2024屆內(nèi)蒙古赤峰市高三年級下冊4月模擬考試數(shù)學(xué)（文）試題（解析版）

2024屆內(nèi)蒙古赤峰市高三下學(xué)期4月模擬考試數(shù)學(xué)(文)試題

一、單選題

1.已如集合4={-1,0,1,2,3,4},集合2={尤k2_2彳_3叫，則4口3=(

A.{-1,0,1,2,3}B.{-1,0,1}

C.(0,1,2)D.{-1,0}

2.復(fù)數(shù)z=j的共軌復(fù)數(shù)為()

1-2

A.i+2B.i-2C.-2-iD.-2-i

3.下列函數(shù)最小值為4的是()

4c24

A.y=x+—B.y=x7

x無一

C.y=\x+4\D.y=(x+4)?

向量/+5與1-25共線；命題乙：r=-g，則甲是乙的

4.已知￡,B是兩個(gè)不共線的向量，命題甲:

()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

5.已知VABC的兩個(gè)頂點(diǎn)AB的坐標(biāo)分別是(-1,0),(1,0),且AC,3c所在直線的斜率之積等于

,則()

A.當(dāng)帆＜0時(shí)，頂點(diǎn)C的軌跡是焦點(diǎn)在X軸上的橢圓，并除去(-1,0),(1,0)兩點(diǎn)

B.當(dāng)租＜0時(shí)，頂點(diǎn)c的軌跡是焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，并除去(-1,o),(i,o)兩點(diǎn)

C.當(dāng)加＞0時(shí)，頂點(diǎn)C的軌跡是焦點(diǎn)在X軸上的雙曲線，并除去(-1,0),(1,0)兩點(diǎn)

D.當(dāng)機(jī)＞0時(shí)，頂點(diǎn)c的軌跡是焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線，并除去(-1,0),(1,0)兩點(diǎn)

6.已知圓Ci：(x+l)2+(y+l)2=2,圓C2：/+y2-4x-4y=0,則兩圓的公切線條數(shù)為()

A.4B.3C.2D.1

7.在《九章算術(shù)》中，將四個(gè)面都為直角三角形的三棱錐稱為鱉般，已知鱉IBP-ABC的三視圖如

圖所示(單位：cm),則該幾何體的外接球的表面積為(單位：cn?)()

B.64兀

C.100兀D.256兀

8.函數(shù)/(x)=COSX-%2的圖象大致為()

9.已知〃x)=2cos2x+百sin2x,x?0,2兀)，則/(%)的零點(diǎn)之和為()

41014

A.一兀B.—兀C.—兀D.1OTC

333

10.已知點(diǎn)0(0,0),A(TO),3(4,0),設(shè)點(diǎn)M滿足41TMs|=4,且M為函數(shù)>=虛次二巨圖象

上的點(diǎn)，則|。"|=()

A.叵口2病「2A/134713

D.-----n

5555

：In四二&，下列函數(shù)是奇函數(shù)的是()

11.已知函數(shù)/(尤)=

X

A./(%+1)+1B.〃龍-1)+1c.f(x-l)-lD.〃龍+1)-1

12.如圖是瑞典數(shù)學(xué)家科赫在1904年構(gòu)造的能夠描述雪花形狀的圖案.圖形的作法是：從第一個(gè)正三

角形(邊長為1)P/開始，把每條邊分成三等份，然后以各邊的中間一段為底邊分別向外作正三角形,

再去掉底邊.反復(fù)進(jìn)行這一過程，就得到一條“雪花”狀的曲線，稱為科赫曲線.設(shè)P”的周長和面積分別

為L"、Sn,下列結(jié)論正確的是（）

▲Pl*PlP3P4

①尸5的邊數(shù)為3x4a；

②—3x0；

③既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列;

@3N>0,Sn<N

A.①②③B.①②④C.①③④D.①②③④

二、填空題

13.若連續(xù)拋兩次骰子得到的點(diǎn)數(shù)分別為a,b,則點(diǎn)P（a,6）在直線a+b=7上的概率為.

