三次函數圖像與性質【10類題型】-2025年高考數學復習突破（新高考專用）

專題2-2三次函數圖像與性質

近5年考情(2020-2024)

考題統計考點分析考點要求

考查頻率：三次函數圖像與性質的考查在近五年高考

年甲卷(文),

2024中保持一定頻率，尤其在新課標全國卷中較為常見。

第題分

16,5考點內容：主要考查三次函數的圖像特征(如中心對(1)理解三次函數的定義

稱性、開口方向)、單調性(通過導數分析)、極值域、值域和圖像特點。

2024年新高考I點(一階導數為零的點)以及圖像與性質的綜合應用。(2)掌握三次函數的導數

卷，第10題,6分題型分布：常以選擇題、填空題或解答題的形式出現，與單調性關系。

涉及三次函數的零點、最值、極值、單調區(qū)間等具體(3)判斷三次函數的極值

問題。點及其個數。

2024年新高考II難度變化：隨著高考改革的深入，對三次函數圖像與(4)探究三次函數圖像與x

卷，第11題,6分性質的考查更加注重學生的綜合分析能力和解題技軸的交點個數。

巧，難度可能略有提升。(5)熟練運用三次函數的

備考建議：考生應熟練掌握三次函數的基本性質，靈對稱中心性質。

2022年新高考I活運用導數工具進行分析，同時注重題目類型的多樣

卷，第10題,5分性和綜合應用能力的培養(yǎng)。

模塊一*熱點題型解讀(目錄)

【題型1】求三次函數的解析式

【題型2】三次函數的單調性問題

【題型3】三次函數的圖像

【題型4】三次函數的最值、極值問題

【題型5】三次函數的零點問題

【題型6】三次函數圖像，單調性，極值，最值綜合問題

【題型7】三次函數對稱中心

【題型8】三次函數的切線問題

【題型9】三次函數根與系數的關系

模塊二核心題型?舉一反三(講與練)

【題型1］求三次函數的解析式

「核雇技狂7

(1)一般式：/(x)=ax3+/zx2+cr+J(〃W0)

(2)交點式：/(x)=tz(x-x1)(x-x2)(x-x3)(〃右0)

1.若三次函數〃九)滿足/(O)=OJ(l)=lJ'(O)=3,/'(l)=9,則〃3)=()

A.38B.171C.460D.965

【題型2】三次函數的單調性問題

J核心?噓7

三次函數是高中數學中的一個重要內容，其考點廣泛且深入，主要涉及函數的性質、圖像、最值、

零點以及與其他函數的綜合應用等方面。以下是對三次函數常見考點的詳細分析：

i.三次函數的定義與形式

?定義：-i.'cJ(x)=ax3+bx2+cx+d(其中。/=0)的函數稱為三次函數。

?形式：注意系數a力,c,d的作用，特別是a的正負決定了函數的開口方向(a>0開口向上，

a<0開口向下)。

2.函數的單調性

?導數應用：利用導數/(x)=3ax2+2bx+c判斷函數的單調性。解不等式/(x)>0和/(x)<0得到函

數的單調遞增和遞減區(qū)間。

?極值點：導數等于0的點(/(彳)=0)可能是極值點，需結合單調性判斷是否為極大值或極小

值點。

2024?廣東茂名市?一模

2.(多選)若/(x)=—gx3+；Y+2x+l是區(qū)間(機―1,加+4)上的單調函數，則實數加的值可

以是()

