圖)，某同學將彈珠從力(1,0)處拋出，彈珠的飛行軌跡為拋物線=a/+板+|(單位長度為im)的一部分,

且當彈珠的高度為|m時，對應的兩個位置的水平距離為2m.已知DE=lm,EF=0.6m,DA=4.7m.

(1)求拋物線L的解析式和頂點坐標.

(2)請判斷該同學拋出的彈珠是否能投人箱子.若能，請通過計算說明原因；若不能，在不改其它條件的情

況下，調(diào)整EF的高度，使得彈珠可以投入箱子，請直接寫出EF的取值范圍.

【變式6-2](2023?河北保定?統(tǒng)考一模)如圖，排球運動員站在點。處練習發(fā)球，將球從。點正上方的B

處發(fā)出，球每次出手后的運動軌跡都是形狀相同的拋物線，且拋物線的最高點C到y(tǒng)軸總是保持6米的水

平距離，豎直高度總是比出手點8高出1米，已知。B=小米，排球場的邊界點A距。點的水平距離。力為18

米，球網(wǎng)EF高度為2.4米，且。E=

fy

0EDAMNx

(DC點的坐標為(用含加的代數(shù)式表示)

(2)當爪=2時，求拋物線的表達式.

(3)當爪=2時，球能否越過球網(wǎng)？球會不會出界？請說明理由.

(4)若運動員調(diào)整起跳高度，使球在點A處落地，此時形成的拋物線記為人，球落地后立即向右彈起，形成

另一條與左形狀相同的拋物線乙2,且此時排球運行的最大高度為1米，球場外有一個可以移動的縱切面為

梯形的無蓋排球回收框MNPQ(MQ||PN),其中MQ=0.5米，MN=2米，NP=g米，若排球經(jīng)過向右反

彈后沿打的軌跡落入回收框MNPQ內(nèi)(下落過程中碰到P、。點均視為落入框內(nèi))，設(shè)M點橫坐標的最大值

與最小值的差為力請直接寫出d的值.

題型07噴泉問題

【例7】(2023?山東臨沂?統(tǒng)考一模)如圖，灌溉車為綠化帶澆水，噴水口H離地豎直高度?！睘?.5m.可以

把灌溉車噴出水的上、下邊緣抽象為平面直角坐標系中兩條拋物線的部分圖象；把綠化帶橫截面抽象為矩

形DEFG,其水平寬度DE=3m,豎直高度EF=0.5m.下邊緣拋物線是由上邊緣拋物線向左平移得到，上

邊拋物線最高點4離噴水口的水平距離為2m、高出噴水口0.5m,灌溉車到綠化帶的距離。。為d(單位：m)

(1)求上邊緣拋物線的函數(shù)解析式，并求噴出水的最大射程OC；

(2)求下邊緣拋物線與無軸的正半軸交點B的坐標；

(3)要使灌溉車行駛時噴出的水能澆灌到整個綠化帶，直接寫出d的取值范圍

【變式7-1](2023?北京?北京四中?？寄M預測)某游樂園有一個直徑為16米的圓形噴水池，噴水池的周

邊有一圈噴水頭，噴出的水柱為拋物線，高度為5米，且各方向噴出的水柱恰好在噴水池中心的裝飾物處

匯合.如圖所示，噴水池中心為原點建立直角坐標系.

(1)求水柱所在拋物線(第二象限部分)的函數(shù)表達式；

(2)主師傅在噴水池內(nèi)維修設(shè)備期間，噴水管意外噴水，為了不被淋濕，身高1.8米的王師傅站立時必須在離

水池中心多少米以內(nèi)？

(3)經(jīng)檢修評估，游樂園決定對噴水設(shè)施做如下設(shè)計改進：在噴出水柱的形狀不變的前提下，把水池的直徑

擴大到24米(高度不變)處匯合，請?zhí)骄繑U建改造后噴水池水柱的最大高度.

【變式7-2](2023.安徽蕪湖.統(tǒng)考三模)消防車中的高噴消防車，采用曲臂加伸縮結(jié)構(gòu)，頂端裝有消防炮,

其液控炮既可噴射水也可噴射泡沫，具有射程遠，流量大的特點.該車主要作業(yè)于油田、高層建筑、石化

企業(yè)等地方的滅火救援和處置工作.在一次模擬高層建筑起火救援中，消防炮噴水口A距離地面35米，距

離大樓起火側(cè)面20米，噴出水柱呈拋物線形，水柱最高處B距離地面50米，距離大樓起火側(cè)面5米，如

圖所示建立平面直角坐標系.

