中考數(shù)學(xué)重難題型專項(xiàng)訓(xùn)練：二次函數(shù)性質(zhì)綜合（原卷版+解析）

專題17二次函數(shù)性質(zhì)綜合

1.（2022?新疆）已知拋物線y=（x-2y+l,下列結(jié)論錯誤的是（）

A.拋物線開口向上B.拋物線的對稱軸為直線x=2

C.拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2,1）D.當(dāng)x<2時，y隨x的增大而增大

2.（2022?陜西）己知二次函數(shù)y=x2~2x~3的自變量xi,x2,X3對應(yīng)的函數(shù)值分別為y”y2,

y3.當(dāng)T〈xK0,l〈xz<2,X3>3時，y1,y2,ys三者之間的大小關(guān)系是（）

A.%<%<力B.必<X<%C.%<%<必D.3VM

【答案】B

2

3.（2022?浙江寧波）點(diǎn)yj,B（m,y2）都在二次函數(shù)y=（x-1）+n的圖象上.若

yi<y2,則m的取值范圍為（

3

A.m>2B.m>—C.m<lD.—<m<2

2

4.（2022?湖南株洲）已知二次函數(shù)y二改之+施一c（〃wO）,其中〃>0、c>0,則該函數(shù)的

5.（2022?四川成都）如圖，二次函數(shù)y=o?+bx+c的圖像與x軸相交于A（T,0）,3兩點(diǎn),

對稱軸是直線x=l,下列說法正確的是（）

A.a>0B.當(dāng)x>-l時，>的值隨x值的增大而增大

C.點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4,0）D.4A+2/?+C>0

6.（2022?湖北隨州）如圖，已知開口向下的拋物線>=辦2+法+。與x軸交于點(diǎn)（-1,0）對

稱軸為直線x=l.則下列結(jié)論：?abc>0；②2a+b=0；③函數(shù)y+6x+c的最大值

為Ta；④若關(guān)于x的方數(shù)依2+法+0=4+1無實(shí)數(shù)根，貝!|-3<a<0.正確的有

)

A.1個B.2個C.3個D.4個

7.（2022?天津）已知拋物線y=G?+6x+c（a,b,c是常數(shù)，0<a<c）經(jīng)過點(diǎn)（L。），有

下列結(jié)論：①2a+6<0；②當(dāng)x>l時，y隨x的增大而增大；

③關(guān)于x的方程依2+法+（6+。）=0有兩個不相等的實(shí)數(shù)根.其中，正確結(jié)論的個數(shù)是

（）

A.0B.1C.2D.3

8.（2022?山東濱州）如圖，拋物線>=加+bx+c與x軸相交于點(diǎn)A（-2,0）,3（6,0）,與y

軸相交于點(diǎn)C,小紅同學(xué)得出了以下結(jié)論：①②4。+》=0；③當(dāng)>>。時，

-2<x<6；@a+b+c<0.其中正確的個數(shù)為（）

A.4B.3C.2D.1

9.（2022?四川南充）已知點(diǎn)”（百,%）,刈々,%）在拋物線+上，當(dāng)

X1+X2>4且占<X2時，都有y|<必，則m的取值范圍為（）

A.0<m<2B.—2<m<0C.m>2D.m<—2

10.（2021?四川涼山彝族自治州?中考真題）二次函數(shù)丁=G2+"+（;（。70）的圖象如圖

所示，則下列結(jié)論中不正確的是（）

x=-l

A.abc>0B.函數(shù)的最大值為。一/?+c

C.當(dāng)一3張!k1時，y.0D.4a—2b+c<0

11.（2021?四川眉山市?中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=4x+5與丁軸

交于點(diǎn)C,則該拋物線關(guān)于點(diǎn)。成中心對稱的拋物線的表達(dá)式為（）

A.y=-x2-4x+5B.y=x2+4x+5

C.y=-x~+4x—5D.y=-x2—4x—5

12.（2021?江蘇蘇州市?中考真題）已知拋物線丁=必+日—左2的對稱軸在y軸右側(cè)，現(xiàn)

將該拋物線先向右平移3個單位長度，再向上平移1個單位長度后，得到的拋物線正好經(jīng)過

坐標(biāo)原點(diǎn)，則上的值是（）

A.一5或2B.-5C.2D.-2

13..（2021?天津中考真題）已知拋物線丁=。必+加；+。"c是常數(shù)，a/0）經(jīng)過

點(diǎn)（—1,-1）,（0,1）,當(dāng)x=—2時，與其對應(yīng)的函數(shù)值>>1.有下列結(jié)論：①abc>0；②關(guān)

于x的方程O+人x+c-3=0有兩個不等的實(shí)數(shù)根；③a+/?+c>7.其中，正確結(jié)論的

個數(shù)是（）

A.0B.1C.2D.3

14.（2021?四川遂寧市?中考真題）己知二次函數(shù)）；=?2+樂+（?（（3H0）的圖象如圖所

示，有下列5個結(jié)論:①aZ?c〉O；②<4ac；③2c<35；④a+2b>%

⑤若方程I依2+bx+c|=l有四個根，則這四個根的和為2,其中正確的結(jié)論有（

C.4個D.5個

15.（2021?天津中考真題）已知拋物線、=。/+加;+。（a,6,c是常數(shù)，。/0）經(jīng)過點(diǎn)

（-1,-1）,（0,1）,當(dāng)彳=-2時，與其對應(yīng)的函數(shù)值y>i.有下列結(jié)論：①。歷>0；②關(guān)于x的

方程加+陵+c—3=0有兩個不等的實(shí)數(shù)根；③a+6+c>7.其中，正確結(jié)論的個數(shù)是（）

A.0B.1C.2D.3

16.（2021?陜西中考真題）下表中列出的是一個二次函數(shù)的自變量x與函數(shù)y的幾組對應(yīng)

值：

X.??-2013???

y.??6-4-6-4???

