平面向量的數(shù)量積-2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)學(xué)案（新高考）

第02講平面向量的數(shù)量積

（7類核心考點(diǎn)精講精練）

12.考情探究

1.5年真題考點(diǎn)分布

5年考情

考題示例考點(diǎn)分析關(guān)聯(lián)考點(diǎn)

2024年新I卷，第3題,5分向量垂直的坐標(biāo)表示平面向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示

數(shù)量積的運(yùn)算律

2024年新II卷，第3題,5分已知數(shù)量積求模模長(zhǎng)的相關(guān)計(jì)算

垂直關(guān)系的向量表示

向量垂直的坐標(biāo)表示

2023年新I卷，第3題,5分平面向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示

利用向量垂直求參數(shù)

2023年新II卷，第13題,5分?jǐn)?shù)量積的運(yùn)算律向量的模長(zhǎng)運(yùn)算

2022年新H卷,第4題,5分?jǐn)?shù)量積及向量夾角的坐標(biāo)表示平面向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示

坐標(biāo)計(jì)算向量的模

2021年新I卷，第10題,5分?jǐn)?shù)量積的坐標(biāo)表示逆用和、差角的余弦公式化簡(jiǎn)、求值

二倍角的余弦公式

2021年新II卷，第15題,5分?jǐn)?shù)量積的運(yùn)算律無

2020年新I卷，第7題,5分用定義求向量的數(shù)量積無

2.命題規(guī)律及備考策略

【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的必考內(nèi)容，設(shè)題穩(wěn)定，難度不定，分值為5分

【備考策略】I通過物理中功等實(shí)例理解平面向量數(shù)量積的概念及其物理意義，會(huì)計(jì)算平面向量的數(shù)量積

2會(huì)用數(shù)量積判斷兩個(gè)平面向量的垂直關(guān)系

3能用坐標(biāo)表示平面向量的數(shù)量積，并會(huì)表示及計(jì)算兩個(gè)平面向量的夾角

4會(huì)用向量方法解決簡(jiǎn)單的平面幾何問題、力學(xué)問題以及其他實(shí)際問題，體會(huì)向量在解決數(shù)學(xué)

和實(shí)際問題中的作用

5會(huì)用數(shù)量積解決向量中的最值及范圍問題

【命題預(yù)測(cè)】本節(jié)一般考查平面向量數(shù)量積的表示和計(jì)算、在平面幾何圖形中的范圍及最值等應(yīng)用，易理

解，易得分，需重點(diǎn)復(fù)習(xí)。

知識(shí)點(diǎn)1平面向量的數(shù)量積的定義

知識(shí)點(diǎn)2平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律

知識(shí)點(diǎn)3平面向量數(shù)量積的有關(guān)結(jié)論

考點(diǎn)1求平面向量的數(shù)量積

考點(diǎn)2蝌折數(shù)量積的運(yùn)算律

考點(diǎn)3模長(zhǎng)蹤合計(jì)算

考點(diǎn)4夾角綜合計(jì)算

考點(diǎn)5垂直綜合計(jì)算

考點(diǎn)6求投影向量

考點(diǎn)7數(shù)量積范圍的綜合問題

知識(shí)講解

1.平面向量的數(shù)量積

設(shè)兩個(gè)非零向量〃的夾角為仇記作且。c[o，T

二

定義

則數(shù)量同網(wǎng)cos0叫做a與b的數(shù)量積，記作ab

同cos0叫做向量a在b方向上的投影，

投影

網(wǎng)cos0叫做向量8在a方向上的投影

幾何

數(shù)量積ab等于a的長(zhǎng)度同與8在a的方向上的投影團(tuán)cos0的乘積

意義

2.向量數(shù)量積的運(yùn)算律

b=ba.

（2）（筋）力=4（"力）=/（勸）.

(3)(a+A)c=ac+6c.

