2024-2025學年高中數(shù)學第一章立體幾何初步1.6.2垂直關系的性質學案含解析北師大版必修2

PAGE6.2垂直關系的性質考綱定位重難突破1.理解直線與平面垂直和平面與平面垂直的性質定理，并能用文字、符號和圖形語言精確地描述定理．2.能夠敏捷地運用兩個垂直性質定理證明相關問題．3.理解并駕馭“平行”與“垂直”的相互轉化，以及垂直關系之間的相互轉化.重點：線面垂直和面面垂直性質定理的應用．難點：常與線面、面面垂直的判定定理結合命題，考查多個定理應用的相互轉化．疑點：要證明的結論簡單被當成已知運用.授課提示：對應學生用書第21頁[自主梳理]一、直線與平面垂直的性質定理文字語言圖形表示符號語言假如兩條直線同垂直于一個平面，那么這兩條直線平行eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a⊥α,b⊥α))?a∥b二、平面與平面垂直的性質定理文字語言圖形表示符號語言假如兩個平面相互垂直，那么在一個平面內垂直于它們交線的直線垂直于另一個平面eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(α⊥β,α∩β＝l,aα,a⊥l,))?a⊥β[雙基自測]1．假如一條直線平行于一個平面，那么這條直線和這個平面的垂線()A．垂直B．相交C．平行D．異面解析：設m∥α，n⊥α，則α內肯定有一條直線l，使得m∥l，且有l(wèi)⊥n，所以m⊥n.答案：A2．在空間中，下列結論正確的是()①平行于同一條直線的兩條直線相互平行；②垂直于同一條直線的兩條直線相互平行；③平行于同一個平面的兩條直線相互平行；④垂直于同一個平面的兩條直線相互平行A．②B．①④C．①D．①②③④解析：由公理4知①對；垂直于同一條直線的兩條直線可以異面、相交、平行；平行于同一個平面的兩條直線可能異面、相交、平行；由線面垂直的性質知④正確．答案：B3．兩個平面相互垂直，一個平面內的一條直線與另一個平面()A．垂直B．平行C．平行或相交D．平行或相交或直線在另一個平面內解析：若這條直線平行于交線則它平行于另一個平面；若這條直線與交線相交則它與另一個平面也相交；若這條直線就是交線則它在另一個平面內．答案：D4．在Rt△ABC中，D是斜邊AB的中點，AC＝6cm，BC＝8cm，EC⊥平面ABC，EC＝12cm，則ED＝______cm.解析：連接CD，則CD＝5，又EC⊥平面ABC，所以EC⊥CD，所以ED＝eq\r(EC2＋CD2)＝eq\r(122＋52)＝13.答案：135．如圖所示，PO⊥平面ABC，BO⊥AC，在圖中與AC垂直的直線有________條．解析：連接PD(圖略)，∵PO⊥平面ABC，AC平面ABC，∴PO⊥AC.又AC⊥BO，PO∩BO＝O，∴AC⊥平面PBD，∴平面PBD內的4條直線PB，PD，PO，BD都與AC垂直，∴圖中共有4條直線與AC垂直．答案：4授課提示：對應學生用書第21頁探究一線面垂直的性質的應用[典例1]如圖，已知AD⊥AB，AD⊥AC，AE⊥BC交BC于E，D是FG的中點，AF＝AG，EF＝EG.求證：BC∥FG.[證明]連接DE.∵AD⊥AB，AD⊥AC，∴AD⊥平面ABC.又BC平面ABC，∴AD⊥BC.又AE⊥BC，∴BC⊥平面ADE.∵AF＝AG，D為FG的中點，∴AD⊥FG.同理ED⊥FG.又AD∩ED＝D，∴FG⊥平面ADE.∴BC∥FG.1．線面垂直的性質給我們供應了證明線線平行的方法．2．證明線線平行的方法：(1)a∥c，b∥c?a∥b.(2)a∥α，aβ，β∩α＝b?a∥b.