14.將函數(shù)y=sinx-cosx的圖象向左平移相（0<根<兀）個(gè)單位后，所得圖象關(guān)于y軸對稱，貝!I實(shí)數(shù)

m的值為.

,、x+4,%<3,

15.已知函數(shù)/X=,0（a>0且"1）,若y=/（x）有最小值，則實(shí)數(shù)a的取值范

[log/x>3

圍是■

16.在AABC中，角A、B、C的對邊分別為。、b、c,已知C2=2,/+〃=10,BC,AC邊上的

中線A",3N相交于點(diǎn)P,則直線A〃,BN的夾角為.

三、解答題

17.隨著中國科技的迅猛發(fā)展和進(jìn)步，中國民用無人機(jī)行業(yè)技術(shù)實(shí)力和國際競爭力不斷提升，市場規(guī)

模持續(xù)增長.為了適應(yīng)市場需求，我國某無人機(jī)制造公司研發(fā)了一種新型民用無人機(jī)，為測試其性能,

對其飛行距離與核心零件損壞數(shù)進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，數(shù)據(jù)如下：

飛行距離X（千千米）5663717990102110117

核心零件損壞數(shù)y（個(gè)）617390105119136149163

（1）據(jù)關(guān)系建立y關(guān)于X的回歸模型￡=族+&求y關(guān)于X的回歸方程（A精確到0.1,6精確到1）.

（2）為了檢驗(yàn)核心零件報(bào)廢是否與保養(yǎng)有關(guān)，該公司進(jìn)行第二次測試，從所有同型號民用無人機(jī)中隨

機(jī)選取100臺進(jìn)行等距離測試，對其中60臺進(jìn)行測試前核心零件保養(yǎng)，測試結(jié)束后，有20臺無人機(jī)

核心零件報(bào)廢，其中保養(yǎng)過的占比30%,請根據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)完成2x2列聯(lián)表，并根據(jù)小概率值夕=0.01

的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為核心零件的報(bào)廢與保養(yǎng)有關(guān)?

保養(yǎng)未保養(yǎng)合計(jì)

報(bào)廢20

未報(bào)廢

合計(jì)60100

2(%-秋片一了)

附：回歸方程勺=a+&中斜率和截距的最小二乘原理估計(jì)公式百=「---------

Z(W_丁)2

Z=1

n^ad—bc)"

a=y-bx,K2=n=a+b+c+d.

(a+b)(c+d)(Q+c)(b+d)，

2

P(K>k0)0.250.10.050.0250.010.001

上01.3232.7063.8415.0246.63510.828

88

參考數(shù)據(jù)：元=86,y=112,E=82743,￡x,2=62680

Z=1i=l

18.已知數(shù)列｛%｝中，％=；，”"+i=(“e").

求證：工+1是等比數(shù)列，并求數(shù)列｛〃“｝的通項(xiàng)公式;

(1)

(2)已知數(shù)列他,｝滿足6="(3二),,求數(shù)列他,｝的前〃項(xiàng)和卻

20.已矢口XG(O,2),

(1)比較sinx,x的大小，并證明;

7J-Y

⑵求證：爐加＜絲.

2-x

23.已知xwy，

⑴化簡

不一，

⑵用數(shù)學(xué)歸納法證明：X〃一y〃能被x—y整除.

2024屆內(nèi)蒙古赤峰市高三下學(xué)期4月模擬考試數(shù)學(xué)（文）試題

答案

1.【答案】A

【詳解】由題意集合B={H（X_3）（X+1）VO}={H-1WXV3},

則AcB={-l,O,l,2,3}.

故選：A.

2.【答案】B

【詳解】因?yàn)?==5=目5（后-2-i、）7”

所以共輾復(fù)數(shù)W=-2+i，BPz=i-2.

故選：B.