下列各選項(xiàng)中，正確的是

A.這個函數(shù)的圖象開口向下

B.這個函數(shù)的圖象與x軸無交點(diǎn)

C.這個函數(shù)的最小值小于-6

D.當(dāng)x>l時，y的值隨x值的增大而增大

17.（2020?株洲）二次函數(shù)y=ax，bx+c,若ab<0,a-b。>。，點(diǎn)A（xi,yi）,B（x2,y2）

在該二次函數(shù)的圖象上，其中xi<x2,xi+x2=0,則（）

A.yi=-y2B.yi>y2

C.yi<y2D.yi>y?的大小無法確定

18.（2020?襄陽）二次函數(shù)丫=a*知3*+（3的圖象如圖所示，下列結(jié)論：

①ac<0；②3a+c=0；③4ac-b2c0；④當(dāng)x>-l時，y隨x的增大而減小.

其中正確的有（）

A.4個B.3個C.2個D.1個

19.（2020?鄂州）如圖,拋物線y=ax?+bx+c（aWO）與x軸交于點(diǎn)A（-1,0）和B,與y

軸交于點(diǎn)C.下列結(jié)論：①abc<0,②2a+b<0,③4a-2b+c>0,④3a+c>0,其中正確

的結(jié)論個數(shù)為（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

20.（2020?天津）已知拋物線y=ax?+bx+c（a,b,c是常數(shù)，a#0,c>l）經(jīng)過點(diǎn)（2,0）,

其對稱軸是直線x=有下列結(jié)論：

①abc〉O；

②關(guān)于x的方程ax2+bx+c=a有兩個不等的實(shí)數(shù)根；

③a</

其中，正確結(jié)論的個數(shù)是（）

A.0B.1C.2D.3

21.（2020?齊齊哈爾）如圖，拋物線y=ax?+bx+c（a=0）與x軸交于點(diǎn)（4,0）,其對稱軸

為直線x=l,結(jié)合圖象給出下列結(jié)論：

①acV0；

②4a-2b+c>0；

③當(dāng)x>2時，y隨x的增大而增大；

④關(guān)于x的一元二次方程ax?+bx+c=O有兩個不相等的實(shí)數(shù)根.

其中正確的結(jié)論有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

22.（2020?濱州）對稱軸為直線x=l的拋物線y=ax?+bx+c（a、b、c為常數(shù),且aWO）如

圖所示，小明同學(xué)得出了以下結(jié)論：①abc<0,②k>2>4ac,③4a+2b+c>0,④3a+c>0,⑤

a+bWm（am+b）（m為任意實(shí)數(shù)），⑥當(dāng)x<-1時，y隨x的增大而增大.其中結(jié)論正確的個

數(shù)為（）

A.3B.4C.5D.6

23.（2020?南充）關(guān)于二次函數(shù)y=ax?-4ax-5（aWO）的三個結(jié)論：①對任意實(shí)數(shù)m,都

有xi=2+m與xz=2-m對應(yīng)的函數(shù)值相等；②若3WxW4,對應(yīng)的y的整數(shù)值有4個，則-:

<aW-1或lWa<-；③若拋物線與x軸交于不同兩點(diǎn)A,B,且ABW6,則a<-三或a》l.其

34

中正確的結(jié)論是（）

A.①②B.①③C.②③D.①②③

24.（2020?寧波）如圖，二次函數(shù)y=ax?+bx+c（a>0）的圖象與x軸交于A,B兩點(diǎn)，與y

軸正半軸交于點(diǎn)C,它的對稱軸為直線x=-1.則下列選項(xiàng)中正確的是（）

A.abc<0

B.4ac-b2>0

C.c-a>0

D.當(dāng)*=-胡-2（n為實(shí)數(shù)）時，y》c

25.（2022?四川遂寧）拋物線y=ax:+bx+c（a,b,c為常數(shù)）的部分圖象如圖所示，設(shè)m=a-b+c,

則m的取值范圍是.

26.（2021?四川成都市?中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，若拋物線>=尤2+2尢+左與

x軸只有一個交點(diǎn)，則上=.

27.（2021?山東泰安市?中考真題）如圖是拋物線丁=。必+加:+。的部分圖象，圖象過點(diǎn)

（3,0）,對稱軸為直線x=l,有下列四個結(jié)論：①aZ?c>0；②a—8+c=O；③y的最大

值為3；④方程依2+/+C+1=0有實(shí)數(shù)根.其中正確的為（將所有正確結(jié)論的

序號都填入）.

28.（2021?安徽）設(shè)拋物線丁=/+（。+1）尤+。，其中a為實(shí)數(shù).

（1）若拋物線經(jīng)過點(diǎn)（-1,機(jī)），則機(jī)=；

（2）將拋物線，=必+他+1）》+。向上平移2個單位，所得拋物線頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)的最大值

是.

