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專(zhuān)練03橢圓20題一、單選題1.(2021·江西南昌·一模(理))已知橢圓的左頂點(diǎn)為,上頂點(diǎn)為,則=()A. B.2 C.4 D.【答案】D【分析】根據(jù)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程求出,可求得的值.【詳解】由得,所以,所以,所以,所以.故選:D2.(2019年北京市高考數(shù)學(xué)試卷(理科))已知橢圓(a>b>0)的離心率為,則A.a(chǎn)2=2b2 B.3a2=4b2 C.a(chǎn)=2b D.3a=4b【答案】B【分析】由題意利用離心率的定義和的關(guān)系可得滿(mǎn)足題意的等式.【詳解】橢圓的離心率,化簡(jiǎn)得,故選B.【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì),屬于容易題,注重基礎(chǔ)知識(shí)?基本運(yùn)算能力的考查.3.(2021·江西南昌·模擬預(yù)測(cè)(文))已知橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)為,則的短軸的長(zhǎng)為()A. B. C. D.【答案】C【分析】根據(jù)橢圓方程及焦點(diǎn)坐標(biāo)確定長(zhǎng)短軸的位置,可求參數(shù)、、,可得的值,寫(xiě)出的短軸長(zhǎng)即可.【詳解】由題設(shè)知:且長(zhǎng)軸在x軸上,即,∴,故,則的短軸的長(zhǎng)為.故選:C4.(2020·河北·英才國(guó)際學(xué)校高三期中)已知、是橢圓的兩焦點(diǎn),過(guò)點(diǎn)的直線交橢圓于、兩點(diǎn).在中,若有兩邊之和是,則第三邊的長(zhǎng)度為()A.6 B.7 C.8 D.4【答案】B【分析】根據(jù)橢圓的定義即可求出的周長(zhǎng),進(jìn)而可得第三邊的長(zhǎng)度.【詳解】由可得,所以,由橢圓的定義可得:,,所以的周長(zhǎng),因?yàn)橛袃蛇呏褪?,所以第三邊的長(zhǎng)度為,故選:B.5.(2021·山西·長(zhǎng)治市第八中學(xué)高三月考(理))P是橢圓上的一點(diǎn),F(xiàn)為橢圓的右焦點(diǎn),軸,過(guò)點(diǎn)P作斜率為的直線恰好經(jīng)過(guò)左頂點(diǎn),則橢圓的離心率為()A. B. C. D.【答案】C【分析】如圖所示,求出,化簡(jiǎn)方程即得解.【詳解】如圖所示,,由題得所以.故選:C6.(2021年全國(guó)新高考Ⅰ卷數(shù)學(xué)試題)已知,是橢圓:的兩個(gè)焦點(diǎn),點(diǎn)在上,則的最大值為()A.13 B.12 C.9 D.6【答案】C【分析】本題通過(guò)利用橢圓定義得到,借助基本不等式即可得到答案.【詳解】由題,,則,所以(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),等號(hào)成立).故選:C.【點(diǎn)睛】橢圓上的點(diǎn)與橢圓的兩焦點(diǎn)的距離問(wèn)題,常常從橢圓的定義入手,注意基本不等式得靈活運(yùn)用,或者記住定理:兩正數(shù),和一定相等時(shí)及最大,積一定,相等時(shí)和最小,也可快速求解.7.(2019年全國(guó)統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷(文科)(新課標(biāo)Ⅰ))已知橢圓C的焦點(diǎn)為,過(guò)F2的直線與C交于A,B兩點(diǎn).若,,則C的方程為A. B. C. D.【答案】B【分析】由已知可設(shè),則,得,在中求得,再在中,由余弦定理得,從而可求解.【詳解】法一:如圖,由已知可設(shè),則,由橢圓的定義有.在中,由余弦定理推論得.在中,由余弦定理得,解得.所求橢圓方程為,故選B.法二:由已知可設(shè),則,由橢圓的定義有.在和中,由余弦定理得,又互補(bǔ),,兩式消去,得,解得.所求橢圓方程為,故選B.【點(diǎn)睛】本題考查橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程及其簡(jiǎn)單性質(zhì),考查數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化與化歸的能力,很好的落實(shí)了直觀想象、邏輯推理等數(shù)學(xué)素養(yǎng).8.(2021年全國(guó)高考乙卷數(shù)學(xué)(理)試題)設(shè)是橢圓的上頂點(diǎn),若上的任意一點(diǎn)都滿(mǎn)足,則的離心率的取值范圍是()A. B. C. D.【答案】C【分析】設(shè),由,根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式表示出,分類(lèi)討論求出的最大值,再構(gòu)建齊次不等式,解出即可.【詳解】設(shè),由,因?yàn)?,,所以,因?yàn)?,?dāng),即時(shí),,即,符合題意,由可得,即;當(dāng),即時(shí),,即,化簡(jiǎn)得,,顯然該不等式不成立.故選:C.【點(diǎn)睛】本題解題關(guān)鍵是如何求出的最大值,利用二次函數(shù)求指定區(qū)間上的最值,要根據(jù)定義域討論函數(shù)的單調(diào)性從而確定最值.

