初中數(shù)學(xué)《垂線(xiàn)段最短》題型及答案

垂線(xiàn)段最短

模型展現(xiàn)

類(lèi)型垂線(xiàn)段最短兩條線(xiàn)段和的最小值問(wèn)題

A

圖示

B'BB"10N'、、lp,B

直線(xiàn)1外一定點(diǎn)A和直線(xiàn)1上一動(dòng)點(diǎn)P是NA0B內(nèi)部一點(diǎn)，點(diǎn)M,N分別是

特點(diǎn)

點(diǎn)BOA,0B上的動(dòng)點(diǎn)

作點(diǎn)P關(guān)于0B的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)P',過(guò)點(diǎn)P'作

過(guò)點(diǎn)A作AB，1于點(diǎn)B,此時(shí)

結(jié)論0A的垂線(xiàn)，分別與0B,0A交于點(diǎn)N,M,此

AB的值最小

時(shí)PN+MN的值最小

?怎么用

1.找模型

遇到“一定點(diǎn)兩動(dòng)點(diǎn)”求線(xiàn)段和（其中一條線(xiàn)段為兩動(dòng)點(diǎn)的連線(xiàn)）最值問(wèn)題，考慮垂線(xiàn)段最短模型

2.用模型

通過(guò)對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)，三角形的三邊關(guān)系及垂線(xiàn)段最短確定最值點(diǎn)位置

滿(mǎn)分技法:求線(xiàn)段和最值實(shí)質(zhì)上是將線(xiàn)段和轉(zhuǎn)化到一條直線(xiàn)上，結(jié)合垂線(xiàn)段最短解決問(wèn)題

結(jié)論：作點(diǎn)P關(guān)于0B的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)P',過(guò)點(diǎn)P'作0A的垂線(xiàn)，分別與OB,0A交于點(diǎn)N.M,此時(shí)

PN+MN的值最小

證明：如圖，若M',N'為OA,0B上任意一點(diǎn)，連接N'P',M'P',

則PN=PN

/.PN'+M'N'=^'N'+M'N'>P'M'^P'M,

.,.當(dāng)P'M，0A時(shí),PN+MN的值最小.

思考延伸:經(jīng)典的“胡不歸”就是垂線(xiàn)段最短問(wèn)題

模型典例

1.如圖，在RtAABC中，ZC=9（J,AD是NBAC的平分線(xiàn)，點(diǎn)E是AB上任意一點(diǎn)若AD=5,AC=4,

則DE的最小值為（）

C

A.3B.4C.5D.6

2.模型構(gòu)造如圖，在4ABC中，AB=4,ZBAC=45,ZBAC的平分線(xiàn)交BC于點(diǎn)D,

E,F分別是AD,AB上的動(dòng)點(diǎn)，貝IJBE+EF的最小值是.

例2題圖

_____________________針對(duì)訓(xùn)練________________________

1.如圖，在Rb^ABC中,NC=90,AC=6,BC=2,點(diǎn)P是AB邊上的一點(diǎn)（異于A,B兩點(diǎn)），過(guò)點(diǎn)P

分別作AC,BC邊的垂線(xiàn)，垂足分別為M,N,演MN，則MN的最小值是.

2.如圖，在RtAABC中,NACB=90°,ZB=30,AC=2,點(diǎn)D是BC邊上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)連接AD,過(guò)點(diǎn)D

作DE±AD交AB于點(diǎn)E,則線(xiàn)段AE的最小值為.

第2題圖

3.如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為10,E為DA延長(zhǎng)線(xiàn)上一動(dòng)點(diǎn)，連接BE,以BE為邊作等邊aBEF,連

接AF,則AF的最小值為

第3題解圖

4.模型遷移如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，0A=3,0B=4,點(diǎn)P的坐標(biāo)為（4,0）,點(diǎn)M,N分別在線(xiàn)段

AB,y軸上,求PN+MN的最小值.

第4題圖

5.，拔高如圖，某小區(qū)有一塊圓形的空地。0,在。。上點(diǎn)A,B,C,D處安裝四個(gè)景觀燈.已經(jīng)修好一

條長(zhǎng)為20米的經(jīng)過(guò)圓心0的直路BD,根據(jù)設(shè)計(jì)需要在邊AD,CD之間再修一條小路EF,使得點(diǎn)

E,F分別在邊CD,AD上，為了美觀使得CE=DF,B是標(biāo)的中點(diǎn)，經(jīng)測(cè)量AB=12米并以A,B,

C,E,F為頂點(diǎn)整修一塊周長(zhǎng)最小的五邊形綠化地.試問(wèn)，是否存在符合要求的周長(zhǎng)最小的五邊形

ABCEF?若存在，請(qǐng)求出五邊形AB-CEF周長(zhǎng)的最小值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

第5題圖

________________________課后練習(xí)_________________________

1.（2021?棗莊）如圖，四邊形ABCD是菱形，對(duì)角線(xiàn)AC,BD相交于點(diǎn)0,AC=6，3,BD=60>^^是

AC上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，則PD+PE的最小值為（）

EL

C.3D.6JL

2.如圖，在矩形ABCD中，AC=8,NBAC=30，點(diǎn)P是對(duì)角線(xiàn)AC上一動(dòng)點(diǎn)，連接BP.

