人教版六年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)思維訓(xùn)練講義-第二講圓柱與圓錐（一）（含答案）

第二講圓柱與圓錐（一）第一部分：趣味數(shù)學(xué)旋轉(zhuǎn)雜技表演“咚咚哐、咚咚哐，”隨著陣陣鑼鼓聲,幾何城中在進(jìn)行晚會(huì)。在高大的舞臺(tái)上,豎立著一根根又高又大的柱子,柱子旁邊有各種各樣的圖形“各位觀(guān)眾,你們好!”主持小姐走到舞臺(tái)前,用清脆的聲音向大家說(shuō),“旋轉(zhuǎn)雜技表演現(xiàn)在開(kāi)始!”話(huà)音剛落,在舞臺(tái)的中央,排出了一列被隱藏了半邊的圖形:怎么全是半個(gè)圖形呀?”有的觀(guān)眾議論。“咚咚哐!”又一陣鑼鼓聲響,隨著動(dòng)聽(tīng)的音樂(lè),舞臺(tái)上的半個(gè)圖形,全部都旋轉(zhuǎn)起來(lái)奇跡出現(xiàn)了,原來(lái),臺(tái)上的半個(gè)圖形,一旋轉(zhuǎn),就變成了美麗的立體圖了:“真好看啊!”大家情不自禁地鼓起掌來(lái)“你們看,長(zhǎng)方形繞它的一條邊旋轉(zhuǎn)周,就成為圓柱了。”“直角三角形繞一條直角邊旋轉(zhuǎn)一周,就形成了圓錐!”“哈哈!旋轉(zhuǎn)雜技真有趣啊!”“圓的一半以直徑為軸旋轉(zhuǎn)一周就成球形了?！薄斑€有花瓶啊，”大家邊議論邊欣賞,臺(tái)上臺(tái)下一片歡騰。第二部分：習(xí)題精講例題1：一個(gè)圓柱體底面周長(zhǎng)和高相等。如果高縮短了2厘米，表面積就減少12.56平方厘米．求這個(gè)圓柱體的表面積。分析：一個(gè)圓柱體底面周長(zhǎng)和高相等，說(shuō)明圓柱體側(cè)面展開(kāi)是一個(gè)正方形．解題的關(guān)鍵在于求出底周長(zhǎng)。根據(jù)條件：高縮短2厘米，表面積就減少12.56平方厘米，用上圖表示，從圖中不難看出陰影部分就是圓柱體表面積減少部分，值是12.56平方厘米，所以底面周長(zhǎng)C＝12.56÷2＝6.28（厘米）．這個(gè)問(wèn)題解決了，其它問(wèn)題也就迎刃而解了．解：底面周長(zhǎng)（也是圓柱體的高）：12.56÷2＝6.28（厘米）．側(cè)面積：6.28×6.28＝39.4384（平方厘米）兩個(gè)底面積（取π＝3.14）：表面積：39.4384＋6.28＝45.7184（平方厘米）答：這個(gè)圓柱體的表面積是45.7184平方厘米．練習(xí)1：一個(gè)圓柱體,高減少3厘米,表面積就減少37.68平方厘米,那么這個(gè)圓柱面積是多少？2.圓柱形的售報(bào)亭的高和底面直徑相等,如圖所示,開(kāi)一個(gè)邊長(zhǎng)等于底面半徑的正方形售報(bào)窗口，窗口處挖去的圓柱部分的面積占圓柱形側(cè)面積的幾分之幾?3.如圖所示,從棱長(zhǎng)為10的立方體(正方體)中挖去一個(gè)底面半徑為2，高為10的圓柱體后,得到的幾何體的表面積和體積各是多少?(x取3)例題2：一個(gè)酒精瓶，它的瓶身呈圓柱形（不包括瓶頸），如下圖．已知它的容積為26.4π立方厘米。當(dāng)瓶子正放時(shí)，瓶?jī)?nèi)的酒精的液面高為6厘米。瓶子倒放時(shí)，空余部分的高為2厘米．問(wèn)：瓶?jī)?nèi)酒精的體積是多少立方厘米？合多少升？分析：由題意，液體的體積是不變的，瓶?jī)?nèi)空余部分的體積也是不變的，因此可知液體體積是空余部分體積的3倍（6÷2）．62.172立方厘米＝62.172毫升＝0.062172升．