3.【答案】B

,4一

【詳解】選項(xiàng)A,x<0時(shí)，）=%+-<0,取小值不是4,A錯(cuò)；

x

選項(xiàng)B,由基本不等式知y=V+324,當(dāng)且僅當(dāng)工=土應(yīng)時(shí)等號成立，B正確;

X

選項(xiàng)CD中，當(dāng)x=T時(shí)，函數(shù)最小值為0,CD均錯(cuò).

故選：B.

4.【答案】C

【詳解】對于命題甲，可設(shè)依+B=/L（H-25）,^ta+b=Aa-2Ab

\t=A-1

則I所以"2=-引

[1=-2Z2

對于命題乙，/=-；時(shí)，應(yīng)+5=-g（萬-25）,則有向量位+B與萬-2B共線.

故甲是乙的充要條件.

故選：C.

5.【答案】C

2

【詳解】由題意不妨設(shè)C（x,y）,則導(dǎo).±=“7,即--匕=I,（XH±1）,

當(dāng)機(jī)=-1時(shí)，頂點(diǎn)C的軌跡是以原點(diǎn)為圓心的單位圓，并除去(-1,0),(1,0)兩點(diǎn)，故AB錯(cuò)誤;

當(dāng)機(jī)＞0時(shí)，頂點(diǎn)C的軌跡是焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線，并除去(-1,0),(1,0)兩點(diǎn)，故C正確，D錯(cuò)誤.

故選：C.

6.【答案】B

【詳解】圓&標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-2y+(y-2)2=8,

則已知兩圓圓心分別為Cbl,-l)C(2,2),半徑分別為我,2近，

圓心距為|C,C2|=J(2+Ip+(2+1)2=3夜=a+2及，

因此兩圓外切，它們有三條公切線，

故選：B.

7.【答案】A

TT

【詳解】如圖，由三視圖知尸。上面ABC,ZABC=-取AC中點(diǎn)，過H作"O//PC交相于。，

2f

TT

因?yàn)?A3C=—,所以H為Rt^ABC外接圓的圓心，又PC,面ABC,HOIIPC,

2

所以08_1面43(7,

由已知3c為直角三角形，以為其斜邊，為直角三角形，上4為其斜邊，

則。為三棱錐尸-ABC外接圓的圓心,

又AB=8,8C=6,PC=8,所以AC=+&；2=,64+36=10，

22

PA=VAC+PC=Vioo+64=Vi64=2^-外接圓的半徑為R="T,

所以幾何體的外接球的表面積為S=4TIR2=47ix41=1647r,

故選：A.

8.【答案】D

【詳解】/(x)=cos尤-尤2,定義域?yàn)镽,

/(-x)=cos(-x)-(-x)2=cos.r-x2=f(x),可知函數(shù)/(無)為偶函數(shù)，排除選項(xiàng)A；

/(x)=-sinx-2x,令h(x)=-sinx-2x,貝ljh(x)=-cosx—2<0，恒成立

故力(%)=-sinx-2x為R上單調(diào)遞減函數(shù)，又/z(0)=-sin0-2x0=0

可知當(dāng)了<0時(shí)，h{x}>0,gp/'(x)>0,函數(shù)/(%)=cosx—%2為遞增函數(shù),

當(dāng)x>0時(shí)，A(x)<0,即/'(冗)<0,函數(shù)/(x)=cosx—%2為遞減函數(shù),

故選項(xiàng)BC判斷錯(cuò)誤；選項(xiàng)D判斷正確.

故選：D

9.【答案】C

【詳解】由/（%）=2cos2無+J§sin2x=0,

則2?l+c；2%+石5山2%=0,所以cos2%+而in2x=-1,

即sin12x+j,

'JI'/1JI

所以2xd■—=——+2E,左EZ或2x+—=——+2kji,keZ,

6666

jrTT

解得：x=—+E,左$2或兀=——+fal,GZ,

26

因?yàn)槭?,2兀），所以x=等或?qū)W，

2266

所以/（X）的零點(diǎn)之和為￡+[+等+鳥=等，

22663

故選：C.

