2024-2025學(xué)年浙江省新陣地教育聯(lián)盟高三（上）第一次聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷（含答案）

2024-2025學(xué)年浙江省新陣地教育聯(lián)盟高三(上)第一次聯(lián)考數(shù)學(xué)試

卷

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求

的。

1.已知集合a={x|-1W*<3},B={x|/—x—6<0},則ACB=()

A.(-2,3]B.(-2,3)C.[-1,3]D.[-1,3)

2.已知平面向量a=(—道,一1),5=(一23,4),貝!Ja?6=()

A.2B.10C.-2^/3D.28

3.在(3-m)5的展開式中，含%2的項的系數(shù)為()

A.15B,-15C.270D.-270

4.在△28C中，內(nèi)角4B,C的對邊分別是a,b,c,已知a=l,b=避/=2，貝！|c=()

A.1或2B.1或避C.1D.2

5.函數(shù)y=cos%與y=的圖象的交點個數(shù)是()

A.2B.3C.4D.6

6.若隨機變量X?N(12,9),則下列選項錯誤的是()

A.P(X>12)=0.5B,P(X<9)=P(X>15)C.E(3X-1)=35D,D(2X-1)=12

7.如圖，在四棱錐P—ABC。中,底面48CD為菱形，PD,底面2BCD,。為對角線2C與的交點，若

71Ji

PD=2fZ-APD=-Z-BAD=則三棱錐P-OCD的外接球的體積為()

A學(xué)

B.嗜r

c岑I兀

AB

D,容n

第1頁，共10頁

8.北宋數(shù)學(xué)家沈括在酒館看見一層層壘起的酒壇，想求這些酒壇的總數(shù)，經(jīng)過反復(fù)嘗試，終于得出了長方

臺形垛積的求和公式.如圖，由大小相同的小球堆成的一個長方臺形垛積，第一層有就個小球，第二層有

（a+1）（6+1）個小球，第三層有（a+2）（b+2）個小球.....依此類推，最底層有cd個小球，共有幾層,現(xiàn)有一

個由小球堆成的長方臺形垛積，共7層，小球總個數(shù)為168,則該垛積的第一層的小球個數(shù)為（）

二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項

符合題目要求。

9.某地區(qū)5家超市銷售額y（單位：萬元）與廣告支出久（單位：萬元）有如下一組數(shù)據(jù):

廣告支出（萬元）

銷售額（萬元）

下列說法正確的是（）

2

ld=i(,xi-x')

A.根據(jù)表中數(shù)據(jù)計算得到x與y之間的經(jīng)驗回歸方程為y=+8.3,貝他=3.1

B.久與y之間的樣本相關(guān)系數(shù)r=3.1

C.若殘差的平方和越小，則模型的擬合效果越好

D.若該地區(qū)某超市的廣告支出是3萬元，則該超市的銷售額一定是17.6萬元

10.已知%、92分別是雙曲線C：/一產(chǎn)=2的左右焦點，點。是圓4（x-2）2+（y—3）2號上的動點，下列

說法正確的是（）

A.三角形4%尸2的周長是12

B.若雙曲線E與雙曲線C有相同的漸近線，且雙曲線E的焦距為8,則雙曲線E為"―y2=8

C.若|QFi|+|QF2l=8,則Q的位置不唯一

D.若P是雙曲線左支上一動點，貝UIP&I+|PQ|的最小值是5+|企

11.已知增函數(shù)八久）的定義域為正整數(shù)集，/（久）的取值也為正整數(shù)，且滿足/（〃＞））=2n+l,n6N*.下列

說法正確的是（）

第2頁，共10頁

A./(I)=2B./(4)=6

C.f(2025)=2536D.對任意正整數(shù)n,都有/(2n)=3?2日一】

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.已知復(fù)數(shù)z=(l-2i)(l+i),則|z|=

13.已知Sn是等差數(shù)列｛a“｝的前n項和，若Su=33,貝。3a5—(X1—他=.

14.甲乙兩人進行一場抽卡游戲，規(guī)則如下：有編號1,2,3,4,5,6,7的卡片各1張，兩人輪流從中不

放回的隨機抽取1張卡片，直到其中1人抽到的卡片編號之和等于12或者所有卡片被抽完時，游戲結(jié)束.若

甲先抽卡，求甲抽了3張卡片時，恰好游戲結(jié)束的概率是_____.

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

15.(本小題13分)

已知數(shù)列｛冊｝的首項的=—1，且滿足冊+1=/7.

