拉格朗日中值定理在導(dǎo)數(shù)中的應(yīng)用（高階拓展、競賽適用）（學(xué)生版）-2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)學(xué)案（新高考）

第16講拉格朗日中值定理在導(dǎo)數(shù)中的應(yīng)用

(高階拓展、競賽適用)

(2類核心考點(diǎn)精講精練)

I值.考情探究?

命題規(guī)律及備考策略

【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的載體內(nèi)容，設(shè)題穩(wěn)定，難度較大，分值為15-17分

【備考策略】1能用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)基本問題

2能理解拉格朗日中值定理及其幾何意義

3能運(yùn)用拉格朗日中值定理解題

【命題預(yù)測】近幾年，以高等數(shù)學(xué)為背景的高考命題成為熱點(diǎn).許多省市模擬卷及高考試卷有關(guān)導(dǎo)數(shù)的題目

往往可以用拉格朗日中值定理解答。本文為高階拓展內(nèi)容，利用拉格朗日中值定理解題，能體現(xiàn)高觀點(diǎn)解

題的好處，需學(xué)生靈活學(xué)習(xí)

知識(shí)點(diǎn)1拉格朗日(Lagrange)中值定理

知識(shí)點(diǎn)2拉格朗日中值定理的幾何意義

核心知識(shí)點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)3需要注意的地方(逆命題不成立)

知識(shí)點(diǎn)44.拉格朗日公式還有下面幾種等價(jià)形式

拉格朗日中值定理

考點(diǎn)1拉格朗日中值定理的認(rèn)知及簡單應(yīng)用

核心考點(diǎn)考點(diǎn)2拉格朗日中值定理在導(dǎo)數(shù)中的綜合應(yīng)用

知識(shí)講解

1.拉格朗日(Lagrange)中值定理

若函數(shù)/(x)滿足如下條件：

(1)/(x)在閉區(qū)間口，切上連續(xù)；

(2)/(%)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo).

則在(a,6)內(nèi)至少存在一點(diǎn)。使得了

b-a

2.拉格朗日中值定理的幾何意義

如圖所示，在滿足定理?xiàng)l件的曲線y=/(x)上至少存在一點(diǎn)P(。，/(,)，該曲線在該點(diǎn)處的切線平行于

曲線兩端的連線.

3-需要注意的地方(逆命題不成立)

拉格朗日中值定理沒有逆定理,即對(duì)曲線的任一切線,并不一定存在割線，使割線斜率等于

切線斜率,如f(x)=d在X=。處的切線斜率為0,但f(x)不存在割線使割線斜率等于0

4.拉格朗日公式還有下面幾種等價(jià)形式

f(b)-f(a)=f'^)(b-a)(a<^<b),

=((4+8(6_a))(6_°)(0<8<1)，

/(a+/z)-/(a)=/'(a+e/z)/z(0<6<1).

注：拉格朗日公式無論對(duì)于。<6還是a>b都成立，而。則是介于。與6之間的某一常數(shù).顯然，當(dāng)0<。<1

時(shí)，a<a+O［b-a)<b.

考點(diǎn)一、拉格朗日中值定理的認(rèn)知及簡單應(yīng)用

典例引領(lǐng)

1.(23-24高三上?陜西漢中?階段練習(xí))拉格朗日中值定理是微分學(xué)中的基本定理之一，定理內(nèi)容是：如果

函數(shù)>=/(x)在閉區(qū)間上連續(xù)，在開區(qū)間?內(nèi)可導(dǎo)，那么在區(qū)間?內(nèi)至少存在一點(diǎn)c,使得

/(6)-/(a)=/(c)僅-°)成立，其中c叫做在［a,目上"拉格朗日中值點(diǎn)"，根據(jù)這個(gè)定理，判斷函數(shù)

“X)=5x3-3x在區(qū)間上的“拉格朗日中值點(diǎn)”的個(gè)數(shù)為.