10.【答案】B

【詳解】因?yàn)閃洲―=

所以點(diǎn)〃是以A（T,0）,3（4,0）為焦點(diǎn)的雙曲線的右支,

22

設(shè)雙曲線的方程為左一方=1(尤2a)(a,b>0),

22

即2a=4,c=4na=2n〃=16-4=12n+q=l(xZ2),

故選：B

11.【答案】D

【詳解】由于/(無)=ln運(yùn)二9=l+ln￡N,定義域?yàn)?-00)U(2,內(nèi))

XX

故/()+1)+1=1,+[+2,定義域?yàn)?_8,—1)U(1,+8),

—Y—1Y-I-1Y-1

/(-x+l)+l=ln-----+2=In——+2=-ln——+2^-/(%+1)-1,

I)-x+1x-1x+1

即/(x+l)+l不是奇函數(shù)，A錯(cuò)誤；

丫一3

/(尤-l)+l=ln=+2,定義域?yàn)?-81)U(3,+8),不關(guān)于原點(diǎn)對稱,

即，(尤-1)+1不是奇函數(shù)，B錯(cuò)誤；

/(x-l)-l=ln^4,定義域?yàn)?F,DU(3,E),不關(guān)于原點(diǎn)對稱，

x—1

即/?(尤-1)-1不是奇函數(shù)，C錯(cuò)誤；

/(x+l)-l=ln^—定義域?yàn)?_8,-1)u(1,+co),

“T+l)-l=lnW4=ln==Tn==T/(x+l)-l],

即〃尤+1)-l=ln￡為奇函數(shù)，D正確，

故選：D

12.【答案】D

23

【詳解】設(shè)每個(gè)圖形的邊數(shù)為?！?，由題意可得%=3,%=3X4,O3=3X4,?4=3X4,

%=3x4",…=3?4'一，故①正確；

444

L5=3X4X(1)=3X(1),故②正確；

4=3布尸，

第一個(gè)圖形的面積即正三角形的面積品=/，

從第1個(gè)圖形到第2個(gè)圖形，邊數(shù)增加了，同時(shí)每條邊上多了一個(gè)小三角形，這個(gè)小三角形的面積是

原圖形的(，

所以邑=4+3x4。x(g)2￡,S3=邑+3x4'xg)2*2冏，

以此類推，第n個(gè)圖形的面積為S?=S?_,+3x4-2x(；)2g).R,

2

依次迭代，則J=耳+3x4°x(1)-51+3x4'x(；產(chǎn)4+…+3x4Tx(|產(chǎn)).工

=S'{1+1口弋尸］}再邛,

所以

S"=,+親口-(：)”-]＜罕，故mN=竿，Sn＜N,故④正確.

4,可得｛圣｝既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列，故③正確

S,A/3+3\/34

4209

故選：D.

13.【答案】y

O

【詳解】樣本空間中所有樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)為6x6=36,

其中在直線。+6=7上的樣本點(diǎn)有(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)共6個(gè)，

所以所求概率為尸=三=，.

366

故答案為：~~.

o

14.【答案】37r手弓3萬

44

【詳解】in-

將函數(shù)＞=sin尤-cosx的圖象向左平移〃7(0＜根＜兀)個(gè)單位后，

解析為y=+而y=J5sin]尤+根一：1的圖象關(guān)于y軸對稱，

所以函數(shù)y=3sin[x+*：]為偶函數(shù)，

因止匕有一:=防t+g■(keZ)=＞"/=A7r+弓(左eZ),

3兀

因?yàn)?＜加＜兀，所以k=0,即加=—,

4

故答案為：斗3兀

4

15.【答案】l＜a?3

【詳解】V=-x+4是減函數(shù)，在x43時(shí)最小值是》=-3+4=1,

若0＜a＜l,則y=log“x是減函數(shù)，x＞3時(shí)，y=log“尤＜0,沒有最小值，不合題意，

。＞1時(shí)，y=10g“X是增函數(shù)，因此要使得Ax)取得最小值，則log〃3?l,解得lva?3,

故答案為：l＜a?3.

