浙江省2023年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習：特殊平行四邊形 練習題

浙江省2023年中考備考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習特殊平行四邊形練習題

一、單選題

1.（2022?浙江金華?統(tǒng)考一模）如圖，在矩形A8C。中，AB=2,AD=4,E為CO的中點，連結(jié)AE并延

長，交BC的延長線于點R點P為BC上一點，當時，則AP的長度為（）

2.（2022?浙江紹興?模擬預(yù)測）如圖，矩形紙片A8CZ）中，AD=6,E是上一點，連結(jié)AE,△AZJE沿

直線AE翻折后點。落到點R過點尸作FGLA。，垂足為G.若AO=3G。，則。E的值為（）

A.岳B.-C.D.—

253

3.（2022?浙江杭州?統(tǒng)考一模）在四邊形ABC。中，兩對角線交于點O,若OA=OB=OC=OD,則這個四邊

形（）

A.可能不是平行四邊形B.一定是菱形

C.一定是正方形D.一定是矩形

4.（2022?浙江紹興.一模）在AABC中，CO為AB邊上的中線，B.OC=-AB,以點。為圓心，0c長為半

2

徑畫圓，延長CO交。。于點。，連接A。，BD,貝IJ四邊形ADBC是（）

A.正方形B.矩形C.菱形D.鄰邊相等的四邊形

5.（2022?浙江杭州?一模）一塊含45。角的直角三角板和一把直尺按如圖所示方式放置，直尺的一邊EP與

直角三角板的斜邊A3位于同一直線上，DE>AB.開始時，點E與點A重合，直角三角板固定不動，然后

將直尺沿AB方向平移，直到點尸與點8重合時停止.設(shè)直尺平移的距離AE的長為x,邊AC和8c被直

尺覆蓋部分的總長度為》則y關(guān)于尤的函數(shù)圖象大致是（）

6.（2022.浙江湖州.統(tǒng)考一模）菱形的兩條對角線長分別是6和8,則此菱形的周長是（）

A.5B.20C.24D.32

7.（2022.浙江紹興.模擬預(yù)測）如圖，點H,方分別在菱形ABCD的邊AD,5c上，點￡,G分別在B4,

。。的延長線上，&AE=AH=CG=CF.連結(jié)EH,EF,GF,GH,若菱形ABC。和四邊形石R汨的

AJ-f

面積相等,則茄的值為（）

A.D.------D.1

2-2

8.（2022?浙江紹興?統(tǒng)考中考真題）如圖,在平行四邊形A3CD中，AD=2AB=2,ZABC=60°,E,F是

對角線上的動點，且BE=DF,M,N分別是邊AD,邊3c上的動點.下列四種說法：①存在無數(shù)

個平行四邊形MENF；②存在無數(shù)個矩形MENF；③存在無數(shù)個菱形MENF；④存在無數(shù)個正方形

MENF.其中正確的個數(shù)是（）

A.1B.2C.3D.4

9.（2022?浙江嘉興.統(tǒng)考中考真題）“方勝”是中國古代婦女的一種發(fā)飾，其圖案由兩個全等正方形相疊組成，

寓意是同心吉祥.如圖，將邊長為2cm的正方形A8CO沿對角線8。方向平移1cm得到正方形,

形成一個“方勝”圖案，則點。，B之間的距離為（）

C.(應(yīng)一l)cmD.(272—l)cm

10.（2022?浙江溫州?統(tǒng)考一模）如圖，在AABC中，/A4C=90。，以BC為邊向上作正方形BC￡）E,以AC

為邊作正方形AC/G,點。落在GP上，連結(jié)AE,EG.若。G=2,BC=6,貝必AEG的面積為（）

C.572D.8

11.（2022?浙江寧波?統(tǒng)考二模）如圖，以MAABC的各邊為邊分別向外作正方形，N54c=90。，連接。G,

點H為DG的中點，連接HB,HN,若要求出的面積，只需知道（）

A.AABC的面積B.正方形ADEB的面積

C.正方形ACFG的面積D.正方形3MWC的面積

12.（2022?浙江湖州?統(tǒng)考一模）現(xiàn)由邊長為2近的正方形ABC。制作的一副如圖1所示的七巧板，將這副

七巧板在矩形EFGH內(nèi)拼成如圖2所示的“老虎”造型，則矩形EFGH與“老虎”的面積之比為（）

二、填空題

13.（2022?浙江寧波?模擬預(yù)測）如圖，在矩形ABCD中，AB=2,點E是AD的中點，點尸是對角線8。上

一動點，ZADB=3O°,連結(jié)E尸，作點。關(guān)于直線所的對稱點P,直線PE交3。于點2,當9EQ是直

角三角形時，OF的長為—.

14.（2022?浙江衢州?統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，矩形ABCD的對角線AC與BD相交點O,AC=10,P、Q分

別為AO、AD的中點，則PQ的的長度為.

15.（2022?浙江杭州?模擬預(yù)測）如圖，點E是矩形ABC。的邊的中點，點P是邊上的動點，沿直

線PE將AAPE對折，點A落在點尸處.已知AB=6,AD=4,連結(jié)CRCE,當ACEP恰為直角三角形時，

AP的長度等于.

16.（2022?浙江臺州?統(tǒng)考中考真題）如圖，AA8C的邊BC長為4cm.將AABC平移2cm得到AA?。，且

BB'IBC,則陰影部分的面積為cm2.