⑴線(xiàn)段BP的最小值為；

⑵若以AP,BP為鄰邊作nAPBQ,?PQ,則線(xiàn)段PQ的最小值為

AD

BC

備用圖

3.如圖，在4ABC中，AC=BC=6,SAABC=12,點(diǎn)D為AB中點(diǎn)，點(diǎn)M,N分別是CD和BC上的動(dòng)點(diǎn)

則BM+MN的最小值是

4.如圖，在RtZkABC中，ZC=9(J,ZB=30,BC=6,AD平分NCAB交BC于點(diǎn)D,點(diǎn)E為邊AB上

一點(diǎn)，則線(xiàn)段DE長(zhǎng)度的最小值為.

C

【答案】解：在RSABC中,

;.AC=?*6=2用

VZC=9(J,ZB=30，

AZCAB=60,

VAD平分ZCAB,

AZCAD=yX6(J=30.

在RtAACD中,

CD

tanZCAD=—,

AC

ACD=4X2V3=2.

o

VAD平分NCAB,且DC±AC,

...點(diǎn)D到AB邊的距離等于線(xiàn)段CD的長(zhǎng),

即線(xiàn)段DE長(zhǎng)度的最小值為2.

5.（3分）如圖，在矩形ABCD中，AB=4,BC=6,點(diǎn)E是對(duì)角線(xiàn)BD上一點(diǎn)，EF，BC于點(diǎn)F,EG±

CD于點(diǎn)G,?FG,貝UEF+FG的最小值為

6.如圖，在RtAABC中，ZACB=90,AC=6,BC=8,AD是NBAC的平分線(xiàn)，若P,Q分另U是AD

和AC上的動(dòng)點(diǎn)，求PC+PQ的最小值.

【思路引領(lǐng)】過(guò)點(diǎn)C作CM，AB交AB于點(diǎn)M，交AD于點(diǎn)P,過(guò)點(diǎn)P作PQ，AC于點(diǎn)Q,由AD是

ZBAC的平分線(xiàn).得出PQ=PM,選寸PC+PQ有最小值，即CM的長(zhǎng)度，運(yùn)用勾股定理求出AB,

再運(yùn)用SAAB（?}AB?CM=JAJBC,得出CM的值，即PC+PQ的最小值.

Q

7.（2023?江門(mén)三模）如圖，4ABC中，ZACB=90,AB+BC=8,tanA=~，點(diǎn)0、D分別是邊AB、

AC上的動(dòng)點(diǎn)，則0C+0D的最小值為（）

A2426「96

A。TBR-瓦D-1

【思路引領(lǐng)】如圖，作C關(guān)于AB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)C',混CC'，交AB于E,過(guò)C'作C'D，AC于D,交AB

于0,則0C=C'0,小出寸0C+0D的值最小，就是C'D的長(zhǎng)，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊的比可得結(jié)論.

8.（2021春?龍崗區(qū)月考）如圖，點(diǎn)P是NA0C的角平分線(xiàn)上一點(diǎn)，PD±0A,垂足為點(diǎn)D,且PD=5,

點(diǎn)M是射線(xiàn)0C上一動(dòng)點(diǎn)，則PM的最小值為

【思路引領(lǐng)】根據(jù)垂線(xiàn)段最短可知當(dāng)PM±0C時(shí)，PM最小，再根據(jù)角的平分線(xiàn)的性質(zhì)，即可得出答

案.

9.（2024春?北京期中）如圖，菱形ABCD的周長(zhǎng)為24,/ABD=3。，點(diǎn)P是對(duì)角線(xiàn)BD上一動(dòng)點(diǎn)，Q是

BC的中點(diǎn)，則PC+PQ的最小值是（）

C.3^/5D.6V3

【思路引領(lǐng)】點(diǎn)Q和點(diǎn)C是定點(diǎn)，點(diǎn)P在直線(xiàn)BD上一動(dòng)點(diǎn)，是軸對(duì)稱(chēng)最值問(wèn)題，連接CQ,由菱形的對(duì)

稱(chēng)性可知，點(diǎn)A和點(diǎn)C關(guān)于BD對(duì)稱(chēng)，連接AQ,AQ即為所求.

10.（2021春?金寨縣期末）如圖，在邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD中，點(diǎn)M為對(duì)角線(xiàn)BD上一動(dòng)點(diǎn)，ME±BC

于點(diǎn)E,MFJ,CD于點(diǎn)F,解EF,則EF的最小值為（）

A.1B.

【思路引領(lǐng)】連接MC,證出四邊形MECF為矩形，由矩形的性質(zhì)得出EF=MC,當(dāng)MC，BD時(shí)，MC

取得最小值，此時(shí)aBCM是等腰直角三角形，得出MC即可得出結(jié)果.

11.在銳角AABC中，BC=4,ZABC=30,BD平分NABC，點(diǎn)M、N分另U是BD、BC上的動(dòng)點(diǎn)，連接

MN、CM，則CM+MN的最小值是多少？

【思路引領(lǐng)】過(guò)點(diǎn)C作CE_LAB于點(diǎn)E,交BD于點(diǎn)M',過(guò)點(diǎn)M'作M'N'±BC,則CE即為CM+

MN的最小值，再根據(jù)BC=4,NABC=30,由銳角三角函數(shù)的定義即可求出CE的長(zhǎng).