JT

16.【答案】-/90°

2

【詳解】vc2=2,a2+b2=10,

/.c2=a2+b2—2abcosC,

.?.2=10—2abeosC,

abcosC=4,

/.CA-CB=|CA|-|CB|cosC=tecosC=4,

因?yàn)辂?=兩■一瓦■國一方,

BN=CN-CB=-CA-CB,

2

AMBN=\-CB---C4-C=-CACB--CB--CA+CACB

（22422

:.AM即AM_L3N.

TT

故答案為：—

17.【答案】Q)》=L6x-26；

(2)表格見解析，核心零件是否報(bào)廢與是否保養(yǎng)有關(guān).

88

E（々-元X%-歹）￡-Sxy

82743-8x86x112

【詳解】（1）依題意，i>=『--------T-------

2262680-8x86?

E（x;-x）Jx；-8x

i=li=l

a=y—bx=112-1.6x86-26，

所以y關(guān)于x的線性回歸方程為￡=L6X-26.

(2)依題意，報(bào)廢機(jī)核心零件中保養(yǎng)過的有20x30%=6臺，未保養(yǎng)的有20-6=14臺,

貝U2x2歹！J聯(lián)表如下:

保養(yǎng)未保養(yǎng)合計(jì)

報(bào)廢61420

未報(bào)廢542680

合計(jì)6040100

零假設(shè)”。：核心零件是否報(bào)廢與保養(yǎng)無關(guān)，

則R=K）（M6x26T4*5療=9375>6.635，根據(jù)小概率值a=0.01的獨(dú)立性檢驗(yàn)，

20x40x60x80

推斷名不成立，即認(rèn)為核心零件報(bào)廢與是否保養(yǎng)有關(guān)，此推斷的錯(cuò)誤概率不大于0.01.

18.【答案】（1）an=-^—證明見解析；（2）2-等

3—12

【詳解】（1）由己知可得：

X+i=Z5L±2+i=3f—+i\而，+i=3wo

%anVan）4

所以數(shù)列］［+1］是以3為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列,

所以'+1=3"

所以

3—1

（2）由⑴得%專,

123n

,,H------

2n

m11111n.1n〃+2

兩式相減，得：~T=_+73_+7^__|-----=1~_=_

2n22222222n+1

：.T=2~—

n"2"

【答案】（1）證明見解析

⑵逑

3

【詳解】（1）連接4C,設(shè)ACcCQ=O,連接4G

因?yàn)槿馀_436-43。所以4弓//&。

又。3=：4。=2,所以四邊形46。6為平行四邊形

所以CO=OA.

又AB//平面GG/f,A8u平面ABC,平面CBAm平面C[GH=HO,

/.AlB//HO

?.?四邊形AGCG是正方形，。是AC的中點(diǎn),

.,.點(diǎn)H是3c的中點(diǎn).

（2）因?yàn)閆ACCi=/BCCi=90°,貝UCQ±AC,CC；1BC,

又ACc3C=C,AC,_BCu平面ABC

CCX±平面ABC,

由（I）知AG//CG，且CG=AG=2,

△A5C是邊長為4的等邊三角形，

「?S^ABC=：x4x4x9=4后

TH為5C中點(diǎn)，

*.*S=—S=—x4A/3=25/3,

2AABOC2V"

^B-AiAH=J—ABH

^-ABH~4S^ABHX4G=；X2百x2=4f

JJJ

18.【答案】⑴證明見解析

⑵地

3

【詳解】（I）連接AC,設(shè)ACcGG=o,連接“0、AG

因?yàn)槿馀_ABG-ABC,所以AG//AC

又CG=；AC=2,所以四邊形ACCG為平行四邊形

所以co=oa.

