人教版五年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)思維訓(xùn)練講義-第八講最小公倍數(shù)（二）（含答案）

第八講最小公倍數(shù)（二）第一部分：趣味數(shù)學(xué)今天老師給同學(xué)們帶來(lái)了一個(gè)分糖果的問(wèn)題，題目是這樣的：老師分糖果，每人分3個(gè)余1個(gè)，每人分4個(gè)余2個(gè)，每人分5個(gè)余3個(gè)，每人分6個(gè)余4個(gè)，問(wèn)最少需要幾個(gè)？題目一出可愁壞了同學(xué)們，小紅說(shuō)：“”我自己認(rèn)為是求最小公倍數(shù)的題，就是做不出來(lái)”。經(jīng)過(guò)一番激烈的討論，小機(jī)靈鬼明明說(shuō)：“可以這樣想：這個(gè)數(shù)比3的倍數(shù)少2；比4的倍數(shù)少2；比5的倍數(shù)少2；比6的倍數(shù)少2。所以是3,4,5,6的最小公倍數(shù)少2，就是58。題目表達(dá)有點(diǎn)問(wèn)題，應(yīng)該是：一堆糖果，3個(gè)3個(gè)的拿，還剩1個(gè)；4個(gè)4個(gè)的拿還剩2個(gè)；5個(gè)5個(gè)的拿，還剩3個(gè)；6個(gè)6個(gè)的拿，還剩4個(gè)，問(wèn)最少有幾個(gè)？”同學(xué)們一聽恍然大悟，老師也直夸小明聰明。第二部分：奧數(shù)小練例題1有一個(gè)自然數(shù)，被10除余7，被7除余4，被4除余1。這個(gè)自然數(shù)最小是多少？思路導(dǎo)航：根據(jù)已知條件可知，假如把這個(gè)自然數(shù)增加3，所得的數(shù)就正好能被10、7和4這三個(gè)數(shù)整除，即10、7和4的最小公倍數(shù)，然后再減去3就能得到所求的數(shù)了。[10，7，4]=140140－3=137即：這個(gè)自然數(shù)最小是137。練習(xí)一1.學(xué)校六年級(jí)有若干個(gè)同學(xué)排隊(duì)做操，如果3人一行余2人，7人一行余2人，11人一行也余2人。六年級(jí)最少多少人？2.一個(gè)數(shù)能被3、5、7整除，但被11除余1。這個(gè)數(shù)最小是多少？3.一袋糖，平均分給15個(gè)小朋友或20個(gè)小朋友后，最后都余下5塊。這袋糖至少有多少塊？例題2有一批水果，總數(shù)在1000個(gè)以內(nèi)。如果每24個(gè)裝一箱，最后一箱差2個(gè)；如果每28個(gè)裝一箱，最后一箱還差2個(gè)；如果每32個(gè)裝一箱，最后一箱只有30個(gè)。這批水果共有多少個(gè)？思路導(dǎo)航：根據(jù)題意可知，這批水果再增加2個(gè)后，每24個(gè)裝一箱，每28個(gè)裝一箱或每32個(gè)裝一箱都能裝整箱數(shù)，也就是說(shuō)，只要把這批水果增加2個(gè)，就正好是24、28和32的公倍數(shù)。我們可以先求出24、28和32的最小公倍數(shù)672，再根據(jù)“總數(shù)在1000以內(nèi)”確定水果總數(shù)。[24，28，32]=672672－2=670（個(gè)）即：這批水果共有670個(gè)。練習(xí)二1.一所學(xué)校的同學(xué)排隊(duì)做操，排成14行、16行、18行都正好能成長(zhǎng)方形，這所學(xué)校至少有多少人？2.有一批乒乓球，總數(shù)在1000個(gè)以內(nèi)。4個(gè)裝一袋、5個(gè)裝一袋或6個(gè)、7個(gè)、8個(gè)裝一袋最后都剩下一個(gè)。這批乒乓球到底有多少個(gè)？3.食堂買回一些油，用甲種桶裝最后一桶少3千克，用乙種桶裝最后一桶只裝了半桶油，用丙種桶裝最后一桶少7千克。如果甲種桶每桶能裝8千克，乙種桶每桶能裝10千克，丙種桶每桶能裝12千克，那么，食堂至少買回多少千克油？例題3一盒圍棋子，4顆4顆數(shù)多3顆，6顆6顆數(shù)多5顆，15顆15顆數(shù)多14顆，這盒棋子在150至200顆之間，問(wèn)共有多少顆？思路導(dǎo)航：由已知條件可知：這盒棋子只要增加1顆，就正好是4、6、15的公倍數(shù)。換句話說(shuō)，這盒棋子比4、6、15的最小公倍數(shù)少1。我們可以先求4、6、15的最小公倍數(shù)，然后再根據(jù)“這盒棋子在150至200顆之間”這一條件找出這盒棋子數(shù)。4、6、15的最小公倍數(shù)是60。60×3－1=179顆，即這盒棋子共179顆。練習(xí)三1.有一批樹苗，9棵一捆多7棵，10棵一捆多8棵，12棵一捆多10棵。