17.（2022?浙江臺州?統(tǒng)考一模）如圖，等腰直角三角形ABC,/ACB=90。，點D、E分別是A3、BC上

的點，S.DC=DE,AD=BE=yfi，則圖中陰影部分的面積為.

18.（2022?浙江溫州?統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，在菱形ABC。中，DEJ.AB,DFVBC,垂足分別為點E,

F.若NADE+NCD尸=80。，則/EOF等于______度.

19.（2022?浙江金華?一模）如圖，RtAABC中，ZC=90°,ZA=60°,AC=1,點。為邊A8上一個動點，將

△COB沿C。翻折，得到ACD?（其中C,D,B,A在同一平面內(nèi)），AADB'=30°,則AD=.

A

B

三、解答題

20.（2022?浙江溫州?統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，矩形A2CD的對角線AC、8。相交于點。，若48=40.求

的度數(shù).

21.（2022.浙江衢州.統(tǒng)考中考真題）如圖，在4x4的方格紙中，點A,2在格點上.請按要求畫出格點線

段（線段的端點在格點上），并寫出結(jié)論.

圖1圖2

（1）在圖1中畫一條線段垂直A3.

（2）在圖2中畫一條線段平分A3.

22.（2022?浙江舟山?統(tǒng)考一模）如圖1,在矩形ABC。中，尸是BC上的點，/ABP沿A尸折疊B點的對應(yīng)

點是M點，延長交直線于點E.

圖1圖2

圖3

⑴求證：EA=EP

(2)如圖2,。是上的點，QD=BP；/CD0沿CQ折疊。點的對應(yīng)點是N點，且尸、M.N、。在同一

直線上.

①若A8=4,AD=8；求BP的長.

②若M、N互相重合；求嘿的值；(自己畫草圖)

(3)如圖3,。是上的點，QD=BP；/CD。沿C。折疊。點的對應(yīng)點是N點，若A3=4,MN的最小值

是1；求的長.

23.(2022?浙江臺州?統(tǒng)考一模)如圖，在矩形ABCZ)中，。是對角線AC的中點，過點。作跖1AC分別

交"),3C于點瓦產(chǎn).

(1)求證：AAOE^ACOF；

(2)^AB=8,BC=16,求CF的長.

24.(2022?浙江麗水?統(tǒng)考中考真題)如圖，將矩形紙片ABCD折疊，使點8與點。重合，點A落在點P

處，折痕為

(1)求證：APDEWACDF；

(2)若CD=4cm,E尸=5cm,求BC的長.

25.(2022?浙江寧波?統(tǒng)考二模)如圖1是由邊長為1的正方形構(gòu)成的6x5的網(wǎng)格圖，四邊形ABCD的頂點

(圖2)

⑴求四邊形A8C。的對角線AC的長；

(2)命題“對角線相等的四邊形一定是矩形”是真命題還是假命題？如果是假命題，請在圖2中畫一個頂點都

是格點的四邊形說明；如果是真命題，請進行證明.

26.(2022?浙江金華?統(tǒng)考一模)如圖1,在平面直角坐標系中，點4點2分別是x軸、y軸正半軸上的點，

以。4、為邊構(gòu)造矩形。4c艮點E為OA上一點，滿足8￡=BC.過點C作垂足為點尸.已

圖1圖2

(1)求證：CA=CF.

(2)如圖2,連結(jié)CE,當NBCP=2NECP時，求AE的長.

(3)在(2)的條件下，連結(jié)AF,在坐標平面內(nèi)是否存在一點使得以點M、4、F為頂點的三角形與△CBE

相似？若存在，請求出點〃的坐標；若不存在，請說明理由.

27.(2022?浙江嘉興?模擬預(yù)測)數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)發(fā)現(xiàn)：一些復(fù)雜的圖形運動是由若干個圖形基本運動

組合形成的，如一個圖形沿一條直線翻折后再沿這條直線的方向平移，這樣的一種圖形運動，大家討論后

把它稱為圖形的“翻移運動”，這條直線則稱為（這次運動的）“翻移線”如圖1,52夕2就是由AABC沿直

線1翻移后得到的.（先翻折，然后再平移）

圖3

（1）在學(xué)習中，興趣小組的同學(xué)就“翻移運動”對應(yīng)點（指圖1中的A與&,B與當…）連線是否被翻移線平

分發(fā)生了爭議.對此你認為如何？（直接寫出你的判斷）

（2）如圖2,在長方形ABCD中，=8,點E,尸分別是邊3C,AD中點，點G在邊CO延長線上，聯(lián)結(jié)AE,FG,

如果AGD尸是AABE經(jīng)過“翻移運動”得到的三角形.請在圖中畫出上述“翻移運動”的“翻移線”直線。；聯(lián)

結(jié)AG,線段AG和直線。交于點。，若AOG尸的面積為3,求此長方形的邊長的長.

⑶如圖3,〃是（2）中的長方形邊8c上一點，如果BM=1，A4BM先按（2）的“翻移線”直線。翻折，

然后再平移2個單位，得到AA由M一聯(lián)結(jié)線段4vMM、,分別和“翻移線”。交于點K和點a,求四邊形

AKHM的面積.

28.（2022.浙江杭州.模擬預(yù)測）如圖，矩形ABCD的對角線AC,3。相交于點。，過8點作班V/AC,

過C點作CF//BD,防與C尸相交于點歹.

（1）求證：四邊形8FCO是菱形；

2

（2）連接OF、DF,若AB=2,tanZOFD=-,求AC的長.

