2024-2025學年新教材高中數(shù)學第12章復數(shù)12.2.2復數(shù)的乘除運算課時素養(yǎng)評價含解析蘇教版必修第二冊

PAGE課時素養(yǎng)評價二十復數(shù)的乘除運算(20分鐘35分)1.(2024·全國Ⅲ卷)復數(shù)QUOTE的虛部是 ()A.-QUOTE B.-QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】選D.因為QUOTE=QUOTE=QUOTE+QUOTEi,所以復數(shù)QUOTE的虛部為QUOTE.【補償訓練】(2024·沈陽高二檢測)已知復數(shù)z滿意z(1+i)=1-i(i為虛數(shù)單位),則z的虛部為 ()A.-iB.iC.1D.-1【解析】選D.因為復數(shù)z滿意z(1+i)=1-i,所以z=QUOTE=QUOTE=-i,所以z的虛部為-1.2.(2024·全國Ⅲ卷)復數(shù)QUOTE·(1+i)=1-i,則z= ()A.1-i B.1+i C.-i D.i【解析】選D.因為QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE=-i,所以z=i.3.復數(shù)QUOTE= ()A.-QUOTE-QUOTEi B.-QUOTE+QUOTEiC.QUOTE-QUOTEi D.QUOTE+QUOTEi【解析】選C.因為i2=-1,i3=-i,i4=1,所以QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE-QUOTEi.4.(2024·天津高二檢測)設復數(shù)z=QUOTE(i是虛數(shù)單位),則z的共軛復數(shù)QUOTE=________.

【解析】因為復數(shù)z=QUOTE=QUOTE=QUOTE=2-3i,所以z的共軛復數(shù)QUOTE=2+3i.答案:2+3i5.(2024·上海高二檢測)若2+i(i是虛數(shù)單位)是關于x的實系數(shù)方程x2+mx+n=0的一個根,則m+n等于________.

【解析】因為2+i是關于x的實系數(shù)方程x2+mx+n=0的一個根,所以(2+i)2+m(2+i)+n=0,所以2m+n+3+(4+m)i=0,所以QUOTE所以QUOTEm+n=1.答案:16.(2024·咸陽高二檢測)計算:(1)(2+i)(2-i);(2)(1+2i)2;(3)QUOTE+QUOTE.【解析】(1)(2+i)(2-i)=4-i2=4-(-1)=5.(2)(1+2i)2=1+4i+(2i)2=1+4i+4i2=-3+4i.(3)原式=QUOTE+QUOTE=i6+i=-1+i.(30分鐘60分)一、單選題(每小題5分,共20分)1.滿意QUOTE=i(i為虛數(shù)單位)的復數(shù)z= ()A.QUOTE+QUOTEi B.QUOTE-QUOTEiC.-QUOTE+QUOTEi D.-QUOTE-QUOTEi【解析】選B.因為QUOTE=i,所以z+i=zi,所以i=z(i-1).所以z=QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE-QUOTEi.2.已知復數(shù)z=QUOTE,QUOTE是z的共軛復數(shù),則z·QUOTE等于 ()A.QUOTE B.QUOTE C.1 D.2【解析】選A.方法一:因為z=QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE=-QUOTE+QUOTE,所以QUOTE=-QUOTE-QUOTE,所以z·QUOTE=QUOTE.方法二:因為z=QUOTE,所以|z|=QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE,所以z·QUOTE=QUOTE.3.(2024·長春高二檢測)若復數(shù)QUOTE(a∈R,i是虛數(shù)單位)是純虛數(shù),則a的值為 ()A.-2 B.2 C.1 D.-1【解析】選B.QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE+QUOTEi,依據(jù)復數(shù)為純虛數(shù)故有QUOTE=0,QUOTE≠0,即a=2.【補償訓練】(2024·鄭州高二檢測)已知復數(shù)z滿意(1+i)z=1-3i(i是虛數(shù)單位),若復數(shù)(1+ai)z是純虛數(shù),則實數(shù)a的值為________;若復數(shù)z的共軛復數(shù)為QUOTE,則復數(shù)QUOTE=________.

