高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：立體幾何中的向量方法、拋物線

專(zhuān)期七附加題（必做部分）

第1講立體幾何中的向量方法、拋物線

高考定位高考對(duì)本內(nèi)容的考查主要有：（1）空間向量的坐標(biāo)表示及坐標(biāo)運(yùn)算，

屬B級(jí)要求；（2）線線、線面、面面平行關(guān)系判定，屬B級(jí)要求；（3）線線、線面、

面面垂直的判定，屬B級(jí)要求；（4）求異面直線、直線與平面、平面與平面所成

角，屬B級(jí)要求；（5）頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)，B級(jí)要

求.

真題感悟I考點(diǎn)整合I1「明考向扣要點(diǎn)

真題感悟

1.（2018?江蘇卷）如圖，在正三棱柱ABC—ALBCI中，AB=A4i=2,點(diǎn)P,。分

別為Aa,的中點(diǎn).

（1）求異面直線BP與ACi所成角的余弦值；

（2）求直線CC與平面AQCi所成角的正弦值.

解如圖，在正三棱柱ABC—ALBICI中，設(shè)AC,A1C1

的中點(diǎn)分別為。，。1,連接OOi,則03L0C,OOi±OC,OOi±OB,以

{OB,OC,歷1}為基底，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系。一孫z.因?yàn)锳5=AAi

=2,所以A(0,-1,0),B(y[3,0,0),C(0,1,0),Ai(0,-1,2),Bi4,0,

2),Ci(0,1,2).

(1)因?yàn)镻為ALBI的中點(diǎn)，所以P凈T2),

從而麗=(一坐，2),ACi=(0,2,2),

4，,->x,|麗?段i||T+4|35

故卬〈‘C"尸嬴3二不胃=2。.

因此，異面直線3P與AG所成角的余弦值為噂.

(2)因?yàn)?。?C的中點(diǎn)，所以。律，0),

因止勵(lì)=快，|,o],ACi=(O,2,2),CCi=(O,0,2).

AQ.〃=O,I'^Ax_l_By=O,

設(shè)〃=(x,y,2)為平面AQC1的一個(gè)法向量，則_即J22>

.ACin=O,12y+2z=0.

不妨取”=(小，一1,1).設(shè)直線CCi與平面AQCi所成角為仇

.1/井,|CCi-n|一_2正

貝mi！Jlsin0—|cos\CCi,n)、\——/——?,

\CCi\-\n\75X2。

所以直線CG與平面AQC1所成角的正弦值為竽.

2.(2016?江蘇卷)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知直線/：x—廠2=0,拋

物線C：y2=2px(p>0).

(1)若直線/過(guò)拋物線C的焦點(diǎn)，求拋物線C的方程；

(2)已知拋物線C上存在關(guān)于直線/對(duì)稱(chēng)的相異兩點(diǎn)尸和Q.

①求證：線段PQ的中點(diǎn)坐標(biāo)為(2—p,—P)；

②求P的取值范圍.

⑴解V/：X—廠2=0,.?./與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為(2,0).

即拋物線的焦點(diǎn)為(2,0),...介？，.”=4.??.拋物線C的方程為尸=8%.

xi—

yi=2px\92p'

(2)①證明設(shè)點(diǎn)P(?,yi),2(X2,/).則則<

&=2pxi,A

X2=

2P'

:.kpQ=3一$=y]My2,又■:P，Q關(guān)于/對(duì)稱(chēng).，左PQ=11>即>1+丁2=-2p,

2p2p

yi+y2「,xi+%2yi+y2.

.?.匕k匕=—P，又：/3。的中點(diǎn)一定在/上，.?.一^―=r匕+2=2一3

???線段PQ的中點(diǎn)坐標(biāo)為(2—p,—p).

y\-\-yi=~2p,

②解：PQ的中點(diǎn)為(2-p,—P),?；制+&=號(hào)=4—2p,

,1+>2=_2Q.pi+y2=_2Q,

貨=8p—4P2,[yiy2=4p2—4p,

即關(guān)于y的方程y2+2py+4“2—4p=0,有兩個(gè)不等實(shí)根.

