2024-2025學(xué)年重慶市西北狼聯(lián)盟高二年級(jí)上冊入學(xué)聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（含答案）

2024-2025學(xué)年重慶市西北狼聯(lián)盟高二上學(xué)期入學(xué)聯(lián)考數(shù)學(xué)試題

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求

的。

1.已知向量2=（%+1,-2）,b=（-2%,3）,若五〃氏則實(shí)數(shù)乂的值為（）

A.1B.3C.-3D."

2.已知復(fù)數(shù)z=白@是虛數(shù)單位），則共輾復(fù)數(shù)萬在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

3.如圖，四邊形4BCD的斜二測直觀圖為平行四邊形A‘B'C'D',已知

A'O'=B'O'=O'E'=C'E'=D'E'=n,則該圖形的面積為（

C.2/D.4兀

4.已知一組數(shù)據(jù)：121,123,124,125,125,126,127,128,129,130.則這組數(shù)據(jù)的第25百分位數(shù)

是（）

A.123B.124C.125D.126

5.若a,b,c,m,九為空間直線，仇，夕為平面，則下列說法錯(cuò)誤的是（）

A.a//b,1c,則a1c

B.m1nip,mln,則a10

C.m1a,n1S，a]JR,則7n〃荏

D.a,b是異面直線，則a,b在a內(nèi)的射影為兩條相交直線

-1.

6.如圖所示，在棱長為2的正方體ABCD-AiBiCWi中，E為BC的中點(diǎn)，CF=1CCV則異面直線EF與當(dāng)外

所成角的余弦值為（）

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3^/26

rD衛(wèi)

.26

7.如圖，一架高空偵察飛機(jī)以600a/s的速度在海拔16000m的高空沿水平方向飛行，在4點(diǎn)處測得某山頂

M的俯角為45。，經(jīng)過15s后在B點(diǎn)處測得該山頂?shù)母┙菫?5。，若點(diǎn)4B,M在同一個(gè)鉛垂平面內(nèi)，則該山

頂?shù)暮０胃叨燃s為（）（^/2?1.414,平=1.732）

A.2436m

B.3706m

C.3200m

D.3146m

8.如圖，在“BC中，麗=|近，E為線段力。上的動(dòng)點(diǎn)，J.CF=xCA+yCB,貝嶺+?的最小值為（）

二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。

9.經(jīng)過簡單隨機(jī)抽樣獲得的樣本數(shù)據(jù)為孫,冷,…….xn,則下列說法正確的是（）

A.若數(shù)據(jù)久1，犯，，久n的方差S2=0,則所有數(shù)據(jù)句,久2,Hn均相同

B.若數(shù)據(jù)……，尤n的均值為3,則數(shù)據(jù)%=2xt+l（i=1,2,3,…,兀）的均值為6

C.數(shù)據(jù)X1，久2,,%n的極差不小于數(shù)據(jù)%2，%3,…，久n-1的極差

D.若數(shù)據(jù)……，加的眾數(shù)為78,則可以說總體中的眾數(shù)為78

10.若向量需滿足|Z|=|瓦=2,而+3|=2道，則（）

A.a-b^-2B.3與刃的夾角為與

C.al（a-2b）D.2-石在石上的投影向量為貨

11.中國古代數(shù)學(xué)的瑰寶《九章算術(shù)》中記載了一種稱為“曲池”的幾何體，該幾何體是上、下底面均為

扇環(huán)形的柱體（扇環(huán)是指圓環(huán)被扇形截得的部分）.現(xiàn)有一個(gè)如圖所示的曲池，A4i垂直于底面，A4i=5,底

面扇環(huán)所對(duì)的圓心角為全弧4。的長度是弧BC長度的3倍，CD=2,則下列說法正確的是（）

A.弧4D長度為無A*|T-

B.曲池的體積為爭

C.曲池的表面積為20+147r

D.三棱錐力一CQD的體積為5

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三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.某校高一年級(jí)共有學(xué)生200人，其中1班60人，2班50人，3班50人，4班40人.該校要了解高一學(xué)生對(duì)

食堂菜品的看法，準(zhǔn)備從高一年級(jí)學(xué)生中隨機(jī)抽取40人進(jìn)行訪談，若采取按比例分配的分層抽樣，則應(yīng)從

高一2班抽取的人數(shù)是.

13.如圖，某幾何體由共底面的圓錐和圓柱組合而成，且圓柱的兩個(gè)底面圓周和圓錐的頂點(diǎn)均在體積為367r

的球面上，若圓柱的高為2,則圓錐的側(cè)面積為.

