高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)專項(xiàng)訓(xùn)練：三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)綜合（2知識(shí)點(diǎn)6重難點(diǎn)7方法技巧4易錯(cuò)易混）

專題06三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)綜合

（思維構(gòu)建+知識(shí)盤點(diǎn)+重點(diǎn)突破+方法技巧+易混易錯(cuò)）

維構(gòu)建?耀精向紿

-（五融畫國(guó)、余弦函數(shù)蝙商）

型01求三角西St甑義域

K定義域與值域）轆02求三角醛的值域（量值）

—（。知識(shí)點(diǎn)一三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)）型03梯比角函數(shù)的0或求參數(shù)

翅04求三角整的單調(diào)區(qū)間

型05根一角函數(shù)的隼調(diào)性求參數(shù)

Y應(yīng)也正切函蝌圖象與演

耀06三角函數(shù)的奇星性'可題

單調(diào)區(qū)間）型07三角函數(shù)的對(duì)稱性訶題

避08三角函數(shù)的周期性訶題

三角函數(shù)的圖象Y通中心與旃湖）,凝09三角函螃點(diǎn)訶題

與性質(zhì)綜合

y-Aa&x+.西有關(guān)篇念十?費(fèi)翅01由三角躡的圖象礪解歸

L相位、初相凝02判貯角函統(tǒng)壁一

翹03求辭故前面的翻試

O黜只函數(shù)y=Asin(o.v+<p)型04圖象變崛后的重合噴

用五點(diǎn)法畫了一As的純+?）

型05由壁蛔瓶箍性質(zhì)

j-型06三角函數(shù)的應(yīng)用

三角函數(shù)的圖象變換

先平移再伸縮

口承盤點(diǎn)?置；屋訃與

知識(shí)點(diǎn)1三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)

1、用五點(diǎn)法作正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的簡(jiǎn)圖

（1）在正弦函數(shù)尸sinx,尤引0,2用的圖象中，五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)是：（0,0）,（與1），（兀，0）,售-1）,（2兀，0）.

（2）在余弦函數(shù)y=cosx,XG[0,27T]的圖象中，五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)是：（0,1）,（J,0）,（兀，-1）,作，0）,（2無，1）.

2、正弦、余弦、正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)（下表中左GZ）

函數(shù)y=sinxy=cosxy=tanx

yyi

_ir1_7TJ._7T7T

圖象另"1

卜|中左兀+會(huì)j

定義域RR

值域[-1,1][-1,1]R

周期性2兀2兀兀

奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)

71.71（左兀-與kTl+^)

遞增區(qū)間2A7T2，2kmi-2[2左?！?，2左兀]

24兀+多2%兀+苧

遞減區(qū)間[2左兀,2%兀+兀]無

（析+會(huì)0）

對(duì)稱中心（析，0）3。）

對(duì)稱軸方程%=^7l+2x~~ku無

知識(shí)點(diǎn)2函數(shù)y=Asin（（ox+（p）

1、y=Asin?x+（p）的有關(guān)概念

y=Asin(s+9)振幅周期頻率相位初相

F2?！?CO

(A>0,SO)AT=~t----CDx+(p

co7T271(p

2、用五點(diǎn)法10y=Asin(①x+e)(A>0,(o>0)

3兀

a)x~\~(p0712兀

2~2

Tt_(p兀一.3TI_(p2兀—(p

X

CD2cocoCO2cococo

y=Asin@x+9)0A0-A0

3、三角函數(shù)的圖象變換

由函數(shù)y=sinx的圖象通過變換得到y(tǒng)=Asin（s+9）（A>0,口>0）的圖象的兩種方法

法一__法二

_______________________步_______________________

畫出y=sin%的圖象---驟|E|出y=sin%的圖象

|_U

?今旨或平移13個(gè)單位橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼纳媳?/p>

帚士/mV。）3

|得到片sin（%+w）的圖象卜——驟——（得到y(tǒng)=sin3%的圖象|

2

向左（Q）或平移價(jià)單位

橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼男谋?gt;0

向右（@<0）

步

|得到尸in（y+卬）的圖象k---多—?|得到廣sin（sj+<p）的圖象|

3

縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼腁倍縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼腁倍

|得到產(chǎn)4sin（3%+<p）的圖象卜---驟---得到y(tǒng)=4sin（3%+<p）的圖象|

4

X重點(diǎn)突破?春分?必檢

重難點(diǎn)01利用三角函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)

