人教版五年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)思維訓(xùn)練講義-第九講最大最小問題（含答案）

第九講最大最小問題第一部分：趣味數(shù)學(xué)在日常生活中，人們常常會(huì)遇到“路程最近”、“費(fèi)用最省”、“面積最大”、“損耗最少”等問題，這些尋求極端結(jié)果或討論怎樣實(shí)現(xiàn)這些極端情形的問題，最終都可以歸結(jié)成為：在一定范圍內(nèi)求最大值或最小值的問題，我們稱這些問題為“最大最小問題”。解答最大最小問題通常要用下面的方法：1，枚舉比較法。當(dāng)題中給定的范圍較小時(shí)，我們可以將可能出現(xiàn)的情形一一舉出再比較；2，著眼于極端情形，即充分運(yùn)動(dòng)已有知識(shí)和生活常識(shí)，一下子從“極端”情形入手，縮短解題過程。第二部分：奧數(shù)小練例題1一次數(shù)學(xué)考試滿分100分，6位同學(xué)平均分為91分，且6人分?jǐn)?shù)互不相同，其中得分最少的同學(xué)僅得65分，那么排第三名的同學(xué)至少得多少分？（分?jǐn)?shù)取整數(shù)）思維導(dǎo)航：除得65分的同學(xué)外，其余5位同學(xué)的總分是91×6－65=481分。根據(jù)第三名同學(xué)得分要至少，也就說其他四人得分要盡量高，第一、第二名分別得100分和99分，而接近的三個(gè)不同分是93、94、95。所以，第三名至少得95分。練習(xí)一1.一個(gè)三位數(shù)除以43，商a余數(shù)是b（a、b都是整數(shù)），求a＋b的最大值。2.如下圖，有兩條垂直相交的線段AB、CD，交點(diǎn)為E。已知DE=2CE，BE=3AE。在AB和CD取3個(gè)點(diǎn)畫三角形，問：怎樣取三個(gè)點(diǎn)，畫出的三角形面積最大？3.一次考試滿分100分，5位同學(xué)平均分是90分，且各人得分是不相同的整數(shù)。已知得分最少的人得了75分，那么，第三名同學(xué)至少得了多少分？例題2：有8個(gè)西瓜，它們的重量分別是2千克、3千克、4千克、4千克、5千克、6千克、8.5千克、10千克。把它們分成三堆，要使最重的一堆西瓜盡可能輕些，那么，最重的一堆應(yīng)是多少千克？思路導(dǎo)航：3堆西瓜的總重量是42.5千克，要使最重的一堆盡可能輕些，另兩堆就得盡可能重些。根據(jù)42.5÷3=14千克……0.5千克可知：最重的一堆是14＋0.5=14.5千克，即由6千克和8。5千克組成，另外兩堆分別是14千克。練習(xí)二1.一把鑰匙只能開一把鎖?，F(xiàn)有9把鑰匙和9把鎖，但不知道哪把鑰匙開哪把鎖。最多要試開多少次才能配好全部鑰匙和鎖？2.如果四個(gè)人的平均年齡是25歲，其中沒有小于17歲的，且四人年齡都不相同。那么年齡最大的最多是幾歲？3.五位同學(xué)捐款，他們捐的錢有3張1元的，4張2元的，3張5元的和3張10元的。這五位同學(xué)捐款數(shù)各不相同，問：捐款最多的同學(xué)至少捐了多少元？例題3：如果兩個(gè)四位數(shù)的差等于8921，就是說這兩個(gè)四位數(shù)組成一個(gè)數(shù)對(duì)。問：這樣的數(shù)對(duì)共有多少個(gè)？思路導(dǎo)航：在這些數(shù)對(duì)中，被減數(shù)最大是9999，此時(shí)減數(shù)是9999－8921＝1078，被減數(shù)和劍術(shù)同時(shí)減去1后，又得到一個(gè)滿足題意條件的四位數(shù)對(duì)。為了保證減數(shù)是四位數(shù)，最多可以減去78，因此，這樣的數(shù)對(duì)共有78+1＝79個(gè)。練習(xí)三1.兩個(gè)四位數(shù)的差是8921。這兩個(gè)四位數(shù)的和的最大值是多少？2.如果兩個(gè)三位數(shù)的和是525，就說這兩個(gè)三位數(shù)組成一個(gè)數(shù)對(duì)。那么這樣的數(shù)對(duì)共有多少個(gè)？組成這樣的數(shù)對(duì)的兩個(gè)數(shù)的差最小是多少？最大是多少？3.如果兩個(gè)四位數(shù)的差是3456，就說這兩個(gè)數(shù)組成一個(gè)數(shù)對(duì)。那么，這樣的數(shù)對(duì)共有多少個(gè)？組成這樣的數(shù)對(duì)的兩個(gè)數(shù)的和最大是多少？最小是多少？