復(fù)數(shù)（學(xué)生版） 2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)學(xué)案（新高考）

第03講復(fù)數(shù)

（9類核心考點(diǎn)精講精練）

I他.考情探究?

1.5年真題考點(diǎn)分布

5年考情

考題示例考點(diǎn)分析關(guān)聯(lián)考點(diǎn)

2024年新I卷，第2題，5分復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算無

2024年新II卷，第1題，5分復(fù)數(shù)的模無

2023年新I卷，第2題，5分復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算、共輾復(fù)數(shù)無

2023年新II卷，第1題，5分復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算、復(fù)數(shù)的幾何意義無

2022年新I卷，第2題，5分復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算、共軻復(fù)數(shù)無

2022年新II卷，第2題，5分復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算無

2021年新I卷，第2題，5分復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算、共輾復(fù)數(shù)無

2021年新II卷，第1題，5分復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算、復(fù)數(shù)的幾何意義無

2020年新I卷，第1題，5分復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算無

2020年新H卷，第2題，5分復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算無

2.命題規(guī)律及備考策略

【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是新高考的必考內(nèi)容，設(shè)題穩(wěn)定，難度較低，分值為5分

【備考策略】1.理解、掌握復(fù)數(shù)的代數(shù)形式，能夠掌握數(shù)集分類及復(fù)數(shù)分類，需要關(guān)注復(fù)數(shù)的實(shí)部、虛部、

及純虛數(shù)

2.能正確計(jì)算復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算及模長等問題，理解并掌握共軌復(fù)數(shù)

3.熟練掌握復(fù)數(shù)的幾何意義即復(fù)數(shù)與復(fù)平面上點(diǎn)的對應(yīng)關(guān)系

【命題預(yù)測】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的必考內(nèi)容，一般考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算、共軟復(fù)數(shù)、模長運(yùn)算、幾何意

義，題型較為簡單。

知識點(diǎn)1數(shù)集的分類

知識點(diǎn)2虎數(shù)單位及周期

知識點(diǎn)3復(fù)數(shù)的代數(shù)形式及復(fù)數(shù)分類

知識點(diǎn)4復(fù)數(shù)相等

知識點(diǎn)5嘶出

知識點(diǎn)6復(fù)數(shù)的幾何意義及復(fù)數(shù)的模

知識點(diǎn)7復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算

知識點(diǎn)8復(fù)數(shù)的三角表示

考點(diǎn)1復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算

考點(diǎn)2求復(fù)數(shù)的實(shí)吾嶼虛部

考點(diǎn)3復(fù)數(shù)相等

考點(diǎn)4復(fù)數(shù)的分類及地虎數(shù)概念考查

考點(diǎn)5復(fù)數(shù)的幾何意義

考點(diǎn)6亮改的模長及與模相關(guān)的軌跡問題

考點(diǎn)7箕數(shù)的三角形式

考點(diǎn)8歐拉公式

考點(diǎn)9復(fù)數(shù)多選題

知識講解

1.復(fù)數(shù)的定義

我們把形如a+bi(a6cR)的數(shù)叫做復(fù)數(shù)，其中i叫做,滿足i2=________-虛數(shù)單位的周期

為.

2.復(fù)數(shù)通常用字母z表示，即z="+bi(a,6eR),其中的。與6分別叫做復(fù)數(shù)z的與.

3.對于復(fù)數(shù)z=a+砥a,beR),復(fù)數(shù)z=a+6i(a,6eR),z為實(shí)數(shù)o；z為虛數(shù)o；z

為純虛數(shù)o；z為非純虛數(shù)o.

即復(fù)數(shù)z=“+歷(a,6eR)_(一)

1—J)[二(二)

4.在復(fù)數(shù)集。={0+歷|0力€1i}中任取兩個(gè)數(shù)a+bi,c+di[a,b,c,deR),規(guī)定a+6i與c+di相等當(dāng)且僅

當(dāng)__________,即復(fù)數(shù)相等：a+bi=c+di^>{a,b,c,deR).

5.共軌復(fù)數(shù)

Cl)定義：當(dāng)兩個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部,虛部時(shí)，這兩個(gè)復(fù)數(shù)叫做互為共朝復(fù)數(shù).虛部不等于0

的兩個(gè)共軌復(fù)數(shù)也叫做共軌虛數(shù).

(2)表示方法：復(fù)數(shù)z的共輾復(fù)數(shù)用7表示，即如果z=a+6i,那么7=.