即(2p)2—4(4p2—4p)>0,解得故所求2的范圍為(0,1

考點(diǎn)整合

L直線與平面、平面與平面的平行與垂直的向量方法

設(shè)直線/的方向向量為。=(QI,bi,ci),平面。，用的法向量分別為"=(。2,歷,

C2),肘=(Q3,~3,C3),貝!J

(1)線面平行

I//aaJ.fia?fi=0。1。2+歷歷+。1。2=0.

(2)線面垂直

/J_aa〃Na='kfici\-kd2f/71=左歷,ci~~kci.

(3)面面平行

a//，fl//V/i=Av。2=丸43,62=263,C2=AC3.

(4)面面垂直

a工BH-Lvfl-V=O。2。3+歷加+。2。3=0.

2.直線與直線、直線與平面、平面與平面的夾角計(jì)算

設(shè)直線/,用的方向向量分別為。=(QI,bi,ci),b=(ai,歷，ci),平面a,￡的

法向量分別為"=(。3,b3,C3),y=(Q4,%C4)(以下相同).

(1)線線夾角

設(shè)』的夾角為仇』唾則30=需;而鬻I清融.

(2)線面夾角

設(shè)直線I與平面a的夾角為e(0W8W，，則sin6=|cos〈a,〃〉尸科，

(3)面面夾角

設(shè)平面a,4的夾角為仇0We<7i),則|cos6|=|cos<〃,丫〉尸思當(dāng)

3.拋物線的幾何性質(zhì)

(1)拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)與準(zhǔn)線方程

①拋物線尸=2內(nèi)。>0)的焦點(diǎn)庵，0；準(zhǔn)線x=—§

②拋物線/=2pyS>0)的焦點(diǎn)電，準(zhǔn)線尸一號(hào)

(2)過(guò)拋物線焦點(diǎn)的弦長(zhǎng)

拋物線尸=2內(nèi)(/?>0)過(guò)焦點(diǎn)R的弦A3,若A(xi,yi),3(x2,yi),則xix2=jyi>2

=-p2,弦長(zhǎng)AB—x\-\-X2-\-p.

I熱點(diǎn)聚焦I分類(lèi)突破jr_EV研熱點(diǎn):"析考法」可

熱點(diǎn)一向量法證明平行與垂直

【例1】如圖，在直三棱柱ADE—3CR中，平面ABRE和平面A3CD都是正方

形且互相垂直，舷為A3的中點(diǎn)，。為DR的中點(diǎn)，運(yùn)用向量方法求證：

(1)OM〃平面BCF；

(2)平面甲，平面EFCD.

證明法一由題意，得AB,AD,AE兩兩垂直，以A為原點(diǎn)建立如圖所示的

空間直角坐標(biāo)系.

設(shè)正方形邊長(zhǎng)為1,則A(0,0,0),5(1,0,0),C(l,1,0),D(0,1,0),F(l,

o,1),o,°),ogt，g.

(1)OM=\Q,-g,BA=(-1,0,0),

/.OMRA=Q,.,.而，蔭.：棱柱4。石一5(方'是直三棱柱，BCF,

??.蔭是平面BCR的一個(gè)法向量，且0M平面3CE.二。舷〃平面3CT.

⑵設(shè)平面與平面ERCD的一個(gè)法向量分別為町=3,yi,zi),"2=(x2,

Z2).

'：DF=(1,-1,1),-1,oj,DC=(1,0,0),CF=(0,-1,1),

「1

xi-yi+zi=0,=

m-DF=0,yi2^i，

由I-得J__八解得<]令XI=1則ni=

2%i—yi—0>

m-DM=0.Z1=—^X1,

1

1,rI)

同理可得"2=(0，1,l)."：nrn2=0,，平面MDfU平面ERCD

法二(1)OM=OF+FB+BM=^DF-BF+^BA=3(DB+BF)—BF+GBA

=—^BD—^BF+^BA=—^(BC+BA)—^BF+^BA=—^BC-^BF.

??.向量0M與向量3RBC共面，又0M平面3CE.?.0航〃平面3。?

(2)由(1)及題意知，BF,BC,R4兩兩垂直，

,:CD=BA,FC=BC-BF,：.OMCD=[-^BC-^BF^BA=0,

0MFC=\-^BC-^BF0C—甌=—+名尸=0.

