信號(hào)處理習(xí)題答案

數(shù)字信號(hào)處理習(xí)題解答第二章數(shù)據(jù)采集技術(shù)基礎(chǔ)有一個(gè)理想采樣系統(tǒng),其采樣角頻率Ωs=6π,采樣后經(jīng)理想低通濾波器HajΩ還原,其中現(xiàn)有兩個(gè)輸入,x1t=cos2πt,x2t=cos5πt;試問輸出信號(hào)y1t,y2t有無失真為什么

分析：要想時(shí)域采樣后能不失真地還原出原信號(hào),則采樣角頻率Ωs必須大于等于信號(hào)譜最高角頻率Ωh的2倍,即滿足Ωs≥2Ωh;解：已知采樣角頻率Ωs=6π,則由香農(nóng)采樣定理,可得因?yàn)閤1t=cos2πt,而頻譜中最高角頻率,所以y1t無失真；因?yàn)閤2t=cos5πt,而頻譜中最高角頻率,所以y2t失真;設(shè)模擬信號(hào)xt=3cos2000πt+5sin6000πt+10cos12000πt,求：該信號(hào)的最小采樣頻率；若采樣頻率fs=5000Hz,其采樣后的輸出信號(hào)；分析：利用信號(hào)的采樣定理及采樣公式來求解;eq\o\ac○,1采樣定理采樣后信號(hào)不失真的條件為：信號(hào)的采樣頻率fs不小于其最高頻率fm的兩倍,即fs≥2fmeq\o\ac○,2采樣公式解：1在模擬信號(hào)中含有的頻率成分是f1=1000Hz,f2=3000Hz,f3=6000Hz∴信號(hào)的最高頻率fm=6000Hz由采樣定理fs≥2fm,得信號(hào)的最小采樣頻率fs=2fm=12kHz2由于采樣頻率fs=5kHz,則采樣后的輸出信號(hào)說明：由上式可見,采樣后的信號(hào)中只出現(xiàn)1kHz和2kHz的頻率成分,即若由理想內(nèi)插函數(shù)將此采樣信號(hào)恢復(fù)成模擬信號(hào),則恢復(fù)后的模擬信號(hào)可見,恢復(fù)后的模擬信號(hào)yt不同于原模擬信號(hào)xt,存在失真,這是由于采樣頻率不滿足采樣定理的要求,而產(chǎn)生混疊的結(jié)果;第三章傅里葉分析傅里葉變換概述習(xí)題設(shè)序列xn=δn-m,求其頻譜Xejω,并討論其幅頻和相頻響應(yīng)分析：求解序列的頻譜有兩種方法：eq\o\ac○,1先求序列的z變換Xz,再求頻譜,即Xejω為單位圓上的z變換；eq\o\ac○,2直接求序列的傅里葉變換解：對(duì)序列xn先進(jìn)行z變換,再求頻譜,得則若系統(tǒng)的單位采樣響應(yīng)hn=xn,則系統(tǒng)的頻率響應(yīng)故其幅頻和相頻響應(yīng)如圖分別為幅頻響應(yīng)相頻響應(yīng)ωωφωωHejω1由圖可見,該系統(tǒng)的頻率響應(yīng)具有單位幅值以及線性相位的特點(diǎn);設(shè)xn的傅里葉變換為Xejω,試?yán)肵ejω表示下列序列的傅里葉變換：分析：利用序列翻褶后的時(shí)移性質(zhì)和線性性質(zhì)來求解,即,解：1由于,,則故2由于故設(shè)Xejω是如圖所示的信號(hào)xn的傅里葉變換,不必求出Xejω,試完成下列計(jì)算：分析：利用序列傅里葉變換的定義以及帕塞瓦定理來求解;序列的傅里葉變換公式為：正變換反變換帕塞瓦定理解：1由傅里葉正變換公式可知ω=0,則2由于ej0=1,則由傅里葉反變換公式可知n=0,故由帕塞瓦定理,得周期序列的離散傅里葉級(jí)數(shù)DFS如圖所示,序列xn是周期為6的周期性序列,試求其傅里葉級(jí)數(shù)的系數(shù);分析：利用DFS的定義求解,即,其中k=0~N-1解：已知N=6,則由DFS的定義得對(duì)上式依次取k=0~5,計(jì)算求得設(shè),令,,試求與的周期卷積;分析：可以利用列表法求解,直觀方便;由于eq\o\ac○,只要將列表中對(duì)應(yīng)于某個(gè)n的一行中的值和第一行中與之對(duì)應(yīng)的值相乘,然后再將所有乘積結(jié)果相加,就得到此n的值解：注意：本題需要利用下一節(jié)中有限序列與周期序列的關(guān)系以及序列循環(huán)移位的概念;在一個(gè)周期N=6內(nèi)的計(jì)算卷積值eq\o\ac○,則與的周期卷積值n=0~5如下表所示：離散傅里葉變換DFT已知xn如圖所示,為{1,1,3,2},試畫出序列x-n5,x-n6R6n,xn3R3n,xn6,xn-35R5n和xn7R7n的略圖;分析：此題需注意周期延拓的數(shù)值,也就是xnN中N的數(shù)值;如果N比序列的點(diǎn)數(shù)多,則需補(bǔ)零；如果N比序列的點(diǎn)數(shù)少,則需將序列按N為周期進(jìn)行周期延拓,造成混疊相加形成新的序列;解：各序列的略圖如圖所示;試求下列有限長(zhǎng)序列的N點(diǎn)離散傅里葉變換閉合形式表達(dá)式：分析：利用有限長(zhǎng)序列的DFT的定義,即解：1因?yàn)?所以2因?yàn)?所以3由,得注意：為了便于求解,必須利用代數(shù)簡(jiǎn)化法消除掉上式中的變量n;所以4注意：本題可利用上題的結(jié)論來進(jìn)行化簡(jiǎn);由,則根據(jù)第3小題的結(jié)論：若則與上題同理,得所以試畫出圖示的兩個(gè)有限長(zhǎng)序列的六點(diǎn)循環(huán)卷積;分析：本題可以直接利用循環(huán)卷積的公式求解,也可以利用循環(huán)移位的概念來求解,即：有限長(zhǎng)序列xn左移mm為正整數(shù)位的循環(huán)移位定義為且移位時(shí),在主值區(qū)間n=0~N-1內(nèi),當(dāng)某序列值從區(qū)間的一端移出時(shí),與它同值的序列值又從區(qū)間的另一端移入;解：由循環(huán)卷積的定義,可知eq\o\ac○,6eq\o\ac○,eq\o\ac○,則根據(jù)循環(huán)移位的概念,將序列x1n循環(huán)右移3個(gè)單位后乘以3并取其主值序列n=0~5即可,其結(jié)果如圖所示;如圖所示的5點(diǎn)序列xn,試畫出：xnxnxneq\o\ac○,5xnxneq\o\ac○,10xn分析：本題可由圖解法來計(jì)算循環(huán)卷積,并利用循環(huán)卷積來求解線性卷積;同時(shí)應(yīng)注意循環(huán)卷積代替線性卷積的條件：設(shè)兩個(gè)有限長(zhǎng)序列xn、hn的點(diǎn)數(shù)分別為N和M,其循環(huán)卷積的長(zhǎng)度為L(zhǎng),則要用循環(huán)卷積代替線性卷積的條件是：循環(huán)卷積的長(zhǎng)度L必須不小于線性卷積的長(zhǎng)度N+M-1,即L≥N+M-1否則,在循環(huán)卷積周期延拓時(shí)會(huì)產(chǎn)生混疊;解：由于xn是5點(diǎn)序列,所以xnxn是5+5-1=9點(diǎn)序列,因此,xneq\o\ac○,10xn的前9個(gè)點(diǎn)n=0,1,…,8就是xnxn值,后一個(gè)點(diǎn)n=9為零,因?yàn)長(zhǎng)點(diǎn)循環(huán)卷積等于線性卷積結(jié)果的L點(diǎn)周期延拓、混疊相加后的主值區(qū)間內(nèi)的序列L可以是任意整數(shù)值;其運(yùn)算結(jié)果分別如圖a、b、c所示;已知兩個(gè)有限長(zhǎng)序列為試作圖表示xn,yn以及fn=xneq\o\ac○,7yn;分析：直接利用循環(huán)卷積公式或圖解法求解;解：其結(jié)果如圖所示;習(xí)題已知xn是N點(diǎn)有限長(zhǎng)序列,且Xk=DFTxn;現(xiàn)將它補(bǔ)零擴(kuò)展成長(zhǎng)度為rN點(diǎn)的有限長(zhǎng)序列yn,即試求rN點(diǎn)DFTyn與Xk的關(guān)系;分析：利用DFT定義求解;yn是rN點(diǎn)序列,因而結(jié)果相當(dāng)于在頻域序列進(jìn)行插值;解：由可得所以在一個(gè)周期內(nèi),Yk的采樣點(diǎn)數(shù)是Xk的r倍Yk的周期為rN,相當(dāng)于在Xk的每?jī)蓚€(gè)值之間插入r-1個(gè)其它的數(shù)值不一定為零,而當(dāng)k為r的整數(shù)l倍時(shí),Yk與相等;習(xí)題頻譜分析的模擬信號(hào)以8kHz被采樣,計(jì)算了512個(gè)采樣點(diǎn)的DFT,試確定頻譜采樣之間的間隔,并證明你的回答;分析：利用頻域采樣間隔F0和時(shí)域采樣頻率fs以及采樣點(