又AB〃平面GGH,A8u平面ABC,平面CB4n平面GG//=HO,

/.AlB//HO

?.?四邊形AGCG是正方形，。是AC的中點(diǎn),

.,.點(diǎn)H是3c的中點(diǎn).

(2)因?yàn)閆ACCi=/BCCi=90°,貝ijCQ±AC,CC；1BC,

又ACc3C=C,AC,_BCu平面ABC

CC11平面ABC,

由(I)知AG//CG，且CG=AG=2,

△A5C是邊長為4的等邊三角形，

「?S^ABC=：x4x4x9=4后

TH為5C中點(diǎn)，

*.*S=—SABC=—x4A/3=25/3,

2AAOC2V"

^B-AiAH=J—ABH

^-ABH~WAABHx4G=；x2百x2=4f

JJJ

20.【答案】(l)x>sinx,證明見解析

(2)證明見解析

【詳解】(1)x>sinx,xe(0,2).證明如下：

令g(%)=%-sin%,%￡(0,2),

g'(x)=1—cosx>0,

g(x)在(0,2)上單調(diào)遞增，g{x}>g(0)=0,

即xe(0,2)時(shí)，x>sinx.

sinx"

(2)由Cl)得xe(0,2)時(shí)，e<e,

因此要證xe(0,2),e，加<上^,只要證即證e為2—x)-(2+x)<0,

2x2x

令/(x)=ex(2-x)—(2+x),xG(0,2).

r(x)=er(l-x)-l.

令g(x)=e'(l-x)-l.

g,（A：）=-xe',Vxe（0,2）,/.g,（x）＜0,

所以g（x）在（0,2）單調(diào)遞減,所以g（x）＜g（0）=0,即/（無）＜0,

所以，（無）在（0,2）上單調(diào)遞減；

所以/（x）＜/（0）=0,

所以ex（2-x）-（2+x）＜0,

O_i_丫

所以當(dāng)xe（0,2）時(shí)，e皿〈如土.

1-x

【答案】（1）2y21

X—y=1

⑵（i）證明見解析；（ii）證明見解析

【詳解】（1）圓C:（x-2y+y2=4的圓心為C（2,0）,半徑廠=2,

因?yàn)榫€段外的垂直平分線交直線尸C于點(diǎn)則

.?.||M4|-|MC||=||MP|-|MC||=|PC|=2＜|AC|=4,

...點(diǎn)M的軌跡為以A、C為焦點(diǎn)的雙曲線，

22

設(shè)雙曲線方程為十/=1（。＞0,6＞。），則2a=2,c=2,所以b=F^=6,

2

所以點(diǎn)M的軌跡方程為“：/-匕=1.

3

（2）（i）設(shè)M（x0,y0）,T（X,,J2）,

若%=。，則毛=±1,即直線/的方程為x=±l,顯然滿足直線/與曲線H有且僅有一個(gè)交點(diǎn);

若外20,顯然陽）40,由題可知|MS|=pWT|,則為+X2=2%，%+%=2%,

因?yàn)殡p曲線的漸近線方程為y=±75x，不妨令必=島，y2=-y/3x2,

所以％+以=百（占-々），%-%=6（西+%），

,M+%=6（x「xj即必+%=3（--%）

用（尤1+%2）%-%’占+々%一%’

..再=3（…2）,即L=也，

尤oyt-y2%

...直線ST的方程為y-%=詈（%-%）,即3x（）x-%y=3x；-y；,

又,點(diǎn)M在H上，，3x：-y；=3,則3%x-%y=3,

即直線/的方程為3尤2-%》=3,

2V2

九2_J_1

將方程聯(lián)立T",得（尤-3君卜2+6%尤_3-必=0,

3xox-yoy=3

2

:.-3x+6x0x-3x1=0,由A=36x；-36無;=0,可知方程有且僅有一個(gè)解,

；./與H有且僅有一個(gè)交點(diǎn);

（ii）由（i）聯(lián)立【尸，可得占=，

〔3%無一%y=3V3x0-y0

同理可得無2=^^一，

%+%

.'.|OS|-|Or|=舊+yj-Jx；+y；=|=4x=4,

所以|。斗|。刀是定值.