：.OM±CD,OM±FC,XCDHFC=C,CD,FC平面ERCD,

QW,平面EFCD.又OM平面MDF,：.平面MDfU平面EFCD.

探究提高解決本類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵步驟是建立恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，用坐標(biāo)表示向量或用

基底表示向量，證法的核心是利用向量的數(shù)量積或數(shù)乘運(yùn)算.

【訓(xùn)練1]如圖，在四棱錐尸一A3CD中，PAL^ABCD,底面A3CD是菱形,

PA=AB=2,ZBAD=60°,E是出的中點(diǎn).

(1)求證：直線PC〃平面3DE；

(2)求證：BDLPC.

證明設(shè)AC03。=。.因?yàn)镹B4D=60。，AB=2,底面A3CD為菱形，所以3。

=bAO=CO=y[3,ACL3D如圖，以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，以。3,0c所在直線分

別為x軸、y軸，過(guò)點(diǎn)。且平行于心的直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系。一

xyz9

則尸（0,一/，2）,A（0,一5，0）,B（L0,0）,C（0,事,0）,。（—1,0,0）,

E（0,一小，1）.

⑴設(shè)平面3DE的法向量為m=(xi,yi，zi),

—

niBD=Q,2xi=0,

因?yàn)榉?(—1,一小，1),應(yīng))=(—2,0,0),曲_得'

、一—小yi+zi=0

ni-BE=Q,

令zi=，§,得yi=l,所以“i=（0,1,小）.

又無(wú)=(0,2小，-2),所以記.“1=0+2小一26=0,

即無(wú)，“1,又PC平面3DE,所以PC〃平面3DE.

(2)因?yàn)槲?(0,2小，-2),防=(—2,0,0),所以無(wú)?前＞=0.故3。，PC.

熱點(diǎn)二利用空間向量求空間角

[考法1]求線面角

【例2—1](2018?全國(guó)I卷)如圖，四邊形A3CD為正方形，E,R分別為AD,

BC的中點(diǎn)，以DR為折痕把△DRC折起，使點(diǎn)C到達(dá)點(diǎn)尸的位置，且PfUBE

P

(1)證明：平面PER,平面A3ED；

(2)求DP與平面ABFD所成角的正弦值.

⑴證明由已知可得，BfUPR,又PRER平面PER,

所以平面PEE又3R平面ABED,所以平面PER,平面ABED.

(2)解作垂足為H.由⑴得，平面A3RD

以H為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以彷，HF,壽的方向?yàn)閤軸、y軸、z軸的正方向，\BF

I為單位長(zhǎng)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系H一孫z.

由(1)可得，DELPE.又DP=2,DE=1,所以PE=小.

又PF=1,EF=2,故EF2=PE2+PF2,所以尸石,尸丘

可得以/=坐，EH=|.

則H(O,O,O),p[o,0,由，。(一1，一/0),而=[1,|,由，壽=/,0,由

為平面ABFD的一個(gè)法向量.

__3_

HPDP4、行

設(shè)DP與平面A3萬(wàn)所成角為仇貝I]sin6=一一=-7==y.

\HP\\DP\V34

所以。尸與平面ABFD所成角的正弦值為亍.

探究提高利用法向量求解空間線面角的關(guān)鍵在于“四破”：第一，破“建系

關(guān)”，構(gòu)建恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系；第二，破“求坐標(biāo)關(guān)”，準(zhǔn)確求解相關(guān)點(diǎn)的

坐標(biāo)；第三，破“求法向量關(guān)”，求出平面的法向量；第四，破“應(yīng)用公式關(guān)”.

［考法2］求二面角

【例2—2】如圖，四棱錐P—A3CD中，側(cè)面以。為等邊三角形且垂直于底面

ABCD,AB=BC=^AD,ZBAD=ZABC=90°,E是尸。的中點(diǎn).

(1)證明：直線CE〃平面PAB-,

(2)點(diǎn)M在棱PC上，且直線與底面A3CD所成角為45。，求二面角“一A3

-D的余弦值.