1、子集法：求出原函數(shù)的相應(yīng)單調(diào)區(qū)間，由已知區(qū)間是所求某區(qū)間的子集，列不等式（組）求解；

2、反子集法：由所給區(qū)間求出整體角的范圍，由該范圍是某相應(yīng)正、余弦函數(shù)的某個(gè)單調(diào)區(qū)間的子集，列

不等式（組）求解；

3、周期性法：由所給區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)到其相應(yīng)對(duì)稱中心的距離不超過;周期列不等式（組）求解。

【典例1】（2324高三下?江西宜春?模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)/（尤）=cos（ox-胃3>0）在區(qū)間全兀上單調(diào)遞減，

則。的取值范圍是.

「171

【答案】

26

TT77T2冗

【解析】因?yàn)?（X）在區(qū)間-.K上單調(diào)遞減，所以耳27t-1=$,

則TN：47r,即9臼IT249豆,所以0<@V3；,

3CD32

,JI兀

因?yàn)?力>0,所以O(shè)X——e

_3J6

「、1c3LL…。兀71I7171

因?yàn)?<@笠，所以-D*-2/

236I63_

-7T

因?yàn)椤坝龋┰趨^(qū)間§,兀上單調(diào)遞減，

—-->0

aA-1717

所以，解得:VoW：,所以。的取值范圍為-，7

71,26126.

【典例2】(2324高三下?黑龍江雙鴨山?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/(%)=-sins0>0)在區(qū)間［5,兀J上單

調(diào)遞減，則。的取值范圍是.

【答案】(。怖

■A73xr^.、r,，兀|RLCDTL7t7L7L

【解析】當(dāng)xe|二,兀|時(shí)，------<a>x-—<am--,

<3)3444

兀71

又、=-sinx的單調(diào)遞減區(qū)間為2k7i--,2k7i+-(ZeZ),

。兀兀兀

22化兀

34------?------------------33

所以也必,解得6左一二左+；/￡Z),

①71——兀<,027/CJI+,—兀44

I42

333

且2k+—N6k—(%￡Z),解得左W—,又切>0,

448

所以左=0,所以0的取值范圍為［。標(biāo).

重難點(diǎn)02與函數(shù)零點(diǎn)或方程的根有關(guān)的參數(shù)問題

因?yàn)?(x)=4s譏(3X+0)的最小正周期是7=溫，所以3=票，也就是說只要確定了周期T,就可以確定3

的取值.對(duì)于區(qū)間長(zhǎng)度為定值的動(dòng)區(qū)間，若區(qū)間上至少含有k個(gè)零點(diǎn)，需要確定含有k個(gè)零點(diǎn)的區(qū)間長(zhǎng)度,

一般和周期相關(guān)，若在在區(qū)間至多含有k個(gè)零點(diǎn)，需要確定包含k+1個(gè)零點(diǎn)的區(qū)間長(zhǎng)度的最小值.

【典例1]（2324高三下?河北滄州?月考）已知函數(shù)〉=$出2]8-胃-;（。＞0）在區(qū)間（0,胃上有且僅有3個(gè)

零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是（）

A.（2,4）B.[9]C.f|,4D.（2,4]

【答案】C

兀1/八、一r/口1C711

【解析】由'=$命c(diǎn)ox-I~69〉。)可得y=--cosl2cox--+—

4

.1[_兀)1八c兀)1c兀，兀c77r

令*--COSLCDX---H-0COSLCDX------——=>Z.COX------—i—F2左兀，左￡Z

2[3)4(3)233

所以x=W這或》=如，丘Z,

3a）co

713兀4兀6兀7兀

故函數(shù)的正零點(diǎn)從小到大排列為:

3G'3G'3G'3G'3G

要使在區(qū)間上有且僅有3個(gè)零點(diǎn)，需要滿足工且案目，解得故選：C

【典例2】（2324高三下?湖北.二模）已知函數(shù)/（x）=sin（0,x+°）（。＞0,煙＜]）的最小正周期為T,

=若〃尤）在[0川內(nèi)恰有10個(gè)零點(diǎn)則0的取值范圍是.

