2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第一章立體幾何初步1.6.2垂直關(guān)系的性質(zhì)學(xué)案含解析北師大版必修2

PAGE6.2垂直關(guān)系的性質(zhì)考綱定位重難突破1.理解直線與平面垂直和平面與平面垂直的性質(zhì)定理，并能用文字、符號和圖形語言精確地描述定理．2.能夠敏捷地運用兩個垂直性質(zhì)定理證明相關(guān)問題．3.理解并駕馭“平行”與“垂直”的相互轉(zhuǎn)化，以及垂直關(guān)系之間的相互轉(zhuǎn)化.重點：線面垂直和面面垂直性質(zhì)定理的應(yīng)用．難點：常與線面、面面垂直的判定定理結(jié)合命題，考查多個定理應(yīng)用的相互轉(zhuǎn)化．疑點：要證明的結(jié)論簡單被當(dāng)成已知運用.授課提示：對應(yīng)學(xué)生用書第21頁[自主梳理]一、直線與平面垂直的性質(zhì)定理文字語言圖形表示符號語言假如兩條直線同垂直于一個平面，那么這兩條直線平行eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a⊥α,b⊥α))?a∥b二、平面與平面垂直的性質(zhì)定理文字語言圖形表示符號語言假如兩個平面相互垂直，那么在一個平面內(nèi)垂直于它們交線的直線垂直于另一個平面eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(α⊥β,α∩β＝l,aα,a⊥l,))?a⊥β[雙基自測]1．假如一條直線平行于一個平面，那么這條直線和這個平面的垂線()A．垂直B．相交C．平行D．異面解析：設(shè)m∥α，n⊥α，則α內(nèi)肯定有一條直線l，使得m∥l，且有l(wèi)⊥n，所以m⊥n.答案：A2．在空間中，下列結(jié)論正確的是()①平行于同一條直線的兩條直線相互平行；②垂直于同一條直線的兩條直線相互平行；③平行于同一個平面的兩條直線相互平行；④垂直于同一個平面的兩條直線相互平行A．②B．①④C．①D．①②③④解析：由公理4知①對；垂直于同一條直線的兩條直線可以異面、相交、平行；平行于同一個平面的兩條直線可能異面、相交、平行；由線面垂直的性質(zhì)知④正確．答案：B3．兩個平面相互垂直，一個平面內(nèi)的一條直線與另一個平面()A．垂直B．平行C．平行或相交D．平行或相交或直線在另一個平面內(nèi)解析：若這條直線平行于交線則它平行于另一個平面；若這條直線與交線相交則它與另一個平面也相交；若這條直線就是交線則它在另一個平面內(nèi)．答案：D4．在Rt△ABC中，D是斜邊AB的中點，AC＝6cm，BC＝8cm，EC⊥平面ABC，EC＝12cm，則ED＝______cm.解析：連接CD，則CD＝5，又EC⊥平面ABC，所以EC⊥CD，所以ED＝eq\r(EC2＋CD2)＝eq\r(122＋52)＝13.答案：135．如圖所示，PO⊥平面ABC，BO⊥AC，在圖中與AC垂直的直線有________條．解析：連接PD(圖略)，∵PO⊥平面ABC，AC平面ABC，∴PO⊥AC.又AC⊥BO，PO∩BO＝O，∴AC⊥平面PBD，∴平面PBD內(nèi)的4條直線PB，PD，PO，BD都與AC垂直，∴圖中共有4條直線與AC垂直．答案：4授課提示：對應(yīng)學(xué)生用書第21頁探究一線面垂直的性質(zhì)的應(yīng)用[典例1]如圖，已知AD⊥AB，AD⊥AC，AE⊥BC交BC于E，D是FG的中點，AF＝AG，EF＝EG.求證：BC∥FG.[證明]連接DE.∵AD⊥AB，AD⊥AC，∴AD⊥平面ABC.又BC平面ABC，∴AD⊥BC.又AE⊥BC，∴BC⊥平面ADE.∵AF＝AG，D為FG的中點，∴AD⊥FG.同理ED⊥FG.又AD∩ED＝D，∴FG⊥平面ADE.∴BC∥FG.1．線面垂直的性質(zhì)給我們供應(yīng)了證明線線平行的方法．