集合與常用邏輯用語（解析版）-2024-2025學(xué)年人教版高一數(shù)學(xué)壓軸題攻略

專題03集合與常用邏輯用語9大壓軸考法

一、單選題

1.（23-24高一上?北京?階段練習(xí)）設(shè)非空數(shù)集〃同時(shí)滿足條件：①M(fèi)中不含元素-1,0」；②若aeM,則

旦eV.則下列結(jié)論正確的是（）

1-a

A.集合M中至多有2個(gè)元素

B.集合M中至多有3個(gè)元素

C.集合M中有且僅有4個(gè)元素

D.集合M中至少有5個(gè)元素

【答案】C

【分析】由題意可求出。，手，-乙二都在M中，然后計(jì)算這些元素是否相等，繼而判斷加的元素個(gè)數(shù)

l-aaQ+1

的特點(diǎn).

11+Q11

]1-----111

【詳解】因?yàn)槿鬭eM,則=所以一^二一一已加，

l-a]1+〃a1+1a+1

l-aa

rQ—1

1+----9

貝!J—a±^-=—=aeM,

,a-12

1----------

〃+1

當(dāng)。片-1,0,1時(shí)，4個(gè)元素。，咎，-士巴二中，任意兩個(gè)元素都不相等，

l-aaa+1

所以集合“中有且僅有4個(gè)元素，

故選：C

2.（23-24高一上?福建廈門?階段練習(xí)）若集合A={（m,w）M+2〃?〃+w=2xl09,〃?eZ,〃wN*},則集合A的

元素個(gè)數(shù)為（）

A.19B.20C.81D.100

【答案】B

【分析】首先由題意方程變形為兩個(gè)數(shù)相乘，即〃（〃+2祖+1）=2|°><59,依次討論n為奇數(shù)或偶數(shù)，得到滿

足條件的n,從而得到集合A的元數(shù)個(gè)數(shù).

【詳解】由題意可知〃2+2"?"+〃=2乂109,即〃（“+2〃?+1）=2%59,

當(dāng)n是偶數(shù)時(shí)，九+2加+1是奇數(shù),

59_1_O10

當(dāng)M=210?此時(shí)n+2m+1=59>解得m=-------------eZ,滿足條件,

2

以此類推，n=210x5.210x52,210x53,...,210x59,共10個(gè)n,每一個(gè)n對(duì)應(yīng)位于的m,

當(dāng)”是奇數(shù)時(shí)，“+27W+1是偶數(shù)，此時(shí)"=5°,5f,…59共10個(gè)n,

綜上可知滿足條件的n有20個(gè)數(shù)，每一個(gè)n對(duì)應(yīng)唯一的m,

所以集合A的元素個(gè)數(shù)為20個(gè).

故選：B.

、填空題

3.（23-24高一上?重慶九龍坡?階段練習(xí)）設(shè)xeR,用國表示不超過x的最大整數(shù)，如

22023

I22220232

[1.2]=1,[—1.2]=—2.貝|如構(gòu)成的集合元素的個(gè)數(shù)為.（用數(shù)字作答）

202320232023

【答案】1962

【分析】計(jì)算得出接近2023整數(shù)倍的平方數(shù)，結(jié)合定義計(jì)算即可.

I222442

【詳解】易知442<2023<452==0,

202320232023

244

I222442

故=0,

202320232023

452462632

又2023<452<632<2023x2<642n=1,

202320232023

454663

452462632

故=1,

202320232023

m2n2

設(shè)機(jī)>〃之64（加,〃￡N*）,則的結(jié)果有兩種可能,

20232023

m2n2m2n2

①若,不妨設(shè)

2023202320232023

m2m2n2

則=tn顯然尸>，,即>

20232023920232023

m2n2m2n2m2n2m2n2

②若則------>------->>

20232023202320232023202320232023

m2n2

綜上當(dāng)相〉〃之64（m,〃￡N*）時(shí),>恒成立,

20232023

22

易知』I，?焉，一2黃0232T中有2023個(gè)數(shù)，其中前44個(gè)數(shù)為0,第45個(gè)數(shù)至第63個(gè)數(shù)為1,其

202320232023

余均不相同,

2023

121r2220232

中有2023—63+1+1=1962個(gè)數(shù),

2023，20232023

故答案為：1962.

三、解答題

4.（23-24高一上?全國?課后作業(yè)）對(duì)正整數(shù)“，記/“={12,n},Pn=\^=\m^In,k,求集合2中元

素的個(gè)數(shù).

【答案】46

【分析】確定〃=7,分類求解，分別求得左=1,2,,7時(shí)，鳥種元素的個(gè)數(shù)，即可求得答案.