29.（2021?湖北武漢市?中考真題）已知拋物線y=。必+0x+c（a,b,c是常數(shù)），

a+b+c=O,下列四個結(jié)論：

①若拋物線經(jīng)過點(diǎn)（-3,0）,則A=2a；

②若匕=c,則方程ex?+bx+a=0一定有根光=—2；

③拋物線與x軸一定有兩個不同的公共點(diǎn)；

④點(diǎn)4（%,%）,3（尤2,%）在拋物線上，若。<。<。，則當(dāng)玉<X2<1時，%>%.

其中正確的是（填寫序號）.

30.（2020?南京）下列關(guān)于二次函數(shù)y=-（x-m）Wl（m為常數(shù)）的結(jié)論：①該函數(shù)的

圖象與函數(shù)y=-X。的圖象形狀相同；②該函數(shù)的圖象一定經(jīng)過點(diǎn)（0,1）；③當(dāng)x>0時,

y隨x的增大而減小；④該函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)在函數(shù)y=x，l的圖象上.其中所有正確結(jié)論

的序號是—.

31.（2020?黑龍江大慶?中考真題）己知關(guān)于左的一元二次方程爐―2%一。=0,有下列結(jié)

論：

①當(dāng)a>—1時，方程有兩個不相等的實(shí)根；

②當(dāng)a>0時，方程不可能有兩個異號的實(shí)根；

③當(dāng)a>—1時，方程的兩個實(shí)根不可能都小于1；

④當(dāng)a>3時，方程的兩個實(shí)根一個大于3,另一個小于3.

以上4個結(jié)論中，正確的個數(shù)為

32.（2020?四川雅安？中考真題）從―,，-1,1,2,5中任取一數(shù)作為〃，使拋物線

2

y=ax?+6x+c的開口向上的概率為.

33.（2020?寧夏中考真題）若二次函數(shù)丁=-f+2%+上的圖象與x軸有兩個交點(diǎn)，則k

的取值范圍是.

34.（2020?內(nèi)蒙古中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，已知和5（5,加）是拋物線

y=三+法+1上的兩點(diǎn)，將拋物線y+法+1的圖象向上平移n（n是正整數(shù)）個單位，

使平移后的圖象與x軸沒有交點(diǎn)，則n的最小值為.

35.（2020?湖北荊門？中考真題）如圖，拋物線丁=以2+桁+°（。/0）與*軸交于點(diǎn)八、8,

頂點(diǎn)為C,對稱軸為直線x=l,給出下列結(jié)論：①而c<0；②若點(diǎn)C的坐標(biāo)為（1,2）,則

△ABC的面積可以等于2；③/（七,％）,是拋物線上兩點(diǎn)（王<電），若

士+々〉2,則％<為；④若拋物線經(jīng)過點(diǎn)（3,-1），則方程6a2+桁+°+1=0的兩根為—1,

3其中正確結(jié)論的序號為.

36.（2020?湖北武漢？中考真題）拋物線y=ax?+6x+c（a,b,c為常數(shù)，a<0）經(jīng)

過A（2,0）,8（—4,0）兩點(diǎn)，下列四個結(jié)論：

①一元二次方程依2+法+0=0的根為％]=2,x2=-4；

②若點(diǎn)。（一5,%）,。（過％）在該拋物線上，則以<%；

③對于任意實(shí)數(shù)總有a/+歷匕；

④對于。的每一個確定值，若一元二次方程以2+bx+c=p（。為常數(shù)，P>0）的根為

整數(shù)，則P的值只有兩個.

其中正確的結(jié)論是（填寫序號）.

37.（2022?浙江嘉興）已知拋物線Li：y=a（x+l）2—4（aWO）經(jīng)過點(diǎn)A（l,0）.

⑴求拋物線L的函數(shù)表達(dá)式.

（2）將拋物線L向上平移m（m>0）個單位得到拋物線L2.若拋物線L2的頂點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)

0的對稱點(diǎn)在拋物線L上，求m的值.

（3）把拋物線L向右平移n（n>0）個單位得到拋物線L”若點(diǎn)B（l,yj,C（3,%）在拋物

線Ls上，且yi>yz,求n的取值范圍.

38.（2022?浙江杭州）設(shè)二次函數(shù)%=2/+法+。（b,c是常數(shù)）的圖像與x軸交于A,B

兩點(diǎn).

⑴若A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（1,0）,（2,0）,求函數(shù)％的表達(dá)式及其圖像的對稱軸.

⑵若函數(shù)％的表達(dá)式可以寫成％=2（X-/I）2-2（h是常數(shù)）的形式，求6+c的最小值.

⑶設(shè)一次函數(shù)為（m是常數(shù)）.若函數(shù)外的表達(dá)式還可以寫成％=2（x-〃z）（x-m-2）

的形式，當(dāng)函數(shù)>=的圖像經(jīng)過點(diǎn)（5,0）時，求毛-%的值.

39.（2022?浙江紹興）已知函數(shù)y=-/+6x+c（b,c為常數(shù)）的圖象經(jīng)過點(diǎn)（0,-3）,

（-6,-3）.⑴求b,c的值.（2）當(dāng)-4WxW0時，求y的最大值.

(3)當(dāng)mWxWO時，若y的最大值與最小值之和為2,求m的值.

40.(2022?云南)已知拋物線y=-f-瓜+c經(jīng)過點(diǎn)(0,2),且與x軸交于A、B兩點(diǎn).設(shè)

k是拋物線>一氐+c與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)；M是拋物線y=---氐+c的點(diǎn)，常數(shù)

m>O,S為aABM的面積.已知使S=m成立的點(diǎn)M恰好有三個,設(shè)T為這三個點(diǎn)的縱坐標(biāo)的和.