這批樹苗數(shù)在150至200之間，求共有多少棵樹苗？2.五（1）班的五十多位同學(xué)去大掃除，平均分成4組多2人，平均分成5組多3人。請(qǐng)你算一算，五（1）班有多少位同學(xué)？3.有一批水果，每箱放30個(gè)則多20個(gè)，每箱放35個(gè)則少10個(gè)。這批水果至少有多少個(gè)？例題4從學(xué)校到少年宮的這段公路上，一共有37根電線桿，原來(lái)每?jī)筛娋€桿之間相距50米，現(xiàn)在要改成每?jī)筛g相距60米，除兩端兩根不需移動(dòng)外，中途還有多少根不必移動(dòng)？思路導(dǎo)航：從學(xué)校到少年宮的這段路長(zhǎng)50×（37－1）=1800米，從路的一端開始，是50和60的公倍數(shù)處的那一根就不必移動(dòng)。因?yàn)?0和60的最小公倍數(shù)是300，所以，從第一根開始，每隔300米就有一根不必移動(dòng)。1800÷300=6，就是6根不必移動(dòng)。去掉最后一根，中途共有5根不必移動(dòng)。練習(xí)四1.插一排紅旗共26面。原來(lái)每?jī)擅嬷g的距離是4米，現(xiàn)在改為5米。如果起點(diǎn)一面不移動(dòng)，還可以有幾面不移動(dòng)？2.一行小樹苗，從第一棵到最后一棵的距離是90米。原來(lái)每隔2米植一棵樹，由于小樹長(zhǎng)大了，必須改為每隔5米植一棵。如果兩端不算，中間有幾棵不必移動(dòng)？3.學(xué)校開運(yùn)動(dòng)會(huì)，在400米環(huán)形跑道邊每隔16米插一面彩旗，一共插了25面。后來(lái)增加了一些彩旗，就把彩旗間隔縮短了，起點(diǎn)彩旗不動(dòng)，重新插完后發(fā)現(xiàn)一共有5面彩旗沒動(dòng)。問(wèn)：現(xiàn)在彩旗的間隔是多少米？例題5在一根長(zhǎng)木棍上用紅、黃、藍(lán)三種顏色做標(biāo)記，分別將木棍平均分成了10等份、12等份和15等份。如果沿這三種標(biāo)記把木棍鋸斷，木棍總共被鋸成多少段？思路導(dǎo)航：因?yàn)?0、12和15的最小公倍數(shù)是60，所以，設(shè)這根木棍長(zhǎng)60厘米。三種顏色的標(biāo)記分別把木棍分成的小段長(zhǎng)是60÷10=厘米，60÷12=5厘米，60÷15=4厘米。因?yàn)?和6的最小公倍數(shù)是30，所以紅黃兩種標(biāo)記重復(fù)的地方有60÷30－1=1處，另兩種情況分別有2處和4處。因此，木棍總共被鋸成（10＋12＋15－2）－1－2－4=28段。練習(xí)五1.用紅筆在一根木棍上做了三次記號(hào)，第一次把木棍分成12等份，第二次把棍分成15等份，第三次把木棍分成20等份，然后沿著這些紅記號(hào)把木棍鋸開，一共鋸成多少小段？2.父子二人在雪地散步，父親在前，每步80厘米，兒子在后，每步60厘米。在120米內(nèi)一共留下多少個(gè)腳印？3.在96米長(zhǎng)的距離內(nèi)掛紅、綠、黃三種顏色的氣球，綠氣球每隔6米掛一個(gè)，黃氣球每隔4米掛一個(gè)。如果綠氣球和黃氣球重疊的地方就改掛一個(gè)紅氣球，那么，除兩端外，中間掛有多少個(gè)紅氣球？第三部分：數(shù)學(xué)史話走進(jìn)偉大的科學(xué)家—牛頓在牛頓的全部科學(xué)貢獻(xiàn)中，數(shù)學(xué)成就占有突出的地位。他數(shù)學(xué)生涯中的第一項(xiàng)創(chuàng)造性成果就是發(fā)現(xiàn)了二項(xiàng)式定理。據(jù)牛頓本人回憶，他是在1664年和1665年間的冬天，在研讀沃利斯博士的《無(wú)窮算術(shù)》并試圖修改他的求圓面積的級(jí)數(shù)時(shí)發(fā)現(xiàn)這一定理的。大多數(shù)現(xiàn)代歷史學(xué)家都相信，牛頓與萊布尼茨獨(dú)立發(fā)展出了微積分學(xué)，并為之創(chuàng)造了各自獨(dú)特的符號(hào)。根據(jù)牛頓周圍的人所述，牛頓要比萊布尼茨早幾年得出他的方法，但在1693年以前他幾乎沒有發(fā)表任何內(nèi)容，并直至1704年他才給出了其完整的敘述。其間，萊布尼茨已在1684年發(fā)表了他的方法的完整敘述。此外，萊布尼茨的符號(hào)和“微分法”被歐洲大陸全面地采用，在大約1820年以后，英國(guó)也采用了該方法。萊布尼茨的筆記本記錄了他的思想從初期到成熟的發(fā)展過(guò)程，而在牛頓已知的記錄中只發(fā)現(xiàn)了他最終的結(jié)果。牛頓聲稱他一直不愿公布他的微積分學(xué)，是因?yàn)樗卤蝗藗兂靶Α?/p>