【詳解】對(duì)于A，有〃=7,（={1,234,5,6,7},

故當(dāng)％=1時(shí)，m取1,2,-,7,此時(shí)月={1,2,,7）,即？中有7個(gè)元素；

，%},此時(shí)4中有7個(gè)元素;

當(dāng)上=2時(shí),m取1,2,,7,

5},此時(shí)A中對(duì)應(yīng)有7個(gè)元素;

當(dāng)人=3時(shí),m取12,7,

當(dāng)左=4時(shí)，m取12,7,Pj=|mG/7>={—,1,—,2,—,3,—),

?乙j乙乙乙乙

其中有3個(gè)元素1,2,3與％=1時(shí)尸7中元素相同,

當(dāng)％=5時(shí)，m取1,2,,7,此時(shí)2中對(duì)應(yīng)有7個(gè)元素;

當(dāng)左=6時(shí)，m取1,2,.,7,此時(shí)A中對(duì)應(yīng)有7個(gè)元素;

當(dāng)左=7時(shí)，m取1,2,.,7,此時(shí)片中對(duì)應(yīng)有7個(gè)元素;

故集合2中元素的個(gè)數(shù)為7x7-3=46.

5.（23-24高一上.上海徐匯?期中）已知非空實(shí)數(shù)集S,T滿足：任意xeS,均有——eS；任意yeT,均

x

（1）直接寫出S中所有元素之積的所有可能值；

（2）若T由四個(gè)元素組成，且所有元素之和為3,求T；

⑶若ST非空，且由5個(gè)元素組成，求S_T的元素個(gè)數(shù)的最小值.

【答案】(1)-1或1

⑵T=，2+八,2-石,右"

⑶18

【分析】(1)根據(jù)集合S中的元素構(gòu)成可得集合S中的元素是以的形式，三個(gè)數(shù)為一組出現(xiàn),

從而可得結(jié)論；

(2)根據(jù)集合T中的元素構(gòu)成可得集合T中的元素是以［%24，-匕產(chǎn)］的形式，四個(gè)數(shù)為一組出現(xiàn)，

Iy+iyi-yj

從而可得結(jié)論；

(3)由(1)(2)可得集合S,T的元素個(gè)數(shù)分別是以3和4為最小正周期循環(huán)，從而根據(jù)ST得元素個(gè)數(shù),

可確定SJT的元素個(gè)數(shù)的最小值.

【詳解】(1)已知非空實(shí)數(shù)集S滿足:任意xeS,均有24eS,且x="在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)無解,所以,

XXX

所以^"Rnr'-eS，=

X-ll-x］

Xl-x

則集合S中的元素是以卜，三^丁匚］的形式，三個(gè)數(shù)為一組出現(xiàn)，組和組不相交，且cues,

［Xl-xJ

X—11

又X?二—.--=-1,則S中所有元素之積的所有可能值為-1或1；

X1—X

⑵已知非空實(shí)數(shù)集T滿足：任意ys均有色5且

Zzl_i-1-1Hl，1

所以土1TQy1+Jrr-r，1-yT

——eT,且^—=一5x.=yeT

y二+iI八+i

y+iyi-y

則集合T中的元素是以的形式，四個(gè)數(shù)為一組出現(xiàn)，組和組不相交，且-1,0,1eT,

若T由四個(gè)元素組成，則T=,且所有元素之和為3

所以+下,整理得(，-4y-l)(y2+y-l)=0

y+i

解得y=2±&或》=匚|好

當(dāng)y=2+&或y=2-有或y=或時(shí)，T=[2+君,2-后，

,22[22

綜上,T=12+后2一后

（3）由（1）（2）集合S,T的元素個(gè)數(shù)分別是以3和4為最小正周期循環(huán)，

且當(dāng)％=丫時(shí)，同一周期內(nèi)其余元素不相等，

因而3和4互素，所以S和T中的各組最多只能有一個(gè)公共元素，

因?yàn)镾T有五個(gè)元素，若要使亂7的元素個(gè)數(shù)最小，要使相同的元素盡量在同一個(gè)周期內(nèi)，

若[知迎二，P—T，S,：1=S,此時(shí)從S中選出5個(gè)元素屬于T,此時(shí)T包含20個(gè)元素，SiT中

[無。1一玉）%

包含6+20-5=21,

若7=1%，九=，-,，產(chǎn)，肉上二,-工，生4,此時(shí)從T中選出5個(gè)元素屬于S,此時(shí)S包含15個(gè)元素，

I%+i%1-%x+i%1-MJ

ST中包含8+15-5=18,

所以S7的元素個(gè)數(shù)最小值為18.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查集合中元素的性質(zhì)，綜合性強(qiáng).解題關(guān)鍵是確定集合中元素的構(gòu)成以及元素

個(gè)數(shù)關(guān)系，例如本題中集合S中的元素是以[蒼=,/匚:的形式，三個(gè)數(shù)為一組出現(xiàn)，集合T中的元素是

以1y,一，-匕92]的形式，四個(gè)數(shù)為一組出現(xiàn)，組和組不相交.

[y+ly1-y]

題型2根據(jù)元素與集合的關(guān)系求參數(shù)

一、多選題

1.（23-24高一上?江蘇鹽城?階段練習(xí)）已知集合4=｛。-2,2/+5。,1+2。｝,-3eA,則。的值為（）.