【答案】⑴儼=x+l,xe[-l,l]

(2)a=更

2

x=sin26

【詳解】（1）當(dāng)上1時(shí)，曲線C1的參數(shù)方程為

y=sin?+cos?'

可得儼=i+2sinecos6=l+sin2e=l+x,

又九=sin26,所以產(chǎn)=x+l,xG[-1,1]；

x=sin26

（2）當(dāng)仁4時(shí),曲線G的參數(shù)方程為

y=sin40+cos%

211

可得y=卜足2。+cos?。）-2sin26cos2。=1--sin22^=l--x2,

又*=$也26,所以y=l-^x2,x&[-1,]],

由已知tan6=；可得C3的方程為了=（尤，

11

y=—xxr=y

G,c的交點(diǎn)滿足方程組,1，解得1（另一解舍去），a與。2在第一象限的交點(diǎn)

2y=—”

為4]

\x-acost,c,”c

由已知1.。為參數(shù)），所以/+（丁_1）2=/①

[y=l+asmt,'7

將點(diǎn)A坐標(biāo)代入①可得a=—.

2

20.【答案】（1）2/1

x-T=1

（2）（i）證明見解析；（ii）證明見解析

【詳解】（1）圓C:（尤一2）2+寸=4的圓心為C（2,0）,半徑廠=2,

因?yàn)榫€段上4的垂直平分線交直線PC于點(diǎn)M,則

.?.||M4|-|MC||=||A/P|-|MC||=|PC|=2<\AC\=4,

.,.點(diǎn)M的軌跡為以A、C為焦點(diǎn)的雙曲線，

22

設(shè)雙曲線方程為=-3=16>0*>0）,則2a=2,c=2,所以1°2一/=5

ab

2

所以點(diǎn)M的軌跡方程為—匕=1.

3

（2）（i）設(shè)M（x0,y0）,S&,%）,T?,%）,

若為=。，則毛=±1,即直線/的方程為x=±l,顯然滿足直線/與曲線H有且僅有一個(gè)交點(diǎn);

若為*0,顯然Xo40,由題可知|MS|=|MT|,則占+%=2/，%+為=2%,

因?yàn)殡p曲線的漸近線方程為y=±仃獷不妨令芳=6％,y2=-y/3x2,

所以％+必=6（玉-彳2），乂—為=6（%+々），

.%+%=石（占-%）即M+%=3（占一々）

V3（XJ+X2）%-%'占+々%一%’

.?*二3（—2）,即3也，

%%一%%

.1.直線ST的方程為y-%="（X-X。），即3xox-%y=3x；-y；,

又：點(diǎn)M在H上，，3x：-y；=3,貝1]3/無一%y=3,

即直線/的方程為3%x-y°y=3,

X2_￡=1

將方程聯(lián)立3一,得（y；-3x；）f+6尤。尤_3_火=0,

3%x-%y=3

2

.,.-3X+6X0X-3XQ=0,由A=36x：-36x；=0,可知方程有且僅有一個(gè)解,

???/與”有且僅有一個(gè)交點(diǎn)；

（n）由（i）聯(lián)立[y=&,可得％=/避一

^>xox-yoy=3,3尤0f

73

同理可得x,=—j=-----,

Y3x。+%

4x34

.」。斗|。刀=商+4-+抬=4,引=3jc2_y2=，

所以|。斗|。刀是定值.

【答案】（1）產(chǎn)=x+l，xe[-l,l]

⑵a=@

2

x-sin28

【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，曲線G的參數(shù)方程為

y=sin。+cos?'

可得產(chǎn)=i+2sin8cose=l+sin2e=l+%,

又尤=sin26,所以儼=%+1,€[-1,1]；

x=sin2e

（2）當(dāng)上4時(shí),曲線G的參數(shù)方程為

y=sin，?+cos%

21