答：酒精的體積是62．172立方厘米，合0.062172升．練習(xí)2：1.如圖所示,有一種飲料瓶的瓶身呈圓柱形(不包括瓶頸),容積是500毫升?，F(xiàn)在瓶中裝有一些飲料,正放時(shí)飲料高度為20厘米,倒放時(shí)空余部分的高度為5厘米，瓶?jī)?nèi)現(xiàn)有飲料多少毫升?2.某種飲料瓶的瓶身呈圓柱形(不包括瓶頸),容積是2升?，F(xiàn)在瓶中有些飲料正放時(shí)飲料高度為10厘米,倒放時(shí)空余部分的高度為5厘米。如圖所示，瓶?jī)?nèi)現(xiàn)在有飲料多少升?3.如圖所示,某種酒瓶的瓶身呈圓柱形(不包括瓶頸),瓶身內(nèi)直徑為8厘米，現(xiàn)在瓶中裝有一些酒,正放時(shí)酒的高度是12厘米,倒放時(shí)空余部分的高度是3厘米，求這個(gè)酒瓶的容積。例題3：如圖所示,一個(gè)正方體的紙盒中恰好能裝入一個(gè)體積為6.28立方厘米的圓柱，紙盒的容積有多大?思路點(diǎn)撥：我們不妨設(shè)圓柱的底面半徑為r,則正方體的棱長(zhǎng)為2r。圓柱的體積是πr2×2πr3=6.28,即r3=1。所以,(2r)3=8r3=8×1=8(立方厘米)答:紙盒的容積是8立方厘米。練習(xí)3：把一個(gè)正方體削成一個(gè)體積最大的圓柱，如果圓柱的側(cè)面積是314平方厘米。求正方體的表面積。2.將一個(gè)正方體木塊切削成一個(gè)最大的圓柱體,這個(gè)圓柱體的體積是1256立方厘米，問(wèn)：原來(lái)正方體的體積有多大?3.如圖所示,一個(gè)圓柱體的側(cè)面展開(kāi)圖為正方形,已知它的一個(gè)底面面積是10平方厘米，求這個(gè)圓柱體的表面積。例題4：把一個(gè)橫截面是正方形的長(zhǎng)方體木料削剪成一個(gè)最大的圓柱體,圓柱體的表面積為32.97平方厘米。底面直徑與高的比是1:3,原來(lái)長(zhǎng)方體的表面積是多少？分析：我們不妨設(shè)底面直徑為d,高為3d,那么,圓柱體的表面積為（d/2）2×3.14×2+d×3.14×3d.即（d/2）2×3.14×2+d×3.14×3d=32.97,d2=3所以,長(zhǎng)方體的表面積為d2×2+d×3d×4=14d2=14×3=42(平方厘米)答:長(zhǎng)方體的表面積為42平方厘米。練習(xí)4：1.把一段圓柱形木料通過(guò)底面直徑沿高切成兩塊,它的切面是一個(gè)面積為25平方厘米的正方形。求切成的每塊木料的表面積是多少?2.已知一個(gè)圓柱的底面半徑等于一個(gè)正方體棱長(zhǎng)的一半,高等于這個(gè)正方體的棱長(zhǎng),這個(gè)正方體的底面積是25平方分米，求這個(gè)圓柱的表面積。3.沿圓柱的底面直徑把圓柱剖開(kāi),剖面的面積是60平方厘米,原來(lái)圓柱的側(cè)面積是多少平方厘米?例題5：一個(gè)圓錐和圓柱的體積之比為1:2,底面積之比為4:3,圓柱的高為12厘米，圓錐的高是多少厘米?分析：根據(jù)圓錐與圓柱的體積之比、底面積之比,求出高之比,再求圓錐的高為多少。解：設(shè)圓錐的體積為x,底面積為4y,那么圓柱的體積為2x,底面積為3y。圓錐的高為3×x÷4y,圓柱的高為2x÷3y。所以圓錐的高：圓柱的高=（3×x÷4y）：（2x÷3y）=EQ\F(9,8),12×EQ\F(9,8)=13.5（厘米）答:圓錐的高是13.5厘米練習(xí)5：1.一個(gè)圓錐和圓柱的體積之比為3:2,底面積之比為2:3,圓柱與圓錐的高之比是多少2.一個(gè)圓錐和圓柱的體積之比為2:3,底面積之比為5:4,圓錐的高為20厘米，圓柱的高是多少厘米?3.