14.如圖，這個(gè)優(yōu)美圖形由一個(gè)正方形和以各邊為直徑的四個(gè)半圓組成，若正方形4BCD的邊長為4,點(diǎn)P在

四段圓弧上運(yùn)動(dòng)，則而?瓦的取值范圍為.

四、解答題：本題共5小題，共60分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

15.(本小題12分)

已知復(fù)數(shù)z=a+bi(aER,bER)滿足|z|=避，z?的虛部是2.

(1)求復(fù)數(shù)z；

(2)設(shè)z,z2,z—z2在復(fù)平面上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為4,B,C,若4點(diǎn)位于第一象限，求-4BC的面積.

16.(本小題12分)

如圖，在四棱錐P-4BCD中，平面PAD1平面力BCD,四邊形力BCD為菱形，△PAD為等邊三角形,

乙4BC=120。，點(diǎn)E,尸分別是線段P44。的中點(diǎn).

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(1)求證：PC〃平面EBD；

(2)若AB=2,求四棱錐P-DFBC的體積.

17.(本小題12分)

為了落實(shí)“綠水青山就是金山銀山”的環(huán)境治理要求，某市政府積極鼓勵(lì)居民節(jié)約用水.計(jì)劃調(diào)

整居民生活用水收費(fèi)方案，擬確定一個(gè)合理的月用水量標(biāo)準(zhǔn)雙噸)，一位居民的月用水量不超過x的部分按

平價(jià)收費(fèi)，超出x的部分按議價(jià)收費(fèi).為了了解居民用水情況，通過抽樣，獲得了某年200位居民每人的月

均用水量(單位：噸)，將數(shù)據(jù)按照口,2),…，［8,9)分成9組，制成了如圖所示的頻率分布直方圖，其

中0.4a=b.

(1)求直方圖中a,6的值，并由頻率分布直方圖估計(jì)該市居民用水的平均數(shù)(每組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間中點(diǎn)值作為

代表);

(2)設(shè)該市有40萬居民，估計(jì)全市居民中月均用水量不低于2噸的人數(shù)，并說明理由；

(3)若該市政府希望使85%的居民每月的用水量不超過標(biāo)準(zhǔn)雙噸)，估計(jì)久的值，并說明理由.

18.(本小題12分)

△4BC的角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知sirM—sinC=-^-^(sinB-sinC).

(1)求角4

(2)從三個(gè)條件：①a=3；②b=3；③△ABC的面積為3避中任選一個(gè)作為已知條件，求△48C周長的

取值范圍.

19.(本小題12分)

刻畫空間的彎曲性是幾何研究的重要內(nèi)容，用曲率刻畫空間的彎曲性，規(guī)定：多面體頂點(diǎn)的曲率等于2兀與

多面體在該點(diǎn)的面角之和的差，其中多面體的面的內(nèi)角叫做多面體的面角，角度用弧度制.例如：正四面

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體每個(gè)頂點(diǎn)均有3個(gè)面角，每個(gè)面角均為全故其各個(gè)頂點(diǎn)的曲率均為2兀-3xgrr.如圖，在直三棱柱

力BC—中，點(diǎn)4的曲率為罟，N,M分別為AB,的中點(diǎn)，且力B=AC.

(1)證明：CN，平面力BBiAi.

(2)證明：平面4MBi1平面ABB遇i.

(3)若A4i=2AB,求二面角4-MB1-的的正切值.

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參考答案

1.5

2.D

3.4

4.B

5.D

6.C

7.5

8.C

9.AC

10.BC

11.ACD

12.10

13.4*兀

14.[—8,24]

15.解：⑴

z=a+bi(a,bGR),

則z?=a2-b2+2abi,

由題意得小+按=2,

且2ab=2,

解得a=b=1或a=b=-1,

所以z=1+i或z=-1—i.

(2)

因?yàn)槿宋挥诘谝幌笙?，所以z=l+i,

z2=2i,

z—z2=IT,

所以4(1,1),8(0,2),C(l-l),

直線AC:%=1,所以且B到AC的距離為1；

SAABC=Xl=/X2xl=l.

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所以S、4BC=1-

16.解：(1)在四棱錐PYBCD中，連接=0,連E。，如圖,

因四邊形ABCD是菱形，貝|。是AC的中點(diǎn)，而E是P力的中點(diǎn)，貝i]PC〃E。，又EOu平面EBD,PCC平面

EBD,

所以PC〃平面EBD.

