人教版四年級上冊數(shù)學思維訓練講義-第二講數(shù)的變化規(guī)律（一）（含答案）

第二講數(shù)的變化規(guī)律（一）第一部分：趣味數(shù)學缺“8”數(shù)缺“8”數(shù)“缺8數(shù)”――12345679，頗為神秘，故許多人在進行探索。

清一色菲律賓前總統(tǒng)馬科斯偏愛的數(shù)字不是8，卻是7。于是有人對他說：“總統(tǒng)先生，你不是挺喜歡7嗎？拿出你的計算器，我可以送你清一色的7?！苯又?，這人就用“缺8數(shù)”乘以63，頓時，777777777映入了馬科斯先生的眼簾。

“缺8數(shù)”實際上并非對7情有獨鐘，它是“一碗水端平”，對所有的數(shù)都“一視同仁”的：你只要分別用9的倍數(shù)（9，18……直到81）去乘它，則111111111，222222222……直到999999999都會相繼出現(xiàn)。

三位一體“缺8數(shù)”引起研究者的濃厚興趣，于是人們繼續(xù)拿3的倍數(shù)與它相乘，發(fā)現(xiàn)乘積竟“三位一體”地重復出現(xiàn)。例如：

12345679×12=148148148

12345679×15=185185185

12345679×57=703703703

輪流“休息”當乘數(shù)不是3的倍數(shù)時，此時雖然沒有“清一色”或“三位一體”現(xiàn)象，但仍可看到一種奇異性質：乘積的各位數(shù)字均無雷同。缺什么數(shù)存在著明確的規(guī)律，它們是按照“均勻分布”出現(xiàn)的。另外，在乘積中缺3、缺6、缺9的情況肯定不存在。

讓我們看一下乘數(shù)在區(qū)間[10～17]的情況，其中12和15因是3的倍數(shù)，予以排除。

12345679×10=123456790（缺8）

12345679×11=135802469（缺7）

12345679×13=160493827（缺5）

12345679×14=172869506（缺4）

12345679×16=197530864（缺2）

12345679×17=209876543（缺1）

乘數(shù)在[19～26]及其他區(qū)間（區(qū)間長度等于7）的情況與此完全類似。

乘積中缺什么數(shù)，就像工廠或商店中職工“輪休”，人人有份，但也不能多吃多占，真是太有趣了！一以貫之當乘數(shù)超過81時，乘積將至少是十位數(shù)，但上述的各種現(xiàn)象依然存在，真是“吾道一以貫之”。隨便看幾個例子：

（1）乘數(shù)為9的倍數(shù)

12345679×243=2999999997，只要把乘積中最左邊的一個數(shù)2加到最右邊的7上，仍呈現(xiàn)“清一色”。

（2）乘數(shù)為3的倍數(shù)，但不是9的倍數(shù)

12345679×84=1037037036，只要把乘積中最左邊的一個數(shù)1加到最右邊的6上，又可看到“三位一體”現(xiàn)象。

（3）乘數(shù)為3k+1或3k+2型

12345679×98=1209876542，表面上看來，乘積中出現(xiàn)雷同的2，但據(jù)上所說，只要把乘積中最左邊的數(shù)1加到最右邊的2上去之后，所得數(shù)為209876543，是“缺1”數(shù)，而根據(jù)上面的“學說”可知，此時正好輪到1休息，結果與理論完全吻合。

走馬燈冬去春來，24個節(jié)氣仍然是立春、雨水、驚蟄……其次序完全不變，表現(xiàn)為周期性的重復。“缺8數(shù)”也有此種性質，但其乘數(shù)是相當奇異的。

實際上，當乘數(shù)為19時，其乘積將是234567901，像走馬燈一樣，原先居第二位的數(shù)2卻成了開路先鋒。深入的研究顯示，當乘數(shù)成一個公差等于9的算術級數(shù)時，出現(xiàn)“走馬燈”現(xiàn)象。例如：