⑴證明取心的中點(diǎn)R連接EEBF,因?yàn)镋是PD的中點(diǎn)，

所以EF=^AD,由N3AD=NA3C=90。得3C〃AD,

又3C=1A。，所以四邊形BCER是平行四邊形，CE//BF,

又BF平面以3,CE平面以3,故CE〃平面必在

⑵解由已知得RUAD,以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，協(xié)的方向?yàn)閤軸正方向，海|為單

位長(zhǎng)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)—'孫z,

則A(0,0,0),B(l,0,0),C(l,1,0),P(0,1,小),

PC=(1,0,一小)，AB=(1,0,0).

設(shè)M%，y^z)(0<x<l),則3Ay,z),PM=(x,y~l,z一4).

因?yàn)榕c底面A3CD所成的角為45。，而n=(0,0,1)是底面A3CD的法向量,

所以|cos{BM,〃〉|=sin45°,則/,,了?〃3=噂'

y(X—1)“十v十z/乙

即(冗一1)2+丁2-z2=0.①

又般在棱PC上，設(shè)曲=7危，貝鼠='y=l,z=小一電②

由①，②解得jy=l,

〔z一—2

從而由f=|1

m-AM=0,

設(shè)加=（xo,泗，zo）是平面A3M的法向量，則,_

(2—A/2)xo+2yo+\/6zo=O,廣

即■所以可取用=(0,一乖,2).

、%o=0,

于是cos<m,n）=髓=乎.因此二面角M—AB—。的余弦值為手.

探究提高利用法向量的根據(jù)是兩個(gè)半平面的法向量所成的角和二面角的平面

角相等或互補(bǔ)，在能斷定所求二面角的平面角是銳角或鈍角的情況下，這種方法

具有一定的優(yōu)勢(shì)，但栗注意，必須能斷定“所求二面角的平面角是銳角或鈍角”,

在用法向量法求二面角的大小時(shí)，務(wù)必要作出這個(gè)判斷，否則解法是不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)?

【訓(xùn)練2】（2013?江蘇卷）如圖，在直三棱柱ALBCI—ABC中，ABLAC,AB=

AC=2,AiA=4,

點(diǎn)。是BC的中點(diǎn).

(1)求異面直線AiB與CiD所成角的余弦值；

(2)求平面ADCi與平面ABAi所成二面角的正弦值.

解(1)由題意知，AB,AC,AAi兩兩垂直，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的

空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)—xyz,

則A(0,0,0),3(2,0,0),C(0,2,0),D(l,1,0),Ai(0,0,4),Ci(0,2,

4),所以府=(2,0,-4),GD=(1,-1,-4).

?C")

因?yàn)閏os〈府,血〉=而而=同為=噂

所以異面直線A1B與。。所成角的余弦值為噂.

(2)設(shè)平面ADC的法向量為m=(x,y,z),

因?yàn)槌?(1,1,0),AC1=(O,2,4),所以m?廈)=0,m-ACi=0,

即尤+y=0且y+2z=0,取z=l,得x=2,y=~2,

所以，〃i=(2,—2,1)是平面ADG的一個(gè)法向量.

取平面A413的一個(gè)法向量為“2=(0,1,0),

設(shè)平面ADC\與平面ABAi所成二面角的大小為6.

由Icosdl—阿陶_9口4_百得sm'—3'

因此，平面AD。與平面ABAi所成二面角的正弦值為生.

熱點(diǎn)三向量法解決立體幾何中的探索性問(wèn)題

【例3】(2018?南通模擬)如圖，已知矩形A3CD所在平面垂直直角梯形A3PE

所在的平面，且A3=3P=2,AD=AE=1,AE±AB,且AE〃3P.

(1)求平面PCD與平面ABPE所成的二面角的余弦值；

(2)在線段PD上是否存在一點(diǎn)N,使得直線BN與平面PCD所成角的正弦值等

2

于5？若存在，試確定點(diǎn)N的位置；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

角星由AE，A3,S.AE//BP,MBPLAB.

又平面ABCDn平面ABPE=AB,PB平面ABPE,

所以尸5,平面ABCD,又BC平面ABCD,所以

又四邊形A3CD為矩形，所以

故直線B4,BP,3c兩兩垂直，以3為原點(diǎn)，分別以R4,BP,3c為x軸、y

軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則3(0,0,0),A(2,0,0),P(0,2,

0),E(2,1,0),C(0,0,1),D(2,0,1).