AD

29.（2022?浙江杭州?模擬預(yù)測）如圖，在四邊形ABCD中，AB//CD,AB=AD,對角線AC、3。交于。,

（1）求證：四邊形ABCD是菱形;

（2）過點C作CE1AB交45的延長線于點E,連接OE,若AB=3括，BD=6,求OE的長.

30.（2022?浙江嘉興.統(tǒng)考中考真題）小惠自編一題：“如圖，在四邊形A8CD中，對角線AC,8。交于點

O,ACLBD,OB=OD.求證：四邊形A8CO是菱形”，并將自己的證明過程與同學(xué)小潔交流.

小惠：

證明："JACLBD,OB=OD,小潔：

...AC垂直平分2D這個題目還缺少條件，需要補充一個條件才

：.AB=ADfCB=CD,能證明.

四邊形ABC。是菱形.

若贊同小惠的證法，請在第一個方框內(nèi)打7”；若贊成小潔的說法，請你補充一個條件，并證明.

31.（2022.浙江舟山?中考真題）小惠自編一題：“如圖，在四邊形ABC。中，對角線AC,BD交于點0,

AC1BD,OB=OD,求證：四邊形ABC。是菱形”，并將自己的證明過程與同學(xué)小潔交流.

小惠：小潔：

證明：VAC1BD,OB=0D,這個題目還缺少條件，需要

，NC垂直平分6Z).補充一個條件才能證明.

AB=AD,CB-CD,

二四邊形/BCD是菱形.

若贊同小惠的證法，請在第一個方框內(nèi)打“??；若贊成小潔的說法，請你補充一個條件，并證明.

32.(2022.浙江麗水.模擬預(yù)測)如圖1,矩形0ABe的頂點A、C分別在無軸，y軸的正半軸，若點B(a,

b),且a,b滿足廬i+后-12萬+36=0,若點。為矩形。的對角線AC的中點，過點。作AC的垂線

分別交BC,。4于點E,F.

(1)求點8的坐標.

(2)求線段跖的長度.

(3)如圖2,連接OD,直線EF交y軸于點G,若點尸為射線GE上的點，在平面直角坐標系中，是否存在

點。，使得以為邊，點O,D,P,。為頂點的四邊形是菱形？若存在，請求出點P,。的坐標，若不

存在，請說明理由.

33.(2022?浙江溫州?一模)圖①、圖②都是由邊長為1的小等邊三角形構(gòu)成的網(wǎng)格,AABC為格點三角形.請

僅用無刻度的直尺在網(wǎng)格中完成下列作圖，不寫作法

(1)在圖①中，畫出△ABC中AB邊上的中線CM；

(2)在圖②中，畫出A4BC中AC邊上的高BN,并直接寫出△ABC的面積.

34.(2022.浙江湖州?統(tǒng)考一模)如圖，在正方形ABCD中，E是邊AB上的一動點(不與點A、B重合)，

連接DE,點A關(guān)于直線DE的對稱點為F,連接EF并延長交BC于點G,連接DG,過點E作EHLDE

交DG的延長線于點H,連接BH.

(1)求證：GF=GC；

(2)用等式表示線段BH與AE的數(shù)量關(guān)系，并證明.

35.(2022?浙江湖州?統(tǒng)考一模)如圖1,正方形A3CD中，AC為對角線，點尸在線段AC上運動，以尸尸

為邊向右作正方形DPFE,連接CE；

(1)則AP與CE的數(shù)量關(guān)系是,AP與CE的夾角度數(shù)為；

(2)點尸在線段AC及其延長線上運動時，探究線段。C,PC和CE三者之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

(3)當點尸在對角線AC的延長線上時，連接AE,若AB=2友,AE=2可，求四邊形DCPE的面積.

36.(2022?浙江紹興?統(tǒng)考一模)如圖，在正方形A8CD中，E是邊上一點(不與。點重合)，F(xiàn)是CB

延長線上一點，且DE=BF,連結(jié)AE,AF.

圖1圖2圖3

(1)如圖1,求證：AADE^AABF.

⑵把NAOE沿AE所在直線折疊后得到△AGE,連結(jié)FG,BE.

①如圖2,若CD=3,DE=\,求線段R7的長；

②如圖3,若E是0c延長線上一點，延長GB交AE于點Q,連結(jié)。Q.若DE=2DC,請用等式表示線段

BQ,DQ,BG之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.

參考答案:

1.B

【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)結(jié)合等角對等邊，進而得出B的長，再利用勾股定理得出A尸的長.

【詳解】'：AD//BC,

：?NDAE=NF,

：.ZPAE=ZF,

：.PA=PF,

在△ADE1和△尸CE中

ZDAE=ZF

</ADE=/FCE,

DE=EC

：.AADE^AFCE(A4S)

：.CF=AD=4,

設(shè)CP=x,PA=PF=x+^,BP=4-x,

在直角△AB尸中，

22+(4-x)2=(x+4)2,

解得:",

4

17

???AP的長為：v-

4

故選：B.

【點睛】此題主要考查了矩形的性質(zhì)以及勾股定理等知識，正確得出FC的長是解題關(guān)鍵.

2.C

【分析】過點E作EHLFG,交FG于點、H.由翻折的性質(zhì)得出AF=AO=6,DE=EF.根據(jù)題意即可求

出GD=2,從而可求出AG.再根據(jù)勾股定理即可求出尸G的長.又易證四邊形GHED為矩形，即可得出

GH—DE,HE—GD—2.設(shè)DE=x,則GH=EP=x,HF—2s/5-x,最后根據(jù)勾股定理即可列出關(guān)于x的

等式，解出x,即得出DE的長.