3

A.—1B.—C.1D.—2

2

【答案】BD

【分析】由題意可得-3=。-2或一3=2/+5°或1+2〃=-3,求出對(duì)應(yīng)的a值，結(jié)合集合的特征依次驗(yàn)證即

可.

【詳解】-3eA,集合A=｛a-2,2〃+5a,1+2。｝,

得-3=a-2或—3=2（72+5a或1+2a=—3,

3

解得。=-1或a=-萬或a=-2,

當(dāng)。=-1時(shí)，a-2=-3,2a2+5a=-3,不符合集合中元素的互異性，故a=T舍去;

37

當(dāng)〃=-萬時(shí)，ci—2=――,2a2+5a=—3,1+2〃=-2,滿足題意；

當(dāng)。=-2時(shí)，a-2=-4,2a2+5〃=-2,1+2々=-3,滿足題意.

故選：BD.

2.（23-24高一上?江蘇南京?階段練習(xí)）設(shè)非空集合S=[x\m<x<l}滿足:當(dāng)xeS時(shí)，有YS，下列命題中，正

確的有（）

A.若%=1,則$={1}B.優(yōu)的取值范圍為-

C.若/=1,則一變WmWOD.m+

224

【答案】ACD

【分析】對(duì)于A,當(dāng)m=1時(shí),S=卜|1<x<l}Ml>\，分類討論判斷正誤;對(duì)于B,由題意得meS,則WeS,所

以機(jī)4/判斷B的正誤;對(duì)C,若/=g,S=卜,<x<|j，此時(shí)m<O,IH0O<m2<|求出范圍判斷即可;對(duì)于D,

因?yàn)楦闟,則小￡S，所以/<I，將機(jī)+/轉(zhuǎn)化為機(jī)+/之加+加求解即可.

【詳解】對(duì)于A,當(dāng)機(jī)=1時(shí),S={刈Wx</},此時(shí)K1.若?,則S={1}，滿足題意;若/>1,貝?。闟,尸&s，綜上，若

機(jī)=1,貝!)S={1},故A正確;

對(duì)于B,因?yàn)閙wS,則療wS,所以機(jī)工療,解得mV?；蚋?，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,若/=；,S=3%W無此時(shí)"?40,則04.4；,解得一包4〃區(qū)遮，綜上一受〈mWO,故C正

2222

確；

對(duì)于D,因?yàn)椤▃eS,則加es,所以/w/,所以〃7+/Z加+/=（〃7+‘]D正確.

12）44

故選:ACD.

二、填空題

3.（2024高一上?全國?專題練習(xí)）已知M={。-3,2。一1,儲(chǔ)+1},雙={-2,4。一3,3。一1},若/=N,則實(shí)數(shù)。的

值為.

【答案】1

【分析】根據(jù)題意知集合加=雙，利用分類討論及集合元素的互異性從而可求解.

【詳解】由題意知集合M=N,

所以當(dāng)a-3=-2時(shí)，得a=l,所以M={-2,1,2},N={-2,1,2},故滿足M=N；

當(dāng)2a—1=—2時(shí)，得.=一;，所以〃=卜：,一2,：1,"=卜2,-5,-^},故不滿足河="；

當(dāng)<?+1=_2時(shí)，無解，故不滿足M=N

綜上，可得實(shí)數(shù)。的值為1.

故答案為：1.

三、解答題

4.（23-24高一上?江蘇鎮(zhèn)江.階段練習(xí)）已知集合A中的元素全為實(shí)數(shù)，且滿足：若aeA,貝

L-a

（1）若。=-3,求出A中其他所有元素.

（2）0是不是集合A中的元素？請(qǐng)你取一個(gè)實(shí)數(shù)aeA（aH-3）,再求出A中的元素.

【答案】（1）A中其他所有元素為-g,2；

（2）0不是A的元素，當(dāng)3wA,A中的元素是：3,-2,

3N

【分析】（1）根據(jù)定義直接計(jì)算即可得到A中其他所有元素;

（2）先假設(shè)OeA,依定義判斷即可；取。=3,根據(jù)定義直接計(jì)算即可得到A中其他所有元素.

【詳解】（1）由題意可知：-3eA,

14

1+(-3)9―,

則A,T=2"，

1-(-3)十

1--1-2

3

所以A中其他所有元素為-；，1,2.

則罟=leA,

(2)假設(shè)a=0￡A,

1—0

而當(dāng)IwA時(shí)，手不存在，假設(shè)不成立,

l-a

所以0不是A的元素,

1+1+-

取。=3,貝！］*=-2eA,T=3"，

1—31一（一，）

1-1--

2

所以當(dāng)3wA,A中的兀素是：3,—2>.

3/

5.（23-24高一上湖南長沙?階段練習(xí)）設(shè)數(shù)集A由實(shí)數(shù)構(gòu)成,且滿足：若（x.l且x.°）,則占eA.

（1）若3eA,試證明A中還有另外兩個(gè)元素；

（2）集合A是否為只含有兩個(gè)元素的集合，并說明理由;

（3）若A中元素個(gè)數(shù)不超過8個(gè)，所有元素的和為三14，且A中有一個(gè)元素的平方等于所有元素的積，求集合

A.