(1)設(shè)平面PCD的法向量為用=(a,b,c),PC=(0,-2,1),CD=(2,0,0).

m-PC=—2b+c=0,

由_不妨取用=(0,1,2).

m'CD=2a=Q9

平面ABPE的一個(gè)法向量為〃=(0,0,1).

設(shè)平面PCD與平面ABPE所成的二面角的大小為仇

則由圖可知。?(0,習(xí)，cos0=|cos{m,"〉|=小[]

所以平面PCD與平面ABPE所成的二面角的余弦值為呼.

2

(2)假設(shè)線段PD上存在點(diǎn)N,使得直線BN與平面PCD所成角?滿足sin。=亍

EPsina=|cos(BN9m)|=------=T.

小I的5

設(shè)麗=7防=7(2,-2,1),其中iG[0,1].BN=BP+PN=(2A,2—2九A).

由(1)知平面PCD的一個(gè)法向量加=(0,1,2),

221

所以訴二/鼠2二84+4=亍即9/—87—1=0,解得4=1或"=一§(舍去).

所以當(dāng)N在點(diǎn)。處時(shí)，直線3N與平面PCD所成角的正弦值等于1

探究提高(1)確定點(diǎn)的坐標(biāo)時(shí)，通常利用向量共線來(lái)求，如本例麗=7彷，直

接加入到線性運(yùn)算中.

(2)解題時(shí)，把要成立的結(jié)論當(dāng)作條件，據(jù)此列方程或方程組，把“是否存在”

問(wèn)題轉(zhuǎn)化為“點(diǎn)的坐標(biāo)是否有解，是否有規(guī)定范圍內(nèi)的解”等，所以為使問(wèn)題的

解決更簡(jiǎn)單、有效，應(yīng)善于運(yùn)用這一方法解題.

【訓(xùn)練3】(2016?北京卷)如圖，在四棱錐尸一ABCD中，平面以。，平面ABCD,

PALPD,PA=PD,AB±AD,AB=1,AD=2,AC=CD=\[5.

(1)求證：PD,平面以3；

(2)求直線PB與平面PCD所成角的正弦值；

(3)在棱以上是否存在點(diǎn)使得3M〃平面PCD?若存在，求登的值；若不

存在，說(shuō)明理由.

⑴證明..?平面以。，平面ABCD,平面以on平面ABCD=AD

5LABLAD,AB平面A3CD,.?.公臺(tái),平面以。：/5。平面：.AB±PD.

又必，PD,必045=4，尸。，平面以3.

(2)解取AD中點(diǎn)。，連接C。，PO,'：PA=PD,：.POLAD.

又,：P0平面必。，平面平面ABC。，AD為交線，

...P。，平面A3CD,VCO平面ABC。，：.PO±CO,'：AC=CD,：.CO±AD.

以。為原點(diǎn)建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系.

易知產(chǎn)(0,0,1),B(l,1,0),￡)(0,-1,0),C(2,0,0).

則麗=(1,1,-1),PD=(0,-1,—1),PC=(2,0,-1).

設(shè)〃=(xo,yo,1)為平面PDC的一個(gè)法向量.

即n二3—1,1].

n-PC=0

設(shè)PB與平面PCD的夾角為0.

則sin6=|cos〈”，PB}|=

\n\\PB\

(3)解設(shè)M是棱PA上一點(diǎn)，則存在7G[0,1]使得4而=疝\因此點(diǎn)M(0,1

一九A),BM=(-1,一12),因?yàn)槠矫鍼CD,所以〃平面PCD,

當(dāng)且僅當(dāng)前f〃=0,即(一1,一九—1，1)=0,解得2=(,

所以在棱PA上存在點(diǎn)”使得〃平面PCD,此時(shí)等=/

熱點(diǎn)四拋物線的綜合問(wèn)題

【例4】(2018?南通、揚(yáng)州、淮安等七市調(diào)研)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知

點(diǎn)R為拋物線尸=2內(nèi)0>0)的焦點(diǎn)，直線/過(guò)點(diǎn)R且與拋物線相交于A,3兩點(diǎn)

(點(diǎn)A在第一象限).

⑴若直線/的方程為尸全4―東2求直線的斜率;

(2)已知點(diǎn)C在直線x=-p上，/XABC是邊長(zhǎng)為2P+3的正三角形，求拋物線的

方程.