【詳解】解：如圖，過點E作EHL尸G,交FG于點、H,

由翻折可知AF=AO=6,DE=EF.

'：AD=6,AD=3GD,

：.GD=2.

.?.AG=A￡HDG=6-2=4.

'：FG.LAD,

；?FG=\lAF2-AG2=25/5?

:四邊形ABC。是矩形，

：.ZD=90°.

"：FG±AD,EH±FG,

四邊形GHED為矩形.

：.GH=DE,HE=GD=2.

設(shè)Z)E=尤，貝U尤，HF=2后-x,

在Rt4HEF中，HF2+HE2=EF2，

?*.(2A/5-X)2+22=x2.

解得：尤=述.

5

.n?_6V5

5

故選：C.

【點睛】本題考查矩形的判定和性質(zhì)，折疊的性質(zhì)以及勾股定理.利用數(shù)形結(jié)合的思想是解題關(guān)鍵.

3.D

【分析】根據(jù)OA=OC,OB=OD,判斷四邊形ABCD是平行四邊形.然后根據(jù)AC=BD,判定四邊形ABCD

是矩形.

【詳解】解：這個四邊形是矩形，理由如下：

AD

.??四邊形ABCD是平行四邊形，

又：OA=OC=OD=OB,

；.AC=BD,

四邊形ABCD是矩形.

故選D.

【點睛】本題考查了矩形的判斷，熟記矩形的各種判定方法是解題的關(guān)鍵.

4.B

【分析】根據(jù)題意畫出圖形,根據(jù)對角線互相平分的四邊形為平行四邊形可得四邊形AC8。是平行四邊形,

然后證明AB=CD,再根據(jù)對角線相等的平行四邊形是矩形可得四邊形AD8C為矩形.

?..延長CO交。。于點。，

：.DO=CO,

：CO為AB邊上的中線，

：.AO=BO,

/.四邊形ACBD是平行四邊形，

,/OC=-AB,

2

J.AB^CD,

四邊形為矩形，

故選8.

【點睛】此題主要考查了矩形的判定，關(guān)鍵是掌握對角線相等的平行四邊形是矩形.

5.A

【分析】根據(jù)直尺的平移可知，共分三個階段，利用等腰直角三角形的性質(zhì)求解即可.

【詳解】解：根據(jù)直尺的平移可知，共分三個階段，分別如下圖所示：

如圖①，設(shè)。E、GF與AC的交點分別為M、P,

作由此可得四邊形MARE為矩形，

貝！]MV=EF,/CMN=ZA=45。,

則Z^MNP為等腰直角三角形

由勾股定理可得：MP=yjMN2+NP2=y[2MN=y[2EF

即y=-J1MN=y/2EF,

如圖②，設(shè)OE與AC的交點分別為M,GP與8C的交點為點

作MNJLGR,延長MC交G尸于點尸，

由此可得，四邊形初VFE為矩形，

則建V=￡F,ZCMN=ZA=45°,

則或1數(shù)？、AC尸。為等腰直角三角形，

貝1JCP=C。，MP=yjMN2+NP2=41MN=V2EF

所以，y=MC+CQ=MP=6MN=0EF

如圖③，由圖①可得y=0KH=J1E/，

即y不隨x的變化，不變，

故選：A.

【點睛】此題考查了動點問題的函數(shù)圖像，涉及了勾股定理、矩形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的判定

與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握并靈活運用相關(guān)性質(zhì)進行求解.

6.B

【分析】根據(jù)菱形的對角線互相垂直平分的性質(zhì)，利用對角線的一半，根據(jù)勾股定理求出菱形的邊長，再

根據(jù)菱形的四條邊相等求出周長即可.

11

【詳解】解：如圖所示，根據(jù)題意得AO=：x8=4,BO=：x6=3,

22

?..四邊形ABCD是菱形，

；.AB=BC=CD=DA,AC±BD,

.,.△AOB是直角三角形，

AB=^ACP+BCP=J16+9=5，

.??此菱形的周長為：5x4=20.

故選：B.

【點睛】本題主要考查了菱形的性質(zhì)，利用勾股定理求出菱形的邊長是解題的關(guān)鍵，同學(xué)們也要熟練掌握

菱形的性質(zhì)：①菱形的四條邊都相等；②菱形的兩條對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角.

7.D

【分析】根據(jù)題意先證四邊形EFGH是平行四邊形，由平行四邊形的性質(zhì)求出EH〃AC,進而由面積關(guān)系

進行分析即可求解.

【詳解】解：連接"C、AF.HF、AC,HF交AC于O,連接EG.

二,四邊形ABCD是菱形，

ZD=ZB,AB=CD=AD=BC,

\'AE=AH=CG=CF,

:.DH=BF,BE=DG,

在4BFE^,

DH=BF

<AD=AB,

BE=DG

:.△DHG卷△BFE,

：.HG=EF,ZDHG=ZBFE,

'：BC//AD,

ZBFE=ZDKF,

：./DHG=/DKG,

：.HG//EF,

???四邊形跖GH是平行四邊形.

?；AH=CF,AH//CF,

???四邊形AHCF是平行四邊形,

???AC與〃尸互相平分，

???四邊形EFGH是平行四邊形，

???H/與EG互相平分，

：?HF、AC.EG互相平分，相交于點0,

9

：AE=AH9DA=DC,BE//DC,

：.NEAH=ND,

：.ZAEH=ZAHE=ZDAC=ZDCA,

J.EH//AC,

：.SAAEH=SAEHO=SAAHO=ISAAHC=-S四邊形EFGH=-S四邊形ABCD,

244

SAAHC=3S四邊形ABCD=SAADC,

：.AD=AH,

.41.