3.平面向量數(shù)量積的有關(guān)結(jié)論

已知非零向量a=(x「刃)，6=(x2,")，a與8的夾角為夕

結(jié)論幾何表示坐標(biāo)表示

數(shù)量積同網(wǎng)cos(叫ci'b=x\X2~\~y\y2

模同=Jaa|a|=

abXlX2+yiV2

夾角cos0=-----cos6=]一]二

\a\\b\Jx?+MVxi~\~yi

a±b的充要條件ab=0

,崖2+.U21WJ(x?+-)(兄+yi)

|a?〃與同網(wǎng)的關(guān)系|a力其同網(wǎng)

1.數(shù)量積運(yùn)算律要準(zhǔn)確理解、應(yīng)用，

例如，a?=<rc(aWO)不能得出8=c,兩邊不能約去一個(gè)向量.

2.a力=0不能推出a=0或8=0,因?yàn)閍力=0時(shí)，有可能a_LA.

3.在用同=行求向量的模時(shí)，一定要先求出/再進(jìn)行開方.

考點(diǎn)一、求平面向量的數(shù)量積

典例引領(lǐng)

1.(2022?全國(guó)?高考真題)已知向量2》滿足向=1,向=6,|2-2司=3,則￡石=()

A.-2B.-1C.1D.2

【答案】C

【分析】根據(jù)給定模長(zhǎng)，利用向量的數(shù)量積運(yùn)算求解即可.

【詳解】解：?.M—2盯=|稈一4限彼+4同，

X-\a\=l,\b\=y/3,\a-2b|=3,

??-9=l-4a-i+4x3=13-4a-^，

-a-b=1

故選：C.

2.(2024?山東濰坊?三模)已知向量:=(1,2)范=(4,一2),」=(1㈤,^c-(2a+b)=O,則實(shí)數(shù)2=

【答案】-3

【分析】根據(jù)向量線性運(yùn)算和數(shù)量積公式得到方程，求出答案.

【詳解】2a+S=(2,4)+(4,-2)=(6,2),

c.(2a+^)=(l,2).(6,2)=6+22=0,

解得彳=-3.

故答案為：-3

?全國(guó)?高考真題)已知向量=。，忖=邛第

3.(2021a+B+c1=2，a-b+b-c+c-a-_____?

【答案】-，

【分析】由已知可得僅+5+今2=0,展開化簡(jiǎn)后可得結(jié)果.

【詳解】由已知可得(a+各+c)=a+b+c+2^a-b+b-c+c-a^=9+2^a-b+b-c+c-a^=0,

因止匕，a-b+b-c+c-a=--.

2

o

故答案為：一萬.

4.(2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè))如圖所示，在邊長(zhǎng)為2的等邊。3C中，點(diǎn)E為中線2D的三等分點(diǎn)(靠近點(diǎn)

2),點(diǎn)尸為3c的中點(diǎn)，貝！1麗.麗=()

【答案】D

【分析】由平面向量數(shù)量積公式以及平面向量基本定理求解結(jié)果.

【詳解】由己知有|茄|=2,|就|=2,ZABC=60°,

所以瓦就=|網(wǎng)數(shù)|cosN/8C=2x2xg=2.

已知。是/C的中點(diǎn)，則彷=」(血+就)，BE=-BD=-(BA+BC),BF=FC=-BC,

2362

■—*—-I—?—?I—?I.I—?

所以FE=BE—BF=—(BA+BC)——BC=—BA——BC,

6263

則麗?麗=仕莎」能數(shù)］=」防灰+工濟(jì)=」><2+口4」.

(63八2J1261262

故選：D.

即時(shí)檢測(cè)

1.(2023?全國(guó)?高考真題)正方形48CD的邊長(zhǎng)是2,E是48的中點(diǎn)，則反.而=()

A.V5B.3C.275D.5

【答案】B

【分析】方法一：以｛方，而｝為基底向量表示正，而，再結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算律運(yùn)算求解；方法二：建系,

利用平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算求解；方法三：利用余弦定理求cos/DEC,進(jìn)而根據(jù)數(shù)量積的定義運(yùn)算求解.