/______

⑴求c的值；(2)直接寫出T的值；(3)求的值.

^+^6+2V+4^2+16

41.(2022?浙江舟山)已知拋物線右：y=a(x+t)i-4("0)經(jīng)過點(diǎn)「(1,0).

(1)求拋物乙的函數(shù)表達(dá)式.

（2）將拋物線右向上平移m（加>0）個單位得到拋物線右.若拋物線4的頂點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)

0的對稱點(diǎn)在拋物線乙上，求m的值.

（3）把拋物線4向右平移n（n>0）個單位得到拋物線已知點(diǎn)尸（8-仃）,Qd，）都

在拋物線右上，若當(dāng)f>6時，都有s>r,求n的取值范圍.

42.（2021?四川樂山市?中考真題）已知關(guān)于》的一元二次方程f+x—7%=0.

（2）二次函數(shù)yuf+x—相的部分圖象如圖所示，求一元二次方程f+x—%=0的解.

43.（2021?浙江寧波市?中考真題）如圖，二次函數(shù)y=（尤——（a為常數(shù)）的圖

象的對稱軸為直線x=2.

(1)求a的值.

(2)向下平移該二次函數(shù)的圖象，使其經(jīng)過原點(diǎn)，求平移后圖象所對應(yīng)的二次函數(shù)的表達(dá)

式.

44.(2021?浙江嘉興市?中考真題)已知二次函數(shù)y=—必+6X—5.

(1)求二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)；

(2)當(dāng)時，函數(shù)的最大值和最小值分別為多少？

(3)當(dāng)+3時，函數(shù)的最大值為m，最小值為"，m-n=3求/的值.

專題17二次函數(shù)性質(zhì)綜合

1.（2022?新疆）已知拋物線y=（x-2『+1,下列結(jié)論錯誤的是（）

A.拋物線開口向上B.拋物線的對稱軸為直線x=2

C.拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2,1）D.當(dāng)尤<2時，y隨x的增大而增大

【答案】D

【分析】根據(jù)二次函數(shù)的開口方向、對稱軸、頂點(diǎn)坐標(biāo)以及增減性對各選項(xiàng)分析判斷即可得

解.

【詳解】解：拋物線y=（x-2）2+l中，a>0,拋物線開口向上，因此A選項(xiàng)正確，不符合

題意；

由解析式得，對稱軸為直線x=2,因此B選項(xiàng)正確，不符合題意；

由解析式得，當(dāng)尤=2時，y取最小值，最小值為1,所以拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2』），因此C

選項(xiàng)正確，不符合題意；

因?yàn)閽佄锞€開口向上，對稱軸為直線x=2,因此當(dāng)x<2時，y隨x的增大而減小，因此D

選項(xiàng)錯誤，符合題意；故選D.

【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)，掌握二次函數(shù)的頂點(diǎn)式是解題的關(guān)鍵，即在

y=4（X-/7）~+左中，對稱軸為尤=/7,頂點(diǎn)坐標(biāo)為（九左）.

2.（2022?陜西）已知二次函數(shù)y=x2_2xT的自變量xi,x2,X3對應(yīng)的函數(shù)值分別為y“y2,

y3.當(dāng)-L〈xK0,1<X2<2,X3>3時，yi,y2,丫3三者之間的大小關(guān)系是（）

A.%<%<%B.%<%<%C.%D.y2<y3<

【答案】B

【分析】先求得拋物線的對稱軸為直線x=l,拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，畫出草圖，利用數(shù)

形結(jié)合，即可求解.

【詳解】解：y=x2與xT=（x-l）2-4,.?.對稱軸為直線x=l,

令y=0,貝!I（xT）2-4=0,解得xi=T,x2=3,

.?.拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（-1,0）,（3,0）,

二次函數(shù)y=x2-2x^的圖象如圖：

由圖象知%<%<為.故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征：二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)滿足其解析

式.利用數(shù)形結(jié)合解題是關(guān)鍵.

3.(2022?浙江寧波)點(diǎn)A(m-Lyj,B(m,y2)都在二次函數(shù)y=(x-1)的圖象上.若

yi<y2,則m的取值范圍為()

33

A.m>2B.m>—C.m<lD.-<m<2

22

【答案】B

【分析】根據(jù)y】Vy2列出關(guān)于m的不等式即可解得答案.

【詳解】解：?.,點(diǎn)A(m-1,yi),B(m,y2)都在二次函數(shù)y=(x-l)之+口的圖象上，

222

/.yi=(m-1-1)+n=(m-2)+n,y2=(m-1)+n,

?:yiVy2,(m-2)2+n<(m-1)2+n,

(m-2)2-(m-l)2V0,

3

即-2m+3V0,.\m>—,故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，解題的關(guān)鍵是根據(jù)已知列出關(guān)于m的不

等式.

4.(2022?湖南株洲|)已知二次函數(shù)丁=辦2+區(qū)一0(〃。0),其中人>0、c>0,則該函數(shù)的

圖象可能為()

【分析】利用排除法，由-c<0得出拋物線與y軸的交點(diǎn)應(yīng)該在y軸的負(fù)半軸上，排除A選

項(xiàng)和D選項(xiàng)，根據(jù)B選項(xiàng)和C選項(xiàng)中對稱軸x=?>0,得出“<0,拋物線開口向下，排除

B選項(xiàng)，即可得出C為正確答案.