AD

故選：D.

【點睛】本題考查菱形的性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，平行線的判定和性

質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問題，學(xué)會添加常用輔助線，證明由〃AC是解題的關(guān)

鍵.

8.C

【分析】根據(jù)題意作出合適的輔助線，然后逐一分析即可.

【詳解】

如圖，連接AC、與8。交于點。，連接ME,MF,NF,EN,MN,

?..四邊形ABC。是平行四邊形

OA=OC,OB=OD

■:BE=DF

：.OE=OF

:點E、/時8。上的點，

只要N過點0,

那么四邊形MEN尸就是平行四邊形

.?.存在無數(shù)個平行四邊形MENR故①正確；

只要MN=EF,MN過點、0,則四邊形MEN/是矩形，

:點￡、尸是BD上的動點，

，存在無數(shù)個矩形MENF,故②正確；

只要MNLEF,MN過點。，則四邊形MENF是菱形；

；點、E、尸是8。上的動點，

...存在無數(shù)個菱形MENF,故③正確；

只要MN二EF,MNLEF,MN過點、O,

則四邊形MEN尸是正方形，

而符合要求的正方形只有一個，故④錯誤；

故選：C

【點睛】本題考查正方形的判定、菱形的判定、矩形的判定、平行四邊形的判定、解答本題的關(guān)鍵時明確

題意，作出合適的輔助線.

9.D

【分析】先求出B。，再根據(jù)平移性質(zhì)求得3B，=lcm,然后由3D-BB'求解即可.

【詳解】解：由題意，BD=242cm,

由平移性質(zhì)得

二點。，夕之間的距離為。9=仍'=(20-1)cm,

故選：D.

【點睛】本題考查平移性質(zhì)、正方形的性質(zhì)，熟練掌握平移性質(zhì)是解答的關(guān)鍵.

10.D

【分析】過點E作E7/1,AG于點X,過點E作EH工EK,垂足為E,交FG的延長線于點K,先證明四

邊形EHGK是矩形，在證明RfVABC=MVFDC(HL),繼而解得/創(chuàng)C+NC4G=180。，證明RA、G三

點同在一條直線上，再證明VEKD三VEHB(A4S),RNEKD中,由勾股定理解得EK的長，證明

VEM=VDFC(A4S)得到屹=/。，最后由三角形面積公式解答.

【詳解】解：過點E作石HLAG于點H,過點石作石“，石K,垂足為E,交FG的延長線于點K

/.ZEHB=ZEHG=90°,ZKEH=90°

在正方形BCDE中,BE=DE=BC=CD=6,ZEBC=ZBCD=ZEDC=90°

正方形AC尸G中，AC=FC=AG,ZACF=ZCAG=ZAGF=ZF=90°

/.ZKGH=180°-ZAGF=90°

二.四邊形E〃GK是矩形

在RUABC和Rt^FDC中,

QBC=DC,AC=FC

RtVABC=RtVFDC(HL)

/.Z1=Z2

QZ2+Z3=180°-/EDC=90°,Zl+Z4=ZEBC=90°

.*.Z3=Z4

QNB4C+NC4G=180。

??B、A、G三點同在一條直線上，

???四邊形EHGK是矩形

,\ZK=90°

.\ZK=ZEHB

VEKD與AEHB中

Q/K=NEHB,/3=N4,DE=BE

:NEKDWEHB(AAS)

:.EK=EH

二.四邊形EHGK是正方形

設(shè)正方形EHGK的邊長為了

貝U石長=①/=居=%

RtNEKD,EK2+DK2=EDr

(2DK=DG+KG=2+x

f+(2+x)2=36

=V17-l,x,=-717-1(舍去)

：.DK=2+-/H=+I,EH=yfn

QZ2+Z5=90°,Z2+Z3=90°

,-.Z3=Z5

NEKD與ADFC中

QNK=ZF=90°,Z3=N5,ED=DC

:NEKD=VDFC(A4S)

:.KD=FC

AG=KD=4n+1

SAEG=|AG-EH=1(717+l)(Vr7-l)=1x(17-l)=8

故選：D.

【點睛】本題考查正方形的判定與性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識，是重要考

點，掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵.

11.B

【分析】如圖，延長HA交8C于點P,交MN于點Q,可得AD4Gg△BAC,LABNm4EBC,利用全等

三角形的性質(zhì)以及平行線間的距離相等等性質(zhì)將陰影部分的面積轉(zhuǎn)化即可.

【詳解】解：如圖，延長交8C于點P,交MN于點°,連接CE、AN.

由題意可得：AB=AD,NDAG=NBAC,AC=AG,

AADAG^ABAC(SAS),

???N2=N4.

由題意可得：BE=AB,ZEBC=ZABN=90°+ZABC,BN=BC

:?△ABN"AEBC(SAS),

,?,點”為。G的中點，ND4G=90。，

AZ1=Z2.

VZl+Z3=90°,

AZ3+Z4=90°,

：.HA±BC,

：.BN//HQ,

??S陰影=S.MN?

△ABNQAEBC,

??,Q、ABN=-s°，EBC?

■:BEIICD,

,?S?EBC=S今EBA=3S正方形EBAO,

S陰影=/S正方形ER4O,

故選：B.

【點睛】此題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是利用全等三角形以及平行線

間的距離相等等性質(zhì)，將陰影部分的面積進行轉(zhuǎn)換.