(2)

在正△PAD中，F(xiàn)是線段力。的中點(diǎn)，貝iJPF1AD,而平面PAD_L平面力BCD,平面PADn平面

ABCD=AD,

PFu平面PAD,因此，PF1平面力BCD,且PF=*AD=*B=4，

在菱形ABCD中，^ABC=120°,則NB/W=60°,-ABD是正三角形，BF1AD,BF=?

顯然四邊形DFBC是直角梯形，其面積為SDFBC=QF+BC)BF=知+2)x4=挈，

所以四棱錐P—DFBC的體積P=￥DFBC.PF=|x^x73=|.

17.解：(1)由頻率分布直方圖可得

0.04+0.08+a+0.20+0.26+a+b+0.04+0.02=1,

又0.4a=b,則a=0.15,b=0.06,

該市居民用水的平均數(shù)估計(jì)為：

x=0.5X0.04+1.5X0.08+2.5X0.15+3.5X0.20+4.5X0.26

+5.5X0.15+6.5X0.06+7.5X0.04+8.5x0.02=4.07；

(2)由頻率分布直方圖可得，

月均用水量不超過2噸的頻率為：。。4+0.08=0.12,

則月均用水量不低于2噸的頻率為：1-0.12=0.88,

所以全市40萬居民中月均用水量不低于2噸的人數(shù)為：

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40x0.88=35.2(萬)；

(3)由頻率分布直方圖知月均用水量不超過6噸的頻率為：0.88,

月均用水量不超過5噸的頻率為0.73,

則85%的居民每月的用水量不超過的標(biāo)準(zhǔn)x(噸)，5<%<6,

0.73+0.150—5)=0.85,解得x=5.8(噸),

即標(biāo)準(zhǔn)為5.8噸.

hh

18.解：(1)因?yàn)閟in/-siziC=^sinB-siTiC^,所以a—c=@+.(b—c),

得扶+。2_。2=bg所以cos/=塊

ZbcZ

77

因?yàn)榱(0,TT),所以A=3.

(2)分三種情況求解：

選擇①a=3,

7T

因?yàn)?=予a=3,

由正弦定理得京b=W?=急=2避,

即△ABC的周長2=a+b+c=2避sinB+2避stnC+3=2避sinB+2/sin(第一B)+3=34

71

sinB+3cosB+3=6sin(B+1)+3,

因?yàn)锽e(0,等，所以+^<^i<sin(B+5<1,

即△ABC周長的取值范圍是(6,9].

選擇②b=3.

TT

因?yàn)?=yb=3,

由正弦定理得與=ca

sinC—sinZ'

訴l、Jc=3群r_3s譏/_3sin(^-B)_3pcosB,3

加乂—而國―sinB———2sinB2f

即△ABC的周長2=a+b+c=^-+3pcosB&_34(1+cosB)9、嚴(yán)守919

2sinB2sinB22sinB24sin^cos^22tan—2'

ZZ4

因?yàn)锽e(0,等，所以0<?W，所以0<tan?<G，

即△ABC周長的取值范圍是(6,+8).

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選擇③ABC=3

因?yàn)?=ABC=^bcsinA=*bc=34，得be=12,

由余弦定理得次=b2+c2-bc=(b+c)2-3bc=(b+c)2—36,

即△ABC的周長Z=a+b+c='(b+c)2—36+b+c,

因?yàn)閎+c>2y[bc=4^，當(dāng)且僅當(dāng)b=c=2避時(shí)等號(hào)成立，

所以/>7(4A/3)2-36+4V3=6V3.

即△ABC周長的取值范圍是[6m,+8).

19.解：(1)證明：在直三棱柱ZBC-Zi/Ci中，

AAr1平面ABC,AC,ABu平面ABC,

則44i1AC,44i1AB,

所以點(diǎn)/的曲率為

2TI—2X三—乙BAC=亭,

7T

所以NBZC=§,

因?yàn)?B=ac,所以△力BC為正三角形，

因?yàn)镹為力B的中點(diǎn)，所以CN1AB,

又A4i1平面ABC,CNc平面ABC,

所以A411CN,

因?yàn)?21043=4,441、ABU平面4BB141，

所以CN1平面ABB遇i.

(2)證明：取4當(dāng)?shù)闹悬c(diǎn)D,連接DM,DN,

因?yàn)镹