專題30圓錐曲線中的存在性問題

30圓錐曲線中的存在性問題【2022屆新高考一模試題分類匯編】一、解答題1．（2022·安徽六安·一模（理））已知橢圓的左右焦點分別是，，右頂點和上頂點分別為，，的面積為.(1)求橢圓的標準方程；(2)以此橢圓的上頂點為直角頂點作橢圓的內(nèi)接等腰直角，這樣的直角三角形是否存在？若存在，請說明有幾個；若不存在，請說明理由.【解析】(1)由題意得

①

因為

，所以②

由①②得③，由②③得，所以橢圓方程為；(2)假設(shè)能構(gòu)成等腰直角，其中B(0，1)，由題意可知，直角邊不可能垂直或平行于軸，故可設(shè)邊所在直線的方程為(不妨設(shè))聯(lián)立直線方程和橢圓方程得：，得，用代替上式中的，得，由得，即，，故存在三個滿足題設(shè)條件的內(nèi)接等腰直角三角形.2．（2022·安徽·淮南第一中學(xué)一模（理））已知橢圓的左、右焦點分別為、，點在橢圓上，且滿足．(1)求橢圓的方程；(2)設(shè)為坐標原點，過點且斜率不為零的直線交橢圓于不同的兩點、，則在軸上是否存在定點，使得平分？若存在，求出點坐標；若不存在，請說明理由．【解析】(1)（1）因為，所以，，即，所以，又點在橢圓上，、，且由橢圓定義得，則，，則橢圓的標準方程為.(2)假設(shè)存在定點滿足要求，因為直線斜率不為零，所以設(shè)直線，設(shè)點、、，聯(lián)立可得，則，由韋達定理可得，，因為直線平分，則，即，，整理得，，由于，，所以存在滿足要求．3．（2022·山西晉中·二模（理））已知：的離心率為，點在橢圓上.(1)求橢圓C的方程；(2)若直線與橢圓C交于A，B兩點，O為坐標原點，且，是否存在定圓E，使得直線與圓E相切？若不存在，說明理由，若存在，求出圓E的方程.【解析】(1)∵點在橢圓上，∴，∵橢圓的離心率，∴，即，代入，得到，，∴橢圓的方程為.(2)假設(shè)存在.∵，∴得到，①當直線的斜率不存在時，設(shè)：，代入橢圓方程得，不妨令，，由，得，解得，此時，與圓相切.②當直線的斜率存在時，設(shè)：，，，聯(lián)立得，則，由根與系數(shù)的關(guān)系得，，則，由，即可得，整理得，滿足，∴，即原點到直線的距離為，∴直線與圓相切.綜上所述，存在定圓，使得直線與圓E相切，這時定圓的方程為.4．（2022·全國·模擬預(yù)測）已知在平面直角坐標系：中，動圓P與圓內(nèi)切，與圓外切，記動圓圓心P的軌跡為曲線E.(1)求E的標準方程.(2)若直線與E交于A，B兩點，直線與E交于另一個點M，連接AM交x軸于點N，試問是否存在t，使得的面積等于？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由.【解析】(1)由題意知，圓，圓心，半徑為3，圓，圓心，半徑為1.設(shè)動圓P的半徑為R，則，，所以，由橢圓的定義可知，曲線E是以，為左、右焦點的橢圓（不包含右頂點），設(shè)曲線E的方程為，則，，得，，又，故，所以E的標準方程為.(2)由題易知直線的斜率存在且不為0，設(shè)直線的方程為，代入得，，易知，設(shè)，，則，，易知，，由橢圓的對稱性知，則，所以直線AM的方程為，令，得，所以，要使的面積等于，則，代入，得，由題知，（舍）所以，不妨設(shè)，則直線AM的方程為，代入，得，因為，所以，所以存在，使得的面積等于.5．（2022·全國·模擬預(yù)測）已知雙曲線的右焦點為，點F到C的漸近線的距離為1.(1)求C的方程.(2)若直線與C的右支相切，切點為P，與直線交于點Q，問x軸上是否存在定點M，使得？若存在，求出M點坐標；若不存在，請說明理由.【解析】(1)由題意，雙曲線的漸近線方程為，又由雙曲線的右焦點為，可得，所以到漸近線的距離，所以，所以C的方程為.(2)由題意易知直線的斜率存在，設(shè)其方程為，聯(lián)立與C的方程，消去y，得，因為直線與C的右支相切，所以，（雙曲線右支上的點需滿足的條件），得，則，設(shè)切點，則，，設(shè)，因為Q是直線與直線的交點，所以，，假設(shè)x軸上存在定點，使得，則，故存在，使得，即，所以x軸上存在定點，使得.6．（2022·北京·北師大實驗中學(xué)模擬預(yù)測）如圖，橢圓E：的左焦點為，右焦點為，離心率，過的直線交橢圓于A?B兩點，且△的周長為8.