12.D

【分析】如圖1,設(shè)AC=4a,利用正方形的周長求出小三角形，平行四邊形和正方形的邊長，再用割補

法求出七巧板的面積和矩形EFGH的面積，即可求解.

【詳解】解：如圖1,設(shè)AC=4a,

正方形的邊長AB=BC=CD=AD=2B

：.（4a）2=（2A/2）2+（2V2）2,

如圖2,用割補法得到

七巧板拼得的面積為（2+l）x2+lxl+lxl=8,

矩形EFGH的長為1+2+1+1=5,寬為2+1=3,

二矩形EFGH的面積為15,

所以矩形EFGH與“老虎”的面積之比為1.

O

故選：D.

【點睛】本題主要考查勾股定理和正方形的性質(zhì)，能夠求出矩形EFG〃的長和寬是解答關(guān)鍵.

13.1或3或3-百

【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理求得AD=2百，然后分兩種情況討

論，①當〃QE=90。時，分點尸在矩形內(nèi)部和矩形外部兩種情形求解，②當/DEQ=90°時，過點歹作

EW_LAD于點設(shè)則=根據(jù)DM=島，求得。尸的長.

【詳解】???四邊形ABCD是矩形，

:.ZBAD=90°,

?.?AB=2,ZADB^30°.

AD=2A/3,

???點E是邊AO的中點，

DE=yfi，

圖2

,??點E是AD的中點，

-.PE±BD,ZADB^30°.

:.NPED=?。,

由對稱可得，EF平分NPED,

:.ZDEF=APEF=3QP,

.〔AZX獷是等腰三角形，

DF=EF,

:PE上BD,ZAZ)fi=30°,DE=5

.〔QE嚀，

ZPEF=30。,

:.EF=\,

,\DF=EF=2=1；

如圖3,

p

圖3

;PE工BD,ZADB=30°.

ZPED=120°,

由對稱可得，PF=DF,EP=ED,EF平分/PED,

:.ZDEF=ZPEF=120°,

:.ZEFD=30°,

二.AZ比F是等腰三角形，

;PE上BD,

:.QD=QF=^DF,

?.?PE上BD,NAZ陽=30。.DE=5

.3邛,2D=1,

:.DF=2QD=3.

.?.1卯的長為1或3；

圖4

EF平分NPED,

NDEF=45。,

過點歹作出LAD于點M,設(shè)￡M=a,則KVf=a,DM=瓜,

…x/3a+a=，

:.DF=3-y/3,

綜上所述，當ADE。是直角三角形時，。尸的長為1或3或3-百，

故答案為：1或3或3-逝.

【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，軸對稱的性質(zhì)，等腰三角

形的性質(zhì)，綜合運用以上知識是解題的關(guān)鍵.

14.2.5

【詳解】分析：根據(jù)矩形的性質(zhì)可得AC=BD=10,BO=DO=yBD=5,再根據(jù)三角形中位線定理可得PQ=3

DO=2.5.

詳解：?..四邊形ABCD是矩形，

.\AC=BD=10,BO=DO=1BD,

.*.OD=1BD=5,

:點P、QMAO,AD的中點，

APQ>AAOD的中位線，

.,.PQ=yDO=2.5.

故答案為2.5.

點睛：此題主要考查了矩形的性質(zhì)，以及三角形中位線定理，關(guān)鍵是掌握矩形對角線相等且互相平分.

9、

15.丁或1

4

【分析】分NB￡=90。和NCM=90。兩種情況根據(jù)矩形的性質(zhì)、勾股定理、全等三角形的判定及性質(zhì)求解.

【詳解】解：①如圖，當NC尸石=90。時，

???四邊形A8CD是矩形，點石是矩形ABC。的邊A3的中點，AB=6,AD=4f

：.ZPAE=ZPFE=ZEBC=90°,AE=EF=BE=3,

：.ZPFE+ZCFE=180°f

???P、F、。三點一線，

AEFC咨AEBC,

；?FC=BC=4,EC=1￥+不=5,ZFEC=ZBEC,

：.ZPEF+ZFEC=90°,

設(shè)AP=x,貝(J尸。=x+4,

A(X+4)2=X2+32+52,

解得廣：Q；

4

②如圖，當NCEF=90。

：.ZCEB+2ZPEA=90°f

:./CEB+/PEA=90°-ZPEA,

延長尸E、CB,二線交于點G,

■:AE=BE,ZPAE=ZGBE=90°,ZAEP=ZBEG,

:ZAE絲＞GBE,

：.PA=BG,ZAEP=ZBEG,

：./G=900-/GEB=90°-ZPEA,ZCEB+ZPEA=90。-/尸EA,

：.ZG=ZCEB+ZPEA=ZCEB+ZGEB=ZCEG,

：.CE=CBC+BG=BC+AP,

,-.5=4+AP,

解得PA=\,

9

故答案為：7或1.

4

【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，勾股定理，三角形全等的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定

和性質(zhì)，熟練掌握矩形的性質(zhì)，勾股定理是解題的關(guān)鍵.

16.8

【分析】根據(jù)平移的性質(zhì)即可求解.

【詳解】解：由平移的性質(zhì)SAABOSAABC,BC=B'C,BC//B'C,

：.四邊形夕CCB為平行四邊形，

,：BB'上BC,

二四邊形"CCB為矩形，

陰影部分的面積=SAAB，C+S矩形B，C，CB-SXABC

=S矩形B，C，CB

=4x2

=8(cm2).