12.如圖，在4ABC中，AC=BC=6,SAABC=12,點(diǎn)D為AB中點(diǎn)，點(diǎn)M,N分別是CD和BC上的動(dòng)點(diǎn)

則BM+MN的最小值是.

【解答】解：如圖所示:

YAP于點(diǎn)P,

AP是點(diǎn)A到直線(xiàn)1的最短距離.

13.如圖，在菱形ABCD中，AC=6,BD=8,對(duì)角線(xiàn)AC與BD交于點(diǎn)0,點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)M,N分

別在AC,BC上，則EM+MN的最小值為.

14.如圖，已知二次函數(shù)y=-1x2+1_x+2的圖象與x軸交于A,B（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)）兩點(diǎn)，與y軸交

于點(diǎn)C,M為直線(xiàn)BC上一動(dòng)點(diǎn)，N為x軸上一動(dòng)點(diǎn)，連接AM,MN,求AM+MN的最小值.

7

15.如圖，等邊4ABC中，AB=6,點(diǎn)P是BC邊上一點(diǎn)，則AP的最小值是

解析提示:

16.如圖，在銳角三角形ABC中，BC=,ZABC=45,BD平分NABC,M、N分別是BD、BC上的

動(dòng)點(diǎn)，則CM+MN的最小值是

解析提示:

17.如圖，AABC中，ZACB90,AC=3,BC=4,AB連接PC,則線(xiàn)段

PC的最小值是

18.如圖，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(-1,0),點(diǎn)B(a,a),當(dāng)線(xiàn)段AB最短時(shí)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為，

19.如圖，菱形ABCD的邊長(zhǎng)為9,面積為18/3,P、E分別為線(xiàn)段BD、BC上的動(dòng)點(diǎn)，則PE+PC的最小

值為

20.如圖，等邊AABC的邊長(zhǎng)為4,AD是BC邊上的中線(xiàn)，M是AD上的動(dòng)點(diǎn)，E是AC邊上點(diǎn)，若AE=

1,EM+CM的最小值為o

21.如圖，AABC中，AB=AC=13,BC=10,AD是BC邊上的中線(xiàn)且AD=12,F是AD上的動(dòng)點(diǎn)，E

是AC邊上的動(dòng)點(diǎn)，則CF+EF的最小值為，

22.如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)是2,ZDAC的平分線(xiàn)交DC于點(diǎn)E,若點(diǎn)P、Q分別是AD和AE上的動(dòng)

點(diǎn)，則DQ+PQ的最小值為

23.如圖，在AABC中，NB=9。，AB12,BC5,D為邊AC上一動(dòng)點(diǎn)，DE_LAB于點(diǎn)E,DFJ_BC

于點(diǎn)F,則EF的最小值為（）

A

A.4.8B.卷C.患D.13

24.如圖，在AABC中，NA=90,NB=6。，AB=2,若D是BC邊上的動(dòng)點(diǎn)，貝U2AD+DC的最小值

A.2/T+6B.6C.JT+3D.4

25.如圖，在銳角三角形ABC中，AB=4,AABC的面積為10,BD平分NABC，若M、N分別是BD、

BC上的動(dòng)點(diǎn)，則CM+MN的最小值為（）

A.4B.5C.4.5D.6

26.如圖，AABC中，ZBAC=75,ZACB=60°,AC=4,貝！JZXABC的面積為；點(diǎn)D,點(diǎn)E,點(diǎn)F

分另IJ為BC,AB,AC上的動(dòng)點(diǎn)，連接DE,EF,FD,貝IjZXDEF的周長(zhǎng)最小值為.

備用圖

A

垂線(xiàn)段最短

模型展現(xiàn)

類(lèi)型垂線(xiàn)段最短兩條線(xiàn)段和的最小值問(wèn)題

A

圖示

B'BB"10N'、、lp,B

直線(xiàn)1外一定點(diǎn)A和直線(xiàn)1上一動(dòng)點(diǎn)P是NA0B內(nèi)部一點(diǎn)，點(diǎn)M,N分別是

特點(diǎn)

點(diǎn)BOA,0B上的動(dòng)點(diǎn)

作點(diǎn)P關(guān)于0B的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)P',過(guò)點(diǎn)P'作

過(guò)點(diǎn)A作AB，1于點(diǎn)B,此時(shí)

結(jié)論0A的垂線(xiàn)，分別與0B,0A交于點(diǎn)N,M,此

AB的值最小

時(shí)PN+MN的值最小

?怎么用

1.找模型

遇到“一定點(diǎn)兩動(dòng)點(diǎn)”求線(xiàn)段和（其中一條線(xiàn)段為兩動(dòng)點(diǎn)的連線(xiàn)）最值問(wèn)題，考慮垂線(xiàn)段最短模型

2.用模型

通過(guò)對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)，三角形的三邊關(guān)系及垂線(xiàn)段最短確定最值點(diǎn)位置

滿(mǎn)分技法:求線(xiàn)段和最值實(shí)質(zhì)上是將線(xiàn)段和轉(zhuǎn)化到一條直線(xiàn)上，結(jié)合垂線(xiàn)段最短解決問(wèn)題

結(jié)論：作點(diǎn)P關(guān)于0B的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)P',過(guò)點(diǎn)P'作0A的垂線(xiàn)，分別與OB,0A交于點(diǎn)N.M,此時(shí)

PN+MN的值最小

證明：如圖，若M',N'為OA,0B上任意一點(diǎn)，連接N'P',M'P',

則PN=PN

/.PN'+M'N'=^'N'+M'N'>P'M'^P'M,

.,.當(dāng)P'M，0A時(shí),PN+MN的值最小.

