2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第1章數(shù)列4數(shù)列在日常經(jīng)濟(jì)生活中的應(yīng)用講義教案北師大版必修5

PAGE10-§4數(shù)列在日常經(jīng)濟(jì)生活中的應(yīng)用學(xué)習(xí)目標(biāo)核心素養(yǎng)1．駕馭單利、復(fù)利的概念．(重點(diǎn))2．駕馭零存整取、定期自動(dòng)轉(zhuǎn)存、分期付款三種模型及應(yīng)用．(重點(diǎn))3．駕馭數(shù)列在日常經(jīng)濟(jì)生活中的應(yīng)用．(難點(diǎn))1．通過(guò)數(shù)列在日常生活中的應(yīng)用，提升數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)．2．通過(guò)數(shù)列在經(jīng)濟(jì)生活中的應(yīng)用，提升數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)．?dāng)?shù)列在日常經(jīng)濟(jì)生活中的應(yīng)用閱讀教材P32～P34例3以上部分，完成下列問(wèn)題：(1)三種常見(jiàn)的應(yīng)用模型①零存整取：每月定時(shí)收入一筆相同數(shù)目的現(xiàn)金，這是零存；到約定日期，可以取出全部本利和，這是整取，規(guī)定每次存入的錢(qián)不計(jì)復(fù)利(暫不考慮利息稅)．②定期自動(dòng)轉(zhuǎn)存：銀行有另一種儲(chǔ)蓄業(yè)務(wù)為定期存款自動(dòng)轉(zhuǎn)存．例如，儲(chǔ)戶(hù)某日存入一筆存期為1年的存款，1年后，假如儲(chǔ)戶(hù)不取出本利和，則銀行自動(dòng)辦理轉(zhuǎn)存業(yè)務(wù)，第2年的本金就是第1年的本利和．③分期付款：分期付款是購(gòu)物的一種付款方式．即將所購(gòu)物的款數(shù)在規(guī)定的期限內(nèi)根據(jù)肯定的要求，分期付清．(2)常用公式①?gòu)?fù)利公式：按復(fù)利計(jì)算的一種儲(chǔ)蓄，本金為P元，每期利率為r，存期為n，則本利和S＝P(1＋r)n．②產(chǎn)值模型：原來(lái)產(chǎn)值的基礎(chǔ)數(shù)為N，平均增長(zhǎng)率為r，對(duì)于時(shí)間x的總產(chǎn)值y＝N(1＋r)x．③單利公式：利息按單利計(jì)算，本金為P元，每期利率為r，存期為n，則本利和為S＝P(1＋nr)．思索：(1)數(shù)學(xué)中常見(jiàn)的定期存款利率計(jì)算方法有哪些？[提示]單利和復(fù)利兩種方法．(2)建立數(shù)學(xué)模型的關(guān)鍵是什么？[提示]正確選取變量，并精確建立變量之間的數(shù)量關(guān)系．1．現(xiàn)存入銀行10000元錢(qián)，年利率是3．60%，那么根據(jù)復(fù)利，第5年末的本利和是()A．10000×1．0363 B．10000×1．0364C．10000×1．0365 D．10000×1．0366C[由復(fù)利公式得S＝10000×(1＋3．60%)5＝10000×1．0365．]2．某產(chǎn)品安排每年成本降低q%，若三年后成本為a元，則現(xiàn)在的成本是()A．a(chǎn)(1＋q%)3 B．a(chǎn)(1－q%)3C．eq\f(a,1－q%3) D．eq\f(a,1＋q%3)C[設(shè)現(xiàn)在的成本為x元，則有x(1－q%)3＝a．∴x＝eq\f(a,1－q%3)．故選C．]3．過(guò)圓x2＋y2＝10x內(nèi)一點(diǎn)(5,3)有k條弦的長(zhǎng)度組成等差數(shù)列，且最短弦長(zhǎng)為首項(xiàng)a1，最長(zhǎng)弦長(zhǎng)為末項(xiàng)ak，若公差d∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(1,2)))，則k的取值不行能是()A．4 B．5C．6 D．