二、多選題9.(2021·海南??凇つM預(yù)測(cè))已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為,與軸正半軸交于點(diǎn),下列選項(xiàng)中給出的條件,能夠求出橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的選項(xiàng)是()A.是等腰直角三角形B.已知橢圓的離心率為,短軸長(zhǎng)為2C.是等邊三角形,且橢圓的離心率為D.設(shè)橢圓的焦距為4,點(diǎn)在圓上【答案】BD【分析】對(duì)每個(gè)選項(xiàng)依次計(jì)算判斷,簡(jiǎn)單計(jì)算即可.【詳解】對(duì)A,若是等腰直角三角形可知,沒(méi)具體數(shù)據(jù)得不出方程;對(duì)B,已知橢圓的離心率為,短軸長(zhǎng)為2,則,由所以,所以橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為,故B正確;對(duì)C,是等邊三角形,且橢圓的離心率為,所以,,數(shù)據(jù)不足,得不到結(jié)果;對(duì)D,設(shè)橢圓的焦距為4,點(diǎn)在圓上,所以,由,所以,所以橢圓方程為,故D正確故選:BD10.(2021·河北唐山·一模)已知F為橢圓的左焦點(diǎn),A,B為E的兩個(gè)頂點(diǎn).若,則E的方程為()A. B. C. D.【答案】ACD【分析】分別分析A,B為橢圓E的兩個(gè)頂點(diǎn)的位置,從而求得參數(shù)a,b,寫(xiě)出標(biāo)準(zhǔn)方程.【詳解】∵∴僅有4種情況符合條件,即A為右頂點(diǎn)時(shí),B為左頂點(diǎn)或上、下頂點(diǎn);A為上頂點(diǎn)時(shí),B為左頂點(diǎn);∴①當(dāng)A為右頂點(diǎn)時(shí),B為左頂點(diǎn),此時(shí),解得,橢圓方程為,故D正確;②當(dāng)A為右頂點(diǎn)時(shí),B為上或下頂點(diǎn),此時(shí),解得,橢圓方程為,故A正確;③A為上頂點(diǎn)時(shí),B為左頂點(diǎn)時(shí),此時(shí),解得,橢圓方程為,故C正確;故選:ACD11.(2021·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè))已知,分別是橢圓:的左?右焦點(diǎn),在上,為坐標(biāo)原點(diǎn),若,的面積為1,則()A.橢圓的離心率為 B.點(diǎn)在橢圓上C.的內(nèi)切圓半徑為 D.橢圓上的點(diǎn)到直線的距離小于2【答案】ABD【分析】先根據(jù)已知條件得到,再利用的面積為1,確定點(diǎn)P為C的短軸的一個(gè)端點(diǎn),然后逐項(xiàng)分析即可.【詳解】由,為的中點(diǎn)可知,.由的面積為1,可知,所以,所以P為橢圓C短軸的一個(gè)端點(diǎn),則,所以,所以,A正確;由A可知,橢圓C的方程為,將點(diǎn)的坐標(biāo)代入,可知滿(mǎn)足C的方程,B正確;因?yàn)闉榈妊苯侨切?,且,所以的?nèi)切圓半徑,C錯(cuò)誤;不妨取,則直線的方程為,即,設(shè)橢圓C上的點(diǎn),則點(diǎn)M到直線的距離,其中,則,D正確.故選:ABD.12.(2021·福建·晉江市磁灶中學(xué)高三開(kāi)學(xué)考試)已知P是橢圓C:上的動(dòng)點(diǎn),Q是圓D:上的動(dòng)點(diǎn),則()A.C的焦距為 B.C的離心率為C.圓D在C的內(nèi)部 D.|PQ|的最小值為【答案】BC【分析】根據(jù)橢圓方程直接判斷A、B的正誤,判斷圓心與橢圓左焦點(diǎn)的距離及圓心橫坐標(biāo)對(duì)應(yīng)橢圓點(diǎn)與圓心的距離,與圓的半徑長(zhǎng)度關(guān)系判斷C的正誤,要使最小,保證P、Q、D共線,即,設(shè)應(yīng)用兩點(diǎn)距離公式及橢圓方程求最小值,即可判斷D的正誤.【詳解】由橢圓方程知:,故焦距為,故A錯(cuò)誤;C的離心率,故B正確;由圓D的方程知:圓心,半徑為,而且橢圓上的點(diǎn)到D的距離為,故圓D在C的內(nèi)部,故C正確;設(shè),則,而,又,可知,故,故D錯(cuò)誤.故選:BC三、填空題13.(2021年全國(guó)高考甲卷數(shù)學(xué)(理)試題)已知為橢圓C:的兩個(gè)焦點(diǎn),P,Q為C上關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的兩點(diǎn),且,則四邊形的面積為_(kāi)_______.