(1)求出水柱所在拋物線的解析式；

(2)目前火焰不斷從第17層窗口竄出，若每層樓約2.9米高，窗臺高度約為0.9米，窗頂距離該層地面高度

約2.4米，此時水柱能否射入該層窗口？

(3)火勢已經(jīng)向上蔓延到距離地面55米處，高噴消防車最后一節(jié)伸縮臂C4按原來方向(與水平方向夾角約

為53。)伸長了一截(不超過12米)，為阻止火勢進一步蔓延，伸縮臂應該伸長幾米？(伸縮臂伸長時間忽

略，sin53°?0.8,cos53°?0.6)

【變式7-3](2023?廣東深圳?深圳實驗學校?？寄M預測)某公園要在小廣場上建造一個噴泉景觀.在小廣

場中央。處垂直于地面安裝一個高為1.25米的花形柱子04安置于柱子頂端4處的噴水向外噴水，水流在

各個方向上沿形狀相同的拋物線路徑落下，且在過04的任一平面上拋物線路徑如圖1所示.為使水流形狀

較為美觀，設(shè)計成水流在距。4的水平距離為1米時到達最大高度，此時離地面2.25米.

(1)以點。為原點建立如圖2所示的平面直角坐標系，水流到水平距離為x米，水流噴出的高度為y米，求

出在第一象限內(nèi)的拋物線解析式(不要求寫出自變量的取值范圍)；

(2)張師傅正在噴泉景觀內(nèi)維修設(shè)備期間，噴水管意外噴水，但是身高1.76米的張師傅卻沒有被水淋到，此

時他離花形柱子。4的距離為d米，則d的取值范圍是；

(3)在平面內(nèi)，把一個圖形上的任意一點與另一個圖形上任意一點之間的距離的最小值稱為這兩個圖形的距

離.為了美觀，在離花形柱子4米處的地面B、C處安裝射燈，射燈射出的光線與地面成45。角，如圖3所示，

光線交匯點P在花形柱子的正上方，其中光線8P所在的直線解析式為y=-x+4,求光線與拋物線水流

之間的距離.

題型08圖形問題

【例8】(2022?福建南平?統(tǒng)考一模)如圖，某中學把五育并舉與減負延時服務相結(jié)合，勞動課準備在校園里

利用校圍墻的一段再圍三面籬笆，形成一個矩形茶園力BCD,讓學生在茶園里體驗種茶活動.現(xiàn)已知校圍墻

長25米，籬笆40米長(籬笆用完)，設(shè)48長x米，矩形茶園4BCD的面積為S平方米.

25m---------------->

MADN

茶園

B

(1)求S與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并直接寫出自變量的取值范圍；

(2)當矩形茶園ABC。的面積為200平方米時，求48的長.

【變式8-1](2022.北京海淀.人大附中?？寄M預測)數(shù)學活動課上，老師提出問題：如圖1,有一張長4dm,

寬3dm的長方形紙板，在紙板的四個角裁去四個相同的小正方形，然后把四邊折起來，做成一個無蓋的盒

子，問小正方形的邊長為多少時，盒子的體積最大.

下面是探究過程，請補充完整：

(1)設(shè)小正方形的邊長為xdm,體積為ydm3,根據(jù)長方體的體積公式得到y(tǒng)和x的關(guān)系式為

(2)確定自變量％的取值范圍是；

(3)列出y與x的幾組對應值.

113153795

x/dm1

848284884

y/dm31.32.22.73.02.82.51.50.9

(說明：表格中相關(guān)數(shù)值均精確到0.1)

(4)為觀察y與久之間的關(guān)系，建立坐標系(圖2),以久為橫坐標，y為縱坐標，描出表中數(shù)據(jù)對應的點，并用

平滑的曲線連接它們；

(5)結(jié)合畫出的函數(shù)圖象，解決問題：要使得長方體盒子的體積最大，小正方形的邊長約為dm.(精

確到0.1)

【變式8-2](2023?湖北武漢?統(tǒng)考模擬預測)為了增加校園綠化，學校計劃建造一塊邊長為40m的正方形花

壇種植“兩花一草”，如圖，取四邊中點，構(gòu)成正方形EFGH(甲區(qū)域)，在四個角落構(gòu)造4個全等的矩形(已

區(qū)域)，甲、乙兩區(qū)域種植不同花卉，剩余區(qū)域種植草坪.