diǎn)數(shù)N的關(guān)系fs=NF0;證：由得其中Ωs是以角頻率為變量的頻譜周期,Ω0是頻譜采樣之間的頻譜間隔;又則對(duì)于本題有fs=8kHz,N=512所以習(xí)題設(shè)有一個(gè)頻譜分析用的信號(hào)處理器,采樣點(diǎn)數(shù)必須為2的整數(shù)冪,假定沒有采用任何特殊數(shù)據(jù)處理措施,要求頻率分辨力≤10Hz,如果采用的采樣時(shí)間間隔為,試確定：最小記錄長(zhǎng)度；所允許處理信號(hào)的最高頻率；在一個(gè)記錄中的最小點(diǎn)數(shù);分析：采樣間隔T和采樣頻率fs滿足fs=1/T,記錄長(zhǎng)度T0和頻域分辨力F0的關(guān)系為T0=1/F0,采樣定理為fs≥2fhfh為信號(hào)最高頻率分量,一個(gè)記錄中最少的采樣總數(shù)N滿足解：1因?yàn)門0=1/F0,而F0≤10Hz,所以即最小記錄長(zhǎng)度為;2因?yàn)?而fs≥2fh所以即允許處理信號(hào)的最高頻率為5kHz;3又因N必須為2的整數(shù)冪所以一個(gè)記錄中的最少點(diǎn)數(shù)為N=210=1024;快速傅里葉變換FFT如果一臺(tái)通用計(jì)算機(jī)的速度為平均每次復(fù)乘5μs,每次復(fù)加μs,用它來計(jì)算512點(diǎn)的DFTxn,問直接計(jì)算需要多少時(shí)間,用FFT運(yùn)算需要多少時(shí)間

分析：eq\o\ac○,1直接利用DFT計(jì)算：復(fù)乘次數(shù)為N2,復(fù)加次數(shù)為NN-1；eq\o\ac○,2利用FFT計(jì)算：復(fù)乘次數(shù)為,復(fù)加次數(shù)為；解：1直接計(jì)算復(fù)乘所需時(shí)間復(fù)加所需時(shí)間所以2用FFT計(jì)算復(fù)乘所需時(shí)間復(fù)加所需時(shí)間所以已知Xk,Yk是兩個(gè)N點(diǎn)實(shí)序列xn,yn的DFT值,今需要從Xk,Yk求xn,yn的值,為了提高運(yùn)算效率,試用一個(gè)N點(diǎn)IFFT運(yùn)算一次完成;分析：我們來組成一個(gè)新的序列Xk+jYk序列,則有它的實(shí)部即為實(shí)序列xn,虛部即為實(shí)序列yn;解：依據(jù)題意,可知取序列對(duì)Zk作N點(diǎn)IFFT可得序列zn;又根據(jù)DFT線性性質(zhì)由原題意可知,xn,yn都是實(shí)序列;再根據(jù)zn=xn+jyn,可得習(xí)題,N=16時(shí),畫出基-2按時(shí)間抽取法DIT及按頻率抽取法DIF的FFT流圖時(shí)間抽取采用輸入倒位序,輸出自然數(shù)順序,頻率抽取采用輸入自然順序,輸出倒位序;分析：eq\o\ac○,1DIF法與DIT法的異同：不同點(diǎn)：DIT與DIF的基本蝶形圖不同,DIF的復(fù)數(shù)乘法出現(xiàn)在減法之后,DIT的復(fù)數(shù)乘法出現(xiàn)在減法之前；相同點(diǎn)：DIT與DIF的運(yùn)算量是相同的；eq\o\ac○,2DIF法與DIT法的關(guān)系：它們的基本蝶形是互為轉(zhuǎn)置的;解：1按時(shí)間抽取DIT如圖所示2按頻率抽取DIF如圖所示課堂思考題若是因果穩(wěn)定序列,求證：證：設(shè)則由時(shí)域卷積定理,得即令上式的左右兩邊n=0,得又傅里葉反變換公式,得,則,所以課堂思考題在N=16時(shí)按時(shí)間抽取的基-2FFT算法中,若輸入序列xn采用倒位序,輸出序列Xk采用自然數(shù)順序,試寫出輸入序列xn的排列順序,并簡(jiǎn)述理由;答：N=16的基-2FFT算法中,輸入序列xn倒位序排列順序?yàn)閤0、x8、x4、x12、x2、x10、x6、x14、x1、x9、x5、x13、x3、x11、x7、x15;其倒位序排序規(guī)則如表所示：自然順序n自然順序二進(jìn)制數(shù)倒位序二進(jìn)制數(shù)倒位序順序0000000000100011000820010010043001111001240100001025010110101060110011067011111101