微積分的創(chuàng)立是牛頓最卓越的數(shù)學(xué)成就。牛頓為解決運(yùn)動(dòng)問(wèn)題，才創(chuàng)立這種和物理概念直接聯(lián)系的數(shù)學(xué)理論的，牛頓稱之為"流數(shù)術(shù)"。它所處理的一些具體問(wèn)題，如切線問(wèn)題、求積問(wèn)題、瞬時(shí)速度問(wèn)題以及函數(shù)的極大和極小值問(wèn)題等，在牛頓前已經(jīng)得到人們的研究了。但牛頓超越了前人，他站在了更高的角度，對(duì)以往分散的努力加以綜合，將自古希臘以來(lái)求解無(wú)限小問(wèn)題的各種技巧統(tǒng)一為兩類普通的算法——微分和積分，并確立了這兩類運(yùn)算的互逆關(guān)系，從而完成了微積分發(fā)明中最關(guān)鍵的一步，為近代科學(xué)發(fā)展提供了最有效的工具，開辟了數(shù)學(xué)上的一個(gè)新紀(jì)元。1707年，牛頓的代數(shù)講義經(jīng)整理后出版，定名為《普遍算術(shù)》。他主要討論了代數(shù)基礎(chǔ)及其（通過(guò)解方程）在解決各類問(wèn)題中的應(yīng)用。書中陳述了代數(shù)基本概念與基本運(yùn)算，用大量實(shí)例說(shuō)明了如何將各類問(wèn)題化為代數(shù)方程，同時(shí)對(duì)方程的根及其性質(zhì)進(jìn)行了深入探討，引出了方程論方面的豐碩成果，如，他得出了方程的根與其判別式之間的關(guān)系，指出可以利用方程系數(shù)確定方程根之冪的和數(shù)，即“牛頓冪和公式”。牛頓對(duì)解析幾何與綜合幾何都有貢獻(xiàn)。他在1736年出版的《解析幾何》中引入了曲率中心，給出密切線圓（或稱曲線圓）概念，提出曲率公式及計(jì)算曲線的曲率方法。并將自己的許多研究成果總結(jié)成專論《三次曲線枚舉》，于1704年發(fā)表。此外，他的數(shù)學(xué)工作還涉及數(shù)值分析、概率論和初等數(shù)論等眾多領(lǐng)域。參考答案練習(xí)一1.3、7和11的最小公倍數(shù)是3×7×11=231