例題4：一個(gè)農(nóng)場里收的莊稼有大豆、谷子、高梁、小米，每一種莊稼需要先收割好、捆好，然后往回運(yùn)輸?，F(xiàn)由兩個(gè)小組分別承包這兩項(xiàng)工作，工時(shí)如下表（一種莊稼不割好、捆好，不準(zhǔn)運(yùn)輸），這兩組從開工到完工最少經(jīng)過多少小時(shí)？思路導(dǎo)航：先把各類莊稼從開工到完工所用的時(shí)間分別算出來：大豆7+5=12小時(shí)，谷子3+6=9小時(shí)，高梁5+1=6小時(shí)，小米5+9=14小時(shí)。平均每個(gè)小組用（12+9+6+14）÷2=20.5小時(shí)，但實(shí)際做不到。因此，根據(jù)各類莊稼所需時(shí)間相加，使其最接近20.5小時(shí)。12+9=21小時(shí)是最少經(jīng)過的時(shí)間。練習(xí)四1.三個(gè)老師為7位不同的扮演者化妝，這7位同學(xué)化妝需要的時(shí)間分別為8、12、14、17、18、23、30分鐘。如果三位老師化妝速度相同，問最少經(jīng)過多少時(shí)間完成化妝任務(wù)？2.甲、乙、丙三位同學(xué)為7棵樹苗澆水，由于各棵樹路程的遠(yuǎn)近關(guān)系，需澆水的時(shí)間分別為：4、5、6、6、8、9、9分鐘。現(xiàn)三人各自同時(shí)開始，至少幾分鐘全部澆完？3.有五人來理發(fā)，按發(fā)型所用時(shí)間是10、12、15、22和24分鐘。由兩位師傅同時(shí)為這五人理發(fā)，問怎樣安排，使五人理發(fā)和等候的時(shí)間總和最少，最少是多少分鐘？例題5：A、B、C是三個(gè)風(fēng)景點(diǎn)，從A出發(fā)經(jīng)過B到達(dá)C要走18千米，從A經(jīng)過C到B要走16千米，從B經(jīng)過A到C要走24千米。相距最近的是哪兩個(gè)風(fēng)景點(diǎn)？它們之間相距多少千米？思路導(dǎo)航：根據(jù)題意可知，AB+BC=18千米，AC+BC=16千米，AB+AC=24千米，用（18+16+24）÷2就能算出AB+BC+AC=29千米。因此，AC=29-18=11千米，AB=29-16=13千米，BC=29-24=5千米。B、C兩個(gè)風(fēng)景點(diǎn)的距離最近，只相距5千米。練習(xí)五1.人民路兩側(cè)有三家大商店，從甲店經(jīng)過乙店到丙店要走300米，從乙店經(jīng)過丙店到甲店要走350米，從丙店經(jīng)過甲店到乙店要走250米。哪兩家店之間的距離最近？相距多少米？2.在期中測試中，小華語文和數(shù)學(xué)平均成績是96分，數(shù)學(xué)和作文平均成績是88分，語文和作文平均成績是86分。求小華的這三門功課哪門得分最高，是多少分？3.十個(gè)參賽者的平均得分是82分，前6人的平均分是83分，后6人的平均分是80分。那么第5個(gè)和第6個(gè)人的平均分是多少分？第三部分：數(shù)學(xué)史話最大的數(shù)字是多少你知道最大的數(shù)字是多少嗎？無窮大，這顯然不是最終的答案。無窮大只是一個(gè)概念，數(shù)學(xué)中無窮大的定義表明，無論數(shù)有多大，都可以讓它再加個(gè)1使它變得更大。通過不斷地這樣做，一個(gè)數(shù)總是可以一直永遠(yuǎn)或“無限”變大。原來，在正式數(shù)學(xué)證明中使用過的最大數(shù)是葛立恒數(shù)，它此前作為世界上最大的數(shù)被收入于吉尼斯世界紀(jì)錄之中。它到底有多大呢？其無法用科學(xué)記數(shù)法表示，就連a^(b^(c^(…)))這樣的指數(shù)塔形式也無濟(jì)于事，甚至連數(shù)學(xué)家都難以理解它。葛立恒數(shù)是拉姆齊理論中一個(gè)極其異乎尋常問題的上限解，其問題表述為：連接n維超立方體的每對(duì)幾何頂點(diǎn)，獲得一個(gè)有著2^n個(gè)頂點(diǎn)的完全圖（每對(duì)頂點(diǎn)之間都恰連有一條邊的簡單圖）。將該圖每條邊的顏色填上紅色或藍(lán)色。那么，使所有填法在四個(gè)共面頂點(diǎn)上包含至少一個(gè)單色完全子圖的最小n值為多少？雖然這個(gè)數(shù)太大了而無法完全計(jì)算出，但葛立恒數(shù)的最后幾位數(shù)可以通過簡單的算法導(dǎo)出。其最后12位數(shù)是262464195387。那么，葛立恒問題的答案是多少？根據(jù)一些數(shù)學(xué)家的看法，他們懷疑答案是“6”。參考答案練習(xí)一1.要余數(shù)和商大,原數(shù)要比較大，