【答案】[9私10兀）

【解析】函數(shù)/（x）=sin（ox+e）（。＞0,憫＜5）的周期為7="，

2CD

712兀

因?yàn)樗浴?0+[+/=兀，解得夕=。，

2—萬

所以/（%）=sinox,因?yàn)閤e[0,l],所以0W°xW（y,

要使〃x）在[0』內(nèi)恰有10個(gè)零點(diǎn)，則9兀4O＜10兀.

所以。的取值范圍是[9無,10無）.

重難點(diǎn)03利用三角函數(shù)的對(duì)稱性（奇偶性）求參數(shù)

（1）三角函數(shù)兩條相鄰對(duì)稱軸或兩個(gè)相鄰對(duì)稱中心之間的“水平間隔”為3相鄰的對(duì)稱軸和對(duì)稱中心之間的

“水平間隔”為:，也就是說，我們可以根據(jù)三角函數(shù)的對(duì)稱性來研究其周期性，進(jìn)而可以研究3的取值。

（2）三角函數(shù)的對(duì)稱軸比經(jīng)過圖象的最高點(diǎn)或最低點(diǎn)，函數(shù)的對(duì)稱中心就是其圖象與x軸的交點(diǎn)（零點(diǎn)）,

也就是說我們可以利用函數(shù)的最值、零點(diǎn)之間的“差距”來確定其周期，進(jìn)而可以確定3的取值.

【典例11（2324高三下.黑龍江.三模）已知函數(shù)〃x）=cos（0x-：［（0>0）在區(qū)間［0,2兀］內(nèi)恰有3條對(duì)稱軸，

則。的取值范圍是（）

A-h'7'1T51］「5句外c<5131D-「h9'T13j、

【答案】D

"11JIrJI

【解析】因?yàn)?WXW2TT,所以一:Wgx-丁W2期:一:，

444

又函數(shù)"X）=COS/X-3（。>0）在區(qū)間［0,2兀|恰有3條對(duì)稱軸，

兀913

所以2兀42期i—<3兀，解得一工切<—,故選：D.

488

【典例2】（2324高三上?福建漳州?月考）已知函數(shù)/（%）=coss-百sins（co>O）,若/（%）在區(qū)間［。,2句

上有且僅有3個(gè)零點(diǎn)和2條對(duì)稱軸，則3的取值范圍是（）

1319)41912公

B.C.D.

12912j371212'3)

【答案】D

(1V3、

【解析】函數(shù)/(x)=cosGx-A/JsinGx=2—cosajx---sincox=2coslI,

(22)

人TCTCTC

因?yàn)閤l[0,2/r],所以+,2,7ICD+—

由于函數(shù)f（x）在區(qū)間［0,2萬］上有且僅有3個(gè)零點(diǎn)和2條對(duì)稱軸,

根據(jù)函數(shù)的圖像:

134、

oe正故選：D-

重難點(diǎn)04與圖象平移有關(guān)的參數(shù)范圍問題

1、平移后與原圖象重合

思路1：平移長(zhǎng)度即為原函數(shù)周期的整倍數(shù)；

思路2：平移前的函數(shù)=平移后的函數(shù)g(x).

2、平移后與新圖象重合：平移后的函數(shù)/。)=新的函數(shù)g(x).