【詳解】解：對于二次函數(shù)>=仆2+及一。（。力0）,

令x=0,貝Ijy=—J.?.拋物線與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（O,-c）

：c>0,..拋物線與y軸的交點(diǎn)應(yīng)該在y軸的負(fù)半軸上，

,可以排除A選項(xiàng)和D選項(xiàng)；

B選項(xiàng)和C選項(xiàng)中，拋物線的對稱軸x=?>0,

?/6>0,..拋物線開口向下，可以排除B選項(xiàng)，

【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的圖象的性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)圖象與三個系數(shù)之間的關(guān)系是

解題的關(guān)鍵.

5.（2022?四川成都）如圖，二次函數(shù)y=o?+bx+c的圖像與x軸相交于A（T,0）,8兩點(diǎn)，

對稱軸是直線x=l,下列說法正確的是（）

A.a>0B.當(dāng)尤>-1時，>的值隨x值的增大而增大

C.點(diǎn)3的坐標(biāo)為（4,0）D.4a+2b+c>0

【答案】D

【分析】結(jié)合二次函數(shù)圖像與性質(zhì)，根據(jù)條件與圖像，逐項(xiàng)判定即可.

【詳解】解：A、根據(jù)圖像可知拋物線開口向下，即"<0,故該選項(xiàng)不符合題意；

B、根據(jù)圖像開口向下，對稱軸為x=l,當(dāng)x>l,，隨龍的增大而減小；當(dāng)無<1,>隨龍的

增大而增大，故當(dāng)時，y隨x的增大而增大；當(dāng)x>i,y隨x的增大而減小，故該

選項(xiàng)不符合題意；

C、根據(jù)二次函數(shù)y=&+bx+c的圖像與X軸相交于A（T0）,B兩點(diǎn)，對稱軸是直線x=l,

可得對稱軸尤解得4=3,即3（3,0）,故該選項(xiàng)不符合題意；

D、根據(jù)3(3,0)可知，當(dāng)x=2時，y=4a+2b+c>0,故該選項(xiàng)符合題意；故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)，根據(jù)圖像得到拋物線開口向下，根據(jù)對稱軸以及

拋物線與x軸交點(diǎn)A(TO)得到8(3,。)是解決問題的關(guān)鍵.

6.(2022?湖北隨州)如圖，已知開口向下的拋物線y=渡+6x+c與x軸交于點(diǎn)(-1,0)對

稱軸為直線x=l.則下列結(jié)論：①a6c>0；②2a+Z?=0；③函數(shù)y=辦?+法+。的最大值

為Ta；④若關(guān)于x的方數(shù)依2+法+0=4+1無實(shí)數(shù)根，則-g<a<0.正確的有

()

C.3個D.4個

【答案】C

b

【分析】由圖象可知，圖像開口向下，a<0,對稱軸為x=l,故-二=1,故b>0,且Z?=-2a,

2a

則2。+/?=0圖象與y軸的交點(diǎn)為正半軸，則c>0,由此可知abcVO,故①錯誤，由圖象

可知當(dāng)x=l時，函數(shù)取最大值，將x=l,代入>=4/+云+*中得：y=a+b+c,計算出

函數(shù)圖象與x軸的另一交點(diǎn)為(3,0)設(shè)函數(shù)解析式為：y=d(x-巧)，將交點(diǎn)

坐標(biāo)代入得化簡得：y=ax2-2ax-3a,將x=l,代入可得：y=a-2a-3a=-4a,故函數(shù)

的最大值為一4a,、ox?+〃x+c=a+i變形為：依?+打+0_々_]=0要使方程無實(shí)數(shù)根，貝ij

4〃(c—〃—1)<0,將c=—3a,b=-2a,代入得:20a2+4a<0,因?yàn)閍VO,貝lj20，+4>0,

貝綜上所述］<。<0,結(jié)合以上結(jié)論可判斷正確的項(xiàng).

h

【詳解】解：由圖象可知，圖像開口向下，a<0,對稱軸為x=l,故-二=1,故b>0,且6=-2a,

則2a+b=0故②正確，

:圖象與y軸的交點(diǎn)為正半軸，；.c>0,則abc<0,故①錯誤，

由圖象可知當(dāng)x=l時，函數(shù)取最大值，將x=l,代入>=加+版+°,中得：y=a+b+c,

由圖象可知函數(shù)與x軸交點(diǎn)為(-1,0),對稱軸為將x=l,故函數(shù)圖象與x軸的另一交點(diǎn)為

(3,0),

設(shè)函數(shù)解析式為：/=a(x-xj(x-4)，

將交點(diǎn)坐標(biāo)代入得：y=a（x+l）（x-3）,故化簡得：y=ax2-2ax-3a,

將x=l,代入可得：y=a-2a-3a=-4a,故函數(shù)的最大值為-4a,故③正確，

ox?+力％+°=々+1變形為：加+Z?X+C-Q-1=0要使方程無實(shí)數(shù)根，則匕2-4〃（c-a-l）<0,

將c=-3a,6=—2。，代入得：20a2+4a<0,因?yàn)閍<0,貝lj20a+4>。，貝普>一（，綜上所

述故④正確，則②③④正確，故選C.

【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的一般式，二次函數(shù)的交點(diǎn)式，二次函數(shù)的最值，對稱軸，以及

交點(diǎn)坐標(biāo)掌握數(shù)形結(jié)合思想是解決本題的關(guān)鍵.