12345679×28=345679012

12345679×37=456790123

回文結對攜手同行“缺8數(shù)”的“精細結構”引起研究者的濃厚興趣，人們偶然注意到：

12345679×4=49382716

12345679×5=61728395

前一式的積數(shù)顛倒過來讀（自右到左），不正好就是后一式的積數(shù)嗎？（但有微小的差異，即5代以4，而根據(jù)“輪休學說”，這正是題中的應有之義。）

這樣的“回文結對，攜手并進”現(xiàn)象，對13、14、22、23、31、32、40、41等各對乘數(shù)（每相鄰兩對乘數(shù)的對應公差均等于9）也應如此。例如：

12345679×67=827160493

12345679×68=839506172

遺傳因子“缺8數(shù)”還能“生兒育女”，這些后裔秉承其“遺傳因子”，完全承襲上面的這些特征，所以這個龐大家族的成員幾乎都同其始祖12345679具有同樣的本領。

例如，506172839是“缺8數(shù)”與41的乘積，所以它是一個衍生物。

我們看到，506172839×3=1518518517。

如前所述，“三位一體”模式又來到我們面前。和、差的規(guī)律見下表（m≠0）一個加數(shù)（a）另一個加數(shù)（b）和（c）±m(xù)不變±m(xù)不變±m(xù)±m(xù)±m(xù)m不變被減數(shù)（a）減數(shù)（b）差（c）±m(xù)不變±m(xù)不變±m(xù)m±m(xù)±m(xù)不變第二部分：奧數(shù)小練觀察是解決問題的根據(jù)。通過觀察，得以揭示出事物的發(fā)展和變化規(guī)律，在一般情況下，我們可以從以下幾個方面來找規(guī)律：1．根據(jù)每組相鄰兩個數(shù)之間的關系，找出規(guī)律，推斷出所要填的數(shù)；2．根據(jù)相隔的每兩個數(shù)的關系，找出規(guī)律，推斷出所要填的數(shù)；3．要善于從整體上把握數(shù)據(jù)之間的聯(lián)系，從而很快找出規(guī)律；4．數(shù)之間的聯(lián)系往往可以從不同的角度來理解，只要言之有理，所得出的規(guī)律都可以認為是正確的?！纠}1】兩個數(shù)相加，一個加數(shù)增加9，另一個加數(shù)減少9，和是否發(fā)生變化？【思路導航】一個加數(shù)增加9，假如另一個加數(shù)不變，和就增加9；假如一個加數(shù)不變，另一個加數(shù)減少9，和就減少9；和先增加9，接著又減少9，所以不發(fā)生變化。練習1：1.兩個數(shù)相加，一個數(shù)減8，另一個數(shù)加8，和是否變化？2.兩個數(shù)相加，一個數(shù)加3.另一個數(shù)也加3.和起什么變化？3.兩個數(shù)相加，一個數(shù)減6，另一個數(shù)減2.和起什么變化？【例題2】兩個數(shù)相加，如果一個加數(shù)增加10，要使和增加6，那么另一個加數(shù)應有什么變化？【思路導航】一個加數(shù)增加10，假如另一個加數(shù)不變，和就增加10?，F(xiàn)在要使和增加6，那么另一個加數(shù)應減少10－6=4。練習2：1.兩個數(shù)相加，如果一個加數(shù)增加8，要使和增加15，另一個加數(shù)應有什么變化？2.兩個數(shù)相加，如果一個加數(shù)增加8，要使和減少15，另一個加數(shù)應有什么變化？3.兩個數(shù)相加，如果一個加數(shù)減少8，要使和減少8，另一個加數(shù)應有什么變化？【例題3】兩數(shù)相減，如果被減數(shù)增加8，減數(shù)也增加8，差是否起變化？【思路導航】被減數(shù)增加8，假如減數(shù)不變，差就增加8；假如被減數(shù)不變，減數(shù)增加8，差就減少8。兩個數(shù)的差先增加8，接著又減少8，所以不起什么變化。練習3：1.兩數(shù)相減，被減數(shù)減少6，減數(shù)也減少6，差是否起變化？2.兩數(shù)相減，被減數(shù)增加12.減數(shù)減少12.差起什么變化？3.兩數(shù)相減，被減數(shù)減少10，減數(shù)增加10，差起什么變化？【例題4】兩數(shù)相乘，如果一個因數(shù)擴大8倍，另一個因數(shù)縮小2倍，積將有什么變化？【思路導航】如果一個因數(shù)擴大8倍，另一個因數(shù)不變，積將擴大8倍；如果一個因數(shù)不變，另一個因數(shù)縮小2倍，積將縮小2倍。積先擴大8倍又縮小2倍，因此，積擴大了8÷2=4倍。練習4：1.兩數(shù)相乘，如果一個因數(shù)縮小4倍，另一個因數(shù)擴大4倍，積是否起變化？2.兩數(shù)相乘，如果一個因數(shù)擴大3倍，另一個因數(shù)縮小12倍，積將有什么變化？3.兩數(shù)相乘，如果一個因數(shù)擴大3倍，另一個因數(shù)擴大6倍，積將有什么變化？【例題5】兩數(shù)相除，如果被除數(shù)擴大4倍，除數(shù)縮小2倍，商將怎樣變化？【思路導航】如果被除數(shù)擴大4倍，除數(shù)不變，商就擴大4倍；如果被除數(shù)不變，除數(shù)縮小2倍，商就擴大2倍。商先擴大4倍，接著又擴大2倍，商將擴大4×2=8倍。練習5：1.兩數(shù)相除，被除數(shù)擴大30倍，除數(shù)縮小5倍，商將怎樣變化？2.兩數(shù)相除，被除數(shù)縮小12倍，除數(shù)縮小2倍，商將怎樣變化？3.兩數(shù)相除，除數(shù)擴大6倍，要使商擴大3倍，被除數(shù)應怎樣變化？第三部分：數(shù)學史話一加到一百一加到一百高斯的父親作泥瓦廠的工頭，每星期六他總是要發(fā)薪水給工人。在高斯三歲夏天時，有一次當他正要發(fā)薪水的時候，小高斯站了起來說：「爸爸，你弄錯了?！谷缓笏f了另外一個數(shù)目。原來三歲的小高斯趴在地板上，一直暗地里跟著他爸爸計算該給誰多少工錢。重算的結果證明小高斯是對的，這把站在那里的大人都嚇的目瞪口呆。高斯常常帶笑說，他在學講話之前就已經學會計算了，還常說他問了大人字母如何發(fā)音后，就自己學著讀起書來。