3、平移后的函數(shù)與原圖象關(guān)于y軸對(duì)稱：平移后的函數(shù)為偶函數(shù)；

4、平移后的函數(shù)與原函數(shù)關(guān)于x軸對(duì)稱：平移前的函數(shù)〃x)=平移后的函數(shù)g(x)；

5、平移后過定點(diǎn)：將定點(diǎn)坐標(biāo)代入平移后的函數(shù)中。

【典例1】(2324高三下?內(nèi)蒙古赤峰?開學(xué)考試)將函數(shù)/(x)=sin,x-T(0>O)的圖象向左平移:個(gè)單位

長(zhǎng)度后得到函數(shù)g(x)的圖象，若g(x)在上單調(diào)遞增，則。的最大值為()

313

A.-B.gC.-D.1

524

【答案】C

【解析】由題意8(同=/卜+：［=$畝(8+：0-：］(0>0),

令5顯然/關(guān)于x單調(diào)遞增，且%-=兀。-：，

若g(x)在］上單調(diào)遞增，則'(9)=無?！?1，解得

3

即。的最大值為=.故選：C.

4

【典例2】(2324高三上.江蘇鎮(zhèn)江.月考)將函數(shù)/(x)=cos2X的圖象向右平移g個(gè)單位長(zhǎng)度后，再將使得

O

圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的g(。>1)得到函數(shù)g(x)的圖象，若在區(qū)間［O,p)內(nèi)有5個(gè)零點(diǎn)，則

。的取值范圍是

2935

【答案】

12'12

【解析】將函數(shù)/(x)=cos2x的圖象向右平移g個(gè)單位長(zhǎng)度,

O

再將所得圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的，(G>1),得到函數(shù)g(%)=

COS1CDX--的圖象.

Ct)l3

工￡［0,兀）時(shí)，269X-jG--,2^71--

33

產(chǎn)cos尤在y軸右方的零點(diǎn)為./孝巧子卷,野

因?yàn)楹瘮?shù)g(x)的圖象在區(qū)間［0㈤內(nèi)有5個(gè)零點(diǎn),

重難點(diǎn)05根據(jù)三角函數(shù)的最值求參數(shù)

若已知三角函數(shù)的最值，則可利用三角函數(shù)的最值與對(duì)稱軸或周期的關(guān)系，列出關(guān)于參數(shù)的不等式(組)，進(jìn)

而求解.

【典例1】(2324高三下?浙江?三模)若函數(shù)/(x)=sin(0x)+cosx的最大值為2,則常數(shù)。的取值可以

為()

A.1B.—C.-D.一

234

【答案】D

【解析】因?yàn)楹瘮?shù)》=。0$*的最大值為1,y=sin(ox)的最大值為1,

由題意可知，y=cosx取得最大值1時(shí)，,=5出(如)也取得最大值1,

7T

即當(dāng)％=2尿,左￡Z時(shí)，co-2kn=—+2左，,k,k!eZ,

2

ik'

得G=----1—,k,k'GZ,左w0,

4kk

當(dāng)k=1,太=。時(shí)，。==，其他值不滿足等式.故選：D

【典例2】(2324高三下?山東濟(jì)寧?三模)已知函數(shù)/(%)=(百sinx+cosx)cosx-L若/(%)在區(qū)間［-；,加］上

24

的值域?yàn)椋?乎,1］,則實(shí)數(shù)加的取值范圍是（）

717兀

A.B.哈百D.

626912

【答案】D

21v3.c1c?//->兀、

【解析】依題意，函數(shù)/（x）=6sinxcosx+cosx——=——sin2x+—cos2x=sin(2x+—)，

2226

當(dāng)xe［一時(shí)，2x+—e,2m+y］,顯然sin（—二）=sin"^=—^^.sin工=1,

46363322

且正弦函數(shù)y=sinx在弓，手］上單調(diào)遞減，由了（無）在區(qū)間［-：,汨上的值域?yàn)椋?乎」,

71.714兀左刀7T,7兀

Z得R彳42加+工4工-,解Z得n工4機(jī)（二，

263612

7777r

所以實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍是.故選：D

612

法技巧?逆境學(xué)霸

一、三角函數(shù)定義域的求法

求三角函數(shù)定義域?qū)嶋H上是構(gòu)造簡(jiǎn)單的三角不等式（組），常借助三角函數(shù)圖象來求解.