思考延伸:經(jīng)典的“胡不歸”就是垂線(xiàn)段最短問(wèn)題

模型典例

1.如圖，在RtAABC中，ZC=9（J,AD是NBAC的平分線(xiàn)，點(diǎn)E是AB上任意一點(diǎn)若AD=5,AC=4,

則DE的最小值為（）

C

例1題圖

A.3B.4C.5D.6

思路點(diǎn)撥:遇到角平分線(xiàn)和垂直，想到角平分線(xiàn)上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等.

A【解析】在RtAACD中，VAD=5,AC=4,CD=yAD-AC^=752-42=3,當(dāng)DE_LAB時(shí)，DE

的值最?。ù咕€(xiàn)段最短），：AD是NBAC的平分線(xiàn),NC=9。，；.CD=DE（角平分線(xiàn)性質(zhì)），DE的最小

值為3.

2.模型構(gòu)造如圖，在4ABC中，AB=4,ZBAC=45,ZBAC的平分線(xiàn)交BC于點(diǎn)D,

E,F分別是AD,AB上的動(dòng)點(diǎn)則BE+EF的最小值是.

例2題圖

思路點(diǎn)撥：求線(xiàn)段和最小值，一定點(diǎn)兩動(dòng)點(diǎn)，先轉(zhuǎn)化在一條線(xiàn)段，再利用垂線(xiàn)段

最短求解即可。

_____________________針對(duì)訓(xùn)練________________________

1.如圖，在RtZSABC中,NC=90,AC=6,BC=2,點(diǎn)P是AB邊上的一點(diǎn)（異于A,B兩點(diǎn)），過(guò)點(diǎn)P

分別作AC,BC邊的垂線(xiàn)，垂足分別為M,N,雌MN,則MN的最小值是.

第1題圖

【解析】如解圖,連接PC.在4ABC中，

,/ZACB=90,AC=6.BC=2,

/.AB=，AC2+BC2=付”2=2/ID.

VPMAC,PN±BC,C

：.ZPMC=ZPNC=ZACB=90,

四邊形PMCN是矩形（三個(gè)角是直角的四邊形是矩形），產(chǎn)二

MN=PC（矩形的對(duì)角線(xiàn)相等），第1題解圖

當(dāng)PC_LAB時(shí),PC的值最?。ù咕€(xiàn)段最短），此寸PC=A:-C=_6X2_=WW

AB2VW5

（直角三角形等面積轉(zhuǎn)化），

MN的最小值為邛￡.

5

2.如圖，在RtAABC中,NACB=90°,ZB=30,AC=2,點(diǎn)D是BC邊上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)連接AD,過(guò)點(diǎn)D

作DE，AD交AB于點(diǎn)E,則線(xiàn)段AE的最小值為

第2題圖

【答案吟

O

【解析】如解圖，取AE的中點(diǎn)F,連妾FD,過(guò)點(diǎn)F作FG，BC于點(diǎn)G.設(shè)AE=X,貝IAF=DF=

l-AE=.1-,,/AC=2,ZB=30,ZACB=90,AB=4,BF=AB-AF=4--1-,GF=-1BF=2-

竟GFWDF,2-.W*,解得x2)線(xiàn)段AE的最小值為-8_

y

第2題解困

3.如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為10,E為DA延長(zhǎng)線(xiàn)上一動(dòng)點(diǎn)，連接BE,以BE為邊作等邊ABEF,連

接AF,則AF的最小值為.

第3題解圖

【答案】5

【解析】如解圖，以點(diǎn)B為旋轉(zhuǎn)中心，將4ABF逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)60,得到AGBE,連接AG,.,.NABG=

60,AB=BG,AF=GE（旋轉(zhuǎn)性質(zhì)），.?.△ABG是等邊三角形，且點(diǎn)G與直線(xiàn)AD的位置保持不變，當(dāng)EG

±DA時(shí),GE的長(zhǎng)最短（垂線(xiàn)段最短），：AB=AG=10,.?.最短長(zhǎng)度為GE=：AG=5,故AF的最

小值為5.

4.模型遷移如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，OA=3,OB=4,點(diǎn)P的坐標(biāo)為（4,0）,點(diǎn)M,N分別在線(xiàn)段

AB,y軸上,求PN+MN的最小值.

第4題圖

【答案】解：；OA=3,OB=4,

/.AB=5,

如解圖，過(guò)點(diǎn)P作PM'±AB于點(diǎn)M',交y軸于點(diǎn)N'.