【詳解】方法一：以｛布，而｝為基底向量，可知|方|=|詬|=2,標(biāo).石=0,

-------->--------*-------->I-------->---------?-------->------->--------->I-------->--------->

則EC=EB+BC=—AB+AD,ED=EA+AD=一一AB+AD,

22

--->--->(1--->----(1--->----1----------->2-------->2

所以?班=+[―務(wù)/呂+力。=一^/呂+AD=-1+4=3；

方法二：如圖，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，

則E(l,0),C(2,2),Z)(0,2),可得反=(1,2),方=(-1,2),

所以反.歷=-1+4=3；

方法三：由題意可得：ED=EC=V5,CD=2,

DE*CE2-DC?5+5-4_3

在ACOE中,由余弦定理可得cosNDEC=

2DE-CE2x^5xVs5

所以反.詬=|瓦^麗]cos/DEC=V5xV5Xy=3.

2.(2024?黑龍江?二模)已知向量。=0,〃7),B=(",6),若石=33，則>

【答案】15

【分析】根據(jù)向量共線的坐標(biāo)表示求出加和〃，再利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示求解即可.

【詳解】,?,石=33，即（〃,6）=（3,3刃），：.〃=3,m=2,

■-a=[1,2）,3=（3,6）,???￡.5=1x3+2x6=15.

故答案為：15.

3.（2022?全國(guó)?高考真題）設(shè)向量刃的夾角的余弦值為:，且忖=1,慟=3,則（2￡+辦”=.

【答案】11

【分析】設(shè)"與否的夾角為。，依題意可得cos9=；,再根據(jù)數(shù)量積的定義求出7孔最后根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)

算律計(jì)算可得.

【詳解】解：設(shè)a與刃的夾角為凡因?yàn)閍與■的夾角的余弦值為g,即cosO=g,

又忖=1,利=3,所以a4=|aH*os6=lx3xg=l,

所以（24+刃）.否=20/+否2=20％+慟=2x1+32=11.

故答案為：11.

4.2024,河北衡水,模擬預(yù)測(cè)）在AABC中,ABAC=60°,畫=6,|就卜3,而=2MB,CN=麗？，貝U宙.赤=

（）

A.-9B.—C.9D.18

2

【答案】C

【分析】將把亦與無用在，前來表示，進(jìn)而利用平面向量的數(shù)量積即可求解.

【詳解】AN=^AC+^AM+CB=AB-AC.

不；荏1（冠-冠）

=-1B^+-AB-AC--AC^=n+-x6x3x---^9.

362622

故選：C.

考點(diǎn)二、辨析數(shù)量積的運(yùn)算律

典例引領(lǐng)

1.（2021?浙江?高考真題）已知非零向量工標(biāo)，則是"1"的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分又不必要條件

【答案】B

【分析】考慮兩者之間的推出關(guān)系后可得兩者之間的條件關(guān)系.

【詳解】

如圖所示，方=區(qū)礪=*無=口方="石,當(dāng)/BLOC時(shí)，與"垂直，"斗；=0，所以

u?c-h*c成乂，止匕時(shí)G手b，

春總白彖方不是5=b的充分條件,

—?—?\~?—>—>

（a-b）-c=O-c=O,；.￡.Z=B.3成立，

唾藁』窗遍是2=行的必要條件，

綜上，“嬴后」國(guó)蕊"是嗎=斤的必要不充分條件

2.（湖北?高考真題）已知京為非零的平面向量.甲：為用=小1,乙：b=c，貝1J（）

A.甲是乙的充分條件但不是必要條件

B.甲是乙的必要條件但不是充分條件

C.甲是乙的充要條件

D.甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件

【答案】B

【分析】根據(jù)向量運(yùn)算法則，結(jié)合充分，必要條件的定義，即可判斷.

【詳解】若展$=晨3,則鼠,-勾=0,因?yàn)槁渫呷f為非零的平面向量，

所以或所以甲不是乙的充分條件，

反過來，b=c,能推出晨B=?京，所以甲是乙的必要條件.

綜上可知，甲是乙的必要條件，但不是充分條件.

故選：B

3.(上海?高考真題)若人工均為任意向量，加eR,則下列等式不一定成立的是()

A.(a+S)+c=a+(S+c)B.(a+b)-c=a-c+b-c

C.m(a+Z))=ma+mbD.(a-b)c=a(b-c)

【答案】D

【分析】根據(jù)向量加法、數(shù)量積、數(shù)乘運(yùn)算的運(yùn)算法則判斷.

