同課異構(gòu)：垂徑定理2

垂徑定理2上海市初級中學(xué)名師制作一、復(fù)習(xí)引入兩個條件：一條直線經(jīng)過圓心、垂直于弦．兩個結(jié)論：這條直線平分弦、平分弦所對的弧．垂徑定理如果圓的一條直徑垂直于一條弦，那么這條直徑平分這條弦，并且平分這條弦所對的弧．命題1如果圓的直徑

平分弦，那么這條直徑垂直于這條弦，并且平分這條弦所對的弧．命題2如果圓的直徑

平分弧，那么這條直徑就垂直

平分這條弧所對弦．二、新知講授命題1如果圓的直徑

平分弦，那么這條直徑垂直于這條弦，并且平分這條弦所對的?。?分別聯(lián)結(jié)OA、OB，得△AOB是等腰三角形．?利用等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)，可推出CD⊥AB，?再利用垂徑定理可得命題

如果圓的直徑

平分弦（這條弦不是直徑），那么這條直徑垂直于這條弦，并且平分這條弦所對的?。倜}真命題二、新知講授命題2如果圓的直徑

平分弧，那么這條直徑就垂直

平分這條弧所對弦．?分別聯(lián)結(jié)OA，OB，得△AOB是等腰三角形，?由

，得∠AOD=∠BOD．?再利用等腰三角形三線合一，得CD平分AB，CD⊥AB．真命題二、新知講授一條直線①經(jīng)過圓心、②垂直于弦、③平分弦、④平分弦所對的弧條件結(jié)論①②③④如果圓的一條直徑垂直于一條弦，那么這條直徑平分這條弦，并且平分這條弦所對的弧．①③②④如果圓的直徑平分弦（這條弦不是直徑），那么這條直徑垂直于這條弦，并且平分這條弦所對的?。佗堍冖廴绻麍A的直徑平分弧，那么這條直徑就垂直平分這條弧所對弦．如果一條直線是弦的垂直平分線，那么這條直線經(jīng)過圓心，并且平分這條弦所對弧.?垂徑定理推論1推論2②③①④如果一條直線是弦的垂直平分線，那么這條直線經(jīng)過圓心，并且平分這條弦所對弧.推論3三、例題講解如圖，已知．

（1）用直尺和圓規(guī)平分這條?。?）試畫出

所在的圓．例題1如果一條直線是弦的垂直平分線，那么這條直線經(jīng)過圓心，并且平分這條弦所對弧.二、新知講授一條直線①經(jīng)過圓心、②垂直于弦、③平分弦、④平分弦所對的弧條件結(jié)論①②③④如果圓的一條直徑垂直于一條弦，那么這條直徑平分這條弦，并且平分這條弦所對的?。佗邰冖苋绻麍A的直徑平分弦（這條弦不是直徑），那么這條直徑垂直于這條弦，并且平分這條弦所對的?。佗堍冖廴绻麍A的直徑平分弧，那么這條直徑就垂直平分這條弧所對弦．垂徑定理推論1推論2②③①④如果一條直線是弦的垂直平分線，那么這條直線經(jīng)過圓心，并且平分這條弦所對弧.推論3二、新知講授如圖，在⊙O中，弦CD與弦AB交于點M．（1）如果AM=BM，那么AB與CD垂直嗎？CD一定經(jīng)過圓心嗎？（2）如果CD⊥AB，那么AM與BM相等嗎？CD一定經(jīng)過圓心嗎？?分別聯(lián)結(jié)AD、BD．?由可得AD=BD，△ABD是等腰三角形．?（1）利用等腰三角形三線合一，由AM=BM得CD⊥AB．?（2）利用等腰三角形三線合一，由CD⊥AB得AM=BM．?進(jìn)一步由CD垂直平分弦AB，得CD一定經(jīng)過圓心．一條直線①經(jīng)過圓心、②垂直于弦、③平分弦、④平分弦所對的弧二、新知講授條件結(jié)論①②③④如果圓的一條直徑垂直于一條弦，那么這條直徑平分這條弦，并且平分這條弦所對的?。佗邰冖苋绻麍A的直徑平分弦（這條弦不是直徑），那么這條直徑垂直于這條弦，并且平分弦所對的弧．①④②③如果圓的直徑平分弧，那么這條直徑就垂直平分這條弧所對弦．②③①④如果一條直線是弦的垂直平分線，那么這條直線經(jīng)過圓心，并且平分這條弦所對弧.②④①③如果一條直線垂直于弦，并且平分弦所對的一條弧，那么這條直線經(jīng)過圓心，并且平分這條弦.③④①②如果一條直線平分弦和弦所對的一條弧，那么這條直線經(jīng)過圓心，并且垂直于這條弦.

在圓中，對于某一條直線“經(jīng)過圓心”、“垂直于弦”、“平分弦”、“平分弦所對的弧”這四組關(guān)系中，

注：當(dāng)條件為“直線經(jīng)過圓心”、“平分弦”時，還要指出這條弦不是直徑，才能推出其余兩組關(guān)系．垂徑定理及其推論一條直線①經(jīng)過圓心、②垂直于弦、③平分弦、④平分弦所對的弧如果有兩組關(guān)系成立，那么其余兩組關(guān)系也成立．三、例題講解如圖，已知⊙O中，C是

的中點，OC交弦AB于點D，∠AOB=120°，AD=8，求OA的長．

例題2解∴OC⊥AB．三、例題講解如圖，已知AB、CD是⊙O的弦，且AB=CD，M、N分別是AB、CD的中點．求證：∠AMN=∠CNM．聯(lián)結(jié)OM、ON．∴∠AMN=∠CNM．∵OM、ON過圓心，M、N分別是AB、CD的中點，∴OM⊥AB，ON⊥CD．∴∠OMA=∠ONC=90°．∵AB=CD且OM、ON分別是AB、CD所對的弦心距，∴OM=ON．∴∠OMN=∠ONM．證明例題3∴∠OMA-∠OMN=

∠ONC-∠ONM．四、歸納小結(jié)垂徑定理及其推論可歸納為：

在圓中，對于某一條直線“經(jīng)過圓心”、