231+2=233（人）2.3，5，7的最小公倍數(shù)是3×5×7=105

105×2=210210÷11=19……1所以這個(gè)數(shù)最小是210。3.求15和20的最小公倍數(shù)是60，再加上5,最后結(jié)果是65塊。練習(xí)二1.14、16、18的最小公倍數(shù)是1008。

答：這所學(xué)校至少有1008人。2.45678的最小公倍數(shù)為：840840＋1＝841。3.甲每桶能裝8千克,乙每桶能裝10千克,丙每桶能裝12千克。

8,10,12的最小公倍數(shù)是120，最少買了120+5=125千克。練習(xí)三1.設(shè)共有x棵樹苗，那么x+2就能同時(shí)被9，10，12整除，

因?yàn)?=3×3，10=2×5，12=2×2×3，

則9、10、12的公倍數(shù)為：2×2×3×3×5=180，

在150～200之間180的倍數(shù)是180，

則有：x+2=180，x=178。

答：共有178棵樹苗。2.4和5的最小公倍數(shù)是20，

那么20，40，60，80…都是4，5的公倍數(shù)，

又因?yàn)椋浩骄殖?組多2人，平均分成5組多3人，則該數(shù)比4和5的倍數(shù)少

所以是60-2=58（人）。

答：五（1）班有58位同學(xué)。3.30和35的最小公倍數(shù)是210，210-10=200（個(gè)）。

練習(xí)四1.（26-1）×4=100（米），4和5的最小公倍數(shù)是20，

所以除了起點(diǎn)一面不移動(dòng)外，不需要移動(dòng)的還有：100÷20=5（面）。

答：如果起點(diǎn)一面不移動(dòng)，還可以有5面不移動(dòng)。2.2和5的最小公倍數(shù)是10，每隔10米就有一棵不動(dòng)，90÷10-1=8棵。五旗固定間距為：400÷5=80（米）,所以現(xiàn)在彩旗間隔16的最小公倍數(shù)是80。80=2×2×2×2×5,16=2×2×2×2,后來(lái)間隔縮短了，所以間隔是5米或2×5=10（米）。練習(xí)五因?yàn)?2、15、20的最小公倍數(shù)是60,所以,設(shè)這根木棍長(zhǎng)60厘米。①②③號(hào)的標(biāo)記分別把木棍分成的小段長(zhǎng)是60÷12=5(厘米),60÷15=4(厘米),60÷20=3(厘米)。因?yàn)?和4的最小公倍數(shù)是20,所以記號(hào)①與記號(hào)②重復(fù)的地方有60÷20-1=2(處),因?yàn)?和3的最小公倍數(shù)是15,所以記號(hào)①與記號(hào)③重復(fù)的地方有60÷15-1=3(處),因?yàn)?和3的最小公倍數(shù)是12,所以記號(hào)②與記號(hào)③重復(fù)的地方有60÷12-1=