【詳解】選項(xiàng)A是向量加法的結(jié)合律，正確；

選項(xiàng)B是向量數(shù)量積運(yùn)算對(duì)加法的分配律，正確；

選項(xiàng)C是數(shù)乘運(yùn)算對(duì)向量加法的分配律，正確；

選項(xiàng)D.根據(jù)數(shù)量積和數(shù)乘定義，等式左邊是與"共線的向量，右邊是與￡共線的向量，兩者一般不可能相

等，也即向量的數(shù)量積運(yùn)算沒有結(jié)合律存在.D錯(cuò).

故選：D.

4.(2023?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè))設(shè)是三個(gè)非零的平面向量，且相互不共線，則下列結(jié)論正確的是()

A,0中=但+B.\a-b\<a-b

c.@中甘?詼與.垂直D.|a|-|s|<|a-s|

【答案】c

【分析】利用平面向量的運(yùn)算求解.

【詳解】選項(xiàng)A：因?yàn)閆,瓦"是三個(gè)非零的平面向量，且相互不共線，

所以々I不會(huì)同時(shí)與B垂直，所以7否與譏"不會(huì)同時(shí)為0，

所以0豆片小牛，故A錯(cuò)誤；(注意向量的數(shù)量積為一個(gè)常數(shù))

選項(xiàng)B：a%="Wcos卜,族)，由于cos(a,g)W^os,，用，

(點(diǎn)撥：向量夾角的取值范圍是［0,兀］)所以0片4/例，故B錯(cuò)誤；

選項(xiàng)c：因?yàn)椋?期一伍.工問?［0研>+0日口引=0，

且由/知(。不卜與(^c)a不相等，所以(a?qc-("c)a與否垂直，

(點(diǎn)撥：若兩向量的數(shù)量積為0,則兩向量垂直)故C正確；

選項(xiàng)D：因?yàn)?］是非零向量，且不共線，所以設(shè)況=￡,礪=九

從而**網(wǎng)，在◎3中，兩邊之差小于第三邊，所以問-忖<|力|，

（提示：Z花不共線，所以問-。卜|￡一,中的等號(hào)不成立）故D錯(cuò)誤.

故選:C.

5.（22-23高三上?江蘇揚(yáng)州?開學(xué)考試）（多選）關(guān)于平面向量泊下列說法不正確的是（）

A.若,則-=3

B.[d,+b^'C=a-c+b-C

c.若萬2=廬,則行.,=3]

D.（萬石）?U=e-cj-a

【答案】ACD

【分析】由數(shù)量積性質(zhì)可判斷A,由分配律可判斷B,由相反向量可判斷C,由向量垂直可以判斷D.

【詳解】對(duì)于A,若則不一定有5=別A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,根據(jù)分配律即可得到，B正確；

對(duì)于C,若12=人2,貝|J可能]=—B，那么鼠/工兒三,C錯(cuò)誤；

對(duì)于D,若方從，則有小3=0,那么就不一定有（，同/=（而）?*D錯(cuò)誤.

故選：ACD

考點(diǎn)三、模長(zhǎng)綜合計(jì)算

典例引領(lǐng)

1.（2022?全國(guó)?高考真題）已知向量Z=（2,l）Z=（-2,4）,則『-可（）

A.2B.3C.4D.5

【答案】D

【分析】先求得15,然后求得

【詳解】因?yàn)?-3=（2,1）-（一2,4）=（4,-3）,所以忖_耳="2+（-3）2=5.

故選：D

2.（2024?全國(guó)?高考真題）已知向量￡,否滿足卜|=1,k+2M=2,且?則問=（）

A.；B.eC.立D.1

222

【答案】B

【分析】由R"）4得片=2鼠九結(jié)合同=南+2?=2,得1+40%+3=1+67=4，由此即可得解.

【詳解】因?yàn)?-2q，人所以0-2q石=0,即片=275，

又因?yàn)閨,=邛+2閘=2,

所以1+4屋區(qū)+4片=1+6石2=4，

從而w=等.

故選：B.