7.（2022?天津）已知拋物線>=以2+"+。（a,b,c是常數(shù)，Ovavc）經(jīng)過點(diǎn)（1,0）,有

下列結(jié)論：①2a+〃v0；②當(dāng)x>l時，y隨x的增大而增大；

③關(guān)于x的方程依2+"+3+c）=0有兩個不相等的實(shí)數(shù)根.其中，正確結(jié)論的個數(shù)是

（）

A.0B.1C.2D.3

【答案】C

【詳解】由題意可知：〃+b+c=O,〃=一（。+。），b+c=-a,

0<6Z<c,:.a+c>2a,即〃=一（。+。）<一2。，得出〃+2av0,故①正確；

b

,/Z?+2（2<0,，對稱軸％=---->1,

2a

〃>0,時，y隨X的增大而減小，時，）隨兄的增大而增大，故②不正

確；

,/b1-4a（b+c）=b?_4〃x（—a）=b2+4a2>0,

?二關(guān)于x的方程o?+云+（b+c）=。有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，故③正確.故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)及一元二次方程根的判別式，解題的關(guān)鍵是熟練掌

握二次函數(shù)的性質(zhì)并能應(yīng)用求解.

8.（2022?山東濱州）如圖，拋物線丁=以2+陵+0與*軸相交于點(diǎn)？1（-2,0）,3（6,0）,與y

軸相交于點(diǎn)C,小紅同學(xué)得出了以下結(jié)論：①方2—4碇>0；②4〃+》=。；③當(dāng)>>0時，

-2<x<6；@a+b+c<0.其中正確的個數(shù)為（）

A.4B.3C.2D.1

【答案】B

【分析】根據(jù)二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)，逐一判斷即可.

【詳解】解：???拋物線二江+法+c與x軸交于點(diǎn)A（-2,0）、B（6,0）,

...拋物線對應(yīng)的一元二次方程以2+法+0=0有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，

即△=b1-4ac>0，故①正確；

對稱軸為*=-￡=好，整理得4a+b=0,故②正確；

2a2

由圖像可知，當(dāng)y>0時，即圖像在x軸上方時，x<—2或x>6,故③錯誤，

由圖像可知，當(dāng)x=l時，y=a+b+c<0,故④正確.

正確的有①②④，故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)與一元二次方程的關(guān)系，熟練掌握相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵.

9.（2022?四川南充）已知點(diǎn)”&,%），雙（馬,力）在拋物線>=皿2_2根2》+〃（機(jī)力0）上，當(dāng)

玉+尤2>4且不<三時，都有必<必，則111的取值范圍為（）

A.0<m<2B.-2<m<0C.m>2D.m<-2

【答案】A

_?2

【分析】根據(jù)題意可得，拋物線的對稱軸為X=-上w上=7〃，然后分四種情況進(jìn)行討論分析，

2m

最后進(jìn)行綜合即可得出結(jié)果.

【詳解】解：根據(jù)題意可得，拋物線的對稱軸為X=-K=7",

2m

①當(dāng)0<01〈再<%時，％<%恒成立；

②當(dāng)無1<%<m<。時，恒不成立；

③當(dāng)。<占<相</時，使芯+%>4，必<必恒成立，

X+八c

..m<-----，..m<2,0<m<2,

2

④當(dāng)花<初<々<。時，％〈必恒不成立；

綜上可得：0<加V2,故選：A.

【點(diǎn)睛】題目主要考查二次函數(shù)的基本性質(zhì)，理解題意，熟練掌握二次函數(shù)的基本性質(zhì)是解

題的關(guān)鍵.

10.（2021?四川涼山彝族自治州?中考真題）二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a豐0）的圖象如圖

所示，則下列結(jié)論中不正確的是（）

x=-l

A.abc>0B.函數(shù)的最大值為〃-Z?+c

C.當(dāng)—3領(lǐng)jc1時，y.oD.4a-2b+c<0

【答案】D

【分析】

根據(jù)拋物線開口方向、拋物線的對稱軸位置和拋物線與y軸的交點(diǎn)位置可判斷a、b、c的符

號，利用拋物線的對稱性可得到拋物線與x軸的另一個交點(diǎn)坐標(biāo)為(-3,0),從而分別判

斷各選項(xiàng).

【詳解】

解：?.?拋物線開口向下，

:拋物線的對稱軸為直線X=-l,

b

---=—1,即b—2a,則b<0,

2a

?..拋物線與y軸交于正半軸，

/.c>0,

則abc>0,故A正確；

當(dāng)x=T時，y取最大值為a-b+c,故B正確；

由于開口向上，對稱軸為直線x=-l,

則點(diǎn)(1,0)關(guān)于直線x=-l對稱的點(diǎn)為(-3,0),

即拋物線與x軸交于(1,0),(-3,0),

...當(dāng)—3WXW1時，y>0,故C正確；

由圖像可知：當(dāng)x=-2時，y>0,

即y=4a—2Z?+c>0,故D錯誤；

故選D.

【點(diǎn)睛】

本題考查了二次函數(shù)與系數(shù)的關(guān)系：對于二次函數(shù)y=ax、bx+c(a#0),二次項(xiàng)系數(shù)a決定

拋物線的開口方向和大?。寒?dāng)a>0時，拋物線向上開口；拋物線向下開口；一次項(xiàng)系數(shù)b

和二次項(xiàng)系數(shù)a共同決定對稱軸的位置：當(dāng)a與b同號時(即ab>0),對稱軸在y軸左；

當(dāng)a與b異號時（即ab<0）,對稱軸在y軸右.常數(shù)項(xiàng)c決定拋物線與y軸交點(diǎn)：拋物線

與y軸交于（0,c）.