故答案為：8.

【點睛】本題考查了矩形的判定和平移的性質(zhì)：①平移不改變圖形的形狀和大?。虎诮?jīng)過平移，對應(yīng)點所

連的線段平行且相等，對應(yīng)線段平行且相等，對應(yīng)角相等.

17.1+72##A/2+1

【分析】如圖，過。作。于尸，過。作。于Q,證明四邊形尸CQD是矩形，？A1ADF45?,

證明DP=CQ,"=。。，MAF=DF=1=CQ,可得RS=OQ=1+0,再利用三角形的面積公式進行

計算即可.

【詳解】解：如圖，過。作OF1AC于E過。作。于Q,

Q?ACB90?,ACBC,

四邊形尸CQD是矩形，？A1ADF45?,

\DF=CQ,FC=DQ,

QAD=BE=E

\AF=DF=1=CQ,

QDC=DE,DQ八CE,

\CQ=EQ=1,BC=AC=2+母,

\FC=DQ=l+0,

\S陰影=：CEgDQ=g倉必(1+下)=1+0.

故答案為：1+應(yīng)

【點睛】本題考查的是等腰直角三角形的性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，等腰三角形的性質(zhì)，

作出合適的輔助線構(gòu)建矩形與等腰直角三角形是解本題的關(guān)鍵.

18.50

【分析】首先根據(jù)菱形的性質(zhì)得出NA=NGAD=CD,結(jié)合垂直的性質(zhì)進而利用全等三角形的判定證明

AADE^ACDF,證明NADE=NCDb=40。，根據(jù)直角三角形兩銳角互余得ZA=NC=50。，根據(jù)菱形的性

質(zhì)得NAZ)C=130。，從而可求出NED/.

【詳解】解：'：DE±AB,DFLBC

：.ZAED=ZCFD=90°,

???四邊形ABC。是菱形，

AZA=ZC,AD=CDf

???在△人項)和4。尸。中，

ZAED=ZCFD=90°

<ZA=ZC,

AD=CD

：.AAED^ACFD(A4S).

ZADE=ZCDF

:ZAZ)E+ZCDF=80°

JZADE=ZCDF=40°

???ZAED=ZCFD=90°

：.ZA=ZC=50°

???四邊形ABC。是菱形，

：.ADIIBC

AZADC+ZC=180°

???ZADC=180°-ZC=180°-50°=130°

??.ZEDF=ZADC-(ZADE+ZCDF)=130°-80°=50°

故答案為：50

【點睛】此題主要考查了菱形的性質(zhì)和全等三角形的判定等知識，根據(jù)已知得出NA=NC是解題關(guān)鍵.

19.6-1或2-右

【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)求得/CDB=105。，N8CD=45。,過點。作DE工BC于點、E,設(shè)4。=尤,則BD=2-x,

得至l」OE=l-EB=6一昱x,利用CE+E8=BC,列式求解即可.

22

【詳解】解：'/AADB'=30°,ZACB=90°,/A=60。，

?.ZBDB'=180°-30°=150°,ZB=30°,

將ACDB沿CD翻折，得到ACDB，,

ZCDB=ZCDB'=1(360°-150°)=105°,

ZBCD=180o-105°-30o=45°,

過點D作。EL8C于點E,

VZACB=9Q°,ZB=30°,AC=1,

：.AB=2,BC=y/3,

AD=x,貝!|80=2—x,

在RtABOE中，ZDEB=9Q°,ZB=30°,

：.DE=^BD=\-^x,EB=6DEf一2x,

在RtACDE中，NDEC=90。,ZDCE=45°,

CE=DE=l——x,

2

JCE+EB=BC,

l-—x+y/3-^^x=y/3,

22

解得％=百-1,

f

如圖，當。時，ZADB=ZB=30°f

A

依題意，DB'=DB,ZB'DC=ZBDC=1(180-ZADB')=75°,B'C^BC

：./BCD=180°-ZB-ZBDC=75°,

BD=BC,

：.BD=B'D=B'C=BC

四邊形友陽'C是菱形，

/.BD=BC=V3

/.AD=AB-BD=2-6

故答案為：6-1或2-出.

【點睛】本題考查了折疊的性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，二次根式的混合運算，菱形

的性質(zhì)與判定，準確作出輔助線是解此題的關(guān)鍵.

20.60°

【分析】根據(jù)矩形的對角線互相平分且相等，可知OA=OB,從而確定△AOB為等邊三角形.

【詳解】解：：四邊形ABCD是矩形，，OA=OC,OB=OD,AC=BD,，AO=OB,

VAB=AO,.,.AB=AO=BO,

AABO是等邊三角形，

；./ABD=60°

【點睛】本題考查矩形對角線的性質(zhì)，矩形對角線相等且互相平分.

21.(1)圖見解析，BC1AB(答案不唯一)

(2)圖見解析，E尸平分(答案不唯一)

【分析】(1)根據(jù)網(wǎng)格特點，利用三角形全等的判定與性質(zhì)畫圖即可得;

(2)根據(jù)網(wǎng)格特點，利用矩形的判定與性質(zhì)畫圖即可得.

(1)

解：如圖1,線段BC即為所求，滿足BCLAB.

圖1

(2)

解：如圖2,線段所即為所求，滿足E廠平分A3.