(1)經(jīng)了解，甲區(qū)域建造費用為50元/n?,乙區(qū)城建造費用為80元/n?,草坪建造費用為10元/n?,設(shè)每個

矩形的面積為Km2,建造總費用為y元，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；

(2)當建造總費用為74880元時，矩形區(qū)城的長和寬分別為多少米？

(3)甲區(qū)域建造費用調(diào)整為40元/m2,乙區(qū)域建造費用調(diào)整為。元/m2(。為10的倍數(shù))，草坪建造單價不變，

最后建造總費用為55000元，求。的最小值.

【變式8-3](2023?新疆?二模)如圖是一塊鐵皮余料，將其放置在平面直角坐標系中，底部邊緣力B在x軸

上，且2B=8dm,外輪廓線是拋物線的一部分，對稱軸為y軸，高度。C=8dm.現(xiàn)計劃將此余料進行切

割：

(1)求拋物線解析式；

(2)若切割成正方形，要求一邊在底部邊緣48上且面積最大，求此正方形的面積；

(3)若切割成矩形，要求邊在底部邊緣4B上且周長最大，求此矩形的周長.

【變式8-4](2023?安徽六安?校聯(lián)考一模)如圖，在邊長2為的正方形力BCD中，P是BC邊上一動點(不含

B,C兩點)，將A4BP沿直線4P翻折，點8落在點E處，在CD上有一點M,使得將△CMP沿直線MP翻折后，

點C落在直線PE上的點尸處，直線PE交CD于點N,連接M4NA.

(1)求證：ACMP-ABPA.

⑵求ACNP的周長.

(3)求線段AM長度的最小值.

題型09圖形運動問題

[例9](2023?吉林松原?校聯(lián)考二模)如圖，在△ABC中，NACB=90。,8c=9cm,4B=15cm.動點P從點

4出發(fā)，以4cm/s的速度沿邊AB向終點B勻速運動.以P4為一邊作"PQ=90。，另一邊PQ與射線AC相交于

點Q,以4PMQ為邊作平行四邊形力PMQ.設(shè)點P的運動時間為x(s),平行四邊形力PMQ與A/IBC重疊部分圖

形的面積為y(cm2).

⑴當點Q在邊AC上時，4Q的長為cm；(用含x的代數(shù)式表示)

(2)當點M落在邊8C上時，求工的值；

(3)求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出自變量x的取值范圍.

【變式9-1](2023?吉林松原?校聯(lián)考三模)如圖所示，在等腰直角三角形力BC中，ABAC=90°,AC=8cm,

AD1BC于點。，點尸從點A出發(fā)，沿A—C方向以lcm/s的速度運動到點C停止，在運動過程中，過點P

作PQII4B交BC于點。，以線段PQ為邊作等腰直角三角形PQM,且“QM=90。(點C位于PQ異側(cè))，

設(shè)點P的運動時間為尤(s),APQM與△4DC重疊部分的面積為y

(1)如圖2,當點M落在力B上時，x=；

⑵求點M落在力。上時尤的值；

(3)若M點在下方時，求重疊部分面積y與運動時間x的函數(shù)表達式.

【變式9-2](2023?吉林松原?校聯(lián)考三模)如圖，在矩形力BCD中，AB=4,AD=3cm,動點P,Q同時出

發(fā)，點P從點A出發(fā)以2cm/s的速度沿折線-BC-CD運動，點。從點A出發(fā)以lcm/s的速度沿AC向終

點C運動，當點。到達點C時，P,。兩點同時停止運動，連結(jié)4P,PQ.設(shè)點尸的運動時間為t(s)(t>0),

△P4Q的面積為S(cm2).

cC

(1)當點P與點C重合時，Ns；

(2)求S與f之間的函數(shù)關(guān)系式；

(3)當CP=CQ時，直接寫出r的值.

【變式9-3](2023?山西運城?山西省運城中學校校考三模)在ANBC中，乙4=90°,AB=8cm,AC=6cm,

點M,點N同時從點4出發(fā)，點M沿邊4B以4cm/s的速度向點B運動，點N從點4出發(fā)，沿邊4C以3cm/s的速

度向點C運動，(點M不與2,8重合，點N不與4,C重合)，設(shè)運動時間為xs.