2.(2024高三上?全國?專題練習(xí))拉格朗日中值定理是微分學(xué)中的基本定理之一，其定理陳述如下：如果函

數(shù)/(X)在閉區(qū)間切上連續(xù)，在開區(qū)間(a,6)內(nèi)可導(dǎo)，則在區(qū)間(。,b)內(nèi)至少存在一個(gè)點(diǎn)/e(a,6),使得

/⑸-/⑷=/(%)(6-a),x=/稱為函數(shù)y=/(X)在閉區(qū)間上的中值點(diǎn)，若關(guān)于函數(shù)/(無)=sinx在區(qū)

間［0,兀］上的‘中值點(diǎn)"的個(gè)數(shù)為加，函數(shù)g(x)=e*在區(qū)間［0,1］上的中值點(diǎn)”的個(gè)數(shù)為〃，則有加+〃=()(參

考數(shù)據(jù):"3.14,^2.72.)

A.1B.2C.0D.n=3

2

3.(2024高三上?全國?專題練習(xí))已知/。)=§/-282+3+4,g(x)=e、-e"+/(x),

⑴若/(x)在x=1+也處取得極值，試求c的值和/(%)的單調(diào)增區(qū)間：

(2)如圖所示，若函數(shù)>=/(x)的圖象在連續(xù)光滑，試猜想拉格朗日中值定理：即一定存在ce(a,6),

使得/'(c)=/S)-〃外,利用這條性質(zhì)證明：函數(shù)N=g(x)圖象上任意兩點(diǎn)的連線斜率不小于2e-4.

即時(shí)檢測

1.(23-24高二下?廣東東莞?階段練習(xí))法國數(shù)學(xué)家拉格朗日于1797年在其著作《解析函數(shù)論》中給出了一

個(gè)定理，具體如下.如果函數(shù)>=/(x)滿足如下條件.(1)在閉區(qū)間［?；厣鲜沁B續(xù)的；(2)在開區(qū)間(。力)

上可導(dǎo)則在開區(qū)間6)上至少存在一點(diǎn)4,使得/㈤-/但卜/^/伍-。)成立，此定理即“拉格朗日中值

定理"，其中。被稱為“拉格朗日中值”.則g(x)=/在區(qū)間［0川上的“拉格朗日中值"孑=.

2.(2024?河北衡水?三模)已知/(x)=e、-X.

⑴求/(x)的單調(diào)區(qū)間和最值；

(2)定理：若函數(shù)/⑴在(。,切上可導(dǎo)，在［a,句上連續(xù)，則存在Je(a,b),使得了'?=八?"⑷.該定理

稱為"拉格朗日中值定理"，請利用該定理解決下面問題：

…4Te"e"(,、2門1)

右0<〃7<”,求證：------<lm+l)-----.

nm\nmJ

3.(2024?山西?三模)微分中值定理是微積分學(xué)中的重要定理，它是研究區(qū)間上函數(shù)值變化規(guī)律的有效工具,

其中拉格朗日中值定理是核心，它的內(nèi)容如下：

如果函數(shù)/*)在閉區(qū)間上連續(xù)，在開區(qū)間(%6)可導(dǎo)，導(dǎo)數(shù)為/(X),那么在開區(qū)間(。,方)內(nèi)至少存在一

點(diǎn)。，使得/'?=〃?一〃")，其中。叫做在卜,”上的“拉格朗日中值點(diǎn)”.已知函數(shù)

b-a

/(x)=(“丁2lnx+Z72(x-4)eflV-yx3+卜.