【答案】【分析】根據(jù)已知可得,設(shè),利用勾股定理結(jié)合,求出,四邊形面積等于,即可求解.【詳解】因?yàn)闉樯详P(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的兩點(diǎn),且,所以四邊形為矩形,設(shè),則,所以,,即四邊形面積等于.故答案為:.14.(2019年浙江省高考數(shù)學(xué)試卷)已知橢圓的左焦點(diǎn)為,點(diǎn)在橢圓上且在軸的上方,若線段的中點(diǎn)在以原點(diǎn)為圓心,為半徑的圓上,則直線的斜率是_______.【答案】【分析】結(jié)合圖形可以發(fā)現(xiàn),利用三角形中位線定理,將線段長(zhǎng)度用坐標(biāo)表示成圓的方程,與橢圓方程聯(lián)立可進(jìn)一步求解.利用焦半徑及三角形中位線定理,則更為簡(jiǎn)潔.【詳解】方法1:由題意可知,由中位線定理可得,設(shè)可得,聯(lián)立方程可解得(舍),點(diǎn)在橢圓上且在軸的上方,求得,所以方法2:焦半徑公式應(yīng)用解析1:由題意可知,由中位線定理可得,即求得,所以.【點(diǎn)睛】本題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、橢圓的幾何性質(zhì)、直線與圓的位置關(guān)系,利用數(shù)形結(jié)合思想,是解答解析幾何問(wèn)題的重要途徑.15.(2021·廣西·柳鐵一中高三月考(理))橢圓:的上?下頂點(diǎn)分別為,,如圖,點(diǎn)在橢圓上,平面四邊形滿(mǎn)足,且,則該橢圓的短軸長(zhǎng)為_(kāi)__________.【答案】6【分析】設(shè),,由圓的性質(zhì)得點(diǎn),,,在以為直徑的圓上,且圓心在軸上,由此得,又根據(jù)三角形的面積得,得出圓的方程,代入解之可得答案.【詳解】解:根據(jù)題意可得,,設(shè),,可得點(diǎn),,,在以為直徑的圓上,又原點(diǎn)為圓上的弦的中點(diǎn),所以圓心在的垂直平分線上,所以圓心在軸上,所以,又得,故圓心坐標(biāo)為,所以圓的方程為,將代入結(jié)合,解得,所以,短軸長(zhǎng)為6.故答案為:6.16.(2019·安徽·模擬預(yù)測(cè)(理))橢圓的離心率是,斜率為1的直線過(guò)M(b,0)且與橢圓交于A,B兩點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),若,則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是___________.【答案】【分析】由橢圓的離心率可得a,b的值,由題意可得直線l的方程,聯(lián)立直線與橢圓的方程,求出交點(diǎn)A,B的坐標(biāo),求出數(shù)量積的表達(dá)式,由數(shù)量積的運(yùn)算可得∠AOB的余弦值,進(jìn)而求出其正切值,由題意可得b的值,進(jìn)而求出橢圓的方程.【詳解】由題意,,可得,所以橢圓的方程為:,.由題意可得直線的方程為:,聯(lián)立,解得或所以設(shè),所以因?yàn)?,所以所以,所以橢圓的方程為:,.故答案為:四、解答題17.(2021·新疆喀什·模擬預(yù)測(cè))1.線段的長(zhǎng)等于3,兩端點(diǎn)Q、R分別在x軸和y軸上滑動(dòng),點(diǎn)S在線段QR上,且,點(diǎn)S的軌跡為曲線C.(1)求曲線C的方程(2)曲線C與x軸相交于A、B兩點(diǎn),P為曲線C上一動(dòng)點(diǎn),直線PA,PB與直線交于M,N兩點(diǎn),與的外接圓的周長(zhǎng)分別為,,求的最小值.【答案】(1)(2)【分析】(1)相關(guān)點(diǎn)法求解軌跡方程;(2)先利用斜率乘積為定值求出直線PA,PB的斜率關(guān)系,用k設(shè)出直線PA,PB的方程,表達(dá)出點(diǎn)M、N的坐標(biāo)和MN的長(zhǎng)度,再利用正弦定理把與的外接圓的周長(zhǎng)之比轉(zhuǎn)化為關(guān)于k的式子,利用基本不等式求出最小值(1)設(shè)、、,由于,則①∵,∴,可得到,代入①式得點(diǎn)S的軌跡曲線C的方程為;(2)由已知得、,設(shè)橢圓C上動(dòng)點(diǎn),則利用兩點(diǎn)連線的斜率公式可知,,∴,設(shè)直線PA方程為:,則直線PB方程為:,根據(jù)對(duì)稱(chēng)性可設(shè),如圖所示令,得,