6.復(fù)數(shù)的幾何意義

為方便起見，我們常把復(fù)數(shù)z=a+歷說成點(diǎn)Z或說成向量應(yīng)，并且規(guī)定，—的向量表示同一個(gè)復(fù)數(shù).

7.復(fù)平面

建立直角坐標(biāo)系來表示復(fù)數(shù)的平面叫做,x軸叫做,y軸叫做.實(shí)軸上的點(diǎn)都表

示；除了原點(diǎn)外，虛軸上的點(diǎn)都表示純虛數(shù).

向量應(yīng)的模稱為復(fù)數(shù)z=a+6i的?；蚪^對值，記作或.即|z|=|a+歷卜,其中

a,beR.如果6=0,那么z=a+bi是一個(gè)實(shí)數(shù)°,它的模就等于.

9.復(fù)數(shù)的加、減法運(yùn)算法則

設(shè)Z]=Q+bi/?=c+di(a,b,c,d￡R),IJIlJz1+z2=,zx-z2=.

10.復(fù)數(shù)加法的運(yùn)算律

對任意馬尼烏eC,有

(1)父換律：zi+z2=.(2)結(jié)合律：(Z1+Z2)Z3=-

11.復(fù)數(shù)的乘法

(1)復(fù)數(shù)的乘法法則

^：zl=a+bi,z2=c+di(a,b,c,deR)是任意兩個(gè)復(fù)數(shù)，那么它們的積

(a+bi)(c+di)=ac+bci+ad\+bdi2=

(2)復(fù)數(shù)乘法的運(yùn)算律

對于任意句/2/3eC,有

交換律乎2=

結(jié)合律(.2”3=_

乘法對加法的分配律Z|(Z2+Z3：=

12.設(shè)的三角形式分別是Z|=4(cosq+isin<9j,Z2=2(cosa+isin6>2),

那么，Z|z?==.

這就是說，兩個(gè)復(fù)數(shù)相乘，積的模等于各復(fù)數(shù)的模的積，積的輻角等于各復(fù)數(shù)的輻角的和.簡記為：模相乘,

輻角相加.

13.設(shè)az?的三角形式分別是％=4(cos。］+isin6j,Z2—(cosa+isinH),且Zz^O,那么，—=

Z2

*

這就是說，兩個(gè)復(fù)數(shù)相除，商的模等于被除數(shù)的模除以除數(shù)的模所得的商，商的輻角等于被除數(shù)的輻角減

去除數(shù)的輻角所得的差.簡記為：模相除，輻角相減.

考點(diǎn)一、復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算

典例引領(lǐng)

1.(2024?全國?高考真題)設(shè)z="，貝"與=()

A.-iB.1C.-1D.2

5(l+i3)

2.(2023?全國?高考真題),=()

(2+1)")

A.-1B.1C.1-iD.1+i

即時(shí)檢測

1.(2024?天津?高考真題)已知i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)心+i)?心-2i)=.

2.(2023?全國?高考真題)設(shè)z=,貝唯=()

1+1+1

A.l-2iB.l+2iC.2-iD.2+i

(l+i)

3.（2024?河南,三模）已知i為虛數(shù)單位，

O-O-

A.1+iB.1-iC.-l+iD.-1-i

考點(diǎn)二、求復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部

典例引領(lǐng)

1-2i

L（2024?全國?模擬預(yù)測）已知z=I,貝丫的實(shí)部是（）

1+1

A.-iB.iC.0D.1

2+2

2.⑵24嘿龍江三模）若不二:i,則Z0-1）的虛部為（）

A.-1B.1C.3D.-3

即時(shí)他虬

1.（2024?重慶?三模）設(shè)復(fù)數(shù)z滿足2z-iF=l,則z的虛部為（

11

A.—B.—C.3D.—3

33

2.（2024?陜西?二模）復(fù)數(shù)z=i（l+i'）（iJ2i）的實(shí)部為（）

A.1B.3C.-2D.-1

3.（2024?江西鷹潭?二模）已知z=（"i）4，則I的虛部為（）

1-i

A.2iB.-2iC.-2D.2

考點(diǎn)三、復(fù)數(shù)相等

典例引領(lǐng)

1.(2023?全國,高考真題)設(shè)awR,(a+i)(l—oi)=2,,則。=()

A.-1B.0C.1D.2

2.(2022?浙江?高考真題)已知/b￡R,Q+3i=(b+i)i(i為虛數(shù)單位)，貝I]()

A.Q=l,b=-3B.a=-l,b=3C.。=-1,6=-3D.a=1,b=3

即

1.（2024?河南?模擬預(yù)測）已知i為虛數(shù)單位，a,beR,滿足（a-2i)i=b+i,貝！Ja+6=()

A.0B.1C.2D.3

2.（2024?安徽合肥?三模）已知z(i-3)=7+2,貝i]z=()

42.c42.