:PN+MN2PN+NM,，即PN+MN2PM',根據(jù)垂線(xiàn)段最短可知，PN+MN的最小值為線(xiàn)段PM'

的長(zhǎng)，

VZBAO=ZPAM'.ZAOB=ZAM'P=90,

.".△ABOsAAPM',

...空=比相似三角形的判定與性質(zhì)），

APMP

,2二4

PM'

/.PM二等，

5第4題解圖

APN+MN的最小值為2

5.1/拔高如圖，某小區(qū)有一塊圓形的空地。0,在。0上點(diǎn)A,B,C,D處安裝四個(gè)景觀燈.已經(jīng)修好一

條長(zhǎng)為20米的經(jīng)過(guò)圓心0的直路BD,根據(jù)設(shè)計(jì)需要在邊AD,CD之間再修一條小路EF,使得點(diǎn)

E,F分別在邊CD,AD上，為了美觀使得CE=DF,B是標(biāo)的中點(diǎn)，經(jīng)測(cè)量AB=12米并以A,B,

C,E,F為頂點(diǎn)整修一塊周長(zhǎng)最小的五邊形綠化地.試問(wèn)，是否存在符合要求的周長(zhǎng)最小的五邊形

ABCEF?若存在，請(qǐng)求出五邊形AB-CEF周長(zhǎng)的最小值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

A

第5題圖

【答案】解:存在，

如解圖，：B是AC的中點(diǎn)，且BD是。0的直徑，BC=AB=12米/BAD=ZBCD=90,ZADB

=NCDB（圓周角定理），由勾股定理得,AD=CD=16米，

CE=DF,AAF+CE=16米，

；.L五邊形ABCEF=AB+BC+CE+EF+AF=12+12+16+EF=40+EF,

/.當(dāng)EF取最小值時(shí),L'五邊形ABCEF就有最小值.

延長(zhǎng)CD至點(diǎn)G,使DG=CE,連接GF并延長(zhǎng)，過(guò)E作EH_LGF于點(diǎn)H.

VCE=DF,DG=CE,

DF=DG,

AZGFD=ZDGF,

X".'ZADB=ZCDB,ZADC=ZGFD+ZDGF,

.'.ZCDB=ZEGH,

又：CE=DF,

AEG=CD=16米.

在RtABDC中，sinZCDB=鬟-二

BD5

.?.在RtZXEGH中，sinZEGH=吸=g,

EG5

???EFmin二冬二9.6米

5

?\L有用形ABCEFmin=40+EF=49.6米，

???存在符合要求的周長(zhǎng)最小的五邊形ABCEF,它的周長(zhǎng)最小值為49.6米

課后練習(xí)

1.（2021?棗莊）如圖，四邊形ABCD是菱形，對(duì)角線(xiàn)AC,BD相交于點(diǎn)0,AC=66,BD=6,點(diǎn)P是

AC上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，則PD+PE的最小值為（）

A.30B.6V3C.3D.6V2

【答案】A

【解答】解：如圖，連接DE,

在4DPE中，DP+PE>DE,

當(dāng)點(diǎn)P在DE上時(shí)，PD+PE的最小值為DE的長(zhǎng)，

?.?四邊形ABCD是菱形，

/.AO=CO=3察,BO=DO=3,AC±BD,AB=AD,

AtanZABO=普A0-=0,

D0

.,.ZABO=60,

???△ABD是等邊三角形，

??,點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，

.\DE_LAB,

VsinZABD二D舞F

BD

ADE=3V3-,

故選：A.

2.如圖，在矩形ABCD中,AC=8,NBAC=30，點(diǎn)P是對(duì)角線(xiàn)AC上一動(dòng)點(diǎn)，連接BP.

⑴線(xiàn)段BP的最小值為;

⑵若以AP,BP為鄰邊作uAPBQ,雌PQ,則線(xiàn)段PQ的最小值為

ADAD

BCBC

備用圖

【答案】⑴當(dāng)BP_LAC時(shí)，BP取最小值,

VAC=8,ZBAC=30,

AB-AC*cos30=40,

ABP最小=AB?sin30=2至；

故答案為：2/3；

⑵根據(jù)題意，作圖如下：

'??四邊形APBQ是平行四邊形,

VAO=：AB=2'PQ=20P,

要求PQ的最小值，即求OP的最小值，當(dāng)OPLAC時(shí)，OP取最小值,

OP=A0?sin30;平,

APQ的最小值為2

3.如圖，在4ABC中，AC=BC=6,SAABC=12,點(diǎn)D為AB中點(diǎn)，點(diǎn)M，N分別是CD和BC上的動(dòng)點(diǎn)

則BM+MN的最小值是，

【答案】解：如圖，VCA=CB,D是AB的中點(diǎn),

.1.CD是NACB的平分線(xiàn)，

...點(diǎn)N關(guān)于CD的對(duì)稱(chēng)N'在AC上，

過(guò)點(diǎn)B作BH±AC于點(diǎn)H.

VAC=6,SAABC=12,

X6-BH二12,

解得BH=4,

+MN=BM+MN2BH=4,

ABM+MN的最小值為4.

故答案為:4.

方法二：：CA二CB,D是AB的中點(diǎn),

；.CD是AB的垂直平分線(xiàn)，

BM=AM，

BM+MN=AM+MN,

當(dāng)AN_LBC時(shí)最小，

ABM+MN的最小值為4.

4.如圖，在Rt^ABC中，NC=9。，NB=30,BC=6,AD平分NCAB交BC于點(diǎn)D,點(diǎn)E為邊AB上

一點(diǎn)，線(xiàn)段DE長(zhǎng)度的最小值為.