,即,,則設(shè)與的外接圓的半徑分別為,,由正弦定理得:,,又∵,∴,∴,當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí),等號(hào)成立,即的最小值為【點(diǎn)睛】當(dāng)題目中的條件同時(shí)具備以下特征時(shí),一般可以使用相關(guān)點(diǎn)法求解軌跡方程:某個(gè)動(dòng)點(diǎn)P在已知曲線上運(yùn)動(dòng),另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)M隨著P的變化而變化,在變化過(guò)程中,M與P滿(mǎn)足一定的規(guī)律,相關(guān)點(diǎn)法的關(guān)鍵在于找到動(dòng)點(diǎn)和其相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)間的等量關(guān)系18.(2021·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè))已知橢圓:的左?右頂點(diǎn)分別為,,下頂點(diǎn)為,點(diǎn)到直線的距離為,且橢圓過(guò)點(diǎn).(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)設(shè),,為橢圓上不同的三點(diǎn),且,關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng),原點(diǎn)到直線的距離等于,求證:.【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析【分析】(1)由已知求基本量即可;(2)代入消元,韋達(dá)定理,整體思想運(yùn)用.(1)由題意知,,,所以直線BD的方程為,即,所以點(diǎn)到直線BD的距離為,即①.因?yàn)闄E圓C過(guò)點(diǎn),所以②.聯(lián)立①②,得,,故橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程:.(2)當(dāng)直線的斜率不存在時(shí),可得直線的方程為或.不妨設(shè)直線的方程為,M在第一象限,可得,,,則,,所以.由對(duì)稱(chēng)性知,當(dāng)直線PM的方程為時(shí),同理可得.當(dāng)直線PM的斜率存在時(shí),設(shè)直線PM的方程為,所以原點(diǎn)O到直線PM的距離為,即.設(shè),,則,聯(lián)立得,整理得,,則,,所以.因?yàn)?,,所以,所?綜上得證.【點(diǎn)睛】①根據(jù)題意列方程或方程組是求解圓錐曲線方程的關(guān)鍵;②設(shè)直線方程時(shí),要考慮直線的斜率不存在的情況;③韋達(dá)定理整體思想的運(yùn)用.19.(2021·四川·高三期中(理))在直角坐標(biāo)系中,橢圓()的左右焦點(diǎn)分別為和,若為橢圓上動(dòng)點(diǎn),直線與橢圓交于另一點(diǎn),若三角形的周長(zhǎng)為為,且點(diǎn)在橢圓上.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)設(shè)直線、與直線分別交于點(diǎn)、,記直線和直線的斜率分別為和,若,試求直線的斜率.【答案】(1)(2)【分析】(1)由橢圓定義求出,再代入點(diǎn)求出即可求出方程;(2)設(shè)出直線方程,與橢圓聯(lián)立,利用韋達(dá)定理化簡(jiǎn)計(jì)算可求解.(1)由已知和橢圓的定義知:三角形的周長(zhǎng),故,所以橢圓的方程為,又點(diǎn)在橢圓上,故,解得,所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為;(2)由已知可得直線的斜率不為,故可設(shè)直線的方程為,設(shè),,聯(lián)立方程組,消去得:故有,,故,,直線的方程為,解得與直線的交點(diǎn),同理解得,故,,.故,解得.所以直線的斜率.20.(2021·全國(guó)·高三月考(理))已知橢圓()的離心率為,是橢圓的左頂點(diǎn).(1)求橢圓的方程;(2)過(guò)作直線,,分別交橢圓于,兩點(diǎn).設(shè)直線,的斜率分別為,,且滿(mǎn)足,試判斷直線是否過(guò)定點(diǎn)?若過(guò)定點(diǎn),求出定點(diǎn)坐標(biāo)

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