11.（2021?四川眉山市?中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=4x+5與丁軸

交于點(diǎn)C,則該拋物線關(guān)于點(diǎn)。成中心對稱的拋物線的表達(dá)式為（）

A.y=-x~一4x+5B.y=+4x+5

C.y=-x2+4x—5D.y=-—4x—5

【答案】A

【分析】

先求出C點(diǎn)坐標(biāo)，再設(shè)新拋物線上的點(diǎn)的坐標(biāo)為（x,y）,求出它關(guān)于點(diǎn)C對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)，

代入到原拋物線解析式中去，即可得到新拋物線的解析式.

【詳解】

解：當(dāng)x=0時，y=5,

AC（0,5）；

設(shè)新拋物線上的點(diǎn)的坐標(biāo)為（x,y）,

:原拋物線與新拋物線關(guān)于點(diǎn)C成中心對稱，

由2x0—x=—x,2x5-y=10-y；

???對應(yīng)的原拋物線上點(diǎn)的坐標(biāo)為（-x,10-y）；

代入原拋物線解析式可得：10—y=（—尤）2—4-（—x）+5,

...新拋物線的解析式為：y=-x2-4x+5；

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題綜合考查了求拋物線上點(diǎn)的坐標(biāo)、中心對稱在平面直角坐標(biāo)系中的運(yùn)用以及求拋物線的

解析式等內(nèi)容，解決本題的關(guān)鍵是設(shè)出新拋物線上的點(diǎn)的坐標(biāo)，求出其在原拋物線上的對應(yīng)

點(diǎn)坐標(biāo)，再代入原拋物線解析式中求新拋物線解析式，本題屬于中等難度題目，蘊(yùn)含了數(shù)形

結(jié)合的思想方法等.

12.（2021?江蘇蘇州市?中考真題）已知拋物線丁=必+日—左2的對稱軸在了軸右側(cè)，現(xiàn)

將該拋物線先向右平移3個單位長度，再向上平移1個單位長度后，得到的拋物線正好經(jīng)過

坐標(biāo)原點(diǎn)，則上的值是（）

A.-5或2B.-5C.2D.-2

【答案】B

【分析】

根據(jù)二次函數(shù)圖象左加右減，上加下減的平移規(guī)律進(jìn)行解答即可.

【詳解】

解：函數(shù)y=f+日—左2向右平移3個單位，得：y=（x—3）2+Mx—3）—公；

再向上平移1個單位，得：y=（x-3）2+k（x-3）-k2+l,

:得到的拋物線正好經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)

0=（0—3廣+左（0—3）—左2+i即左2+3左一I。=o

解得：氏=—5或左=2

1/拋物線y=x2+kx-k2的對稱軸在丁軸右側(cè)

k

x=--->0

2

k<0

：.k=-5

故選：B.

【點(diǎn)睛】

此題主要考查了函數(shù)圖象的平移，要求熟練掌握平移的規(guī)律：左加右減，上加下減.

13..（2021?天津中考真題）已知拋物線丁=。必+。%+。（”,仇°是常數(shù)，awO）經(jīng)過

點(diǎn)（—1,—1）,（0/），當(dāng)％=—2時，與其對應(yīng)的函數(shù)值>>1.有下列結(jié)論：①abc>0；②關(guān)

于x的方程a/+bx+c-3=。有兩個不等的實(shí)數(shù)根；③a+A+c>7.其中，正確結(jié)論的

個數(shù)是（）

A.0B.1C.2D.3

【答案】D

【分析】

根據(jù)函數(shù)與點(diǎn)的關(guān)系,一元二次方程根的判別式,不等式的性質(zhì)，逐一計算判斷即可

【詳解】

?..拋物線y=ad+bx+c（a,dc是常數(shù)，aw0）經(jīng)過點(diǎn)（―1,—1）,（0/），當(dāng)x=—2時，

與其對應(yīng)的函數(shù)值y>l.

c=l>0,a-b+c=T,4a-2b+c>l,

a-b--2,2a_b>0,

2a-a-2^>0,

.,.a>2>0,

b=a+2>0,

abc>0,

ax2+bx+c-3=0,

△=b1-4〃（。一3）=。2+8Q>0,

ax2+Zzx+c—3=0有兩個不等的實(shí)數(shù)根；

Vb=a+2,a>2,c=l,

a+b+c=a+a+2+l=2a+3,

Va>2,

.\2a>4,

2a+3>4+3>7,

故選D.