A.-4B.-3C.3D.4

【鞏固練習】三次函數/（%）=g3—九在（_吟+8）上是減函數，則加的取值范圍是（）

A.m<0B.m<1C.m<0D.m￡1

【題型3】三次函數的圖像

當a>0時，x趨近于+oo,則/㈤趨近于+co；x趨近于-oo,則J2趨近于-8。

當。<0時，x趨近于+co,則#尤）趨近于-oo；x趨近于-co,則趨近于+co。

又因為加。是連續(xù)的函數，且xGR,所以力的的值域為R。

由于三次函數的值域為R,則它的函數圖像與x軸至少有一個交點，換句話說三次方程至少有一個

根。

3.設4H0,若。為函數〃x）=a（x-a）2（x-b）的極大值點，則（）

A.a<bB.a>bC.abva1D.ab>a2

4.（2024?全國一卷真題）（多選）設函數/（x）=（x-Ip。-4）,則（）

A.x=3是/（尤）的極小值點B.當時，/（x）</（x2）

C.當l<x<2時，-4</（2x-l）<0D.當一1<%<0時，/（2-x）>/（x）

【鞏固練習1］（多選題）（2024.湖北武漢.模擬預測）設函數〃村=；尤3-2/+2無，則下列結論正

確的是（）

A.存在實數與使得/（%）=/'（%）B.方程〃力=3有唯一正實數解

C.方程〃x）=-l有唯一負實數解D.〃力=1有負實數解

【鞏固練習2】（2024?全國甲卷（文）真題）曲線；y=d-3x與y=-（尤-1丫+。在（0,+oo）上有兩個不同

的交點，則。的取值范圍為.

【題型4】三次函數的最值、極值問題

核心?技巧

三次函數的極值與最值

?極值：通過導數等于0找到可能的極值點，并判斷其類型（極大值或極小值）。

?最值：在閉區(qū)間上，最值可能出現在端點或極值點處。需比較這些點的函數值來確定全局最

值。

5.已知三次函數依3+bY+x+c無極值，且滿足a+^48,貝|/一〃=.

6.已知三次函數兀^）=：必一（4加-1）/+（15］層一2〃z—7）尤+2在定義域R上無極值點，則機的取值

范圍是（）

A.機<2或機>4B.機22或機?4

C.2<m<4D.2<m<4

【鞏固練習1】已知三次函數〃力=%3+法2+5+1,其導函數為/''（X）,存在re（1,4）,滿足

〃2T）=/（f）=r⑺=0.記”X）的極大值為則M的取值范圍是.

【鞏固練習2】（2024?全國?模擬預測）已知三次函數〃"=2彳3+依2+6X+I的極小值點為卜，極大

值點為北，則等于（）

A.40B.一4衣

C.+4y/2D.±50

【題型5】三次函數的零點問題

法心?金甲

三次方程/(x)=()的實根個數

設三次函數/(x)=ax3+bx2+cx+d(a豐0)

其導函數為二次函數:尸(x)=3ax2+2bx+c(a*0),

(2)若/-3ac>0,且>a)"?)>。,則/'(彳)=。恰有一?個實根;

(3)若巨-3ac>0,且/(不)"(%)=°,則/(x)=0有兩個不相等的實根;

(4)若從-3℃>0,且/(0)"(巧)<0,則/。)=0有三個不相等的實根.

說明:⑴⑵/(%)=0含有一個實根的充要條件是曲線y=f(x)與x軸只相交一次，即f(x)在R上為單

調函數(或兩極值同號)，所以62-3℃40(或62_3ac>0,且"x)"心)〉。)；

⑸/(x)=0有兩個相異實根的充要條件是曲線>=/(x)與芯軸有兩個公共點且其中之一為切點，所以

b2-3ac>0,且:(占>/(巧)=。；

(6)f(x)=0有三個不相等的實根的充要條件是曲線y=f(x)與x軸有三個公共點，即f(x)有一個極

大值，一個極小值，且兩極值異號.所以廿_3ac>0且了(西)"(無2)<0?

7.(2023?全國?高考真題)函數/(￡)=/+依+2存在3個零點，貝I。的取值范圍是()

A.(―co,—2)B.(—00,—3)C.(—4,-1)D.(-3,0)

若/(X)要存在3個零點，貝小

8.已知三次函數“X)有三個零點七，演，匕，且在點(％,〃％))處切線的斜率為左。=1,2,3),則

111

—+——+——

k]k2k3

9.已知加，〃，peR,若三次函數/(%)=X3+如2+加+，有三個零點〃，b,c,且滿足

3111

/(-1)=/(1)<|,/(0=/(2)>2,則▲+；+▲的取值范圍是()

2abc

A.B.C.D.rl

【鞏固練習1】已知三次函數/(x)的零點從小到大依次為機，0,2,其圖象在x=-l處的切線/經過

點(2,0),貝ip"=()

853

A.——B.-2C.——D.——

532

【鞏固練習2】(2024?全國?一模)已知三次函數/(無)=4尤3+4尤2+qx+d,g(無)=4尤⑶+4尤2+C/+”

(〃口2二°)，且/(x)有三個零點.若三次函數0(%)=3/(尤)+g(尤)和g(x)=/(x)-g(x)均為R上的單調函

數，且這兩個函數的導函數均有零點，則g(x)零點的個數為()

A.1個B.2個C.3個D.2個或3個

【鞏固練習3】已知g(x)為三次函數，其圖象如圖所示.若y=/(g(x))-加

有9個零點，則m的取值范圍是.

