人教A版(新教材)高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊(cè)教學(xué)設(shè)計(jì)1：3 3 2 第2課時(shí) 拋物線的方程及性質(zhì)的應(yīng)用教案

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課程基本信息課題3.3.2第2課時(shí)拋物線的方程及性質(zhì)的應(yīng)用教學(xué)目標(biāo)教學(xué)目標(biāo)：使學(xué)生熟練掌握拋物線的幾何性質(zhì)——范圍、頂點(diǎn)、離心率、對(duì)稱性等.教學(xué)重點(diǎn)：初步掌握有關(guān)拋物線的解題方法,培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題、解決解題的能力.教學(xué)難點(diǎn)：坐標(biāo)法在解決〖解析〗幾何問(wèn)題中的應(yīng)用.教學(xué)過(guò)程時(shí)間教學(xué)環(huán)節(jié)主要師生活動(dòng)3分鐘5分鐘7分鐘5分鐘3分鐘復(fù)習(xí)引入問(wèn)題探究類比探究性質(zhì)推廣鞏固練習(xí)小結(jié)問(wèn)題1拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)都有哪些？各種標(biāo)準(zhǔn)方程形式下的幾何性質(zhì)分別是什么？我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了拋物線的圖形、標(biāo)準(zhǔn)方程、焦點(diǎn)坐標(biāo)、準(zhǔn)線方程、范圍、對(duì)稱軸、頂點(diǎn)、和離心率問(wèn)題2經(jīng)過(guò)拋物線的焦點(diǎn)的直線交拋物線于兩點(diǎn)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)和拋物線頂點(diǎn)的直線交拋物線的準(zhǔn)線于點(diǎn)，求證：直線平行于拋物線的對(duì)稱軸.追問(wèn)1：這條拋物線的對(duì)稱軸是什么？開(kāi)口方向與軸的正方向相同，拋物線在軸右側(cè)，對(duì)稱軸為軸.追問(wèn)2：如何證明一條直線平行于軸？直線斜率為0，直線上任意兩點(diǎn)縱坐標(biāo)相等，等等.因此，本題可證明點(diǎn)，點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等.追問(wèn)3：如何求點(diǎn)，點(diǎn)的縱坐標(biāo)？點(diǎn)為直線與拋物線的交點(diǎn)，需要構(gòu)建直線方程與拋物線方程間的聯(lián)系.點(diǎn)為直線與拋物線準(zhǔn)線的焦點(diǎn)，需要構(gòu)建直線方程與準(zhǔn)線方程間的聯(lián)系.因此，我們從點(diǎn)與焦點(diǎn)弦的關(guān)系出發(fā)，通過(guò)設(shè)直線的方程，從而表示點(diǎn).追問(wèn)4：如何設(shè)直線的方程便于計(jì)算？不妨將過(guò)焦點(diǎn)的直線方程設(shè)為，從而避免直線斜率是否存在的分類討論.下面我們來(lái)具體計(jì)算：設(shè)，設(shè)直線的方程為，與拋物線方程聯(lián)立，得，所以.即.直線的方程為，因?yàn)?，所以直線的方程為.令，得點(diǎn)縱坐標(biāo)為.所以.所以直線平行于軸.即直線平行于拋物線的對(duì)稱軸.方法提煉：本題揭示了處理〖解析〗幾何問(wèn)題的核心方法——坐標(biāo)法.求解中將直線與軸平行問(wèn)題轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)縱坐標(biāo)相等，借助根與系數(shù)的關(guān)系，整體代換進(jìn)行求解.在順利完成本題的解答后我們又想到，這個(gè)結(jié)論在一般的拋物線方程中是否仍然成立？問(wèn)題3經(jīng)過(guò)拋物線焦點(diǎn)的直線交拋物線于兩點(diǎn)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)和拋物線頂點(diǎn)的直線交拋物線的準(zhǔn)線于點(diǎn)，求證：直線平行于拋物線的對(duì)稱軸.分析：我們以拋物線為例進(jìn)行證明.依然用坐標(biāo)法證明這個(gè)結(jié)論，即通過(guò)建立拋物線及直線的方程，運(yùn)用方程研究直線與拋物線對(duì)稱軸之間的位置關(guān)系.建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，只要證明點(diǎn)的縱坐標(biāo)與點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等即可.