【答案】（1）證明見解析

⑵否，理由見解析

⑶4=卜1，5,2,一萬1,—3,§2

【分析】（1）利用集合與元素之間的關(guān)系證明即可；

（2）根據(jù)條件求出元素間的規(guī)律即可；

（3）先利用求出集合中元素個(gè)數(shù)，再根據(jù)所有元素和求解即可.

【詳解】⑴由題意，若3eA,則工=eA,

1-32

H2.——=3E.A

右；￡A，n貝！112,

3

所以集合A中還有另外兩個(gè)元素-;1和永O

（2）否，理由如下：

由題意，若xeA（x/1且尤片0）,貝（J—5—eA,

1-x

1-x

若1-9兒則

所以集合A中應(yīng)包含x,-J-,1-1,而尤.4（1_n=一1,

\-xX1-XIX）

所以集合A的元素個(gè)數(shù)為3的倍數(shù)，

故集合A不是只含有兩個(gè)元素的集合.

（3）由（2）知，尤,J—,1-^eA,且集合A的元素個(gè)數(shù)為3的倍數(shù),

i-xX

因?yàn)榧螦中元素個(gè)數(shù)不超過8個(gè)，且A中有一個(gè)元素的平方等于所有元素的積,

所以集合A的元素個(gè)數(shù)為6,其中一個(gè)元素為T,

由-leA結(jié)合已知條件可得，1,2eA,

由-。+2+」+」」

21-xx3

1?

解得戶-^或x=3或x=g,

所以&=卜名,2,一；,3,|}.

題型3根據(jù)集合的包含關(guān)系求參數(shù)

一、單選題

1.（24-25高一上?上海?隨堂練習(xí)）已知集合M=[X|X=冽+：,M￡Z},=jx|x=|-1,neZ

P=|x|x=-^+—,pezj,則〃、N、P的關(guān)系滿足（）.

A.M=NuPB.MuN=P

C.MuNuPD.NuPuM

【答案】B

【分析】先將集合M,N,尸化簡變形成統(tǒng)一形式，然后分析判斷即可.

6m+1J[I3x2m+1”

【詳解】因?yàn)榧?xx----,meZ>=<%%=-----,meZ

3(1)+13k+l

,keZ

66

所以MuN=P.

故選：B.

2.（23-24高一下.北京.期末）已知集合4=&,0}、5={y,0,l},其中/y40,1,2,3,4,5},且AgB.滿足

以上條件的全部有序數(shù)對(duì)（%，歷的個(gè)數(shù)為（）.

A.6B.8C.20D.36

【答案】B

【分析】根據(jù)集合中元素的互異性以及集合之間的包含關(guān)系進(jìn)行分類討論求解.

【詳解】依題意,當(dāng)九=1時(shí),丁=2,3,4,5,有序數(shù)對(duì)（%,y）有4個(gè)；

當(dāng)工=，時(shí)，y=2,3,4,5,有序數(shù)對(duì)（羽,）有4個(gè)；全部有序數(shù)對(duì)（羽y）的個(gè)數(shù)為8個(gè).故A,C,D錯(cuò)誤.

故選：B.

二、填空題

3.(2024高一上.全國.專題練習(xí))設(shè)集合A={-1,1},集合3={丫|/一2依+》=0},若3N0且BgA,則

實(shí)數(shù)成>=__.

【答案】0或T或1

【分析】且3U{T,1},關(guān)于x的方程f-2辦+6=0的根只能是-1或1,但要注意方程有兩個(gè)相等根的條

件是△=().

【詳解】3={x，-2G+6=0}=A={-U},且3x0,

?.2={-1}或2={1}或2={_1,1}.

當(dāng).〔2={-1}時(shí)，

A=4a2—48=0且l+2a+b=0,

解得。=-1,6=1.貝!I"=-1；

當(dāng)3={1}時(shí)，

△=4。2-48=0且1-2。+》=0,

解得a=b=l.貝！|而=1

當(dāng)8={-1,1}時(shí)，

<(-l)+l=2a,(-l)xl=/>,

解得a=0,6=-1.則而=0；

所以必=0或-1或L

故答案為：0或T或1

三、解答題

4.(23-24高一上.吉林四平.階段練習(xí))已知集合尸={xeR,一3x+b=0},0=keR|(x+l)(x2+3尤-4)=0}.

⑴若6=4,存在集合M使得尸為M的真子集且M為。的真子集，求這樣的集合M；

(2)若集合尸是集合。的一個(gè)子集，求6的取值范圍.

【答案】⑴㈠},{-1},{1},{-4,-1},{-4,1},{-1,1}

⑵["4

【分析】(1)確定尸=0,并求出集合Q,寫出。的真子集即得；

(2)分類討論，P=0時(shí)滿足題意，P/0時(shí)，由集合。中的元素屬于集合P,分別代入求出參數(shù)6,得

集合尸檢驗(yàn)即可.

【詳解】(1)當(dāng)6=4時(shí)，方程f-3x+6=0的根的判另I］式A=(-3)2-4xlx4<0,所以尸=0.