3.(2024?廣東肇慶?模擬預(yù)測(cè))已知是單位向量，且它們的夾角是60°.若I+=,且

\a\=\b\,則4=()

A.2B.-2C.2或-3D.3或-2

【答案】D

【分析】根據(jù)條件將標(biāo)+2司=同-司兩邊平方，然后利用數(shù)量積的運(yùn)算律計(jì)算即可.

【詳解】a\=\b\,即|q+2e2卜

,+4,?e2+4e2-Xex—22,?q+與

1.1

l+4xlxlx—+4=22-22xlxlx—+1

22

解得/I=3或X=-2.

故選：D.

4.(2024高三下?全國(guó),專題練習(xí))已知向量7=(-1,2),向量B滿足卜-q=2右，且cos〈￡,B〉=(,則⑸=

()

A.V5B.5C.5D.25

【答案】B

【分析】由|2-彳=僅-否)2,利用向量數(shù)量積運(yùn)算和向量的模即可求解.

【詳解】由于向量Z=(T2),可得同=氐

由|￡_3]=26,得卜—二(Q_g『二卜『—2卜|同COS(Q,B)+國(guó)2=20,

故5-20、,￡+用=20,得用一2慟一15=0,得|4=5或慟=-3(舍去).

所以可=5

故選：B

即時(shí)檢測(cè)

1.（2024?陜西榆林?二模）若向量@=-1），=（血機(jī),3）,|初=|B|,則加=（）

A.-4B.-3C.一2拒D.-2

【答案】A

【分析】根據(jù)同=同，從而可得力+（〃-1）2=2療+9,從而可求解.

【詳解】若同=同，則誨即加？+（加一1）2=2比2+9,解得機(jī)=一4.故A正確.

故選：A.

2.（2024.陜西西安?模擬預(yù)測(cè)）已知向量￡=（%"?）,m&R,1=（0,2）,貝電+閘的最小值為.

【答案】6

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的坐標(biāo)運(yùn)算和復(fù)數(shù)模的坐標(biāo)表示得到B+4=,2（加+1）2+2,再利用二次函數(shù)性質(zhì)即可得

到答案.

【詳解】。+3=（加，機(jī)+2）,

所以卜+B卜J加2+（加+2『=個(gè)2m2+4冽+4=小2（m++2>^2.

當(dāng)加=-1時(shí)等號(hào)成立.

故答案為：V2.

3.（2024?廣西柳州,模擬預(yù)測(cè)）已知向量4與B的夾角為60。，且@=問=1,則忖-2*（）.

A.近B.V5C.4D.2

【答案】D

【分析】根據(jù)3的坐標(biāo)求出它的模，利用數(shù)量積運(yùn)算求出所求向量的模.

【詳解】由方=（1,6）得，同=2,

又忖=1,貝IjB_2否卜y/a2-4a-b+4b2-V4-4x2xlxCOS60°+4=2.

故選：D.

4.（2024?湖南長(zhǎng)沙?三模）平面向量a,b,c滿足：打人R弓=］，（瓦》=2，且p|=f|=3,\b\=2,

貝lj|a+S+c|=_.

【答案】373+1/1+373

【分析】結(jié)合數(shù)量積的定義和性質(zhì)求出￡.）、，花和利用'+5+d=J（a+刃+c）即可求出答案.

【詳解】因?yàn)樗訸i=0,

因?yàn)椴穦=/卜3,問=2,（a用弋,?兀

所以Q.B=WWcos(a,B)=3x2xcos—=3,

3

b'C=WHcos(B,c)=2x3xcos—=3A/3,

6

因?yàn)?+加+c[=(Q+^+C),

,—?f—1期+,+,+2.

a+b+ca-b+a-c+b'C5)=28+6若=(3君+1『，

所以|q+B+

故答案為：373+1.

考點(diǎn)四、夾角綜合計(jì)算

M!l^

1.(2023?全國(guó)?高考真題)已知向量￡=(3,1))=(2,2),貝|cos?+瓦￡一司=()

A±RV17626

171755

【答案】B

【分析】利用平面向量模與數(shù)量積的坐標(biāo)表示分別求得|￡+陽(yáng)￡-48+4(【可，從而利用平面向量余弦

的運(yùn)算公式即可得解.