⑴若“=_1,/,=0,求函數(shù)/(x)在［1,7］上的"拉格朗日中值點(diǎn)"飛；

(2)若。=-1*=1,求證:函數(shù)/(x)在區(qū)間(0,+8)圖象上任意兩點(diǎn)A,8連線的斜率不大于18-e-6；

(3)若。=1/=-1,\/匹,12，工3￡[!，1]，且再<%2<%3，求證:'(")'(、1)>'(%3)'(%2),

14Jx2-x{x3-x2

考點(diǎn)二、拉格朗日中值定理在導(dǎo)數(shù)中的綜合應(yīng)用

典例引領(lǐng)

、12

1.設(shè)/(x)~~x-ax+(Q-l)lnx,

求證：當(dāng)1<。<5時(shí)，對(duì)任意石,%2￡(°，1)，%W%2，有—〉-1

玉-x2

2.設(shè)f(x)=(4Z+1)Inx+ax12+1,

當(dāng)a<-l時(shí)，若對(duì)任意的x1,x2e(0,+GO),|/(X1)-/(X2)|>4\xx-x2\成立，求Q的取值范圍

cinx

3.設(shè)f(x)=------,若對(duì)任意x>0,都有f(x)<axf求。的范圍

2+cosx

1.(2024?天津?高考真題)設(shè)函數(shù)f(x)=xlnx.

⑴求〃x)圖象上點(diǎn)。,〃功處的切線方程；

(2)若〃工)2。卜-4)在天€(0,+00)時(shí)恒成立，求。的值；

⑶若西,々40/,1\),證明[〃』)一/仁)歸網(wǎng)一刃又1

2.(2024?山東濟(jì)寧?一模)已知函數(shù)/(x)=ln尤-Ja/+g(aeR).

⑴討論函數(shù)〃x)的單調(diào)性；

(2)若0<花<馬，證明：對(duì)任意ae(O,+s),存在唯一的實(shí)數(shù)。e(占,馬)，使得/④=勺上羋!成立;

⑶設(shè)見="，"eN*,數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為S”.證明：5?>21n(n+l).

n

3.(高三上?遼寧撫順?階段練習(xí))已知函數(shù)〃x)=ln(l+x)-x,g(x)=xlnx.

⑴求函數(shù)的最大值；

(2)設(shè)0<a<b,證明0<g(a)+g(6)-2g[\^]<(6-a)ln2.

1%.好題沖關(guān).

能力提升

1.(2022高三?全國?專題練習(xí))已知函數(shù)/(x)=(a+l)lnx+ax2+i.

⑴當(dāng)〃=2時(shí)，求曲線>=/(x)在(1,7(1))處的切線方程；

(2)設(shè)〃0—2,證明：對(duì)任意占，x2e(0,+oo),|/(X1)-/(X2)|>4|X1-X2|.

2.(21-22高二下?廣東深圳?期中)已知函數(shù)/(工)=1111+1^2一(〃+1)%(〃￡R),

g(x)=/(x)-獷+g+l)x.

(1)討論/(X)的單調(diào)性；

(2)任取兩個(gè)正數(shù)%,三，當(dāng)再<龍2時(shí)，求證：g(xj-g(%2)<2(*").

3.(22-23高三下,重慶沙坪壩?階段練習(xí))已知函數(shù)〃x)=gx2-b+ln無

⑴討論函數(shù)〃x)的單調(diào)性；

(2)若〃x)有兩個(gè)極值點(diǎn)外,證明：

4.(23-24高三上?陜西西安?階段練習(xí))已知函數(shù)/(x)=21nx+辦[aeR).

(1)試判斷函數(shù)/(x)的單調(diào)性；

⑵已知函數(shù)g(x)=/(x)-2x,若g(x)有且只有兩個(gè)極值點(diǎn)引,三，且再<工2，證明：

g(x1)-g(x2)<(2a-l)(x1-x2).

5.(2022?全國?模擬預(yù)測)已知函數(shù)/(x)=e[x2+l)(其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).

⑴討論函數(shù)了=〃切+(0-2.叫0€?.)的單調(diào)性；

⑵若玉>Xz>0,不等式eZ'-e?”>4/(再)-/仁)|恒成立，求實(shí)數(shù)N的取值范圍.

6.(2023?山東淄博?二模)已知函數(shù)/'(x)=aln(x-a)-1x2+x,aeR.

⑴求函數(shù)〃x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若X],入2是函數(shù)g(x)=Hru-；x2+x的兩個(gè)極值點(diǎn)，且占<尤2，求證：/(^1)-/(^2)<0.