圖2

【點睛】本題考查了三角形全等的判定與性質(zhì)畫圖、矩形的判定與性質(zhì)畫圖，熟練掌握全等三角形和矩形

的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

22.⑴見解析

⑵①4或，；②￡

(3)1+46

【分析】(1)利用矩形的性質(zhì)和折疊的性質(zhì)可證；

(2)如圖，設(shè)QD=3P=x,先證得(SAS),根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AM=C以，進

而證得四邊形APCQ是菱形，得到AP=AQ,ZPAM=ZQAM,求得NR4B=30。，在中，

AR

AP=2BP=2x,AB=瓜,進而得到AD=AQ+QO=3x,——可求；

AD

(3)根據(jù)/3=4跖=90。，/。=/。懼=90。得到人、B、P、M四點共圓，轉(zhuǎn)為圓的直徑，圓心為

AP的中點，設(shè)為J,C、D、。、N四點共圓，為圓的直徑，圓心為CQ的中點，設(shè)為O?,連接。。2

并兩方延長分別交AB,CD于點、E,F,當。1、M,N、Q在同一條直線上時，MN最小，此時最小

值為1,只要證得用AA￡MgRAaW(HL)得到ME=NP=：(AO-MN)=；(Ar>-l),最后利用勾股定理

即可求解.

（1）

???四邊形ABC。是矩形，

；.AD〃BC,

：.ZDAP=ZAPB,

由折疊的性質(zhì)可得，ZAPB=ZAPM,

：.ZAPM=ZDAP,

:.EA=EP；

（2）

過點。作。于點R

???四邊形ABC￡＞是矩形，

：.ZD=ZBCD=90°,AD=BC=8,

，四邊形CD。尸是矩形，

QD=CF,CD=QF,

^QD=BP=x,則CP=x,AQ=CP=8-x,

PF=CP—CF=8—2x,

：.RtAPQF中，尸°?=FQI+尸尸2=42+9-2彳）2,

由（1）可得AQ=P。，

AQ2=PQ2,

（8-X）2=42+（8-2X）2,

圖2

4

???的的長為4或§；

M、N互相重合，如圖所示，^,QD=BP=x,

???四邊形A3CD是矩形，

：.XD//BC,AD=BC,ZB=ZD=90°,ZBAD=90°,

ZAQM=ZCPMf

由折疊的性質(zhì)可得尸QD=QM,ZB=ZAMP=90°,ZD=ZCMQ=90°fZPAM=ZPAB,

：.ACLPQ,

?:BP=QD,

：.PM=QM,AD-QD=BC-BP,

：.AQ=PC,

：.AAQM=/\CPM(SAS),

：.AM=CM,

???四邊形APCQ是菱形，

AAP=AQ,ZPAM=ZQAM,

ZPAM+ZPAB+ZQAM=90°,

ZPAM=ZQAM=ZPAB=30°,

在R/AAB尸中，AP=2BP=2x,AB->j3x,

AD=AQ+QD=3x,

.AB_A/3X_6

(3)

*/ZB=ZAMP=90°,ND=ZCNQ=90°

:.A、3、P、M四點共圓，互為圓的直徑，圓心為AP的中點，設(shè)為。1,

C、D、。、N四點共圓，CQ為圓的直徑，圓心為C。的中點，設(shè)為。2,連接

。。2并兩方延長分別交AB，。于點E,F,當。1、M、N、。?在同一條直線上時，MN最小，此時

最小值為1，

*/QD=PB,ZB=ZD=90°,AB=CD,

：.AABP絲ACZ)Q(SAS),

AAP=CQ,ZPAB=ZQCD,

'：OXA=^AP,O2Q=^CQ,

OXA=O2Q,

???四邊形APCQ是平行四邊形，

.?.AP//CQ,

???四邊形AO。?。是平行四邊形，

??.O{O2//AD//BC,

=O2Q=^CQf

：.AE=-ABCF=-CD

2f2f

?；AB=CD=4,

：.AE=CF=2,

"：ZB=ZD=90°,

:.ZAEM=NCFN=90。,

,:AM=AB=CD=CN,

：.RtSAEM^RtACFN(HL),

：.ME=NF=^AD-MN)=^(AD-r),

在MAAEM中，由勾股定理得上@+M?

gjAD-lV5,2

即I--—I+22=4-,

解得AO=l+4指或40=1-4百（不合題意，舍去）

【點睛】本題是一道矩形與折疊問題，考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，平行四邊形的判定和

性質(zhì)，菱形的判定和性質(zhì)等，靈活熟練運用已學(xué)知識，作出輔助線是解題的關(guān)鍵.

23.(1)見解析

Q)CF=10

【分析】(1)利用矩形的性質(zhì)得出邊和角的相等條件，進而證明三角形全等；

(2)利用垂直平分線的性質(zhì)得出=在RLA5尸中根據(jù)勾股定理建立方程求解即可.

(1)

證明：,??點O為矩形4BCD對角線AC的中點，

AO=CO,

在矩形ABC。中，AD〃BC,

貝=//CO,

又AC

,-.ZAOE=ZCOF=90°,

AAOE^ACOF(ASA).

(2)

解:連結(jié)4F,如圖，

?.?O/垂直平分AC,則/F=CF,

AB=8,8c=16,

設(shè)CF=AF=x,則3/=16—x,

在RtAABP中，AF2=AB2+BF2,

即》2=64+(16-尤)2,

解得x=10,

.-.CF=10.

【點睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)、全等三角形的判定、垂直平分線的性質(zhì)和勾股定理，牢固掌握以上

知識點、學(xué)會作輔助線是做出本題的關(guān)鍵.

24.⑴證明見解析

(2)ycm

【分析】(1)利用ASA證明即可；

(2)過點E作EG_L8C