2．證明線線平行的方法：(1)a∥c，b∥c?a∥b.(2)a∥α，aβ，β∩α＝b?a∥b.(3)α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b?a∥b.(4)a⊥α，b⊥α?a∥b.1.如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，點E，F(xiàn)分別在A1D，AC上，且EF⊥A1D，EF⊥AC.求證：EF∥BD1.證明：連接AB1，B1C，BD，B1D1.∵DD1⊥平面ABCD，AC平面ABCD，∴DD1⊥AC.又∵AC⊥BD，且BD∩DD1＝D，∴AC⊥平面BDD1B1.∵BD1平面BDD1B1，∴BD1⊥AC.同理，BD1⊥B1C.∵B1C∩AC＝C，∴BD1⊥平面AB1C.∵EF⊥A1D，A1D∥B1C，∴EF⊥B1C.又EF⊥AC，且AC∩B1C＝C，∴EF⊥平面AB1C.∴EF∥BD1.探究二面面垂直的性質(zhì)的應(yīng)用[典例2]如圖，四棱椎P-ABCD的底面是邊長為a的菱形，∠BCD＝120°，平面PCD⊥平面ABCD，PC＝a，PD＝eq\r(2)a，E為PA的中點，求證：平面EDB⊥平面ABCD.[證明]設(shè)AC∩BD＝O，連接EO，則EO∥PC.∵PC＝CD＝a，PD＝eq\r(2)a，∴PC2＋CD2＝PD2，∴PC⊥CD.∵平面PCD⊥平面ABCD，CD為交線，∴PC⊥平面ABCD，∴EO⊥平面ABCD.又EO平面EDB，故有平面EDB⊥平面ABCD.1．面面垂直的性質(zhì)定理，為線面垂直的判定供應(yīng)了依據(jù)和方法．所以當(dāng)已知兩個平面垂直的時候，常常找交線的垂線這樣就可利用面面垂直證明線面垂直．2．證明線面垂直主要有兩種方法，一種是利用線面垂直的判定定理，另一種是利用面面垂直的性質(zhì)定理．應(yīng)用后者時要留意：(1)兩個平面垂直；(2)直線在一個平面內(nèi)；(3)直線垂直于交線．以上三點缺一不行．2.如圖，AB是⊙O的直徑，C是圓周上不同于A，B的隨意一點，平面PAC⊥平面ABC.(1)推斷BC與平面PAC的位置關(guān)系，并證明；(2)推斷平面PBC與平面PAC的位置關(guān)系．解析：(1)BC⊥平面PAC.證明如下：因為AB是⊙O的直徑，C是圓周上不同于A，B的隨意一點，所以∠ACB＝90°，即BC⊥AC.又因為平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC＝AC，BC平面ABC，所以BC⊥平面PAC.(2)因為BC平面PBC，所以平面PBC⊥平面PAC.探究三平行與垂直關(guān)系的綜合應(yīng)用[典例3]如圖，正方形ABCD所在平面與平面四邊形ABEF所在平面相互垂直，△ABE是等腰直角三角形，AB＝AE，F(xiàn)A＝FE，∠AEF＝45°.(1)求證：EF⊥平面BCE；(2)設(shè)線段CD，AE的中點分別為P，M，求證：PM∥平面BCE.[證明](1)因為平面ABEF⊥平面ABCD，BC平面ABCD，BC⊥AB，平面ABEF∩平面ABCD＝AB，所以BC⊥平面ABEF.所以BC⊥EF.因為△ABE為等腰直角三角形，AB＝AE，所以∠AEB＝45°.又因為∠AEF＝45°，所以∠FEB＝90°，即EF⊥BE.因為BC平面BCE，BE平面BCE，BC∩BE＝B，所以EF⊥平面BCE.(2)如圖，取BE的中點N，連接CN，MN，則MN綊eq\f(1,2)AB∥PC，所以四邊形PMNC為平行四邊形．所以PM∥CN.因為CN平面BCE，PM平面BCE，所以PM∥平面BCE.以空間幾何體為載體，綜合考查空間線線、線面、面面的平行關(guān)系與垂直關(guān)系是考試的熱點，解決這類問題的思維方法是“以退為進”，即面面問題退證為線面問題，再退證為線線問題，充分利用面面、線面、線線相互之間的轉(zhuǎn)化關(guān)系是解決這類問題的關(guān)鍵．