【解析】解得z=-1-2i,因為復數(shù)(1+ai)z是純虛數(shù),則(1+ai)(-1-2i)=-1+2a+(-a-2)i,所以-1+2a=0,且-a-2≠0,所以實數(shù)a的值為QUOTE.因為z的共軛復數(shù)為QUOTE=-1+2i,所以復數(shù)QUOTE=-1-QUOTEi.答案:QUOTE-1-QUOTEi4.若一個復數(shù)的實部與虛部互為相反數(shù),則稱此復數(shù)為“志向復數(shù)”.已知z=QUOTE+bi(a,b∈R)為“志向復數(shù)”,則 ()A.a-5b=0 B.3a-5b=0C.a+5b=0 D.3a+5b=0【解析】選D.因為z=QUOTE+bi=QUOTE+bi=QUOTE+QUOTEi.由題意知,QUOTE=-QUOTE-b,則3a+5b=0.【誤區(qū)警示】解此題時,肯定要特殊留意“志向復數(shù)”與共軛復數(shù)的區(qū)分,留意共軛復數(shù)的思維定式.二、多選題(每小題5分,共10分,全部選對得5分,選對但不全的得3分,有選錯的得0分)5.(2024·濟南高一檢測)下面是關于復數(shù)z=QUOTE的四個命題,其中的真命題為 ()A.|z|=2 B.z2=2iC.z的共軛復數(shù)為1+i D.z的虛部為-1【解析】選BD.因為z=QUOTE=QUOTE=-1-i,所以A:|z|=QUOTE,B:z2=2i,C:z的共軛復數(shù)為-1+i,D:z的虛部為-1.【光速解題】把復數(shù)z化簡后,逐項驗證,即可得到正確答案.6.(2024·濟南高二檢測)下面關于復數(shù)的四個說法中,結論正確的是 ()A.若復數(shù)z∈R,則QUOTE∈RB.若復數(shù)z滿意z2∈R,則z∈RC.若復數(shù)z滿意QUOTE∈R,則z∈RD.若復數(shù)z1,z2滿意z1z2∈R,則z1=QUOTE【解析】選AC.A選項,設復數(shù)z=a+bi(a,b∈R),則QUOTE=a-bi(a,b∈R),因為z∈R,所以b=0,因此QUOTE=a∈R,即A正確;B選項,設復數(shù)z=a+bi(a,b∈R)則z2=QUOTE=a2-b2+2abi,因為z2∈R,所以ab=0,若a=0,b≠0,則z?R,故B錯;C選項,設復數(shù)z=a+bi(a,b∈R),則QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE-QUOTEi,因為QUOTE∈R,所以QUOTE=0,即b=0,所以z=a∈R,故C正確;D選項,設復數(shù)z1=a+bi(a,b∈R),z2=c+di(c,d∈R),則z1z2=QUOTE=QUOTE+QUOTEi,因為z1z2∈R,所以ad+bc=0,若QUOTE能滿意ad+bc=0,但z1≠QUOTE,故D錯誤.三、填空題(每小題5分,共10分)7.(2024·成都高二檢測)已知i2020(m+ni)=QUOTE(m∈R,n∈R),則復數(shù)z=m+ni的虛部是________.

【解析】因為i2020(m+ni)=QUOTE(m∈R,n∈R),所以m+ni=-QUOTE+QUOTEi,所以z=-QUOTE+QUOTEi,所以復數(shù)z的虛部是QUOTE.答案:QUOTE【補償訓練】(2024·濟南高二檢測)(多選題)已知集合M=QUOTE,其中i為虛數(shù)單位,則下列元素屬于集合M的是 ()A.QUOTE B.QUOTEC.QUOTE D.QUOTE【解析】選BC.依據(jù)題意M=QUOTE中n=4kQUOTE時,in=1;n=4k+1QUOTE時,in=i;n=4k+2QUOTE時,in=-1;n=4k+3QUOTE時,in=-i,所以M=QUOTE.選項A中QUOTE=2?M;選項B中,QUOTE=QUOTE=-i∈M;選項C中,QUOTE=QUOTE=i∈M;選項D中QUOTE=-2i?M.8.(2024·鄭州高二檢測)已知:復數(shù)z=QUOTE+QUOTE,其中i為虛數(shù)單位.若z2+aQUOTE+b=2+3i,則實數(shù)a=________,b=________.

【解析】z=QUOTE+QUOTE=2i+iQUOTE=-1+3i,由z2+aQUOTE+b=2+3i得QUOTE+aQUOTE+b=2+3i,即QUOTE+QUOTEi=2+3i所以QUOTE解得QUOTE答案:-37四、解答題(每小題10分,共20分)9.(2024·杭州高二檢測)已知z=-QUOTE+QUOTE.(1)QUOTE是z的共軛復數(shù),求QUOTE+QUOTE+1的值;(2)求QUOTE的值.【解析】(1)由題知QUOTE=-QUOTE-QUOTE,所以QUOTE+QUOTE+1=QUOTE-QUOTE-QUOTE+1=0.(2)因為z3=QUOTE=1,所以1-z2019=1-QUOTE=1-1=0.所以QUOTE=1.10.(2024·上海高二檢測)設z是虛數(shù),ω=z+QUOTE是實數(shù),且-1<ω<2.(1)求z的實部的取值范圍.(2)設μ=QUOTE,求證:μ為純虛數(shù);(3)求ω-μ2的最小值.【解析】(1)因為z是虛數(shù),所以可設z=x+yi,x,y∈R,且y≠0,所以ω=z+QUOTE=x+yi+QUOTE=x+yi+QUOTE=x+QUOTE+QUOTEi,可得QUOTE?x2+y2=1,此時,ω=2x?-QUOTE<x<1;(2)因為μ=QUOTE=QUOTE=QUOTE=-QUOTEi,因為y≠0,-QUOTE<x<1,所以μ為純虛數(shù);(3)ω-μ2=2x-QUOTE,然后化簡和計算得到ω-μ2=2(x+1)+QUOTE-3≥2QUOTE-3=1.當且僅當x=0時等號成立,所以ω-μ2的最小值為1.1.(多選題)對隨意復數(shù)ω1,ω2,定義ω1*ω2=ω1QUOTE,其中QUOTE是ω2的共軛復數(shù),對隨意復數(shù)z1,z2,z3,有如下四個命題:①QUOTE*z3=QUOTE+QUOTE;②z1*QUOTE=QUOTE+QUOTE;③QUOTE*z3=z1*QUOTE;④z1*z2=z2*z1.則真命題是 ()A.① B.② C.③ D.④【解析】選AB.由題意QUOTE*z3=QUOTE=z1QUOTE+z2QUOTE=QUOTE+QUOTE,故①正確;z1*QUOTE=z1QUOTE=z1(QUOTE+QUOTE)=z1QUOTE+z1QUOTE=QUOTE+QUOTE,故②正確;QUOTE*z3=QUOTE=z1QUOTE,z1*QUOTE=z1*QUOTE=z1QUOTE=z1QUOTEz3,故