【答案】解：在RtZkABC中,

t+anBp=―AC―,

DC

AAC=紜義6=2".

o

7

VZC=90，/B=30,

AZCAB=60,

VAD平分ZCAB,

AZCAD=：X60=30.

在RtAACD中，

cn

tanZCAD二

AC

ACD=4X2VJ=2.

VAD平分NCAB,且DC±AC,

.?.點(diǎn)D到AB邊的距離等于線(xiàn)段CD的長(zhǎng),

即線(xiàn)段DE長(zhǎng)度的最小值為2.

5.（3分）如圖，在矩形ABCD中，AB=4,BC=6,點(diǎn)E是對(duì)角線(xiàn)BD上一點(diǎn)，EF，BC于點(diǎn)F,

CD于點(diǎn)G,連妾FG,貝IEF+FG的最小值為.

【答案】解：如圖，在AD上取一點(diǎn)P,使得PDPB,腌BP,PC,EC,過(guò)點(diǎn)C作CJ,BP于點(diǎn)J,

作EK±BP于點(diǎn)K.

?.?四邊形ABCD是矩形，

；.AD=BC=6,AD〃BC,NA=90,

PD二PB=x,則x2—\。一X/2T,

_13

?I-'

VSAPB?；?PB?CJ=-1x6X4,

?.?=魯79

???AD〃CB,

AZADB=ZDBC,

VPD=PB,

AZPDB=ZPBD,

AZPBD=ZPBC,

VEK_LBC,EK_LBP,

AEF=EK,

VEG±CD,

AZEFC=ZFCG=ZCGF=90,

；?四邊形EFCG是矩形，

AFG=EC,

8

AEF+FG=EK+CE2CJ二皆，

???EF+FG的最小值為伴.

JLO

6.如圖，在RtAABC中，ZACB=90,AC=6,BC=8,AD是NBAC的平分線(xiàn)，若P,Q分別是AD

和AC上的動(dòng)點(diǎn)，求PC+PQ的最小值.

【思路引領(lǐng)】過(guò)點(diǎn)C作CM，AB交AB于點(diǎn)M，交AD于點(diǎn)P,過(guò)點(diǎn)P作PQ，AC于點(diǎn)Q,由AD是

NBAC的平分線(xiàn).得出PQ=PM,跡JPC+PQ有最小值，即CM的長(zhǎng)度，運(yùn)用勾股定理求出AB,

再運(yùn)用SAAB（?yAB?CM=9AC?BC,得出CM的值，即PC+PQ的最小值.

【解答】解：如圖，過(guò)點(diǎn)C作CM±AB交AB于點(diǎn)M，交AD于點(diǎn)P,過(guò)點(diǎn)P作PQ±AC于點(diǎn)Q,

：AD是NBAC的平分線(xiàn).

；.PQ=PM，選寸PC+PQ有最小值，即CM的長(zhǎng)度，

VAC=6,BC=8,ZACB=9（J,

AAB=VAC2+BC2=J62+82=10.

VSAABP-j-AB?CM=-i-AC?BC,

；.CM=12^=3=24,

AB105

即PC+PQ的最小值為學(xué).

5

【總結(jié)提升】本題主要考查了軸對(duì)稱(chēng)問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是找出滿(mǎn)足PC+PQ有最小值時(shí)點(diǎn)P和Q的位置.

7.（2023?江門(mén)三模）如圖，4ABC中，ZACB=90,AB+BC=8,tanA=~，點(diǎn)0、D分別是邊AB、

AC上的動(dòng)點(diǎn)，則0C+0D的最小值為（）

s

「9696

D.

,125南

【思路引領(lǐng)】如圖，作C關(guān)于AB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)C',膝CC',交AB于E,過(guò)C'作C'D，AC于D,交AB

于。，則0C二C'0,止用寸0C+0D的值最小，就是C'D的長(zhǎng)，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊的比可得結(jié)論.

【解答】解：作C關(guān)于AB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)C',搬CC',交AB于E,過(guò)C'作C'D，AC于D,交AB于0,則0C

=C'0,此時(shí)0C+0D的值最小，就是C'D的長(zhǎng);

,△ABC中，NACB=90,tanA二:，

,+ABC3

..tanA=—,

AC4

?BC3

**IT~S，

VAB+BC=8,

ABC=3,AB=5,AC=4,

VSAABEyBC-AC=yAB?CE,

.\3X4=5CE,

.「口12

5

,24

ACC=2CE=4，

5

VZC5E0=ZODA=9(J,NC'OE'NAOD,

「?NA’'NC,

VZCDC，=ZACB=9(J,

:?△CDC'^AACB,

24

ff

.cD=CC即C，D二號(hào)

~5~

?「，n_96

,*CD-%'

即OC+OD的最小值為是||；

故選：D.

【總結(jié)提升】本題考查軸對(duì)稱(chēng)-最短問(wèn)題、三角形相似的性質(zhì)和判定、兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短、垂線(xiàn)段最短等知

識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用軸對(duì)稱(chēng)以及垂線(xiàn)段最短解決最短問(wèn)題，屬于中考填空題中的壓軸題.

8.（2021春?龍崗區(qū)月考）如圖，點(diǎn)P是NA0C的角平分線(xiàn)上一點(diǎn)，PD±0A,垂足為點(diǎn)D,且PD=5,

點(diǎn)M是射線(xiàn)0C上一動(dòng)點(diǎn)，則PM的最小值為5.