(1)求橢圓E的方程；(2)設(shè)動直線l：與橢圓E有且只有一個公共點P，且與直線相交于點Q，試探究：在x軸上是否存在定點M，使得以PQ為直徑的圓恒過點M？若存在，求出點M的坐標；若不存在，說明理由.【解析】(1)由橢圓的定義可知△，的周長為，即，∵，∴，又∵，∴，故橢圓C的方程為：，(2)將聯(lián)立，消元可得，∵動直線：與橢圓E有且只有一個公共點P，∴，∴，此時，，∴由得，假設(shè)在x軸上存在定點M，使得以PQ為直徑的圓恒過點M，設(shè)，則，，，整理得，對任意實數(shù)m，k恒成立，則，故在x軸上存在定點，使得以為直徑的圓恒過點.7．（2022·黑龍江實驗中學(xué)模擬預(yù)測（理））圓的離心率為，且過點，點分別為橢圓的左頂點和右頂點.(1)求橢圓的標準方程；(2)是否存在定點，對任意過點的直線（在橢圓上且異于兩點），都有.若存在，則求出的值；若不存在，請說明理由.【解析】(1)由題意得：，解得：，橢圓的標準方程為；(2)由（1）知：，；①當直線斜率不存在時，由得：或，若，，則，，，解得：；若，，同理可求得：；②當直線斜率存在時，設(shè)，，則；設(shè)直線，由得：，，解得：，，又，同理可得：，，，整理可得：，當時，恒成立；綜上所述：存在滿足題意的點，使得恒成立，此時.8．（2022·湖南永州·二模）設(shè)雙曲線，點，為雙曲線的左?右頂點，點為雙曲線上異于頂點的一點，設(shè)直線，的斜率分別為，.(1)證明：；(2)若過點作不與軸重合的直線與雙曲線交于不同兩點，，設(shè)直線，的斜率分別為，.是否存在常數(shù)使？若存在，求出的值，若不存在，請說明理由.【解析】(1)證明：由雙曲線，點A，為雙曲線的左?右頂點，可知：,設(shè)，則，所以；(2)假設(shè)存在常數(shù)使，由題意設(shè)直線l的方程為，聯(lián)立，整理得：，設(shè)，則，所以，則，故，而，所以===，令，解得，故存在常數(shù)，使.9．（2022·全國·模擬預(yù)測）已知橢圓的離心率為，圓與軸相切，為坐標原點.(1)求橢圓的方程；(2)設(shè)橢圓的右焦點為，過點的直線交橢圓于兩點，是否存在直線使的面積為？若存在，求出直線的方程；若不存在，請說明理由.【解析】(1)因為圓與軸相切，所以所以，又，所以，所以橢圓；(2)由（1）可知橢圓的右焦點為，①當直線的斜率為時，顯然不適合題意；②當直線的斜率不為時，設(shè)直線，聯(lián)立，恒成立，所以，則所以令，解得或，即得或所以符合條件的直線方程分別為或或或.10．（2022·全國·模擬預(yù)測）已知拋物線的準線為，直線交于，兩點，過點，分別作上的垂線，垂足分別為，.(1)若梯形的面積為，求實數(shù)的值；(2)是否存在常數(shù)，使得成立?若存在，求出的值，若不存在，請說明理由?【解析】(1)由題得準線，直線過焦點.設(shè)，，則，，聯(lián)立得，所以，，所以，，.而梯形的面積解得或.(2)，又，所以為常數(shù).11．（2022·全國·模擬預(yù)測）有一種畫橢圓的工具如圖1所示，定點O是滑槽AB的中點，短桿OP繞O轉(zhuǎn)動，長桿PQ通過P處鉸鏈與OP連接，PQ上的栓子D可沿滑槽AB滑動，且，．當栓子D在滑槽AB內(nèi)作往復(fù)運動時，帶動P繞O轉(zhuǎn)動一周（D不動時，P也不動），Q處的筆尖畫出的曲線記為C．以O(shè)為原點，AB所在的直線為x軸，建立如圖2所示的平面直角坐標系．(1)求曲線C的方程；(2)在平面直角坐標系xOy中，過點的動直線l與曲線C交于E、F兩點，是否存在異于點M的定點N，使得MN平分？若存在，求點N坐標；若不存在，說明理由．【解析】(1)由題意可知：曲線是中心在坐標原點，焦點在軸的橢圓，設(shè)：，則，所以曲線C的方程為；(2)假設(shè)存在異于點的定點N，使得MN平分；當直線與軸平行時，設(shè)直線與橢圓相交于兩點為，由對稱性知：若定點N存在，則點N一定在軸上，設(shè)，當直線與軸平行時，設(shè)直線與橢圓相交于兩點為，MN平分也成立；當直線斜率存在且不為0時，設(shè)直線方程為：，，聯(lián)立，得，，，所以，又，又，所以，因為不恒為0，所以，即，，綜上可知：存在，使得MN平分12．（2022·四川·成都七中二模（理））在中，的坐標分別是，點是的重心，軸上一點滿足，且．（1）求的頂點的軌跡的方程；（2）直線與軌跡相交于兩點，若在