【注意】解三角不等式時(shí)要注意周期，且左ez不可以忽略.

【典例1】（2324高三上?全國(guó)?專題練習(xí)）函數(shù)y=J2sinx-括的定義域?yàn)椋ǎ?/p>

2K71+~,2kliH——GZ

E++g(左EZ)

【答案】B

［解析］由2sinx-^320得sinx2，

2

7T2

解得］+2faiWxW17i+2E(ZEZ).故選:B.

【典例2】（2324高三上?河南新鄉(xiāng)?月考）函數(shù)/X%）二lg（sin%）+J2cos%-1+tan2%的定義域?yàn)?..（用區(qū)

間表示結(jié)果）

【答案】12防i,2E+；2左兀+：,2左兀+三（％EZ）

4

【解析】要使函數(shù)/(x)=lg(sinx)+J2cosx—l+tan2%有意義,

2E<x<2k7i+7i

sinx>0

TTTT

只需<2cosx-l>0,所以<2fai~—<x<Ikn+—,keZ,

tan2x有意義

_,71

2xwE+一

2

2kn<x<2far+兀

jrjr

即《2kn—<x<2k兀+—,左wZ,

33

kit7i

XW---F—

24

JIJi

所以2fai<%<2far+—或2foi+—<2far+—,左wZ,

443

所以函數(shù)“X）的定義域?yàn)閇2E,2E+：卜（2E+：,2far+g（keZ）.

二、三角函數(shù)值域或最值的3種求法

1、直接法：形如y=〃sinx+左或y=〃cosx+女的三角函數(shù)，直接利用sin%,cos%的值域求出；

2、化一法：形如y=〃sinx+Z?cosx+左的三角函數(shù)，化為y=Asin（Gx+9）+Z的形式，確定①x+夕的范圍，

根據(jù)正弦函數(shù)單調(diào)性寫出函數(shù)的值域（最值）；

3、換元法：

（1）形如y=〃sin2%+/?sinx+Z的三角函數(shù)，可先設(shè)sinx=￡，化為關(guān)于1的二次函數(shù)求值域（最值）；

（2）形如〉=公山加05%+。（5吊壯85尤）+。的三角函數(shù)，可先設(shè)￡=sinx土cos%,化為關(guān)于1的二次函數(shù)求值

域（最值）

【典例1】（2324高三下?廣東湛江二模）函數(shù)〃x）=4sin（5xq]在0,|上的值域?yàn)椋ǎ?/p>

A.[-2,2]B.[-2,4]C.[-2A/3,4]D.[-262]

【答案】B

【解析】因?yàn)閤e0,—,所以5x—工€,所以sin（5x—--J,

_5J6|_66」I6JL2_

故/（x）=4sin15xq]在0,1上的值域?yàn)閇-2,4].故選：B.

【典例2】(2223高三上?山東朔州?開學(xué)考)已知函數(shù)/(x)=cos2x+8cosx,則的最小值為.

【答案】-7

【解析】因?yàn)橐籌WcosxKl,則l<cosx+243,

所以，/(x)=2cos2x+8cosx-l=2(cosx+2)2-9,

故當(dāng)cos尤=一1時(shí)，函數(shù)/(%)取得最小值，即/(力.=2x(—1+2)2-9=一7.

【典例3】(2223高三上?廣東深圳?月考)已知函數(shù)〃x)=sin%+cosx+2sinxcosx+2,則/(%)的最大值為

().

A.3+V2B.3-72C.2+72D.2-虛

【答案】A

【角軍析】/(x)=sinx+cosA：+2sinj;cosx+2=sinx+cosx+(sinx+cosx)2-l+2,

令1=sinx+cosx=^sinx+cosx=A/2sine|^-A/2,A/2J,

即〃x)=g(o=/+t+i=[+￡]+|)

由亂-￡旬，貝|g⑺1mx=g(@=2+0+l=3+VL故選：A.