【鞏固練習4］已知三次函數/（力=彳+依2-3/工+伙°>0）有兩個零點，若方程/'"（x）］=0有四個

實數根，則實數。的范圍為（）

【題型6】三次函數圖像，單調性，極值，最值綜合問題

10.（24-25高三上?云南?階段練習）（多選）已知函數=d-3x+2,則（）

A.f（x）有兩個極值點

B.點（0,2）是曲線y=/（x）的對稱中心

C./（x）有三個零點

D.直線y=o是曲線y=/（x）的一條切線

11.（多選題）（2024?全國?模擬預測）已知函數/（幻=》3+依2+^x+c下列結論中正確的是（）

A.若/'（/）=0,則%是了⑺的極值點

B.3xoeR,使得/（無。）=0

C.若%是/（x）的極小值點，則/（x）在區(qū)間（-叫/）上單調遞減

D.函數y=/（x）的圖象是中心對稱圖形

【鞏固練習1】函數=+6/+cx+d（a,6,c,deR）的圖像如圖所示，則a+b+c的取值范圍

是

【鞏固練習2】（23-24高三?廣東清遠?期末）（多選）已知函數，（x）=x3-3x+4,xe［0,2］,則下列選

項中正確的是（）

A./⑺的值域為［2,6］

B.7（x）在x=l處取得極小值為2

C.Ax）在［0,2］上是增函數

D.若方程〃尤）=。有2個不同的根，則"24］

【鞏固練習3］2024?金華聯考模擬（多選題）已知函數7'（無）=；x3-4x+4（xe［0,3］）,則（）

A.函數AM在區(qū)間［0,2］上單調遞減

B.函數/5）在區(qū)間。3］上的最大值為1

c.函數/（%）在點（i,/（i））處的切線方程為了=-3》+1

D.若關于x的方程/（x）=a在區(qū)間［0,3］上有兩解，則ae'td

【題型7】三次函數對稱中心

核心?技巧

二階導數的零點即為對稱中心橫坐標，即/"（/）=0則（5,/（毛））為函數/（%）的對稱中心

bh

設三次函數/（尤）=依3+區(qū)2+cx+d（〃w0）,則對稱中心是；（---，/（----））

3a3a

三次函數於）的對稱中心為（f，%）,則〃t—x）+〃r+尤）=2左

12.已知三次函數/（x）=2d+加+6x+l的極小值點為人,極大值點為力，則4+6等于（）

A.472B.-472

C.士40D.±572

13.人們在研究學習過程中，發(fā)現：三次整式函數/（尤）都有對稱中心，其對稱中心為（%,/（%））（其

中了"（x（））=0）.已知函數/（刈=彳3一3/+4x+5.若/（加）=4,/（"）=10,則zn+"=（）

3

A.1B.—C.2D.3

2

14.已知一元三次函數對稱中心的橫坐標為其二階導函數的零點.若/。）=丁-3/+3X+1,則

15.（2024.全國2卷.高考真題）（多選）設函數/（幻=2/_3辦2+1,則（）

A.當時，/（X）有三個零點

B.當。＜0時，x=0是/（力的極大值點

C.存在a,b,使得x=b為曲線y=/（x）的對稱軸

D,存在a,使得點為曲線y=/（x）的對稱中心

16.對于三次函數/（尤）=加+加+cx+d（"0）,給出定義;「（尤）是函數y=/（x）的導數，尸⑺

是函數尸（無）的導數，若方程/（x）=0有實數解%,則稱（尤0））為函數y=/（x）的“拐點”.

某同學經探究發(fā)現：任何一個三次函數都有“拐點”；任何一個三次函數都有對稱中心，且“拐點”

749

就是對稱中心.若函數=］無3一/_12尤+不，則下列說法正確的是（）

177

A.的極大值為不

6

B./（x）有且僅有2個零點

C?點心,2）是的對稱中心

D.=4046

【鞏固練習1】己知三次函數〃司=三+2工—1,若再+苫2=0,貝。/（%）+/（%）=.