7A[x2＋y2＝10x化簡(jiǎn)得(x－5)2＋y2＝25過(guò)點(diǎn)(5,3)的最短弦長(zhǎng)為8，最長(zhǎng)弦長(zhǎng)為10，則由題意d＝eq\f(10－8,k－1)＝eq\f(2,k－1)∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(1,2)))，5≤k≤7．]4．阿明存入5萬(wàn)元定期存款，存期1年，年利率為2．25%，那么10年后共得本息和為_(kāi)_______萬(wàn)元．(精確到0．001)6．246[10年后的本息：a10＝5×(1＋0．0225)10≈6．246(萬(wàn)元)．]等差數(shù)列模型【例1】某單位用分期付款的方式為職工購(gòu)買(mǎi)40套住房，共需1150萬(wàn)元，購(gòu)買(mǎi)當(dāng)天先付150萬(wàn)元，以后每月這一天都交付50萬(wàn)元，并加付欠款利息，月利率為1%，若交付150萬(wàn)元后的第一個(gè)月起先算分期付款的第一個(gè)月，問(wèn)分期付款的第10個(gè)月應(yīng)付多少錢(qián)？全部按期付清后，買(mǎi)這40套住房實(shí)際花了多少錢(qián)？[解]因購(gòu)房時(shí)付150萬(wàn)元，則欠款1000萬(wàn)元，依題意分20次付款，則每次付款的數(shù)額順次構(gòu)成數(shù)列{an}．則a1＝50＋1000×1%＝60，a2＝50＋(1000－50)×1%＝59．5，a3＝50＋(1000－50×2)×1%＝59，a4＝50＋(1000－50×3)×1%＝58．5，…所以an＝50＋[1000－50(n－1)]×1%＝60－eq\f(1,2)(n－1)(1≤n≤20，n∈N＋)．所以{an}是以60為首項(xiàng)，－eq\f(1,2)為公差的等差數(shù)列．所以a10＝60－9×eq\f(1,2)＝55．5．所以第10個(gè)月應(yīng)付55．5(萬(wàn)元)．a(chǎn)20＝60－19×eq\f(1,2)＝50．5．所以S20＝eq\f(1,2)×(a1＋a20)×20＝10×(60＋50．5)＝1105．所以實(shí)際共付1105＋150＝1255(萬(wàn)元)．1．按單利計(jì)算公式單利的計(jì)算僅在原有本金上計(jì)算利息，對(duì)本金所產(chǎn)生的利息不再計(jì)算利息，其公式為利息＝本金×利率×存期．2．按單利分期付款問(wèn)題的三個(gè)關(guān)鍵問(wèn)題(1)規(guī)定多少時(shí)間內(nèi)付清全部款額．(2)在規(guī)定的時(shí)間內(nèi)分幾期付款，并且規(guī)定每期所付款額相同．(3)規(guī)定多長(zhǎng)時(shí)間段結(jié)算一次利息，及在規(guī)定時(shí)間段內(nèi)利息的計(jì)算公式．eq\o([跟進(jìn)訓(xùn)練])1．某人在一年12個(gè)月中，每月10日向銀行存入1000元，假設(shè)銀行的月利率為5‰(按單利計(jì)算)，則到其次年的元月10日，此項(xiàng)存款一年的利息之和是()A．5(1＋2＋3＋…＋12)元B．5(1＋2＋3＋…＋11)元C．1000[1＋5‰＋(5‰)2＋…＋(5‰)11]元D．1000[1＋5‰＋(5‰)2＋…＋(5‰)12]元A[存款利息是以5為首項(xiàng)，5為公差的等差數(shù)列，12個(gè)月的存款利息之和為5(1＋2＋3＋…＋12)元，故選A．]等比數(shù)列模型【例2】某家庭準(zhǔn)備以一年定期的方式存款，安排從2024年起，每年年初到銀行新存入a元，年利率p保持不變，并按復(fù)利計(jì)算，到2031年年初將全部存款和利息全部取出，一共可以取回多少錢(qián)？[解]設(shè)從2024年年初到2031年年初每年存入a元的本利和組成數(shù)列{an}(1≤n≤10)．則a1＝a(1＋p)10，a2＝a(1＋p)9，…，a10＝a(1＋p)，故數(shù)列{an}(1≤n≤10)是以a1＝a(1＋p)10為首項(xiàng)，q＝eq\f(1,1＋p)為公比的等比數(shù)列．所以2031年初這個(gè)家庭應(yīng)取出的錢(qián)數(shù)為S10＝eq\f(a1＋p10\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－\f(1,1＋p10))),1－\f(1,1＋p))＝eq\f(a,p)[(1＋p)11－(1＋p)](元)．