【點(diǎn)睛】

本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，一元二次方程根的判別式，不等式的基本性質(zhì)，熟練掌握二次

函數(shù)的性質(zhì)，靈活使用根的判別式，準(zhǔn)確掌握不等式的基本性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

14.（2021?四川遂寧市?中考真題）已知二次函數(shù)丁=辦2+歷:+。（0片0）的圖象如圖所

示，有下列5個結(jié)論：①。歷>0；②/<4ac；③2c<38；④。+25>%（am+6）（m/1）；

⑤若方程■'H+dn有四個根，則這四個根的和為2,其中正確的結(jié)論有（）

根據(jù)拋物線的開口向下，對稱軸方程以及圖象與y軸的交點(diǎn)得到a,b,c的取值，于是可對

b

①進(jìn)行判斷；根據(jù)拋物線與X軸的交點(diǎn)的個數(shù)可對②進(jìn)行判斷；根據(jù)對稱軸可得-一=1,

2a

則。=—!），根據(jù)x=—l可得a—b+c<0,代入變形可對③進(jìn)行判斷；當(dāng)％=1時，

2

y=a+Z?+c的值最大，即當(dāng)％=加“九/1）時，即a+/7+c〉a??+/W7+C，則可對④進(jìn)行

判斷；由于方程ax，bx+c=l有2個根，方程ax?+bx+c=T有2個根，則利用根與系數(shù)的關(guān)系

可對⑤進(jìn)行判斷.

【詳解】

解：①???拋物線開口方向向下，

Aa<0,

?.?拋物線與y軸交于正半軸，

.\c>0,

:對稱軸在y軸右側(cè)，

.,.b>0,

.\abc<0,①錯誤；

②???拋物線與x軸有兩個交點(diǎn)

Z?2-4ac>0

??./>4ac，故②錯誤；

③?.?拋物線的對稱軸為直線x=l,

2a

1

??a=—b7

2

由圖象得，當(dāng)尤=—1時，y=a-b+c<09

：.--b-b+c<Q

2

：?2c<3b,故③正確；

④當(dāng)x=l時，y=〃+人+。的值最大，

.??當(dāng)％=加(加wl)時，a+b+c>am1+bm+c，

/.a+b>m(am+b)(mwl),

Vb>0,

a+2b>m{am+b)(m^l),故④正確；

⑤?.?方程|ax，bx+c|二l有四個根，

工方程ax2+bx+c=l有2個根,方程ax2+bx+c=-l有2個根，

1。

?■?所有根之和為2X(--)=2X—=4,所以⑤錯誤.

aa

正確的結(jié)論是③④，

故選：A

【點(diǎn)睛】

本題考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系：對于二次函數(shù)y=ax?+bx+c(a#0),二次項(xiàng)系數(shù)a

決定拋物線的開口方向和大小.當(dāng)a>0時，拋物線向上開口；當(dāng)a<0時，拋物線向下開口；

一次項(xiàng)系數(shù)b和二次項(xiàng)系數(shù)a共同決定對稱軸的位置.當(dāng)a與b同號時(即ab>0),對稱

軸在y軸左；當(dāng)a與b異號時(即ab<0),對稱軸在y軸右.常數(shù)項(xiàng)c決定拋物線與y

軸交點(diǎn)位置：拋物線與y軸交于(0,c).拋物線與x軸交點(diǎn)個數(shù)由△決定：△=b2-4ac>0

時，拋物線與X軸有2個交點(diǎn)；△=b2-4ac=0時，拋物線與X軸有1個交點(diǎn)；△=b2-4acV0

時，拋物線與x軸沒有交點(diǎn).

15.（2021?天津中考真題）已知拋物線y=Q%2+"+C是常數(shù)，awO）經(jīng)過點(diǎn)

（-1,-1）,（0,1）,當(dāng)x=-2時，與其對應(yīng)的函數(shù)值有下列結(jié)論：①abc>0；②關(guān)于x的

方程以2+樂+°_3=0有兩個不等的實(shí)數(shù)根；③a+"c>7.其中，正確結(jié)論的個數(shù)是（）

A.0B.1C.2D.3

【答案】D

【分析】

根據(jù)函數(shù)與點(diǎn)的關(guān)系,一元二次方程根的判別式,不等式的性質(zhì)，逐一計算判斷即可

【詳解】

,拋物線y=以2+"+。是常數(shù)，4。0）經(jīng)過點(diǎn)（一1,一1）,（0,1）,當(dāng)％=-2時，與其對

應(yīng)的函數(shù)值y>i.

c=l>0,a-b+c=-1,4a-2b+c>l,

a-b--2,2a-b>0,

2a—a-2>0,

.\a>2>0,

b=a+2>0,

abc>0,

,**ax2+bx+c-3=0,

△=fe2-4a（c-3）=b2+8。>0,

***ax2+ZZX+C_3=0有兩個不等的實(shí)數(shù)根；

b=a+2,a>2,c=l,

a+b+c-a+a+2+l-2a+3,

Va>2,

.'.2a>4,

2a+3>4+3>7,

故選D.

【點(diǎn)睛】

本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，一元二次方程根的判別式，不等式的基本性質(zhì)，熟練掌握二次

函數(shù)的性質(zhì)，靈活使用根的判別式，準(zhǔn)確掌握不等式的基本性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

16.（2021?陜西中考真題）下表中列出的是一個二次函數(shù)的自變量x與函數(shù)y的幾組對應(yīng)

值：

??????

X-2013

y.??6-4-6-4???

下列各選項(xiàng)中，正確的是

A.這個函數(shù)的圖象開口向下

B.這個函數(shù)的圖象與x軸無交點(diǎn)

C.這個函數(shù)的最小值小于-6

D.當(dāng)x>l時，y的值隨x值的增大而增大

【答案】C

【分析】

利用表中的數(shù)據(jù)，求得二次函數(shù)的解析式，再配成頂點(diǎn)式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)逐一分析即

可判斷.

【詳解】

解：設(shè)二次函數(shù)的解析式為y=ax2+6x+c,

4〃一2b+c=6a=l

依題意得：c=-4,解得：蟲二-3,

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