七歲時高斯進了St.Catherine小學。大約在十歲時，老師在算數(shù)課上出了一道難題：「把1到100的整數(shù)寫下來，然后把它們加起來！」每當有考試時他們有如下的習慣：第一個做完的就把石板〔當時通行，寫字用〕面朝下地放在老師的桌子上，第二個做完的就把石板擺在第一張石板上，就這樣一個一個落起來。這個難題當然難不倒學過算數(shù)級數(shù)的人，但這些孩子才剛開始學算數(shù)呢！老師心想他可以休息一下了。但他錯了，因為還不到幾秒鐘，高斯已經把石板放在講桌上了，同時說道：「答案在這兒！」其他的學生把數(shù)字一個個加起來，額頭都出了汗水，但高斯卻靜靜坐著，對老師投來的，輕蔑的、懷疑的眼光毫不在意。考完后，老師一張張地檢查著石板。

大部分都做錯了，學生就吃了一頓鞭打。最后，高斯的石板被翻了過來，只見上面只有一個數(shù)字：5050(用不著說，這是正確的答案。)老師吃了一驚，高斯就解釋他如何找到答案：1+100=101，2+99=101，3+98=101，……，49+52=101，50+51=101，一共有50對和為101的數(shù)目，所以答案是50×101=5050。由此可見高斯找到了算術級數(shù)的對稱性，然后就像求得一般算術級數(shù)合的過程一樣，把數(shù)目一對對地湊在一起。參考答案：練習1：兩個數(shù)相加,一個加數(shù)增加8,另一個加數(shù)減少8,和不變.兩個數(shù)相加，