解(1)由題意，焦點(diǎn)雄，0)在直線/上，所以恭?一尹0,解得p=l.

'_4_2

所以拋物線的方程為尸2工由—”一不消去x得2y2—3廠2=0,

j2=2x

所以y=2或y=—g,因?yàn)辄c(diǎn)A在第一象限，所以點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2,2),

所以直線OA的斜率為1.

(2)依題意，直線/的斜率存在，且不為零.

設(shè)直線/的方程為丁=

x一之

設(shè)A(xi,yi),3(x2,y2),C(—p,y3))A3的中點(diǎn)M(xo,yo).

y2=2px,

2

由消去y得嚴(yán)%—(左2P+2p)x+$2p2=0,

49(左2P+2.)±\[2

/=4p2+4Qp2>0,Xl2=

所以AB=x\+x2+p=2p+^：=2p+3,即患=3.

MC=N(%o+p)(yo->3)

因?yàn)閤°=3^=筆也=%+€，所以

將衣￡代入得’“。=、/弓&+11

、后

又因?yàn)锳ABC是邊長(zhǎng)為2p+3的正三角形，所以MC=^(2p+3),

所以、/^51P+|)=坐3+3),解得p=小,所以拋物線的方程為產(chǎn)=2*x.

探究提高高考對(duì)這一部分內(nèi)容的考查主要涉及拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程、幾何性質(zhì)以及

弦長(zhǎng)的計(jì)算等知識(shí)，也可以結(jié)合其他知識(shí)進(jìn)行綜合命題，運(yùn)算能力要求較高.

【訓(xùn)練4】如圖，已知拋物線C的頂點(diǎn)為。(0,0),焦點(diǎn)為R(0,1).

(1)求拋物線C的方程；

(2)過(guò)點(diǎn)F作直線交拋物線。于A,3兩點(diǎn).若直線AO,BO分別交直線Z：y=x

—2于M,N兩點(diǎn)，求的最小值.

解⑴由題意可設(shè)拋物線C的方程為貝值=1,p=2,

所以拋物線C的方程為/=4y.

(2)設(shè)A(xi,yi),3(x2,竺)，直線AB的方程為y=fcv+l.

ykx-I-1,

由彳,/消去》整理得X2—4日一4=0,

—

解上述方程得2=2左±2，F(xiàn)+1,所以％I+%2=4攵，xiX2—4.

從而|九1~X2\=卬布+1.

X

由y=為x,解得點(diǎn)M的橫坐標(biāo)砧=上2x1」=上2x弄i=工8".

xi-yixr4—xi

J=%—2,Xi~~^

Q

同理，點(diǎn)N的橫坐標(biāo)XN=~.

4—X2

88

—

所以MN=yj2\xM-XN\=^24-X14—%2

________XI_X2__________8爽4必+1

W2關(guān)1%2-4(xi+%2)+16|4左一3|'

f+3

令軟一3=t,/WO,貝U左=一^-.

當(dāng)/>0時(shí)，MN=2\［2yj^+^+l>2\［2.

當(dāng)/<0時(shí)，MN=2^^^+|)2+||>^.

綜上所述，當(dāng)片一拳即左一條寸，MN的最小值是警.

史納總結(jié)I思維升華I探規(guī)律防失誤

7T

1.兩條直線夾角的范圍為［0,上.設(shè)直線/1,/2的方向向量分別為〃1,"2,其夾角

為仇則cos6=|cosm,"2I=；：；；；：.

JT

2.線面角的范圍為［O,設(shè)直線/的方向向量為“，平面a的法向量為機(jī)，夾

角為仇則sin6=|cos{m,n)|二

3.二面角的范圍為［0,兀］.設(shè)半平面a與4的法向量分別為“1與"2,二面角的平

面角為仇則|cosO|=|cosm,m|=|；舄.