481000000119100110019101010010151110111101131211000011313110110111114111001117151111111115第五章時(shí)域分析隨機(jī)相位正弦波式中,x0,ω均為常數(shù),φ在0~2π內(nèi)隨機(jī)取值,試求其自相關(guān)函數(shù)并作圖;分析：利用自相關(guān)函數(shù)的定義求解,即解：由自相關(guān)函數(shù)的定義式,得可見,該隨機(jī)相位正弦波的自相關(guān)函數(shù)只與角頻率ω有關(guān),而不含相位信息,這表明：正弦函數(shù)的自相關(guān)函數(shù)為失去了相位信息的同頻率余弦函數(shù);其自相關(guān)函數(shù)圖形如圖所示;x02/2x02/2Rxxτττ兩個(gè)隨機(jī)相位正弦波式中,A0,B0,ω,φ均為常數(shù),θ在0~2π內(nèi)的取值概率相同,即滿足試求其互相關(guān)函數(shù)并作圖;分析：利用互相關(guān)函數(shù)的定義求解,即解：由互相關(guān)函數(shù)的定義式,得可見,兩個(gè)正弦函數(shù)的互相關(guān)函數(shù)仍為同頻率的余弦函數(shù),其最大峰值出現(xiàn)在τ=φ/ω處;RxyRxyττφ/ω第六章數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)已知模擬濾波器的模方函數(shù)求模擬濾波器的傳遞函數(shù);分析：利用模擬濾波器的模方函數(shù)|HjΩ|2與其傳遞函數(shù)Hs之間的關(guān)系式求解,即解：將s=jΩ,即Ω2=s2代入|HjΩ|2,得可見,系統(tǒng)有四個(gè)極點(diǎn)s1,2=±3,s3,4=±4和兩對(duì)零點(diǎn)z1,2=±j2;為了得到一個(gè)穩(wěn)定的濾波系統(tǒng),則將左半平面的極點(diǎn)分配給Hs；并取虛軸上的一對(duì)共軛零點(diǎn)作為Hs的零點(diǎn),以保證Hs收斂,故模擬濾波器的傳遞函數(shù)為試設(shè)計(jì)一個(gè)巴特沃思BW低通模擬濾波器,使濾波器的幅度響應(yīng)在通帶截止頻率105rad/s處的衰減不大于3dB,在阻帶截止頻率4×105rad/s處的衰減不小于35dB;分析：按照§中所述的巴特沃思低通濾波器的設(shè)計(jì)過程來實(shí)現(xiàn);eq\o\ac○,1先確定濾波器的階數(shù)N由于公式1則濾波器的階數(shù)公式2注意：N為正整數(shù)且截止頻率公式3eq\o\ac○,2求解位于左半S平面上的極點(diǎn)公式4eq\o\ac○,3確定N階巴特沃斯低通濾波器的傳遞函數(shù)公式5解：eq\o\ac○,1先確定濾波器的階數(shù)N由題意可知,Ωp=105rad/s時(shí),通帶最大衰減αp=3dBΩs=4×105rad/s時(shí),阻帶最小衰減αs=35dB則代入公式1,求得參數(shù)γ和λ將參數(shù)γ、λ、Ωp和Ωs代入公式2,則濾波器的階數(shù)將參數(shù)N、γ和Ωp代入公式3,可得截止頻率eq\o\ac○,2求解位于左半S平面上的極點(diǎn)將參數(shù)Ωc和N代入公式4,得極點(diǎn)即eq\o\ac○,3確定巴特沃斯低通濾波器的傳遞函數(shù)Hs將參數(shù)N、Ωc和sk代入公式5,得巴特沃斯低通濾波器的傳遞函數(shù)式中Ωc=105rad/s試導(dǎo)出二階巴特沃斯低通濾波器的系統(tǒng)函數(shù),設(shè)Ωc=3rad/s;分析：本題利用模方函數(shù)求出其左半S平面極點(diǎn),而求得系統(tǒng)函數(shù);N階巴特沃斯低通濾波器的模方函數(shù)定義為在上式中代入jΩ=s,可得而HsH-s在左半S平面的極點(diǎn)即為Hs的極點(diǎn),因此其中,k0由來確定;注意：可以證明,系數(shù)k0=ΩcN;解：對(duì)于二階N=2巴特沃斯低通濾波器,其模方函數(shù)為令jΩ=s,則有各極點(diǎn)滿足則k=1,2時(shí),所得的sk位于左半S平面,即為Hs的極點(diǎn)由以上兩個(gè)極點(diǎn)構(gòu)成