方法一如圖，以拋物線的對(duì)稱軸為軸，拋物線的頂點(diǎn)為原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系.設(shè)，設(shè)拋物線的方程為，①設(shè)過(guò)焦點(diǎn)的直線方程為，②聯(lián)立①②，消去，可得.所以.即.直線的方程為，因?yàn)?，所以直線的方程為.令，得點(diǎn)縱坐標(biāo)為.所以.所以直線平行于軸.即直線平行于拋物線的對(duì)稱軸.其他拋物線形式也可以類似得到證明，請(qǐng)同學(xué)們課下完成.追問(wèn)1：你還有其他證明方法嗎？從點(diǎn)與拋物線的關(guān)系出發(fā)，通過(guò)設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)，得到直線，直線方程，聯(lián)系拋物線方程和準(zhǔn)線方程，從而表示點(diǎn)，點(diǎn).追問(wèn)2：點(diǎn)坐標(biāo)如何表示？因?yàn)辄c(diǎn)是拋物線上的點(diǎn)，所以.追問(wèn)3：為什么用含有的式子表示點(diǎn)坐標(biāo)？因?yàn)楸绢}要求證的是平行關(guān)系，只需證明縱坐標(biāo)相等，因此我們傾向于用縱坐標(biāo)表示點(diǎn)坐標(biāo).方法二如圖，以拋物線的對(duì)稱軸為軸，拋物線的頂點(diǎn)為原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系.設(shè)拋物線的方程為，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則直線的方程為，①拋物線的準(zhǔn)線方程是.②聯(lián)立②③，可得點(diǎn)的縱坐標(biāo)為.因?yàn)榻裹c(diǎn)的坐標(biāo)是，當(dāng)時(shí)，直線的方程為③聯(lián)立①④，消去，可得，所以.即.所以.于是平行于軸.當(dāng)時(shí)，易知結(jié)論成立.所以，直線平行于拋物線的對(duì)稱軸.方法提煉：?jiǎn)栴}3是拋物線的一個(gè)性質(zhì)，由這個(gè)性質(zhì)我們發(fā)現(xiàn)經(jīng)過(guò)拋物線的焦點(diǎn)和頂點(diǎn)的直線很重要.本題的求解采用了坐標(biāo)法，通過(guò)代數(shù)運(yùn)算解決問(wèn)題，把平行關(guān)系轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)間的關(guān)系.問(wèn)題4過(guò)拋物線焦點(diǎn)的一條直線與它交于，經(jīng)過(guò)點(diǎn)作垂直準(zhǔn)線于點(diǎn)，求證三點(diǎn)共線.追問(wèn)1：如何證明三點(diǎn)共線？（1）且有公共點(diǎn)：但是要考慮斜率是否存在.（2）且有公共點(diǎn)：此方法更普遍適用.追問(wèn)2：如何證明？如果向量，那么向量與向量共線的充要條件是：存在唯一實(shí)數(shù)，使得.這個(gè)充要條件可以用坐標(biāo)表示：設(shè)，則.因此我們只需證明與的坐標(biāo)滿足此關(guān)系.追問(wèn)3：如何求與的坐標(biāo)？需要先求得點(diǎn)，點(diǎn)坐標(biāo).追問(wèn)4：如何求解點(diǎn)的坐標(biāo)？追根溯源，點(diǎn)是過(guò)點(diǎn)作準(zhǔn)線的垂線得到的垂足，因此點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，點(diǎn)的縱坐標(biāo)與點(diǎn)的縱坐標(biāo)相同.因此問(wèn)題又轉(zhuǎn)化為以點(diǎn)坐標(biāo)出發(fā)，聯(lián)系直線與拋物線的關(guān)系，表示點(diǎn)和點(diǎn)坐標(biāo)的問(wèn)題.我們不妨循著問(wèn)題3方法二的思路，具體計(jì)算：設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則.所以.當(dāng)時(shí)，易知結(jié)論成立.當(dāng)時(shí)，直線的方程為.聯(lián)立消去，可得，所以.即.將代入，得.所以.因?yàn)?，所?又與有公共點(diǎn)，所以三點(diǎn)共線.本題也可以通過(guò)斜率的相等來(lái)求證，請(qǐng)同學(xué)們課下完成.小結(jié)：〖解析〗幾何的核心方法——坐標(biāo)法用代數(shù)法解決幾何問(wèn)題，其核心的解題方法是坐標(biāo)法．所謂坐標(biāo)法，就是建立平面直角坐標(biāo)系，把幾何對(duì)象轉(zhuǎn)化為代數(shù)對(duì)象，把幾何