4.空間向量在處理空間問(wèn)題時(shí)具有很大的優(yōu)越性，能把“非運(yùn)算”問(wèn)題“運(yùn)算”

化，即通過(guò)直線的方向向量和平面的法向量，把立體幾何中的平行、垂直關(guān)系，

各類(lèi)角、距離以向量的方式表達(dá)出來(lái)，把立體幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為空間向量的運(yùn)算問(wèn)

題.應(yīng)用的核心是充分認(rèn)識(shí)形體特征，進(jìn)而建立空間直角坐標(biāo)系，通過(guò)向量的運(yùn)

算解答問(wèn)題，達(dá)到幾何問(wèn)題代數(shù)化的目的，同時(shí)注意運(yùn)算的準(zhǔn)確性.

5.拋物線的綜合問(wèn)題應(yīng)準(zhǔn)確應(yīng)用拋物線的定義及幾何性質(zhì)進(jìn)行分析求解，涉及直

線與拋物線的位置關(guān)系問(wèn)題要注意分類(lèi)討論.

宙題訓(xùn)練I對(duì)接高考求落實(shí)迎高考

1.(2017?宿遷三模)在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)網(wǎng)1,0),直線x=-1與動(dòng)直線

y=n的交點(diǎn)為M,線段MR的中垂線與動(dòng)直線y=n的交點(diǎn)為P.

(1)求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡E的方程：

(2)過(guò)動(dòng)點(diǎn)”作曲線E的兩條切線，切點(diǎn)分別為A,B,求證：NAM5的大小為

定值.

(1)1?因?yàn)橹本€丁=〃與x=—1垂直，所以為點(diǎn)尸到直線x=—1的距離.

連接PR,因?yàn)辄c(diǎn)尸為線段MR的中垂線與直線丁=”的交點(diǎn)，所以MP=PF,

所以點(diǎn)尸的軌跡是拋物線.焦點(diǎn)為網(wǎng)1,0),準(zhǔn)線為x=—1.

所以曲線E的方程為V=4x.

(2)證明由題意知，過(guò)點(diǎn)”(一1，力的切線斜率存在，

y=kx-\-k-\-n,

設(shè)切線方程為y—〃=左(%+1),聯(lián)立｛,得處2—4y+4左+4〃=0,

[y-4x,

所以/i=16—4網(wǎng)軟+4〃)=0,即產(chǎn)+而一1=0.(*)

因?yàn)椤?=層+4>0,所以方程(*)存在兩個(gè)不等實(shí)根，

設(shè)為左1,左2,因?yàn)槿巳?=—1,所以NAMB=90。，為定值.

2.(2018?蘇州自主學(xué)習(xí))如圖，在四棱錐P—ABCD中，底面ABCD為直角梯形，

ZABC=ZBAD=90°,且出=A3=3C=14D=1,以，平面A5CD

(1)求PB與平面PCD所成角的正弦值；

(2)棱PD上是否存在一點(diǎn)E滿足NAEC=90。？若存在，求AE的長(zhǎng)；若不存在,

請(qǐng)說(shuō)明理由.

解(1)依題意A3,AD,以?xún)蓛纱怪保鐖D，

以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以A3,AD,AP為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)

一砂z,則P(0,0,1),3(1,0,0),C(l,1,0),D(0,2,0),

從而麗=(1,0,-1),PC=(1,1,-1),PD=(0,2,-1).

設(shè)平面PCD的法向量為〃=(x,y,z),則2無(wú)=0,且“?歷=0,

即尤+y—z=0,且2y—z=0,不妨取z=2,則y=l,x=l,

所以平面PCD的一個(gè)法向量n=(l,1,2),

此時(shí)cos(麗,加=總言=—率,

所以尸3與平面PCD所成角的正弦值為叩.

(2)設(shè)庵=丸歷)(OW4W1),則E(0,2九1-A).

則前=(—1,27—1,1-A),AE=(0,211-A),

由ZAEC=90°得屈?無(wú)=2A(2A-l)+(l-A)2=0,

化簡(jiǎn)得，5A2-4A+l=0,該方程無(wú)解，

所以棱PD上不存在一點(diǎn)E滿足NAEC=90。.

3.如圖，過(guò)拋物線y2=4x的焦點(diǎn)R作拋物線的兩條弦AB,CD,設(shè)直線AC與5。

的交點(diǎn)為P,直線AC,3。分別與y軸交于M,N兩點(diǎn).

(1)求證：點(diǎn)P恒在拋物線的準(zhǔn)線上；

(2)求證：四邊形五N是平行四邊形.