的系統(tǒng)函數(shù)為代入條件,可得k0=9注：k0=Ωc2,故二階巴特沃斯低通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)試導(dǎo)出三階巴特沃斯低通濾波器的系統(tǒng)函數(shù),設(shè)Ωc=2rad/s;分析：與習(xí)題6.3同理,利用模方函數(shù)求出其左半S平面極點(diǎn),而求得系統(tǒng)函數(shù);解：對(duì)于三階N=3巴特沃斯低通濾波器,其模方函數(shù)為令jΩ=s,則有各極點(diǎn)滿足不難得知,當(dāng)k=1,2,3時(shí),相應(yīng)的極點(diǎn)sk均位于左半S平面;則濾波器的系統(tǒng)函數(shù)Hs的極點(diǎn)因此,三階巴特沃斯低通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為設(shè)模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為試?yán)脹_激響應(yīng)不變法,設(shè)計(jì)IIR數(shù)字低通濾波器;確定AF的傳函Hs給定指標(biāo)確定AF的傳函Hs給定指標(biāo)求解AF的單位沖激響應(yīng)ht取拉氏反變換獲得DF的單位沖激響應(yīng)序列hn采樣獲得DF的傳函HzZ變換令t=nT解：將Hs展開成部分分式,得對(duì)Hs取拉氏反變換,得對(duì)ht作周期為T的等間隔采樣,得對(duì)hn取Z變換,得IIR數(shù)字低通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為設(shè)有一模擬濾波器采樣周期T=2,試用雙線性變換法將它轉(zhuǎn)變?yōu)閿?shù)字系統(tǒng)函數(shù)Hz;分析：雙線性變換法是模擬系統(tǒng)函數(shù)的S平面和數(shù)字系統(tǒng)函數(shù)的Z平面之間是一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系,消除了頻譜的混疊現(xiàn)象,其變換關(guān)系為解：將T=2代入變換公式,可得則數(shù)字系統(tǒng)函數(shù)用雙線性變換法設(shè)計(jì)一個(gè)數(shù)字低通濾波器,采樣頻率fs=,截止頻率fc=400Hz;分析：按照§中所述的采用雙線性變換法的設(shè)計(jì)過程來實(shí)現(xiàn);eq\o\ac○,1利用關(guān)系式ω=TΩ將給定的模擬域頻率指標(biāo)轉(zhuǎn)化為數(shù)字域頻率指標(biāo)eq\o\ac○,2利用如下的預(yù)畸變補(bǔ)償公式將數(shù)字域頻率指標(biāo)變換為補(bǔ)償后的模擬域頻率指標(biāo)eq\o\ac○,3按補(bǔ)償后的模擬域頻率指標(biāo)設(shè)計(jì)三階巴特沃斯模擬濾波器Hs參見例6.2.4eq\o\ac○,4利用雙線性變換公式,將模擬濾波器Hs變換為數(shù)字濾波器Hz,即T為采樣周期解：此數(shù)字濾波器的截止頻率由預(yù)畸變補(bǔ)償,得相應(yīng)的模擬濾波器的截止頻率由習(xí)題6.4可知,三階巴特沃斯模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)其中,濾波器的系統(tǒng)函數(shù)Hs的極點(diǎn)故有將雙線性變換公式和代入,可得三階巴特沃斯數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)請(qǐng)選擇合適的窗函數(shù)及窗寬N來設(shè)計(jì)一個(gè)線性相位低通濾波器要求其阻帶最小衰減為45dB,過渡帶寬為8π/51,試求出hn設(shè)截止頻率ωc=π;分析：本題是真正實(shí)用的設(shè)計(jì)題,從中可以看到阻帶衰減影響窗形狀的選擇當(dāng)然用凱塞窗則可改變?chǔ)聛頋M足阻帶衰減的要求,而窗寬N的選擇則影響過渡帶寬;按照§中所述的線性相位FIR數(shù)字低通濾波器的設(shè)計(jì)步驟來實(shí)現(xiàn);eq\o\ac○,1給定