(3)α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b?a∥b.(4)a⊥α，b⊥α?a∥b.1.如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，點E，F(xiàn)分別在A1D，AC上，且EF⊥A1D，EF⊥AC.求證：EF∥BD1.證明：連接AB1，B1C，BD，B1D1.∵DD1⊥平面ABCD，AC平面ABCD，∴DD1⊥AC.又∵AC⊥BD，且BD∩DD1＝D，∴AC⊥平面BDD1B1.∵BD1平面BDD1B1，∴BD1⊥AC.同理，BD1⊥B1C.∵B1C∩AC＝C，∴BD1⊥平面AB1C.∵EF⊥A1D，A1D∥B1C，∴EF⊥B1C.又EF⊥AC，且AC∩B1C＝C，∴EF⊥平面AB1C.∴EF∥BD1.探究二面面垂直的性質的應用[典例2]如圖，四棱椎P-ABCD的底面是邊長為a的菱形，∠BCD＝120°，平面PCD⊥平面ABCD，PC＝a，PD＝eq\r(2)a，E為PA的中點，求證：平面EDB⊥平面ABCD.[證明]設AC∩BD＝O，連接EO，則EO∥PC.∵PC＝CD＝a，PD＝eq\r(2)a，∴PC2＋CD2＝PD2，∴PC⊥CD.∵平面PCD⊥平面ABCD，CD為交線，∴PC⊥平面ABCD，∴EO⊥平面ABCD.又EO平面EDB，故有平面EDB⊥平面ABCD.1．面面垂直的性質定理，為線面垂直的判定供應了依據(jù)和方法．所以當已知兩個平面垂直的時候，常常找交線的垂線這樣就可利用面面垂直證明線面垂直．2．證明線面垂直主要有兩種方法，一種是利用線面垂直的判定定理，另一種是利用面面垂直的性質定理．應用后者時要留意：(1)兩個平面垂直；(2)直線在一個平面內；(3)直線垂直于交線．以上三點缺一不行．2.如圖，AB是⊙O的直徑，C是圓周上不同于A，B的隨意一點，平面PAC⊥平面ABC.(1)推斷BC與平面PAC的位置關系，并證明；(2)推斷平面PBC與平面PAC的位置關系．解析：(1)BC⊥平面PAC.證明如下：因為AB是⊙O的直徑，C是圓周上不同于A，B的隨意一點，所以∠ACB＝90°，即BC⊥AC.又因為平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC＝AC，BC平面ABC，所以BC⊥平面PAC.(2)因為BC平面PBC，所以平面PBC⊥平面PAC.探究三平行與垂直關系的綜合應用[典例3]如圖，正方形ABCD所在平面與平面四邊形ABEF所在平面相互垂直，△ABE是等腰直角三角形，AB＝AE，F(xiàn)A＝FE，∠AEF＝45°.(1)求證：EF⊥平面BCE；(2)設線段CD，AE的中點分別為P，M，求證：PM∥平面BCE.[證明](1)因為平面ABEF⊥平面ABCD，BC平面ABCD，BC⊥AB，平面ABEF∩平面ABCD＝AB，所以BC⊥平面ABEF.所以BC⊥EF.因為△ABE為等腰直角三角形，AB＝AE，所以∠AEB＝45°.又因為∠AEF＝45°，所以∠FEB＝90°，即EF⊥BE.因為BC平面BCE，BE平面BCE，BC∩BE＝B，所以EF⊥平面BCE.(2)如圖，取BE的中點N，連接CN，MN，則MN綊eq\f(1,2)AB∥PC，所以四邊形PMNC為平行四邊形．所以PM∥CN.因為CN平面BCE，PM平面BCE，所以PM∥平面BCE.以空間幾何體為載體，綜合考查空間線線、線面、面面的平行關系與垂直關系是考試的熱點，解決這類問題的思維方法是“以退為進”，即面面問題退證為線面問題，再退證為線線問題，充分利用面面、線面、線線相互之間的轉化關系是解決這類問題的關鍵．