又Q=卜eRk+l)(x~+3x-4)=()}={-4,—1,1},故PUQ.

由已知，得M應(yīng)是一個(gè)非空集合，且是。的一個(gè)真子集，

用列舉法可得這樣的集合M共有6個(gè)，分別為{T},{-1},{1},H-1},{T,1},{-1,1}.

(2)當(dāng)尸=0時(shí)，尸是。的一個(gè)子集，此時(shí)對(duì)于方程無2一3彳+人=0,

9

有△=9-4。<0,所以6>—.

4

當(dāng)Pw0時(shí)，因?yàn)椤?{T,-U},所以當(dāng)—le尸時(shí)，

(―I)?—3x(—1)+6=0,即6=—4,此時(shí)尸={無產(chǎn)—3尤-4=o}={4,-1},

因?yàn)?拓。，所以尸不是Q的子集；

同理當(dāng)TeP時(shí)，6=—28,P={7,T},也不是。的子集；

當(dāng)le尸時(shí)，b=2,尸={1,2},也不是。的子集.

綜上，滿足條件的b的取值范圍是卜卜〉:，.

5.(23-24高一上?新疆昌吉?階段練習(xí))已知集合4={%|x=:r+〃2,〃zeZ,"eZ}.

⑴判斷2,5,25是否屬于集合A；

(2)若正整數(shù)了為完全平方數(shù)，zeA,證明：yzeA；

(3)若集合B={x|尤=4%+3,kwZ},證明：AcB=0.

【答案】(1)2,5,25屬于集合A

(2)證明見解析

(3)證明見解析

【分析】(D將2,5,25拆成兩個(gè)整數(shù)平方和即可；

(2)由題可設(shè)y=/(aeZ),z=&2+c2(/?GZ,ceZ),由此即可證明yzeA；

(3)根據(jù)m與n的奇偶分類討論，結(jié)合兩集合中元素的性質(zhì)即可得證.

【詳解】(1)由2=12+/,5=12+22,25=32+4、可知2,5,25屬于集合A；

(2)由題可設(shè)y=q2(aeZ),

又由zeA,設(shè)z=〃+c2(beZ,ceZ),

有yz="{b1+c?)=(aZ?)2+(ac)2,

由aeZ,6eZ,ceZ,有。Z?eZ,aceZ,故有yzeA；

(3)①當(dāng)都為偶數(shù)時(shí)，不妨設(shè)相=2勺化eZ),〃=2&(￡wZ),

有x=/+"2=4#+4片=4(左；+抬)，

此時(shí)x為4的倍數(shù)，而偶數(shù)e8,此時(shí)Ac3=0；

②當(dāng)加,〃都為奇數(shù)時(shí)，不妨設(shè)機(jī)=2匕+1(匕eZ),〃=2&+l(&cZ),

有尤="2+〃2=(2匕+1)2+(2e+1)2=4(6+居+用+履)+2,

此時(shí)x為2的倍數(shù)，而偶數(shù)隹B,此時(shí)Ac3=0；

③當(dāng)機(jī),〃一奇一偶時(shí)，不妨設(shè)〃?=2匕+1(%eZ),"=2&(&eZ),

有x=m2+n2=(2勺+以+%=4(好+舄+勺)+1,

此時(shí)尤被4整除余1,而集合2中的元素被4整除余3,此時(shí)Ac3=0.

由①②③可知，AnB=0.

6.(23-24高一上?北京朝陽?期末)已知集合4={4&,…,叫，其中“eN*且"24,a"N*a=l,2,「,")，非

空集合3勺4,記7(5)為集合2中所有元素之和，并規(guī)定當(dāng)B中只有一個(gè)元素6時(shí)，T(B)=b.

⑴若A={1,2,5,6,7,8},T(B)=8,寫出所有可能的集合2；

(2)若4={3,4,5,9,10,11},3=也,打也}，且丁法)是12的倍數(shù)，求集合B的個(gè)數(shù)；

⑶若@e{l,2,3,L,2〃-l}(i=l,2,L,〃)，證明：存在非空集合3=使得?、墒?〃的倍數(shù).

【答案】⑴{8},{1,7},{2,6},{1,2,5}

(2)4

(3)證明見詳解

【分析】根據(jù)條件，可列出(1)(2)中所有滿足條件的B；對(duì)(3),分情況討論，尋找使7(3)是2”倍數(shù)

的集合反

【詳解】(Q所有可能的集合8為:{8},{1,7},{2,6},{1,2,5}.

(2)不妨設(shè)：瓦＜b2cb3,由于3V々＜打＜4々I，且4也也eA,

所以3+4+5=12WT⑻/+8+%＜30=9+10+11.

由題意，T(B)是12的倍數(shù)時(shí)，7(B)=12或7(3)=24.

當(dāng)T(B)=12時(shí)，因?yàn)?+N+H'3+4+5=12,

所以當(dāng)且僅當(dāng)3={3,4,5}時(shí)，T(3)=12成立，故3={3,4,5}符合題意.