【典例4】(2324高三下.湘豫聯(lián)考.三模)當(dāng)0Wx<］時(shí)，sm"+"°s"3的最大值是()

2cosx

A.2B.回C.0D.2回

【答案】D

【解析】原式=濁空衛(wèi)生色=2sinx+6cosx=2而sin(x+e),

cosx

jr兀

其中銳角0由tanp=3確定，由0Wx<5，^Q<(p<x+(p<-+(p<Tt,

所以［2ji5sin(x+@］1mx=2函.故選：D

三、求三角函數(shù)單調(diào)區(qū)間的2種方法

1、代換法：就是將比較復(fù)雜的三角函數(shù)含自變量的代數(shù)式整體當(dāng)作一個(gè)角"(或。，利用基本三角函數(shù)的單

調(diào)性列不等式求解；

2、圖象法：畫出三角函數(shù)的正、余弦和正切曲線，結(jié)合圖象求它的單調(diào)區(qū)間

求解三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時(shí)，若x的系數(shù)為負(fù)，應(yīng)先化為正，同時(shí)切莫忽視函數(shù)自身的定義域.

【典例1】（2324高三上?湖南衡陽?期末）下列函數(shù)的最小正周期為兀，且在（0,1）上單調(diào)遞減的是（）

A.y=cos（1-2x）B.y=sin2x

C.y=tan（l-x）D.y=-sin

【答案】C

27r

【解析】由題意，A項(xiàng)，在〉=8$（1-2*）中，j=cos（2x-l）,0=2,最小正周期為7=3=無，

jr11

當(dāng)單調(diào)遞增時(shí)，2far-7t<2x-l<2kn（keZ）,解得：far-^+-<x<+eZ）

...在0，；上不單調(diào)遞減，A錯(cuò)誤；

2兀

B項(xiàng)，在,=5皿2%中，（0=2,最小正周期為了=萬二兀，

當(dāng)單調(diào)遞增時(shí)，2E一1三2%<2也+]（%￡2）,解得：<x<k7i+^kGZ）

IT

.??在。，二上不單調(diào)遞減，B錯(cuò)誤；

L4」

C項(xiàng)，在y=tan?！猉）中，y=—tan（x—1）,周期7=7=無，

函數(shù)在far-g<尤一1<也+系左€2）即hr-]+l<x<E+g+l（左eZ）上單調(diào)遞減，

.?.函數(shù)在（0,1）上單調(diào)遞減，C正確；

17=女=4

D項(xiàng)，在卜-s嗚中，"一=5"一「包，故D錯(cuò)誤.故選：C.

【典例2】（2324高三下.全國(guó).模擬預(yù)測(cè)）函數(shù)〃x）=-3cos（2x+年的單調(diào)遞增區(qū)間為（）

.71兀7T

A.ku,kruH—，化￡ZB.k7t+—,kR+—，左￡Z

3663

j兀757r.

C.ku------,ku---，女￡ZD.kll---，攵71H-----,A：GZ

12121212

【答案】D

［解析］(尤+聿兀

/(x)=-3cos2,令2kn<2x+—<2kji+兀,女￡Z,

6

/.K7it---兀--<X<KH1-\---3-兀-,K7GZrr,

1212

冗57r

故函數(shù)/(%)的單調(diào)遞增區(qū)間為kn-—,k7i+—，丘Z.故選：D.

【典例3】(2324高三下?天津?高考模擬)函數(shù)/("=21211(8+。)[。＜外工2,。＜。＜?的圖象經(jīng)過點(diǎn)

兀

A和點(diǎn)8,則八％)的單調(diào)遞增區(qū)間是()

而一,包+^)左兀—'E+￡)(左￡)

A.(kcZ)B.Z

kuTIkitTIkuitkuTl

C.?+(左GZ)D.(^G