一個(gè)圓錐與圓柱的底面積之比為3:2,體積之比為2:5,如果圓錐與圓高之和為72厘米,那么它們的高各是多少厘米?4.如圖所示,園錐形容器內(nèi)裝的水正好是它的容積的8/27，水面高度是容器高度的幾分之幾?第三部分：數(shù)學(xué)史阿基米德與圓柱容球阿基米德是古希臘偉大的百科式科學(xué)家、數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家、哲學(xué)家,他為數(shù)學(xué)和物理的發(fā)展做出了巨大的貢獻(xiàn),對(duì)社會(huì)進(jìn)步和人類(lèi)發(fā)展有著不可磨滅的影響。阿基米德是舉世公認(rèn)的偉大的數(shù)學(xué)家,他在數(shù)學(xué)上有著極為光輝的成就,留下的幾何著作，堪稱(chēng)希臘數(shù)學(xué)的頂峰。他一生熱愛(ài)科學(xué),熱愛(ài)自己的國(guó)家,最終獻(xiàn)出了生命,并留下了“圓柱容球”的故事。公元前212年,古羅馬軍隊(duì)攻陷敘拉古城,阿基米德被殺害了。傳說(shuō)阿基米德在生命的最后時(shí)刻,仍然在潛心研究畫(huà)在地上的幾何圖形,這足以證明阿基米德對(duì)科學(xué)的熱愛(ài)。統(tǒng)率羅馬大軍的馬塞拉斯將軍得知阿基米德被殺的消息后,為阿基米德舉行了隆重的葬禮,并在墓地上立了一塊碑,在上面刻著“圓柱容球”的幾何圖形。參考答案：練習(xí)1：1.底面半徑為:37.68÷(3×3.14×2)=2(厘米);底面積為:3.14×22=12.56(平方厘米)2.因?yàn)锳B弧的長(zhǎng)是底面圓周長(zhǎng)的1/6,正方形窗口的邊長(zhǎng)等于圓柱高的1/2,所以挖去的圓柱部分的面積占圓柱形側(cè)面積的1/6×1/2=1/12。3.幾何體的表面積為10×10×6-3×22+2×3×2×10=696；幾何體的體積為10×10×10-3×22×10=880。練習(xí)2：1.500×EQ\F(20,20+5)=500×EQ\F(4,5)=400(毫升)2.1.2×1010+5=43.3.14×(8÷2)2×(12+3)=753.6(毫升)練習(xí)3：1.設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為a,a×3.14×a=314,得a2=100。6a2=6×100=600(平方厘米)2.切削成圓柱體的直徑和高就是正方體的棱長(zhǎng),設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為a.則3.14×(a÷2)2×a=1256,3.14×a3÷4=1256,a3=1600(立方厘米)3.設(shè)底面半徑為r,則πr2=10,側(cè)面展開(kāi)圖的邊長(zhǎng)為2πr,所以,圓柱體的表面積為10×2+2πr×2πr=145.6(平方厘米)練習(xí)4：1.3.14×5×5÷2+25+3.14×（5/2）2=83.875(平方厘米2.設(shè)圓柱的底面半徑為r,則高為2r,那么正方體的底面積為4r2=25,即r2=25/4.所以圓柱的表面積為2πr×2r+2×π×r2=117.75(平方分米)3.要求圓柱的側(cè)面積,一般都要先知道圓柱的底面周長(zhǎng)和高,但題中沒(méi)有告訴我們。根據(jù)剖面的面積分析:剖面的面積=圓柱的底面直徑×高；而側(cè)面的面積=圓柱的底面周長(zhǎng)×高。圓柱側(cè)面的面積=60π=188.4平方厘