當(dāng)T(3)=24時(shí)，

若4=11,則4+4=13,故3={3,10,11}或8={4,9,11}符合題意；

若&=10,則=14,故3={5,9,10}符合題意；

若4=9,貝1I4+4+444+5+9=18,無解.

綜上，所有可能的集合3為{3,4,5},{3,10,11},{4,9,11},{5,9,10).

故滿足條件的集合B的個(gè)數(shù)為4.

(3)(1)當(dāng)〃任A時(shí)，設(shè)％<4則

%,%,?”，￡{1,2,3,?一；421,〃#1,?n-1,

這2〃個(gè)數(shù)取2〃-2個(gè)值，故其中有兩個(gè)數(shù)相等.

又因?yàn)椋?，于是2〃一%>2〃一。2>?》2-。九，

從而％,。2，?因互不相等，24、。1，2〃-〃2，?"-為互不相等，

所以存在〃，〃e{l,2,?一,“}使得4=2〃-6.

又因吸w”，q,二〃故〃Av.

則3={a〃,aJ,則T(B)=a〃+4=2〃，結(jié)論成立.

(2)當(dāng)“eA時(shí)，不妨設(shè)4=〃，

則％,旦，?“，?！巴?〃24),在這〃-1個(gè)數(shù)中任取3個(gè)數(shù),4<%<4.

右Uj—與4-ctj都是〃的倍數(shù)，七一%=(%—。J+(%—4)N2n,

這與q,%,%?0,2〃-1]矛盾.

則a,,%,4至少有2個(gè)數(shù)，它們之差不是n的倍數(shù)，不妨設(shè)%-q(%>卬)不是"的倍數(shù).

考慮這〃個(gè)數(shù)：%,%,％+%,%+出+〃3，…，+電+…+〃〃-1.

①若這〃個(gè)數(shù)除以"的余數(shù)兩兩不同，則其中必有一個(gè)是〃的倍數(shù)，又生,出<2〃且均不為〃，

故存在2WrW〃-l,使得q+生+??+%=p〃(九eN*).

若〃為偶數(shù)，取5={4%,則T(8)=p〃,結(jié)論成立；

若P為奇數(shù)，取3={%,%,?-“,?！皚,貝!|T(B)=p〃+〃=(p+l)九，結(jié)論成立.

②若這〃個(gè)數(shù)除以"的余數(shù)中有兩個(gè)相同，則它們之差是”的倍數(shù)，又為-4,%均不是〃的倍數(shù),

故存在2Ws<r(”―1,使得(6+02+--?+?,)-(01+02+---+as)=qn[qeN*).

若4為偶數(shù)，取3=噌+1，4+2,?.?，}，則T(3)=q〃,結(jié)論成立；

若4為奇數(shù)，取8={4+1，4+2，?“，％，4,}，則T(5)=W+〃=(4+1)”,結(jié)論成立.

綜上，存在非空集合3a4,使得7(8)是2〃的倍數(shù).

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：如何找到非空集合5,使得T(B)是2"的倍數(shù)是問題的關(guān)鍵.

題型4集合的交、并、補(bǔ)運(yùn)算及參數(shù)問題

一、單選題

1.（24-25高一上?上海?課后作業(yè)）若A、B、C為三個(gè)集合，AuB=BnC,則一定有（）

A.AcCB.CcAC.A1CD.A=0

【答案】A

【分析】由已知等式可推導(dǎo)得到AuC,由此可依次判斷各個(gè)選項(xiàng)得到結(jié)果.

【詳解】因?yàn)?

所以AB三B,AcBC,B三BC,

所以Au5,AuC,3uC,

所以AgBuC,

對(duì)于A,因?yàn)?=3=。，所以A=C,故A正確；

對(duì)于B,當(dāng)且僅當(dāng)A=B=C時(shí)，CcA,故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,當(dāng)A=B=C時(shí)，滿足=故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D,當(dāng)AN0時(shí)，滿足故D錯(cuò)誤.

故選：A.

2.（23-24高一上?上海青浦?期末）已知非空集合4,3且403工0,設(shè)。=卜,=4},。=卜,=同,“=。門￡）,

F={x|xcAnB）,則對(duì)于反尸的關(guān)系，下列問題正確的是（）

A.E口FB.FjEC.E=FD.E、尸的關(guān)系無法確定

【答案】C

【分析】由集合與元素、集合與集合之間的關(guān)系從兩個(gè)方面推理論證即可求解.

【詳解】MxeE=Cc\D,<XGC,XGD,從而有進(jìn)一步xqAcB,BPxeF,所以石口方，

VxeF={x|xoAnB|,有從而有qB,進(jìn)一步有工￡。,%￡。，即尤￡￡=CCZ）,所以

FjE,

綜上所述，有E=F.

故選：C.

二、填空題

3.（2024.全國.模擬預(yù)測）設(shè)集合4={1,”,5},3={小2-4%+〃2=0}.若{1}屋（4門3）且3=4,則

m+n=.

【答案】6

【分析】根據(jù)集合間的關(guān)系可知lw3,可得m=3,再由3=4求得〃=3,即可得解.