【鞏固練習2】已知所有的三次函數〃"=加+加+5+d（"0）的圖象都有對稱中心I-:,

小口；若函數｛）T+3V則（表J+4惠卜］京，…+］黨）—

【鞏固練習3】（2024?四川成都?模擬預測）（多選）已知函數F（x）=x'+x+l,則（）

A.7（無）有兩個極值點

B./⑺有一個零點

C?點（0,1）是曲線丁=/（尤）的對稱中心

D.直線y=2x是曲線y=/（元）的切線

【鞏固練習4】（多選題）（2024?江蘇?模擬預測）已知三次函數y（x）=G3+bx2+cx-l,若函數

g（x）=/（-x）+l的圖象關于點（1,0）對稱，且g（-2）<0,則（）

A.a<0B.g（x）有3個零點

C./（尤）的對稱中心是（-L0）D.12a-4b+c<0

【題型8】三次函數的切線問題

/核心?技巧/

一般地，過三次函數/（X）圖象的對稱中心作切線L,則坐標平面被切線和函數的圖象分割為四個區(qū)

域，有以下結論：

（1）過區(qū)域I、IV內的點作了（尤）的切線，有且僅有3條；

（2）過區(qū)域II、III內的點以及對稱中心作的切線，有且僅有1條；

（3）過切線L或函數“X）圖象（除去對稱中心）上的點作〃元）的切線，有且僅有2條.

17.已知函數/（同=加+旅-3x（a/wR）在點處的切線方程為y+2=0.若經過點

〃（2,加）可以作出曲線y=/（x）的三條切線，則實數加的取值范圍為.

18.（多選題）（2024?山西晉中二模）對于三次函數外力=加+涼+0；+〃（4工0）,給出定義：設

r（x）是函數y=的導數，-（X）是函數困（X）的導數,若方程/"（x）=o有實數解與,則稱

（毛,〃尤0））為函數y=/（x）的“拐點”.某同學經過探究發(fā)現：任何一個三次函數都有“拐點”；任

何一個三次函數都有對稱中心，且“拐點,，就是對稱中心.若函數〃尤）=$3一氐2+尤+6優(yōu)?R）,

則（）

A./（X）一定有兩個極值點

B.函數y=/（x）在R上單調遞增

C.過點（。力）可以作曲線y=/（x）的2條切線

D.當6=工時，/f—^+/f—^+/f—++^=2022

122023J^2023J^2023J2023J

【鞏固練習1】（2022?新高考一卷真題）（多選）已知函數/（x）=x3-x+l,貝I（）

A./⑴有兩個極值點B./5）有三個零點

C.點（0,1）是曲線＞=/（尤）的對稱中心D.直線y=2x是曲線y=/（x）的切線

【鞏固練習2］（多選題）（山東省棗莊市2024屆高三第二次模擬考試數學試題）已知函數

f（x）=（x-if-ax-b+l,則下列結論正確的是（）

A.當。=3時，若/（無）有三個零點，則6的取值范圍為（-4,0）

B.若/（x）滿足〃2—x）=3—/（x）,則a+b=-l

C.若過點（2,間可作出曲線g（x）=y（x）-3x+<ax+6的三條切線，則-5<7〃<T

D.若/（x）存在極值點%,且/（%）=〃百），其中尤0片王，則X+2%=3

【鞏固練習3】（多選題）下列關于三次函數/（"=加+加+5+*。彳0乂*€11）敘述正確的是（）

A.函數/⑴的圖象一定是中心對稱圖形

B.函數可能只有一個極值點

C.當-爰時，“X）在X=x。處的切線與函數y=〃x）的圖象有且僅有兩個交點

D.當天片-卷時，則過點（%,/（I））的切線可能有一條或者三條

【題型9】三次函數根與系數的關系

核心?技巧

三次函數根與系數關系：對于/（%）=爾+加+c%+d,若/（%）=/有3個交點石,%2，%3，則

方程G?+笈2+c%+d=.可以寫為［（%—%）（%-入2）（%—尤3）=。，

2

展開后得ar?_Q（玉+/+x3）x+Q（X%2+玉泡+工2巧—axx