證明(1)由題意知/1,0),不妨設(shè)A(〃，2a),D(b~,2b),a>0,b<0,B(XB,

直線AB的方程為2〃%+(1一4),—2Q=0,

由L，

得4+2(1—〃2)、-4〃=0,

\2ax~\-(1—次)y-2a—0,

2

由根與系數(shù)的關(guān)系得，2ayB=~4,即刈=一丁

代入拋物線方程V=4x,得XB=F即時(shí)T)同理得0,一M，

則直線AC的方程為尸告一Up直線BD的方程為產(chǎn)含l含,

則4b-昌,40,一行

〃2b2〃

'cib-1'cib-1'

聯(lián)立直線AC,3。的方程得《”

2a一2b

Jab—1Xab-V

可得點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為定值一1,即點(diǎn)尸恒在拋物線的準(zhǔn)線上.

oJ—4

因?yàn)榧?產(chǎn)

(2)N=1-0ab—r=1—kFM=\1哈—0”=a￡b-l=kBD,

所以四邊形PMFN是平行四邊形.

4.(2018?全國(guó)H卷)如圖，在三棱錐P—A3C中，AB=BC=2巾,PA=PB=PC=

AC=4,。為AC的中點(diǎn).

(1)證明：P。，平面A3C；

(2)若點(diǎn)”在棱3C上，且二面角M—出一C為30。，求PC與平面必M所成角

的正弦值.

⑴證明因?yàn)锳P=CP=AC=4,。為AC的中點(diǎn)，所以。PLAC,且。P=2小.

連接。3,因?yàn)锳B=BC=￥AC,

所以△ABC為等腰直角三角形，5.OB±AC,0B=^AC=2.

由。產(chǎn)+032=PB2知POLOB.

由。P，03,OP±ACS.OBHAC=O,OB,AC平面ABC,知產(chǎn)。，平面ABC.

(2)解如圖，以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，短的方向?yàn)閤軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系

O-xyz.

由已知得。(0,0,0),3(2,0,0),A(0,-2,0),C(0,2,0),P(0,0,2小),

AP=(0,2,2仍).取平面BLC的一個(gè)法向量/=(2,0,0).

設(shè)Ma，2—a,0)(0<aW2),則加=(0,4—a,0).

設(shè)平面心〃的法向量為"=(x,y,z).

一*,(2y+2小z=0,l廣

由AP〃=0,AAf〃=0得J-可取〃=(寸5(4—4),y]3a,~~a),

ax+(4—a)y=0,''

所以cos<0B,n>=i2'>[4)，.由已知可得|cos(OB,n)1=嘩,

2^/3(o-4)2+3a2+a22

所以c國(guó)，蟄2,2=坐，解得a=—4(舍去)，a=^,

2、3(a—4)2+3a2+a223

所以〃=(一^斗-l)又說(shuō)'=(0,2,-2^/3),所以cos(PC,n)=乎.

所以PC與平面以舷所成角的正弦值為竽.

5.(2017?江蘇卷)如圖，在平行六面體A3CD—AIBCLDI中，A4」平面A3CD,且

AB=AD=2,AAi=yf3,ZBAD=120°.

D

B

⑴求異面直線AiB與ACi所成角的余弦值；

（2）求二面角B-AiD-A的正弦值.

解在平面A3CD內(nèi)，過(guò)點(diǎn)A作AELAD,交BC于點(diǎn)、E.

因?yàn)锳4」平面A3CD,AE,AD平面ABCD,所以A4」AE,AAt±AD.

如圖，以｛施，AD,筋1｝為正交基底，

建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)一盯z.

因?yàn)锳B=AD=2,AAi=小，ZBAD=120°,

則A（0,0,0）,B昨,-1,0）,D（0,2,0）,E昨,0,0）,Ai（0,0,?。?Cig

1，V3).

（1）鼠=（小，-1,一小），箱=（小，1,?。?/p>

1

/小\AiBACi（小，—1,一?。?（小，1,?。?

則cos（AiB,ACi>=-----------=-丫----------------\------------------J7

\A^B\\ACi\

因此異面直線AiB與ACi所成角的余弦值為;.

（2）平面4D4的一個(gè)法向量為施=