11

(1)求證：數(shù)歹！J｛2-1｝為等比數(shù)列，并求出數(shù)列｛分的通項公式；

unun

⑵若方+；+機+???+/<1。，求滿足條件的最大整數(shù)加

Ct]u，2U.3Gin

16.(本小題15分)

如圖，在四棱錐P-力BCD中，平面PAD1平面4BCD,底面是正方形，AB=2,PA=避.

(1)若PD=2,M是P2中點，證明：DM1PB；

(2)若PD=1,求平面P4D與平面PBC所成角的正切值.

17.(本小題15分)

平面內(nèi)有一點尸2(1，0)和直線心久=2,動點PQ,y)滿足：P到點尸2的距離與P到直線/的距離的比值是#點P

的運動軌跡是曲線E,曲線E上有4、B、C、。四個動點.

(1)求曲線E的方程；

(2)若2在x軸上方，2可+取=5,求直線AB的斜率；

(3)若C、。都在久軸上方，F(xiàn)i(—1,0),直線C&〃DFi，求四邊形的面積的最大值.

第3頁，共10頁

18.(本小題17分)

已知函數(shù)/'(x)=^r—a(2x-l)-b,其中a,6是實數(shù).

(1)若a=0,求f(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若函數(shù)/(尤)不具有單調(diào)性，求實數(shù)a的取值范圍；

(3)若/'(X)W0恒成立，求a+6的最小值.

19.(本小題17分)

正整數(shù)集2={爪+1即+2,m+3,…,ni+3n},其中meN,neN+.將集合4拆分成ri個三元子集，這幾個

集合兩兩沒有公共元素.若存在一種拆法，使得每個三元子集中都有一個數(shù)等于其他兩數(shù)之和，則稱集合4

是“三元可拆集”.

(1)若m=l,n=3,判斷集合4是否為“三元可拆集”，若是，請給出一種拆法；若不是，請說明理由；

(2)若機=0,n=6,證明：集合力不是“三元可拆集”；

(3)若n=16,是否存在小使得集合4是“三元可拆集”，若存在，請求出m的最大值并給出一種拆法；若

不存在，請說明理由.

第4頁，共10頁

參考答案

l.D

2.2

3.X

4.2

5.C

6.D

7.B

8.B

9.AC

IQ.ACD

11.ABD

12,710

13.3

14至

,210

15.(1)證明：由冊+L^^p得六

又1=—2,.??數(shù)歹U｛；—1｝是以一2為首項，，為公比的等比數(shù)列，

(XIunD

得4=-2X(扔T=-系，

17

則—=1——=-7-

八%"3n-lf

(2)解:由(1)知，

111222

占+石+…+鼠=九一(2+百+至+“?+布)

=九一2x=n-3+宗，

1-3§

iBZ?n=n-3+—,則/??+1—勾=1一至>1-百>。0GN*),

???｛%｝單調(diào)遞增，

QQ

當(dāng)幾213時，n-3+^>10+^>10,不符合；

第5頁，共10頁

QQ

當(dāng)71=12時，n—3+亮=9+亮＜10,符合題意.

D±z,

故"的最大值為12.

16.(1)證明：PD=2D,M是P4中點，

?.?平面PA。_L平面ABC。，AB1AD,

..AB1平面P4D,

???DMu平面PAD,/.AB1DM,

又?：PA與AB是平面P4B內(nèi)的兩條相交直線，

DM_L平面P4B,

???DM1PB；

(2)解法一：(坐標法)過P作PH1AD于H,

?.?平面PAD1平面力BCD,PH_L平面力BCD,

以H為坐標原點建立如圖所示的空間直角坐標系,

不妨取平面PAD的一個法向量為訪=(0,1,0),

PB=(|,2,一岑)，玩=(一晶一爭,

設(shè)平面PBC的一個法向量為五=(%,y,z),

n-PB=-x+2y—史z=0

22

則由nlPB,n1PC,有一方1.QJ3c，

n-PC=--x+2y--^—z=0

2,2

令z=4,解得％=0,y=避，

所以平面PBC的一個法向量為蔡=(0,避,4),

第6頁，共10頁

貝Jcos<m,n>=———=—f===x—，

\m\?\n\回19

設(shè)平面PAD與平面PBC所成的角為仇

???tand=噂，即平面PAD與平面PBC所成角的正切值是學(xué);

解法二：(幾何法)記平面PAD與平面P8C的交線為I,

平面PBC,ADu平面PAD,

AD//1,即直線20,BC,I兩兩平行,

又?.?平面PAD1平面ABCD,

平面PAD與平面P8C所成角與二面角P-8C-4的平面角互余,

過P作PH1AD于H,

?.?平面PAD_L平面力BCD,???PH_L平面4BCD,

過點H作H/1BC于/,連接P/,

NP/H是二面角P—BC—2的平面角，

平面24。與平面P8C所成角的正切值為二義萬，

tanZ.PIH

又PH=史,=2,

2

.1_HI_4邪

“tan/P/HPH3'

即平面24。與平面PBC所成角的正切值是早.