A.—+—1B.-------1

9999

…42.r42.

D.----------1

9999

—m+1

3.（2024?河北保定?三模）若復(fù)數(shù)z滿足z-z=?匚，則實(shí)數(shù)m二()

3-1

111

A.YB.一C.—D.——

323

考點(diǎn)四、復(fù)數(shù)的分類及純虛數(shù)概念考查

典例引領(lǐng)

1.（2024,河北?二模）已知復(fù)數(shù)zufW+aiSeR）是實(shí)數(shù)，貝（）

（1+1）

A.V2B.-72C.-2D.2

已知復(fù)數(shù)魯（aeR）為純虛數(shù)，則。的值為（）

2.（2024?河南?三模）

A.2B.1C.-1D.-2

即時(shí)購

1.（2024?遼寧大連?二模）設(shè)XER，則"x=l"是"復(fù)數(shù)Z=(f-l)+(x+l)i為純虛數(shù)”的()

A.充分必要條件B.必要不充分條件

C.充分不必要條件D.既不充分也不必要條件

D7+1

2.（2024?遼寧?模擬預(yù)測）若復(fù)數(shù)五T為實(shí)數(shù),則實(shí)數(shù)"等于（）

11

A.-B.-1C.——D.2

32

考點(diǎn)五、復(fù)數(shù)的幾何意義

典例引領(lǐng)

■——

1.（2023?全國?高考真題）在復(fù)平面內(nèi)，（l+3i）（3-i）對應(yīng)的點(diǎn)位于（）.

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

2.（2021?全國?高考真題）復(fù)數(shù)與在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)所在的象限為（）

1-31

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

3.（2024?山西?三模）已知復(fù)數(shù)（l+2i）-加（3-i）在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限，則實(shí)數(shù)優(yōu)的取值范圍

是.

即時(shí)檢測

1.（2024?山東?二模）己知復(fù)數(shù)z滿足（l-i）z=3+i,則彳在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

2

2.（2024?江西?模擬預(yù)測）在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為（1,-1）,則^=（）

l-2i

42.24.42.24.

A.----1B.----1C.-+-1D.-+-1

55555555

3.（2024?江西?模擬預(yù)測）若復(fù)數(shù)Z的共輾復(fù)數(shù)I滿足12。23三=i_2i，則2在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為（）

A.（2,1）B.（-2,1）

C.(-2,-1)D.(2,-1)

考點(diǎn)六、復(fù)數(shù)的模長及與模相關(guān)的軌跡問題

典例3闞

L（2024?全國高考真題）已知z=—l-i,則目=()

A.0B.1C.亞D.2

2.（2023?全國?高考真題）2+i2+2i3=()

A.1B.2C.V5D.5

3.（2024?廣東揭陽?二模）已知復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為（a,6）,且|z+i|=4,貝1］（）

A.a2+(Z?+l)2=4B.a2+(b+l)2=16

C.(a+l)2+b2=4D.(a+l)2+b2=16

即時(shí)檢測

1.(2024?福建南平?二模)若復(fù)數(shù)z滿足z+i=2i(z-i),則目=()

A.1B.-y/2C.5/3D.2

2.(2024?貴州畢節(jié)三模)若復(fù)數(shù)z滿足(l+i2+i5)?z=3i202J4i,則|z|=()

A.1B.5C.7D.25

3.（2024?遼寧?二模）已知i是虛數(shù)單位,復(fù)數(shù)z滿足卜-i|=l,則卜-詞的最小值為()

A.V3-1B.1C.V3+1D.3

考點(diǎn)七、復(fù)數(shù)的三角形式

典例引領(lǐng)

1.(2024?黑龍江哈爾濱三模)復(fù)數(shù)z=。+歷(a/eR,i是虛數(shù)單位)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點(diǎn)為Z,設(shè)，?=|OZ|,。是

以x軸的非負(fù)半軸為始邊，以O(shè)Z所在的射線為終邊的角，則2=<7+歷=小05。+15也。)，把r(cos6?+isin。)