【詳解】因?yàn)椤?(3,1)。=(2,2),所以￡+1=(5,3),1一/=(1,-1),

則卜+q=Js?+3?=A/34,—^|=A/1+1=V2,(°+3),(a-=5x1+3x(—1)=2,

/---[a+b\\a-b\2J17

所以cos(a+6,"?J|_公，=后=*?

、/卜+目卜叫V34xV217

故選：B.

2.(2023?全國(guó)?高考真題)已知向量扇B忑滿足同=|q=1洞=收，且,+B+'=6，則cos?-工石-工〉=

4224

A.B.C.D.

555

【答案】D

【分析】作出圖形,根據(jù)幾何意義求解.

【詳解】因?yàn)橹?B+萬=。,所以萬+B=—己

即下+廬+2。石=力,即1+1+2方方=2,所以展B=0.

如圖，設(shè)刀=a,礪=石,加=己，

AB邊上的高。0=",/〃=交，

22

所以8=。0+00=及+電=逑，

22

tanZACD=—=~,cosZACD=-1=

CD3加’

cos{a-c,b-c)=cosNACB-cos2ZACD=2cos2NACD-l

故選:D.

3.(2022?全國(guó)伺考真題)已知向量0=(3,4)1=(l,0),c=a+R,若va,c>=<>,貝()

A.-6B.-5C.5D.6

【答案】C

【分析】利用向量的運(yùn)算和向量的夾角的余弦公式的坐標(biāo)形式化簡(jiǎn)即可求得

,、,、/、9+3/+163+/

【詳解】解:苕=（3+f,4）,cos低?=cos（仇刊,即—雨—=百，解得1=5,

故選：C

4.（2023?河南鄭州,模擬預(yù)測(cè)）已知向量方=（6,1）,B=（m-1,3）,若向量I,5的夾角為銳角，則實(shí)數(shù)機(jī)的

取值范圍為（）

B.(1+3*^,+00)

D.(1+百,1+3⑹U0+3省,+8)

【答案】C

【分析】根據(jù)題意，由鼠彼＞0口限B不共線，再用向量的坐標(biāo)運(yùn)算求解即可得答案.

【詳解】因?yàn)槿f=（6,1）,b=（m—1,3）,

所以。=y/3（m-1）+3；

因?yàn)橄蛄俊＃?的的夾角為銳角，所以有有（僅-1）+3>0,解得〃?

又當(dāng)向量汗，5共線時(shí)，3A/3—（m—1）=0,解得：m=1+3>/3,

所以實(shí)數(shù)加的取值范圍為（1-/1+3⑹U0+3后+q.

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)向量的夾角范圍求參數(shù)的范圍問題，考查數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算和向量共線的坐標(biāo)表示,

是中檔題.

即時(shí)性測(cè)

1.（2024?山東日照?三模）已知￡和B是兩個(gè)單位向量，若依可=三，則向量￡與向量］一君的夾角為（）

7T7L7L2兀

A.—B.—C.—D.—

6323

【答案】B

【分析】根據(jù)平面向量的運(yùn)算、向量的模的計(jì)算公式以及向量的數(shù)量積求夾角即可求解.

【詳解】因?yàn)閍和3是單位向量，所以同=忖=1,又因?yàn)橛?=三,

所以=/_@Z=l_lxlxg=E，

所以石-Bl+l-2xlxlx-=l,

2

一aAa-b1一

所以cos,,d—6=匚1匚一汗二彳，又扇N—6w[0,兀],

|3|-5-/?2

所以向量Z與向量［一力的夾角為土

故選：B.

2.（2024?廣東江門?二模）設(shè)向量刀=（l,x）,礪=（2,無），則cos〈H1,而〉的最小值為____.

【答案】迪/］血

33

【分析】先求得cos〈瓦I團(tuán)〉的表達(dá)式，再利用換元法并結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可求得其最小值.

―?―?2+x2

【詳解】cos〈O4O2〉=j（.+4/+4）,令2+/=人年2）,則工2=』一2,

--?--?T

cos〈OA,OB〉=/=?二?

所以E?”，

當(dāng)1=!，即/=4/2=2時(shí)，cos〈E,赤〉取得最小值，且最小值為迪.