10

D.

【思路引領(lǐng)】根據(jù)垂線(xiàn)段最短可知當(dāng)PM±0C時(shí)，PM最小，再根據(jù)角的平分線(xiàn)的性質(zhì)，即可得出答

案.

【解答】解：根據(jù)垂線(xiàn)段最短可知：當(dāng)PMJ.OC時(shí)，PM最小，

當(dāng)PM_L0C時(shí)，

XV0P平分/AOC,PD±OA,PD=3,

PM=PD=5,

故PM的最小值為5,

故答案為：5.

【總結(jié)提升】本題考查了垂線(xiàn)段最短、角平分線(xiàn)的性質(zhì)，熟練掌握角平分線(xiàn)上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等是解

題的關(guān)鍵.

9.（2024春?北京期中）如圖，菱形ABCD的周長(zhǎng)為24,/ABD=30，點(diǎn)P是對(duì)角線(xiàn)BD上一動(dòng)點(diǎn)，Q是

BC的中點(diǎn)，則PC+PQ的最小值是（）

B.3VB■C.3百D.6^/3

【思路引領(lǐng)】點(diǎn)Q和點(diǎn)C是定點(diǎn)，點(diǎn)P在直線(xiàn)BD上一動(dòng)點(diǎn)，是軸對(duì)稱(chēng)最值問(wèn)題，連接CQ,由菱形的對(duì)

稱(chēng)性可知，點(diǎn)A和點(diǎn)C關(guān)于BD對(duì)稱(chēng)，連接AQ,AQ即為所求.

【解答】解：如圖，由菱形的對(duì)稱(chēng)軸可知，點(diǎn)A和點(diǎn)C關(guān)于BD對(duì)稱(chēng)，連接AQ,AQ即為所求.

連接AC,

VZABD=30,ABCD是菱形,

/.ZABC=60,AB二BC,

.,.△ABC是等邊三角形，

:點(diǎn)Q為BC的中點(diǎn)，

AQ±BC,

??,菱形ABCD的周長(zhǎng)為24,

???AB=BC=6,

在RtAABQ中，ZABC=6（J,

AZBAQ=30,

BQ=3AB=yX6=3,

/.AQ=vS^BQ=3察.

故選：B.

【總結(jié)提升】本題考查的是軸對(duì)稱(chēng)-最短路線(xiàn)問(wèn)題及菱形的性質(zhì)，熟知兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短的知識(shí)是解答此

題的關(guān)鍵.

10.（2021春?金寨縣期末）如圖，在邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD中，點(diǎn)M為對(duì)角線(xiàn)BD上一動(dòng)點(diǎn)，ME±BC

于點(diǎn)E,MFLCD于點(diǎn)F,般EF,則EF的最小值為（）

A.1B.2V2C.V3D.V2

【思路引領(lǐng)】連接MC,證出四邊形MECF為矩形，由矩形的性質(zhì)得出EF=MC,當(dāng)MC，BD時(shí)，MC

取得最小值，此時(shí)aBCM是等腰直角三角形，得出MC即可得出結(jié)果.

【解答】解：連接MC,如圖所示：

:四邊形ABCD是正方形，

：.ZC=90,ZDBC=45,

：ME_LBC于E,MF_LCD于F

四邊形MECF為矩形，

；.EF=MC,

當(dāng)MCLBD時(shí)，MC取得最小值，

此時(shí)ABCM是等腰直角三角形，

MC=.BC=*,

，EF的最小值為，Z；

故選：D.

月I-------7f

A/ZL

B

E

【總結(jié)提升】本題考查了正方形的性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)以及最小值問(wèn)

題；熟練掌握矩形的對(duì)角線(xiàn)相等是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.

11.在銳角AABC中，BC=4,ZABC=30,BD平分/ABC，點(diǎn)M、N分別是BD、BC上的動(dòng)點(diǎn)，連接

MN、CM,貝！JCM+MN的最小值是多少？

【思路引領(lǐng)】過(guò)點(diǎn)C作CE，AB于點(diǎn)E,交BD于點(diǎn)M',過(guò)點(diǎn)M'作M'N'±BC,則CE即為CM+

MN的最小值，再根據(jù)BC=4,ZABC=30,由銳角三角函數(shù)的定義即可求出CE的長(zhǎng).

【解答】解:過(guò)點(diǎn)C作CE±AB于點(diǎn)E,交BD于點(diǎn)過(guò)點(diǎn)作N±BC,

VBD平分NABC,

E=N',

WN+CM'=EM+CM,=CE,

則CE即為CM+MN的最小值，

VBC=4,ZABC=30,

/.CE=BC?sin30=4X；=2.

ACM+MN的最小值是2.

【總結(jié)提升】本題考查的是軸對(duì)稱(chēng)-最短路線(xiàn)問(wèn)題，根據(jù)題意作出輔助線(xiàn)，構(gòu)造出直角三角形，利用銳角三

角函數(shù)的定義求解是解答此題的關(guān)鍵.

12.如圖，在4ABC中，AC=BC=6,SAABC=12,點(diǎn)D為AB中點(diǎn)，點(diǎn)M,N分別是CD和BC上的動(dòng)點(diǎn)

則BM+MN的最小值是.