【詳解】因?yàn)榧先?{1,〃,5},8=上/—4x+m=0j,

若{1}口（AC3）,貝！）1￡?1且1￡3,可得1一4+加=0,解得根=3,

即有3={小2-4*+3=0}={1,3},又所以〃=3,所以租+〃=6.

故答案為：6

4.（23-24高一上?北京?期中）設(shè)4=口|--8工+15=0},B={x\ax-\=Q）},若AB=B,則實(shí)數(shù)。的值可

以為.

（將你認(rèn)為正確的序號(hào)都填上，若填寫有一個(gè)錯(cuò)誤選項(xiàng)，此題得零分）

①[②0③3@1

【答案】①②④

【分析】根據(jù)交集的定義以及集合的包含關(guān)系求得結(jié)果.

【詳解】集合A={x|f—8x+15=0}={3,5},由A8=8可得BgA,

則分3=0和8={3}或{5}或{3,5},

當(dāng)3=0時(shí)，滿足。=0即可；

當(dāng)8={3}時(shí)，滿足3a—1=0,解得：〃=；；

當(dāng)8={5}時(shí)，滿足5a-l=0,解得：。=；；

當(dāng)8={3,5}時(shí)，顯然不符合條件，

所以0的值可以為

故答案為：①②④.

三、解答題

5.（23-24高一上.江蘇蘇州?階段練習(xí)）已知集合A{x|x<-3或x>2},B={x\-A<x-2<i\.

⑴求（瘤4）U（RB）；

（2）若集合M={x\2k-1<x<2k+\\是集合A的真子集，求實(shí)數(shù)k的取值范圍.

【答案】（1）ACB={X|2<尤<4},（>4）o（RB）={X|X<2^X>4}

3

（2）左<—2或左>5

【分析】（1）根據(jù)集合的運(yùn)算法則計(jì)算即可得；

（2）由子集的定義得出不等關(guān)系后計(jì)算即可得.

【詳解】（1）B=-4<x-2V2}二-2Kx<4},

則Ac5={H2Vx<4},

^A=1x|-3<x<21,43={小<-2或%24},

.?.(領(lǐng))。({巾W2或x"}；

(2)?.?集合M={x|201W尤<2左+1}是集合A的真子集，

3

二2左+1<—3或2左一1>2,解得左<一2或%>—.

2

6.(24-25高一上?上海?課后作業(yè))已知A={尤|。<尤V-a+3},8={x[x<-l或x>5}.

(1)若AcB=0,求。的取值范圍；

(2)若4B=R,求。的取值范圍.

【答案】⑴卜L心)

(2)(-co,-2]

【分析】(D分A=0和AH0兩種情況討論求解即可；

f—a+3N5

(2)由題意得/,從而可求出。的取值范圍.

[a<-1

3

【詳解】(1)①當(dāng)A=0時(shí)，AnB=0,：.a>-a+3f**??>--

2,3

②當(dāng)Aw0時(shí)，要使Ac5=0,必須滿足<—ci+3V5,解得

a>-l2

綜上所述，。的取值范圍是卜1,內(nèi)).

(2)?.*AB=R,A=|x|6z<x<—a+31,3={x|%1或x>5},

[~ci+325

i,)解得aV—2,

[a<-1

故所求。的取值范圍為-2].

7.(23-24高一上.浙江杭州?期中)設(shè)集合&={小2-"+42-19=。},B=^X|X2-5X+6=0

C={X|X2-2X-3=0}.

(1)若AB=AB,求實(shí)數(shù)。的值；

(2)若且AcC=0,求實(shí)數(shù)。的值.

【答案】(1)5

⑵-3

【分析】(1)由題意得出A=3,再利用韋達(dá)定理求得參數(shù)值;

(2)由題意得出2eA,求得。值后，再代入檢驗(yàn).

【詳解】⑴由題可得。={x*-5x+6=0}={2,3},由AB=A\B,得管=瓦

,A（2+3=Q

從而2,3是方程％2一依+〃一]9=0的兩個(gè)根，即{2in，解得〃=5.

[2x3=〃-19

（2）因?yàn)?={2,3},C={X|X2-2X-3=0}={-1,3}.

因?yàn)锳c5w0,又AcC=0,所以2^4,

即4一2[+。2_i9=o,a?_2q-15=0,解得。=5或a=—3.

當(dāng)。=5時(shí)，A={2,3},則AcCwO,不符合題意；

當(dāng)〃=—3時(shí)，A={—5,2},則Ac5={2}且AcC=0,故々=—3符合題意，

綜上，實(shí)數(shù)。的值為-3.

8.（24-25高一上?上海?課堂例題）已知集合M=1|1=。+4回,〃、.

⑴若加為整數(shù)，試判斷加是否為集合”中的元素；

G

（2）求證：若不、x2eM,則王超M.

【答案】（1）機(jī)￡以

⑵證明見解析

【分析】（1）根據(jù)集合的表示方法，以及元素與集合的關(guān)系，即可求解.

m

（2）若再、X2eM,貝11玉=叫+々6，尤2=利+%6，且g、2、6、%cZ,計(jì)算玉馬的形態(tài)，從而確

定它與集合M的關(guān)系.