1．復(fù)利問(wèn)題的計(jì)算方法復(fù)利問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列問(wèn)題，第n年的本息＝本金×(1＋利率)n．2．解決等比數(shù)列應(yīng)用題的關(guān)鍵(1)細(xì)致審題抓特點(diǎn)，細(xì)致視察找規(guī)律．(2)等比數(shù)列的特點(diǎn)是增加或削減的百分?jǐn)?shù)相同．(3)分析數(shù)列的規(guī)律，一般需先寫(xiě)出數(shù)列的一些項(xiàng)加以考查．eq\o([跟進(jìn)訓(xùn)練])2．某住宅小區(qū)安排植樹(shù)不少于100棵，若第一天植2棵，以后每天植樹(shù)的棵數(shù)是前一天的2倍，則須要的最少天數(shù)n(n∈N＋)等于________．6[每天植樹(shù)的棵數(shù)構(gòu)成以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，其前n項(xiàng)和Sn＝eq\f(21－2n,1－2)＝2n＋1－2．由2n＋1－2≥100，得2n＋1≥102．由于26＝64,27＝128，則n＋1≥7，即n≥6．]分期付款問(wèn)題[探究問(wèn)題]1．復(fù)利與單利的區(qū)分是什么？[提示](1)復(fù)利在其次次以后計(jì)算時(shí)，將上一次得到的利息也作為了本金，而單利每一次的計(jì)算都是將起先的本金作為本金計(jì)息．(2)單利和復(fù)利分別以等差數(shù)列和等比數(shù)列作為模型，即單利的實(shí)質(zhì)是等差數(shù)列，復(fù)利的實(shí)質(zhì)是等比數(shù)列．2．小明存入1萬(wàn)元定期存款，存期5年，年利率為2%，若按單利計(jì)算，5年后共獲得本息和為多少元？若按復(fù)利計(jì)算，5年后共獲得本息和多少元？[提示]按單利計(jì)算：5年后共獲(1＋5×2%)＝1．1萬(wàn)元；按復(fù)利計(jì)算：5年后共獲(1＋2%)5＝1．104萬(wàn)元．3．在實(shí)際問(wèn)題中，涉及一組與依次有關(guān)的數(shù)的問(wèn)題時(shí)，應(yīng)考慮用什么方法解決？解決此問(wèn)題的關(guān)鍵是什么？[提示]在實(shí)際問(wèn)題中，若涉及一組與依次有關(guān)的數(shù)的問(wèn)題，可考慮用數(shù)列方法解決，其關(guān)鍵是①弄清晰是什么數(shù)列；②分清首項(xiàng)、項(xiàng)數(shù)；③是求和還是求項(xiàng)等問(wèn)題．【例3】某企業(yè)進(jìn)行技術(shù)改造，有兩種方案：甲方案，一次性貸款10萬(wàn)元，第一年便可獲利1萬(wàn)元，以后每年比前一年增加30%的利潤(rùn)；乙方案，每年貸款1萬(wàn)元，第一年便可獲利1萬(wàn)元，以后每年比前年多獲利5千元．兩種方案，運(yùn)用期限都是十年，到期一次性歸還本息，若銀行貸款利息按年息10%的復(fù)利計(jì)算，比較兩種方案，哪個(gè)獲利更多？(計(jì)算數(shù)據(jù)精確到千元，1．110≈2．594,1．310≈13．786)思路探究：分清兩種方案分別屬于什么數(shù)列模型，然后分別建立不同數(shù)列模型解決．[解]方案甲：十年獲利中，每年獲利數(shù)構(gòu)成等比數(shù)列，首項(xiàng)為1，公比為1＋30%，前10項(xiàng)和為S10＝1＋(1＋30%)＋(1＋30%)2＋…＋(1＋30%)9，所以S10＝eq\f(1.310－1,1.3－1)≈42．62(萬(wàn)元)．又貸款本息總數(shù)為10(1＋10%)10＝10×1．110≈25．94(萬(wàn)元)，甲方案凈獲利42．62－25．94≈16．7(萬(wàn)元)．