試算999÷43=23……10，

余數(shù)最大是42，

因此A+B的最大值是A=22,B=42時(shí),A+B=64，

此時(shí)原三位數(shù)是988。2.因DE=2CE，BE=3AE，

所以S△ADE=2S△ACE，

S△BCE=3S△ACE，

S△BDE=3S△ADE=6S△ACE，

所以△CDB的面積最大。

取C、D、B這3個(gè)點(diǎn)畫出的三角形面積最大。

答：取C、D、B這3個(gè)點(diǎn)畫出的三角形面積最大。3.90×5-100-99-75=176分176=87+89，所以第三名至少89分。練習(xí)二1.8+7+6+5+4+3+2+1=36（次）2.根據(jù)分析可得，要使其中一人的年齡最大，那么其他三個(gè)的年齡應(yīng)最小，即是17、18、19，

25×4-17-18-19

=100-54

=46（歲）

答：最大的是46歲。3.3×1+2×4+5×3+3×10=56（元）56÷5=11……156=9+10+11+12+14最多的至少14元。練習(xí)三設(shè)這兩個(gè)四位數(shù)為a,ba>b,則a-b=8921。

既然兩個(gè)數(shù)都是4位數(shù),且a-b=8921,那么a的千位和百位必為9,b的千位為1,百位為0。要使a,b的和最大,則a,b的十位和個(gè)位必為最大值,所以a的十位為和個(gè)位也為9,b的十位為7個(gè)位為8,

由此可知a為9999,b為1078,和為11077。100是最小的3位數(shù),100+425=525

525÷2=262.5262+263=525

這樣的數(shù)對(duì)有262-100+1=163對(duì)，兩個(gè)數(shù)差最小是1，最大是325。3.1000<x+3456<100009999-3456=65439999+6543=165421000+4456=5456

所以有6543-1000+1(或9999-4456+1）=5544（個(gè)）

和最大16542，

最小5456。練習(xí)四1.7位同學(xué)依次化妝總共需要8+12+14+17+18+23+30=122分鐘?，F(xiàn)在3人同時(shí)工作，平均每人分擔(dān)的是122/3,約為41分鐘。3位老師為7人畫，觀察這些時(shí)間的特點(diǎn)，會(huì)知道其中兩位老師畫2人，其余一位畫3人。時(shí)間最長者30只能和12分鐘搭配最接近41，30+12=42分鐘，，依次類推，23和17搭配剛好40分鐘，剩下的8+14+18=40分鐘。所以最少經(jīng)過42分鐘完成化妝任務(wù)。2.4+5+6+6+8+9+9）÷3=15分……2(分)甲、乙、丙分別：8+9，6+9，4+5+6，到少17分鐘。3.一個(gè)10+12