3.如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，已知AB⊥側面BB1C1C，AB＝BB1＝2BC＝2，∠(1)求證：C1B⊥平面A1B1C1(2)P是線段BB1上的動點，當平面C1AP⊥平面AA1B1B時，求線段B1P的長．解析：(1)證明：由AB⊥側面BB1C1C，得AB⊥C1B.由AB＝BB1＝2BC＝2，∠BCC1＝60°，知∠C1BC＝90°，即C1B⊥CB.又CB∩AB＝B，所以C1B⊥平面ABC.由棱柱的性質，知平面ABC∥平面A1B1C1，所以C1B⊥平面A1B1C1.(2)因為AB⊥側面BB1C1C，所以平面ABB1A1⊥過點C1作C1P⊥BB1交BB1于點P，連接AP(圖略)，則C1P⊥平面AA1B1B.又C1P平面C1AP，所以平面C1AP⊥平面AA1B1B.在?BB1C1C中，∠BB1C1＝∠BCC1＝60°，∠C1BC＝∠BC1B1＝90°，所以B1P＝eq\f(1,2)B1C1＝eq\f(1,2)BC＝eq\f(1,2).平行與垂直的綜合應用[典例](本題滿分12分)如圖，在△ABC中，AC＝BC＝eq\f(\r(2),2)AB，四邊形ABED是邊長為a的正方形，平面ABED⊥平面ABC，若G，F(xiàn)分別是EC，BD的中點．求證：(1)GF∥平面ABC；(2)平面EBC⊥平面ACD.[規(guī)范解答](1)如圖，取BE的中點H，連接HF，GH.因為G，F(xiàn)分別是EC和BD的中點，所以HG∥BC，HF∥DE.①2分又因為四邊形ADEB為正方形，所以DE∥AB，從而HF∥AB.所以HF∥平面ABC，HG∥平面ABC.又HF∩HG＝H，HF，HG平面HGF，所以平面HGF∥平面ABC.所以GF∥平面ABC.6分(2)因為四邊形ADEB為正方形，所以EB⊥AB.又因為平面ABED⊥平面ABC，所以BE⊥平面ABC，所以BE⊥AC.又因為CA2＋CB2＝AB2，所以AC⊥BC.又BE∩BC＝B，所以AC⊥平面BCE.②從而平面EBC⊥平面ACD.12分[規(guī)范與警示](1)解決本題的2個關鍵點：①處證明線線平行時，找中點，作協(xié)助線得平行關系，是解題的關鍵．②處證明垂直時，往往是通過對已知條件得出的結果進行推斷，故立體幾何的有關證明可采納作圖、計算、證明的混合模式．(2)解決該類問題一般思路a．線面垂直與平行的相互轉化：空間中直線與直線垂直、直線與平面平行、直線與直線平行可以相互轉化，每一種垂直與平行的判定都是從某種垂直與平行起先轉化為另一種垂直與平行，最終達到目的的．b．轉化關系：線線垂直eq\o(,\s\up7(判定定理),\s\do5(定義))線面垂直eq\o(,\s\up7(性質定理),\s\do5(判定定理))線線平行．(3)在解決平行和垂直的綜合問題時，肯定要把線面垂直、面面垂直的性質和判定方法駕馭精確，應用時所具備的條件要排列清晰，明確題目中的關鍵點，為后面的計算或解答明確目標．[隨堂訓練]對應學生用書第23頁1．已知△ABC所在的平面為α，直線l⊥AB，l⊥AC，直線m⊥BC，m⊥AC，則直線l，m的位置關系是()A．相交 B．異面C．平行 D．不確定解析：因為l⊥AB，l⊥AC，ABα，ACα且AB∩AC＝A，所以l⊥α，同理可證m⊥α，所以l∥m.答案：C2．在下列四個正方體中，滿意AB⊥CD的是()解析：設平面CBD內的另一個頂點為E，則CD⊥AE，CD⊥BE，所以CD⊥平面ABE，所以CD⊥AB.答案：A3．下列幾種說法正確的有________．(只填序號)①平面