3.如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，已知AB⊥側(cè)面BB1C1C，AB＝BB1＝2BC＝2，∠(1)求證：C1B⊥平面A1B1C1(2)P是線段BB1上的動點，當(dāng)平面C1AP⊥平面AA1B1B時，求線段B1P的長．解析：(1)證明：由AB⊥側(cè)面BB1C1C，得AB⊥C1B.由AB＝BB1＝2BC＝2，∠BCC1＝60°，知∠C1BC＝90°，即C1B⊥CB.又CB∩AB＝B，所以C1B⊥平面ABC.由棱柱的性質(zhì)，知平面ABC∥平面A1B1C1，所以C1B⊥平面A1B1C1.(2)因為AB⊥側(cè)面BB1C1C，所以平面ABB1A1⊥過點C1作C1P⊥BB1交BB1于點P，連接AP(圖略)，則C1P⊥平面AA1B1B.又C1P平面C1AP，所以平面C1AP⊥平面AA1B1B.在?BB1C1C中，∠BB1C1＝∠BCC1＝60°，∠C1BC＝∠BC1B1＝90°，所以B1P＝eq\f(1,2)B1C1＝eq\f(1,2)BC＝eq\f(1,2).平行與垂直的綜合應(yīng)用[典例](本題滿分12分)如圖，在△ABC中，AC＝BC＝eq\f(\r(2),2)AB，四邊形ABED是邊長為a的正方形，平面ABED⊥平面ABC，若G，F(xiàn)分別是EC，BD的中點．求證：(1)GF∥平面ABC；(2)平面EBC⊥平面ACD.[規(guī)范解答](1)如圖，取BE的中點H，連接HF，GH.因為G，F(xiàn)分別是EC和BD的中點，所以HG∥BC，HF∥DE.①2分又因為四邊形ADEB為正方形，所以DE∥AB，從而HF∥AB.所以HF∥平面ABC，HG∥平面ABC.又HF∩HG＝H，HF，HG平面HGF，所以平面HGF∥平面ABC.所以GF∥平面ABC.6分(2)因為四邊形ADEB為正方形，所以EB⊥AB.又因為平面ABED⊥平面ABC，所以BE⊥平面ABC，所以BE⊥AC.又因為CA2＋CB2＝AB2，所以AC⊥BC.又BE∩BC＝B，所以AC⊥平面BCE.②從而平面EBC⊥平面ACD.12分[規(guī)范與警示](1)解決本題的2個關(guān)鍵點：①處證明線線平行時，找中點，作協(xié)助線得平行關(guān)系，是解題的關(guān)鍵．②處證明垂直時，往往是通過對已知條件得出的結(jié)果進行推斷，故立體幾何的有關(guān)證明可采納作圖、計算、證明的混合模式．(2)解決該類問題一般思路a．線面垂直與平行的相互轉(zhuǎn)化：空間中直線與直線垂直、直線與平面平行、直線與直線平行可以相互轉(zhuǎn)化，每一種垂直與平行的判定都是從某種垂直與平行起先轉(zhuǎn)化為另一種垂直與平行，最終達到目的的．b．轉(zhuǎn)化關(guān)系：線線垂直eq\o(,\s\up7(判定定理),\s\do5(定義))線面垂直eq\o(,\s\up7(性質(zhì)定理),\s\do5(判定定理))線線平行．(3)在解決平行和垂直的綜合問題時，肯定要把線面垂直、面面垂直的性質(zhì)和判定方法駕馭精確，應(yīng)用時所具備的條件要排列清晰，明確題目中的關(guān)鍵點，為后面的計算或解答明確目標(biāo)．[隨堂訓(xùn)練]對應(yīng)學(xué)生用書第23頁1．已知△ABC所在的平面為α，直線l⊥AB，l⊥AC，直線m⊥BC，m⊥AC，則直線l，m的位置關(guān)系是()A．相交 B．異面C．平行 D．不確定解析：因為l⊥AB，l⊥AC，ABα，ACα且AB∩AC＝A，所以l⊥α，同理可證m⊥α，所以l∥m.答案：C2．在下列四個正方體中，滿意AB⊥CD的是()解析：設(shè)平面CBD內(nèi)的另一個頂點為E，則CD⊥AE，CD⊥BE，所以CD⊥平面ABE，所以CD⊥AB.答案：A3．下列幾種說法正確的有________．(只填序號)①平面