乙方案獲利構(gòu)成等差數(shù)列，首項(xiàng)為1，公差為eq\f(1,2)，前10項(xiàng)和為T(mén)10＝1＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,2)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋2×\f(1,2)))＋…＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋9×\f(1,2)))＝eq\f(10\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(11,2)＋1)),2)＝32．50(萬(wàn)元)，而貸款本息總數(shù)為1．1×[1＋(1＋10%)＋…＋(1＋10%)9]＝1．1×eq\f(1.110－1,1.1－1)≈17．53(萬(wàn)元)，乙方案凈獲利32．50－17．53≈15．0(萬(wàn)元)．比較兩方案可得甲方案獲利較多．1．(變條件)在例3中，若該企業(yè)還有兩種技術(shù)改造的方案，丙方案：一次性貸款40萬(wàn)元，第一年獲利是貸款額的10%，以后每年比上一年增加25%的利潤(rùn)，丁方案：一次性貸款20萬(wàn)元，第一年獲利是貸款額的15%，以后每年都比上一年增加利潤(rùn)1．5萬(wàn)元，兩種方案運(yùn)用期限都是10年，到期一次性還本付息，兩種方案均按年息2%的復(fù)利計(jì)算．(參考數(shù)據(jù)：1．259≈7．45,1．2510≈9．3,1．029≈1．20,1．0210≈1．22)，試比較兩種方案，哪種方案凈獲利更多？[解]方案丙：由題意知，每年的利潤(rùn)an成等比數(shù)列，且a1＝4，公比q＝1＋25%＝1．25，n＝10，收入S丙＝eq\f(41－1.2510,1－1.25)＝eq\f(49.3－1,0.25)＝132．8(萬(wàn)元)．凈獲利W丙＝132．8－40(1＋2%)10＝132．8－48．8＝84(萬(wàn)元)，方案?。河深}意，每年的利潤(rùn)記為數(shù)列{bn}，它是等差數(shù)列，且b1＝3，公差為1．5，n＝10，收入S丁＝10×3＋eq\f(1,2)×10×9×1．5＝30＋67．5＝97．5(萬(wàn)元)．凈獲利：W?。?7．5－20(1＋2%)10＝97．5－24．4＝73．1(萬(wàn)元)所以方案丙凈獲利更多．2．(變結(jié)論)在例3中，設(shè)甲方案可貸款n年，按此方案技術(shù)改造第n年的累計(jì)凈獲利能夠超過(guò)100萬(wàn)元，求n的最小值．(參考數(shù)據(jù)：1．314≈39．374,1．315≈51．186,1．114≈3．798,1．115≈4．178)[解]設(shè)根據(jù)甲方案進(jìn)行技術(shù)改造，n年的累計(jì)凈獲利超過(guò)100萬(wàn)元，由題意知，每年獲利數(shù)構(gòu)成等比數(shù)列，首項(xiàng)為1，公比為1＋30%，前n項(xiàng)和為Sn＝1＋(1＋30%)＋(1＋30%)2＋…＋(1＋30%)n－1＝eq\f(1.3n－1,1.3－1)＝eq\f(10,3)(1．3n－1)，又貸款本息總數(shù)為10(1＋10%)n＝10×1．1n，則甲方案的凈獲利為eq\f(10,3)(1．3n－1)－10×1．1n，由題意知eq\f(10,3)(1．3n－1)－10×1．1n＞100，閱歷證，當(dāng)n＝14時(shí)，eq\f(10,3)(1．314－1)－10×1．114＝eq\f(10,3)(39．374－1)－10×3．798＝127．913－37．98＝89．933＜100，當(dāng)n＝15時(shí)，eq\f(10,3)(1．315－1)－10×1．115＝eq\f(10,3)(51．186－1)－10×4．178＝167．287－41．78＝125．507＞100，所以n的最小值為15．1．等差、等比數(shù)列的應(yīng)用題常見(jiàn)問(wèn)題產(chǎn)量增減、價(jià)格的升降、細(xì)胞繁殖、貸款利率、增長(zhǎng)率等方面的問(wèn)題，解決方法是建立數(shù)列模型，應(yīng)用數(shù)列學(xué)問(wèn)解決問(wèn)題．2．將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)列問(wèn)題時(shí)應(yīng)留意(1)分清是等差數(shù)列還是等比數(shù)列．