7.(2024高三上?全國?專題練習(xí))已知函數(shù)f(x)=a(x-lnx)+x2-2x,其中aeR.

⑴當(dāng)a=-2e時(shí)，求“X)的極值；

(2)當(dāng)a>0,否>%>0時(shí)，證明：</：2)_/[占；X2]x"

8.(23-24高三上?天津?qū)幒?期末)已知函數(shù)/(x)=lnx+]x2,aeR

⑴當(dāng)a=l時(shí)，求曲線V=〃x)在處的切線方程；

(2)求“X)的單調(diào)區(qū)間；

⑶設(shè)再,(0<項(xiàng)<x?)是函數(shù)g(x)=/(x)-ax的兩個(gè)極值點(diǎn)，證明：g(x1)-g(x2)<|-lna.

9.(23-24高二上?陜西西安,期末)已知函數(shù)/(x)=(/+加x+77忖.

⑴若m=n=O,求/(x)的單調(diào)區(qū)間；

⑵若加=。+6,力=M，且/(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)，分別為不和無2(占<工2),求〃尤-一,(再)的最大值.

e2-e'

10.(2022高三?全國?專題練習(xí))已知函數(shù)/(x)=x2+-+alnx(x>0),的導(dǎo)函數(shù)是r(x).對(duì)任意兩個(gè)不相

X

等的正數(shù)不、X2,證明：

⑴當(dāng)代0時(shí)，ZW±ZW>/(i±2i);

(2)當(dāng)時(shí)，"u)-/(三)|>|玉-三L

11.(21-22高二下,安徽合肥,期中)已知函數(shù)/(x)=x2+辦+21nx(。為常數(shù))

⑴討論/(x)的單調(diào)性

Q

(2)若函數(shù)〃x)存在兩個(gè)極值點(diǎn)再，x2(X1<x2),且求〃國)-〃々)的范圍.

12.(22-23高二下?河南洛陽?期末)已知函數(shù)/(x)=g/-2G+lnx(°為常數(shù)).

⑴若函數(shù)〃x)是增函數(shù)，求a的取值范圍；

(2)設(shè)函數(shù)/(x)的兩個(gè)極值點(diǎn)分別為為，巧(±<X2),求/(西)-/(尤2)的范圍.

13.(2023?湖南常德?一模)已知函數(shù)/(x)=lnx+—2a(aeR).

(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；

(2)若/(x)兩個(gè)極值點(diǎn)為，x?且再e[e,e2],求〃占)-〃電)的取值范圍.

14.(21-22高二下?天津?期中)已知函數(shù)〃x)=lnx+x2-ax(aeR)

(1)若4=1,求函數(shù)/(X)在點(diǎn)(1,/(D)處的切線方程；

⑵當(dāng)?！?時(shí)，討論/(X)的單調(diào)性；

13

⑶設(shè)/(X)存在兩個(gè)極值點(diǎn)項(xiàng),九2且王<%2，若0<Xi<5求證：/(x1)-/(x2)>--ln2.

15.(2023?天津河西?模擬預(yù)測)己知函數(shù)/(x)=8nx+4/eR).

e

⑴若函數(shù)y=〃x)為增函數(shù)，求上的取值范圍；

(2)已知0＜再＜%.

ee[x,1/

⑴證明：

(ii)若a=套=左，證明：|/(^)-/(^)|<1.

16.(2024?全國?模擬預(yù)測)已知函數(shù)/(X)=(x-a)e-*-2x,g(x)=xe-"-e'T+ax。-/(x),且

⑴求。的值與/(x)的單調(diào)區(qū)間.

(2)如圖，若函數(shù)V=/(x)的圖像在［凡“連續(xù)，試猜想拉格朗日中值定理，即一定存在ce(a,b),使得

/'(c)=〃7,求加的表達(dá)式〔用含a,6J(a)J(6)的式子表示).