叫做復(fù)數(shù)a+bi的三角形式，利用復(fù)數(shù)的三角形式可以進(jìn)行復(fù)數(shù)的指數(shù)運(yùn)算，

卜(cos61+isin6?)]"=r"(cos”0+isin〃e)(〃eN*),例如：-，+且i]=fcos—+isin—=cos27t+isin27t=1,

)=-4,復(fù)數(shù)z滿足：/=l+i，則z可能取值為）

2.(2024?內(nèi)蒙古赤峰?一模)棣莫弗公式(cosx+i-sinx)"=cos(〃x)+i-sin(〃x)(其中i為虛數(shù)單位)是由法國

數(shù)學(xué)家棣莫弗(1667-1754)發(fā)現(xiàn)的，根據(jù)棣莫弗公式可知，復(fù)數(shù)\osg+i-sing]在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點(diǎn)位

于()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

即時(shí)檢測

I______________________

1.(2024?陜西商洛?模擬預(yù)測)法國數(shù)學(xué)家棣莫弗(1667-1754年)發(fā)現(xiàn)了棣莫弗定理：設(shè)兩個(gè)復(fù)數(shù)

4=q（cos，】+isin6Q,z2=r2（cos%+isin%）（6,弓>0）,貝|z/=rxr2[cos（〃+^2）+isin（^+2）].設(shè)

Z=」-@i,則Z2024的虛部為（）

22

A.--B.—C.1D.0

22

2.（2023?全國?模擬預(yù)測）已知復(fù)數(shù)2=337+1新裊7,則卜-1）卜2-1）…卜23-1）=（）

20232023'八）''

A.2022B.2023C.-2022D.-2023

考點(diǎn)八、歐拉公式

典例引領(lǐng)

L（2024?四川綿陽?模擬預(yù)測）歐拉公式e'"=cos0+isin0把自然對數(shù)的底數(shù)e,虛數(shù)單位i,cos。和sin。

聯(lián)系在一起，充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的和諧美，被譽(yù)為“數(shù)學(xué)中的天橋".則e加+1=（）

A.-1B.0C.1D.i

2.（2022?重慶北倍?模擬預(yù)測）歐拉是18世紀(jì)最偉大的數(shù)學(xué)家之一，在很多領(lǐng)域中都有杰出的貢獻(xiàn).由《物

理世界》發(fā)起的一項(xiàng)調(diào)查表明，人們把歐拉恒等式"建+1=0"與麥克斯韋方程組并稱為“史上最偉大的公

n.5萬.

式其中，歐拉恒等式是歐拉公式：/=cosO+isind的一種特殊情況.根據(jù)歐拉公式，er+eT'=（）

A.—B.3C.V2D.V3

22

七即時(shí)竄L

1.（2023?云南昆明?一模）歐拉公式：e"=cose+，sind將復(fù)指數(shù)函數(shù)與三角函數(shù)聯(lián)系起來，在復(fù)變函數(shù)中

占有非常重要的地位，根據(jù)歐拉公式，復(fù)數(shù)e上在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)所在的象限為（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

2.（2024?浙江紹興?模擬預(yù)測）已知e"=cos6+isin，，則在下列表達(dá)式中表示sin。的是（）

考點(diǎn)九、復(fù)數(shù)多選題

典例引領(lǐng)

■——

1.（2024?福建福州?三模）已知復(fù)數(shù)4/2,下列結(jié)論正確的是（）

A.若Z]=Z2，則z；=z；B.-z2=-z2

C.若平2=°,則4=0或Z2=0D.若々WO且z,=Z2,貝!]乎2=匕]「

2.（2024?福建莆田?三模）若z是非零復(fù)數(shù)，則下列說法正確的是（）

A.若z+』=0,則三=iB.若z-7=2|z|,則忖=2

Z

C.若Z]=z,貝!Jz]=zD.若|z+zJ=0,貝!]Z]?彳+|z「=0

3.（2024?湖北武漢?模擬預(yù)測）已知復(fù)數(shù)句/2滿足：4為純虛數(shù)，忤-1|=2"-4],則下列結(jié)論正確的是

（）

A.z；=-[z]「B.3<|Z2|<7

C.歸12|的最小值為3D.|z「Z2+3i|的最小值為3

1.（2024?江蘇南通?模擬預(yù)測）已知4，句都是復(fù)數(shù)，下列正確的是（）

A.若Z]=Z2，貝"z?wRB.若ZRCR,則Z]=Z2

C.若㈤=團(tuán),則z；=z；D.若z；+z；=O,則㈤=團(tuán)