【解答】解：如圖所示:

13

b

TAP于點(diǎn)P,

/.AP是點(diǎn)A到直線(xiàn)1的最短距離.

13.如圖，在菱形ABCD中，AC=6,BD=8,對(duì)角線(xiàn)AC與BD交于點(diǎn)0,點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)M,N分

別在AC,BC上，則EM+MN的最小值為.

【答案】⑴2/3⑵

14.如圖，在矩形ABCD中，AB=4,BC=6,點(diǎn)E是對(duì)角線(xiàn)BD上一點(diǎn)，EFXBC于點(diǎn)F,EG，CD于

點(diǎn)G,蟠FG,則EF+FG的最小值為.

【答案】m

5

14如圖，已知二次函數(shù)y=-;x2+1_x+2的圖象與x軸交于A,B（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)）兩點(diǎn)，與y軸交

于點(diǎn)C,M為直線(xiàn)BC上一動(dòng)點(diǎn)，N為x軸上一動(dòng)點(diǎn)，連接AM,MN,求AM+MN的最小值.

【答案】V3

15.如圖，等邊4ABC中，AB=6,點(diǎn)P是BC邊上一點(diǎn)，則AP的最小值是，

解析提示:

【解答】解：過(guò)A點(diǎn)作AH，BC于H,如圖,

:△ABC為等邊三角形，，BH=CH=}BC=3,

/.AH=V62-32:3察,

當(dāng)P點(diǎn)與H點(diǎn)重合時(shí)，AP的值最小，AP的最小值是歹3.

16.如圖，在銳角三角形ABC中，BC=。，ZABC=45,BD平分NABC,M、N分別是BD、BC上的

動(dòng)點(diǎn)，則CM+MN的最小值是o

【解答】解：過(guò)點(diǎn)C作CE，AB于點(diǎn)E,交BD于點(diǎn)M,,過(guò)點(diǎn)M，作M'N」BC于N一則CE即為CM+

MN的最小值，

VBC=4肉/ABC=45°,BD平分/ABC,

.,.△BCE是等腰直角三角形，

；.CE=BC?cos45=4A/2-X^=4.

故CM+MN的最小值為4.

17.如圖，AABC中,ZACB=9。，AC=3,BC=4,AB=5,P為直線(xiàn)AB上一動(dòng)點(diǎn)，連接PC,則線(xiàn)段

PC的最小值是。

【角培】解：在RtAABC中，ZACB=90,AC=3,BC=4,AB=5,

?當(dāng)PCLAB時(shí)，PC的值最小，

此時(shí)：Z\ABC的面積=4?AB?PC=4?AC?BC,

；.5PC=3X4,

.1.PC=2.4,

18.如圖，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(-1,0),(a,a),當(dāng)線(xiàn)段AB最短時(shí)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為

y

B

AO

【解答】解：過(guò)點(diǎn)A作AD，OB于點(diǎn)D,過(guò)點(diǎn)D作0E，x軸于點(diǎn)E,

???垂線(xiàn)段最短，

當(dāng)點(diǎn)B與點(diǎn)D重合時(shí)線(xiàn)段AB最短.

:直線(xiàn)0B的解析式為y=x,

???△AOD是等腰直角三角形，

/.0E=1-0A=1,

19.如圖，菱形ABCD的邊長(zhǎng)為9,面積為18/3,P、E分別為線(xiàn)段BD、BC上的動(dòng)點(diǎn)，則+PC的最小

值為

【解答】解：如圖，連接AP,過(guò)點(diǎn)A作AHLBC于H.

:四邊形ABCD是菱形，；.A,C關(guān)于BD對(duì)稱(chēng),

APA=PC,APE+PC=AP+PE,

VAP+PEAH,APE+PC2AH,

^??S菱形ABCD=BC-AH,

AAH=二29，

9

z

APE+PC22vS',

APE+PC的最小值為20,故答案為：2/3.

20.如圖，等邊4ABC的邊長(zhǎng)為4,AD是BC邊上的中線(xiàn)，M是AD上的動(dòng)點(diǎn),E是AC邊上點(diǎn)，若AE=

1,EM+CM的最小值為0

【解答】解：幽BE,與AD交于點(diǎn)M.則BE就是EM+CM的最小值,

過(guò)B作BN_LAC于N,

「△ABC是等邊三角形，

.?.AN=JAC,

:等邊4ABC的邊長(zhǎng)為4,

.1.AC=4,VAE=1,

ANE=1,BN=察AB=2v

ABE=VBN2+NE2=J2G2+12=G,

AEM+CM的最小值為g,

故答案為：g.

21.如圖，AABC中，AB=AC=13,BC=10,AD是BC邊上的中線(xiàn)且AD=12,F是AD上的動(dòng)點(diǎn)，E

是AC邊上的動(dòng)點(diǎn)，貝UCF+EF的最小值為o

A

【解答】解：作E關(guān)于AD的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)M,連妾CM交AD于F,雌EF,過(guò)C作CN，AB于N,

VAB=AC=13,BC=10,AD是BC邊上的中線(xiàn)，

ABD=DC=5,AD±BC,AD平分ZBAC,

M在AB上，

在RtAABD中，AD=12,

.".SAAB?-XBCXAD=yXABXCN,

.CN=B