(1)求證：AAMNFABC；

(2)當尤為何值時，以MN為直徑的。。與直線BC相切？

(3)把AAMN沿直線MN折疊得到AMNP,若AMNP與梯形BCNM重疊部分的面積為y,試求y關(guān)于久的函數(shù)表

達式，并求x為何值時，y的值最大，最大值是多少？

題型10二次函數(shù)綜合問題

類型一線段、周長問題

【例10](2022?廣東深圳?坪山中學?？寄M預測)在平面直角坐標系xOy中，拋物線y=a(x+—4a經(jīng)

過點￡>(-2,3),與x軸交于點A,B兩點，與y軸交于點C.

(1)求二次函數(shù)解析式；

(2)在拋物線的對稱軸上找到一點E,使得ABCE的周長最小，求出這個最小值；

(3)連接4C,在第一象限的拋物線上找一點P,使得點尸到x軸的距離和點P到直線力C的距離相等，求點尸

的坐標.

【變式10T】(2023?廣東湛江?校考一模)拋物線丫=口久2+法+2與無軸交于點4(-3,0),18(1,0),與y軸交

于點C.

(1)

(2)求拋物線的解析式

(3)在拋物線對稱軸上找一點使的周長最小，并求出點M的坐標和AMBC的周長

(4)若點P是x軸上的一個動點，過點尸作PQIIBC交拋物線于點°,在拋物線上是否存在點0,使8、C、P、

。為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在請求出點。的坐標，若不存在請說明理由.

【變式10-2](2023?廣東潮州?一模)如圖，直線y=-2x+3交x軸于點B,交y軸于點C,拋物線y=-/+

bx+c經(jīng)過4,C兩點，且4(-1,0).

(1)求拋物線的解析式.

(2)P是拋物線第一象限內(nèi)的一個動點，過P作PH1BC于H,求PH+2HB的最大值.

(3)M是拋物線對稱軸上的一個動點，連接MB,把線段MB沿著直線BC翻折，M的對應點獷恰好落在拋物線

上，求M點坐標.

【變式10-3】(2022?湖北恩施?統(tǒng)考模擬預測)如圖，已知拋物線丫=：0+/1)2+卜.點4(一1,2)在拋物線的

對稱軸上，B(0，)是拋物線與y軸的交點，。為拋物線上一動點，過點D作x軸的垂線，垂足為點C.

(1)直接寫出伍k的值；

(2)如圖，若點。的坐標為(3,爪)，點Q為y軸上一動點，直線QK與拋物線對稱軸垂直，垂足為點K.探求。K+

KQ+QC的值是否存在最小值，若存在，求出這個最小值及點Q的坐標；若不存在，請說明理由；

(3)如圖，連接AD,AC,若NZMC=60。，求點D的坐標.

類型二面積周長問題

【例n】(2023?廣東深圳?校考模擬預測)如圖①，在平面直角坐標系xOy中，拋物線y=—1/+人》+。與

x軸交于4,B兩點(點4在點B的左側(cè))，與y軸交于點C,其中。4=2,6-c=-4.

(1)求B,C的坐標;

(2)如圖②，點。是第一象限內(nèi)拋物線上的動點，連接OD,BC,BD,0D交BC于點E,當愛理的值最大時，

求此時點。的坐標及愛莊的最大值.

S&OBE

【變式n-l](2022?湖北武漢?校聯(lián)考模擬預測)如圖，拋物線y=-x2+bx+c經(jīng)過原點0(0,0)和點4(4,0),

它的對稱軸交拋物線于點B.C,D兩點在對稱軸上(點C在。的上方)，且關(guān)于點B對稱，直線。D交拋物線于

點E,連接。C,CE.

(1)(2)

(1)求拋物線的解析式；

(2)如圖(1),若AOCE的面積為求點。的坐標；

(3)如圖(2),若NOEC=90。，求點。的坐標.

【變式1卜2】(2022?福建南平?統(tǒng)考一模)已知拋物線y=/-2ax+a?+2a-3,直線〃y=K+a.

(1)記拋物線的頂點為N(p,q),求q關(guān)于p的函數(shù)關(guān)系式；

(2)設(shè)直線I與拋物線相交于點4,B,在點4B之間的拋物線上有一動點P.求AP4B的面積的最大值.

類型三角度問題

【例12】(2023?陜西西安?校考模擬預測)己知拋物線力:丫=一|/+6%+(；與)7軸的交點為。(0,2),與其軸的

交點分別為4(3,0)、B(點力在點B右側(cè)).

(1)求拋物線的表達式.

(2)將拋物線沿x軸向左平移山(巾＞0)個單位，所得的拋物線與無軸的左交點為M,與y軸的交點為N,若

乙NMO=ACA