17.1?：(1)由題意》0—1)2+7=氏一2|?宇,

兩邊平方得“2—2x+l+y2=/-普+4,整理得:+y2=1,

7

所以曲線E的方程為會+儼=1；

(2)因為4在久軸上方，且2指+旗=6,即取=-2取，

第7頁，共10頁

如圖可知直線力B的斜率是正數(shù)，

設(shè)UB：x=my+1,設(shè)a(xi,y。，8(>2,丫2)，

(x=my+1

聯(lián)立(丘+丫2=1,消去先得(TH?+2)y2+2my-l=0,

所以月+以=急芻y/2=高'

由題意知丫2=-2yi，

代入月+及，y/2，消>2，可得刈=五篝7-2貨=哀3，

所以而%=而』，解得6=5(舍去負值)，

所以直線的斜率是孚；

(3)延長C&，交橢圓于點G,

CF2//DF1,由對稱性可知|G&I=IOF1I，aFiGF?和△CD%等底等高，所以=5△eg，

--1

四邊形CF2F1D的面積s=sAGCF1=--|FIF2|,(.yc-yc)=yc-yc>

設(shè)Ze。：%=fciy+1,由(2)知比：+兒；=百萬兒?兒;=不裝，

2

所以yc—VG=所ye-VG)2=^yc+yG)-4ycyG=艇?，即s=萼孚，

ki+2k]+2

令河內(nèi)=t,t21,所以1即+8=轉(zhuǎn)=組.",

當(dāng)且僅當(dāng)t=1即的=0時，S取到最大值并，此時C、。分別在&、F1正上方.

18.解:⑴當(dāng)a=0時，f(x)=M-b,

2—x

=

令廣Q)=0,解得汽=2,

<0,解得久>2；令/'(%)>0,解得％<2.

???/(%)在(一8,2)單調(diào)遞增，(2,+8)單調(diào)遞減.

(2),.?函數(shù)/(%)的圖象是連續(xù)的，且不具有單調(diào)性，

■■■/(口=M—2a在定義域內(nèi)有正有負(有異號零點)，

第8頁，共10頁

令g3=f'(x)=j-2a,

則“。)=衰在(—8,3)為負，(3,+8)為正，

廣。)在(-8,3)單調(diào)遞減,(3,+8)單調(diào)遞增，

由存在=-\2a\,使得尸(久1)=2點即-2a=(2+|20)/嘰2a>0,

11

只需1。)加n=f'(3)=--2a<0,即a>一聲

???ae(一*+8).

y__"1

(3)^<a(2x-l)+b對任意久都成立，

而當(dāng)％=1時，h+a>0,

因此只要證明：6=-a能成立即可得出結(jié)論，即證：存在a,使得9@a(2x-2)恒成立,

令FQ)=^~a(2x-2),F(l)=0,故尸'(1)=0(必要性),

而〃(x)=[J—2a,Ef3-1-2a—0,解得a=*，

只需證：F(x)=妥—/(2%—2)W0恒成立，

F'(x)=愛—十，由(2)知，其在(—8,3)單調(diào)遞減，(3,+8)單調(diào)遞增，

???F'Q)在(-8,1)為正,在(1,3)為負，在(3,+8)為負,

F(X)在(-8,1)單調(diào)遞增,(1,+8)單調(diào)遞減，

x=1時，函數(shù)F(x)取得極大值即最大值，

F(x)<F(1)=0,

因此6=-a能成立.

綜上可得：b+a的最小值為0.

19.解:(1)是，A=｛2,3,4,…,10｝,

可拆成｛10,7,3｝、｛9,5,4｝、｛8,6,2｝或｛10,6,4｝、｛9,7,2｝、｛8,5,3｝；

(2)證明：對于“三元可拆集”，其每個三元子集的元素之和為偶數(shù)，

則“三元可拆集”中所有元素和為偶數(shù)；

又因為4=｛1,2,3,4,