(2)分清是求an，還是求Sn，特殊要精確確定項(xiàng)數(shù)n．(3)遞推關(guān)系的發(fā)覺(jué)是數(shù)列建模的重要方式．1．等差、等比數(shù)列的應(yīng)用題常見(jiàn)于產(chǎn)量增減、價(jià)格升降、細(xì)胞繁殖、貸款利率、增長(zhǎng)率等方面的問(wèn)題，解決方案是建立數(shù)列模型，應(yīng)用數(shù)列學(xué)問(wèn)解決問(wèn)題．2．銀行存款中的單利是等差數(shù)列模型，本利和公式為S＝P(1＋nr)；復(fù)利是等比數(shù)列模型，本利和公式為S＝P(1＋r)n．(其中P為本金，r為利率，n為期數(shù))3．等額本息分期付款是等比數(shù)列求和問(wèn)題；等額本金分期付款是等差數(shù)列求和問(wèn)題．1．推斷正誤(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)在銀行取款時(shí)，取到的本息是指存款得到的利息． ()(2)定期自動(dòng)轉(zhuǎn)存模型是等差數(shù)列． ()(3)在分期付款中，各期所付款及各期所付款所生成的利息之和等于商品的售價(jià)． ()[答案](1)×(2)×(3)×[提示](1)不正確，本息指本金與利息的和；(2)不正確，定期自動(dòng)轉(zhuǎn)存的模型不是等差數(shù)列；(3)不正確，分期付款的本質(zhì)是貸款按復(fù)利整存整取，還款按復(fù)利零存整取到貸款全部還清時(shí)，貸款本利合計(jì)＝還款本利合計(jì)．2．聞名物理學(xué)家李政道說(shuō)：“科學(xué)和藝術(shù)是不行分割的”．音樂(lè)中運(yùn)用的樂(lè)音在高度上不是隨意定的，它們是根據(jù)嚴(yán)格的數(shù)學(xué)方法確定的．我國(guó)明代的數(shù)學(xué)家、音樂(lè)理論家朱載堉創(chuàng)立了十二平均律是第一個(gè)利用數(shù)學(xué)使音律公式化的人．十二平均律的生律法是精確規(guī)定八度的比例，把八度分成13個(gè)半音，使相鄰兩個(gè)半音之間的頻率比是常數(shù)，如下表所示，其中a1，a2，…，a13表示這些半音的頻率，它們滿(mǎn)意log2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(ai＋1,ai)))eq\s\up12(12)＝1eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(i＝1，2，…，12)).若某一半音與D#的頻率之比為eq\r(3,2)，則該半音為()頻率a1a2a3a4a5a6a7a8a9a10a11a12a13半音CC#DD#EFF#GG#AA#BC(八度)A．F#B．GC．G#D．AB[依題意可知an>0eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n＝1，2，…，13)).由于a1，a2，…，a13滿(mǎn)意log2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(ai＋1,ai)))eq\s\up24(12)＝1eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(i＝1，2，…，12))，則eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(ai＋1,ai)))eq\s\up12(12)＝2，∴eq\f(ai＋1,ai)＝2eq\s\up12(12)，所以數(shù)列a1，a2，…，a13為等比數(shù)列，公比q＝2eq\s\up12(eq\f(1,12))，D#對(duì)應(yīng)的頻率為a4，題目所求半音與D#的頻率之比為eq\r(3,2)＝2eq\s\up12(eq\f(1,3))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2eq\s\up24(eq\f(1,12))))eq\s\up24(4)，所以所求半音對(duì)應(yīng)的頻率為a4·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al