【詳解】（1）是.?：根wZ,???加=M+0X其中mwZ,OEZ,???整數(shù)機(jī)￡河.

（2）證明：?:國、“eM,

???可設(shè)%=町+勺百，x2=m1+^5/3,且叫、根2、個(gè)"26Z,

:.XxX2=（叫+々石）（加2+〃2君）

=m1m2+仍巧）,+3々%

=（見”+3々%）+（”々+町巧）百.

又（m1m2+34%）￡2,（明々+町巧）￡2,

/.XjX2eM.

題型5集合的新定義問題

一、多選題

1.（23-24高一上.安徽蕪湖?階段練習(xí)）當(dāng)兩個(gè)集合有公共元素，且互不為對(duì)方的子集時(shí)，我們稱這兩個(gè)集

合“相交”.對(duì)于集合M={乂加T=。}，N=，g/:,若M與相交”，則。等于()

A.4B.2C.1D.0

【答案】AC

【分析】由集合新定義把N中的元素代入M解出即可.

【詳解】由M與N“相交”，可知;,1有一個(gè)屬于集合M,

若geM,貝(]-l=0no=4；

若leAf,貝！lox]2—l=Ono=l,

故選：AC.

2.(23-24高一上?河南開封?期中)當(dāng)兩個(gè)集合中一個(gè)集合為另一個(gè)集合的子集時(shí)，稱這兩個(gè)集合構(gòu)成“全食”；

當(dāng)兩個(gè)集合有公共元素，但互不為對(duì)方子集時(shí)，稱這兩個(gè)集合成“偏食”.對(duì)于集合4=[-2,0b,“，

8={尤弧-1)(尤+a)=0},若A與2構(gòu)成“全食”或“偏食”，則實(shí)數(shù)。的取值可以是()

A.-2B.--C.0D.1

2

【答案】BCD

【分析】考慮。=0時(shí)，3=網(wǎng)，時(shí)，8=.一。，口，依次將各個(gè)選項(xiàng)中的數(shù)據(jù)帶入，計(jì)算集合8,再

判斷A和8之間的關(guān)系得到答案.

【詳解】當(dāng)。=0時(shí)，B={x|(ar-l)(x+a)=0}={0},

當(dāng)年0時(shí)，B={xl(a%-l)(x+a)=O}=j-a,-j>,

對(duì)選項(xiàng)A：若a=-2,B=I2,--j,此時(shí)Ac3=0,不滿足；

對(duì)選項(xiàng)B：若a=-g,8=[2,g,此時(shí)8=滿足；

對(duì)選項(xiàng)C：若a=0,8={。},此時(shí)B=滿足；

對(duì)選項(xiàng)D：若a=l,B=此時(shí)A3={1}W0,滿足；

故選：BCD.

二、填空題

3.(23-24高一上.上海.期中)已知非空集合42滿足以下兩個(gè)條件:

(i)AB={1,2,3,4,5,6},AnB=0；

（ii）A的元素個(gè)數(shù)不是A中的元素，2的元素個(gè)數(shù)不是B中的元素，

則有序集合對(duì)（AB）的個(gè)數(shù)為.

【答案】10

【分析】分別討論集合A,8元素個(gè)數(shù)，即可得到結(jié)論.

【詳解】若集合A中只有1個(gè)元素，則集合B中只有5個(gè)元素，貝!J1史A,5史B,

即5eA,IwB,此時(shí)A={2,5,3,4,6},有1種，

若集合A中只有2個(gè)元素，則集合8中只有4個(gè)元素，則2e4,4eB,

即4eA,2eB,此時(shí)集合A還可以有1,3,5,6中的一個(gè)數(shù)，故有4種

若集合A中只有3個(gè)元素，則集合B中只有3個(gè)元素，則中3eA,3eB,不滿足題意，

若集合A中只有4個(gè)元素，則集合B中只有2個(gè)元素，則4任A,2eB,

即2e/,4eB,此時(shí)集合A還可以有1,3,5,6中的三個(gè)數(shù)，

即A={2,1,3,5},或4={2,1,3,6},或4={2,5,3,6},或4={2,1,5,6},有4種，

若集合A中只有5個(gè)元素，則集合8中只有1個(gè)元素，則5eA,1e3,

即leA,5eB,此時(shí)A={2,1,3,4,6},有1種，

故有序集合對(duì)（AB）的個(gè)數(shù)是1+4+4+1=10.

故答案為：10.

三、解答題

4.（24-25高一上?上海?課堂例題）對(duì)于非負(fù)整數(shù)集合S（非空），若對(duì)任意都有尤+yeS,或者

|x-y|eS,則稱S為一個(gè)好集合，以下記同為S的元素個(gè)數(shù).

（1）寫出兩個(gè)所有的元素均小于3的好集合；（給出結(jié)論即可）

⑵設(shè)集合5={。,"c,d},a<b<c<d,若集合S為好集合，求出。、b、c,d所滿足的條件.（需說明理由）