⑶利用這條性質(zhì)證明：函數(shù)g(x)圖像上任意兩點(diǎn)的連線斜率不大于？-漢i.

4e

17.(2024?湖北襄陽?三模)柯西中值定理是數(shù)學(xué)的基本定理之一，在高等數(shù)學(xué)中有著廣泛的應(yīng)用.定理內(nèi)容

為：設(shè)函數(shù)7W，g(x)滿足：

①圖象在［生"上是一條連續(xù)不斷的曲線；

②在6)內(nèi)可導(dǎo);

③對(duì)g〈x)w0,貝1|至e(a,b),使得

g(b)-g(a)g'(，

特別的，取g(x)=x,則有：^e(a,b),使得〃"-/(。)=/,團(tuán),此情形稱之為拉格朗日中值定理.

⑴設(shè)函數(shù)〃X)滿足〃0)=0,其導(dǎo)函數(shù)尸(X)在(0,+8)上單調(diào)遞增，證明：函數(shù)在(0,+8)上為

增函數(shù).

⑵若Va,6e(O,e)且a＞b,不等式學(xué)一她+心仁一勺久恒成立，求實(shí)數(shù)加的取值范圍.

ba\abJ

18.Q024?廣東?二模)拉格朗日中值定理是微分學(xué)的基本定理之一，其內(nèi)容為：如果函數(shù)/(無)在閉區(qū)間［。,以

上的圖象連續(xù)不斷，在開區(qū)間伍㈤內(nèi)的導(dǎo)數(shù)為了'(X),那么在區(qū)間(“㈤內(nèi)存在點(diǎn)C,使得

-〃a)=/(c)僅-°)成立.設(shè)/(x)=e，+x-4,其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，e?2.71828.易知，/(%)

⑴證明：當(dāng)xe(r/+4)時(shí)，0</(x)<l；

9

(2)從圖形上看，函數(shù)/(》)=砂+》-4的零點(diǎn)就是函數(shù)/(x)的圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo).直接求解

3

/(x)=e，+x-4的零點(diǎn)r是困難的，運(yùn)用牛頓法，我們可以得到了(x)零點(diǎn)的近似解：先用二分法，可在(1,/

中選定一個(gè)%作為「的初始近似值，使得0</(x°)<g,然后在點(diǎn)(x°J(x。))處作曲線y=/(x)的切線，切

線與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為多，稱占是廠的一次近似值；在點(diǎn)(再,〃網(wǎng)))處作曲線了=/(x)的切線，切線與x

軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為入2,稱々是廠的二次近似值；重復(fù)以上過程，得廠的近似值序列/,而，%，

①當(dāng)廠時(shí)，證明：xn>xn+l>r.

②根據(jù)①的結(jié)論，運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法可以證得：｛%｝為遞減數(shù)列，且V"eN,x”>r.請以此為前提條件，證

19.(23-24高二下?重慶?期中)柯西中值定理是數(shù)學(xué)的基本定理之一，在高等數(shù)學(xué)中有著廣泛的應(yīng)用.定理

內(nèi)容為：設(shè)函數(shù)〃x),g(x)滿足①圖象在［?；厣鲜且粭l連續(xù)不斷的曲線；②在6)內(nèi)可導(dǎo)；③對(duì)

/㈤一/信)

VxW(Q,6)g'(x)wO則士e(a,6),使得特別的，取g(x)=x則有:

g(b)-g(。)'

至使得〃?⑷,此情形稱之為拉格朗日中值定理.

b-a

⑴設(shè)函數(shù)〃X)滿足〃0)=0,其導(dǎo)函數(shù)/'(X)在(0,+8)上單調(diào)遞增，判斷函數(shù)y=在(0,+8)的單調(diào)性

并證明；

⑵若Wa,be(O,e)且。>6,不等式當(dāng)■一必+加倍一M<o恒成立，求實(shí)數(shù)加的取值范圍;

ba\abJ

e%2-e%1

(3)若0<西<%2<|"，求證：