2.（2024?山東濟(jì)寧?三模）己知復(fù)數(shù)z”Z2,則下列說法中正確的是（）

A.|21Z2|=|Z1|-|Z2|B.|z[+z2|=|zj+㈤

C."z^eR"是"Z]=["的必要不充分條件D."㈤="|"是"z；=z；”的充分不必要條件

3.（2024?重慶渝中?模擬預(yù)測）已知方程z2+2z+3=0的兩個(gè)復(fù)數(shù)根分別為4/2,則（）

A.4=Z2B.z1+z2=2

C.2必2=%「D.\zx-Z2\=2A/2

IN.好題沖關(guān)

基礎(chǔ)過關(guān)

一、單選題

1.（2024?黑龍江哈爾濱?模擬預(yù)測）已知i是虛數(shù)單位，若（。+方）（1-i）為純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)°的值為（）

A.0B.1C.2D.-2

2.（2024?河北?三模）已知復(fù)數(shù)I滿足2W°23+12。24）1025,貝匹的共軌復(fù)數(shù)的虛部是（）

3.(2。24?河南洛陽?模擬預(yù)測)已知2=普-2]，則八()

A.-2+iB.-l+2iC.-2-iD.-l-2i

4.（2024?河北滄州?模擬預(yù)測）設(shè)4，Z?是復(fù)數(shù)，則下列命題中是假命題的是（）

A.若z=z/Z2,則|z|=|z卜仁|B.若，=2/22，則彳=Z「Z2

C.若匕|=氏|,則z；=z；D.若|Z1|=|Z21,則Z/Z]=Z2-Z2

5.（2024?安徽合肥?模擬預(yù)測）已知復(fù)數(shù)z滿足濟(jì)（l+i）=2-i,則2=（）

13.13.

A.—+—1B.----1

2222

13.13.

C.-----1D.——+—1

2222

1-i

6.（2024?山東泰安?二模）若復(fù)數(shù)z滿足」=i,則同=()

Z

A.75B.2C.V2D.1

二、多選題

7.（2024?安徽蚌埠?模擬預(yù)測）已知復(fù)數(shù)z=2+ai（。為實(shí)數(shù)），若目=右，貝壯的值可能為（）

A.-3B.-1C.1D.3

8.（2023?重慶沙坪壩?模擬預(yù)測）設(shè)i為虛數(shù)單位，下列關(guān)于復(fù)數(shù)的命題正確的有（）

A.匕逐2|=匕卜匕|B.若4/2互為共輾復(fù)數(shù)，則㈤=目

C.若㈤="|,則Z；=Z；D.若復(fù)數(shù)Z="7+l+（加-l）i為純虛數(shù)，則"7=-1

三、填空題

9.（2024?上海三模）設(shè)2=病一1+（加一）（i為虛數(shù)單位），若z為純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)加的值為.

10.（2024?廣東?二模）設(shè)deR,i為虛數(shù)單位，定義e"=cos0+i-sin。，則復(fù)數(shù)J?+i的模為.

能力提升

I________________

一、單選題

1.（2024?河北保定?二模）復(fù)數(shù)z="3=（）

2-i3

A.2—iB.-------i

55

_275V5.n2y/5y/5.

5555

2.（2024?浙江杭州?三模）已知復(fù)數(shù)z滿足『=l+i,貝I的共軌復(fù)數(shù)I在復(fù)平面上對應(yīng)的點(diǎn)位于（）

3-1

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

3.（2024?江蘇南通?三模）已知z為復(fù)數(shù)，則"z=7'是2=/"的（）

A.充分非必要條件B.必要非充分條件C.充要條件D.非充分非必要條件

4.（2024?四川成都?模擬預(yù)測）復(fù)數(shù)2=字絲在復(fù)平面上對應(yīng)的點(diǎn)位于虛軸上，則實(shí)數(shù)。的值為（）

1-1

A.1B.2C.-1D.-2

1m+\

5.（2024?廣東廣州?三模）當(dāng)-彳＜加＜2時(shí)，復(fù)數(shù)「在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于（）

22+1

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

6（2024?安徽?模擬預(yù)測）若zeC,i為虛數(shù)單位，|z+2i-l|=l,則|z-i|的最大值為（）

A.2B.V10-1C.4D.V10+1

7.（2024?河南商丘?模擬預(yù)測）已知復(fù)數(shù)句和Z?滿足閡=歸-22|=1,匕+22卜6,則匕21=（）

A.1B.-y/2C.D.2

二、多選題

8.（2024?福建寧德?三模）已知4