/43

故答案為：迪

3

3.（2024?河北?模擬預(yù)測(cè)）平面四邊形/BCD中,點(diǎn)及尸分別為4D,8C的中點(diǎn)，|。0=21回=8,怪尸|=5,

則cos(/5DC)=()

555V55_23

A.——B.C.D.

1664一_F~40

【答案】A

【分析】由向量的加法法則可得2而=而+詼，兩邊同時(shí)平方可得比.次=10，由平面向量的夾角公式

求解即可.

【詳解】因?yàn)槠矫嫠倪呅沃?，點(diǎn)反廠分別為N23C的中點(diǎn)，

所以礪=定+而+瓦=豆+瓦5+荏，

所以2而=元+麗+詼+而+強(qiáng)+次=函+直，

由|。|=2|4刈=8可得：|CD|=8,|/8|=4,

兩邊同時(shí)平方可得：4FE'=^CD+BA）=CD+BA+2CD-BA,

所以4x25=示+/+2①?茄=64+16+2麗.茄，

——ABDC105

解得：。。/8=10,所以c°s/3，℃=同同=而=口

故選：A.

4.（2024?上海?模擬預(yù)測(cè)）已知向量3,b，3滿足同=忖=1,同=收，且3+B+@=6,貝。

4

【答案】y/0.8

【分析】根據(jù)已知條件依次求出施=0、標(biāo)=-1、標(biāo)=-i,接著求出伍-研分-"、區(qū)-日和1司即可

結(jié)合向量夾角余弦公式求解.

【詳解】由題。+3=V，故,+32=（-靖=^即必+廬+2於1片，

=>l+l+2d?B=2'=^>a*b=0;

222222

a+c=-b,Sft(5+c)=)=bBPa+c+2a-c=b.

=l+2+2N?c=l，=^>a*c=—1;

b+S=-a，故(B+4=(-a)2=a2即后+7+2b-c=a2，

=1+2+2B?C=1，=^>b*c=-1?

所以伍_])?($_B=無3_卜+3忖+m2=212=4,

且區(qū)一己|=J(2—己『=后$一2赤=5歸/=業(yè)_寸=a—斯=5

一{a-c}(b-c\44

所以cosdYb_[=0I/=了--q

|S-c||/)-c|y/5xV55

、,4

故答案為：—.

考點(diǎn)五、垂直綜合計(jì)算

典例引領(lǐng)

I_________________________

1.(2024?全國(guó)?高考真題)設(shè)向量N=(x+l,x),彼=(x,2),則()

A."》=-3"是點(diǎn)"的必要條件B.晨=-3"是5/后"的必要條件

C."x=0"是"力『，的充分條件D."x=-l+e"是"Z//V的充分條件

【答案】C

【分析】根據(jù)向量垂直和平行的坐標(biāo)表示即可得到方程，解出即可.

【詳解】對(duì)A,當(dāng)a_L刃時(shí)，則坂=0，

所以x-(x+l)+2x=0,解得x=0或-3,即必要性不成立，故A錯(cuò)誤；

對(duì)C,當(dāng)x=0時(shí)，a=(l,0),Z>=(0,2),故￡彳=0，

所以人即充分性成立，故C正確；

對(duì)B,當(dāng)Z//1時(shí)，則2(X+1)=X2,解得x=l土百，即必要性不成立，故B錯(cuò)誤；

對(duì)D,當(dāng)x=-l+百時(shí)，不滿足2(尤+1)=/,所以：/后不成立，即充分性不立，故D錯(cuò)誤.

故選：C.

2.(2024?全國(guó)?高考真題)已知向量2=(0,1)3=(2,x),若讓色-甸,則「=()

A.-2B.-1C.1D.2

【答案】D

【分析】根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)運(yùn)算可求x的值.

【詳解】因?yàn)楸亟车?，所以沖-砌=0,

所以]2_4].]=o即4+%2一4%=0,故％=2,

故選：D.

3.(2023?全國(guó)?高考真題)已知向量￡=(1,1)花=(1,-1),若.+悶，,+聞，則()

A.4+〃=1B.X+//=-1

C.24—1D.2〃——1

【答案】D

【分析】根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算求出3+4，%+而,再根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)表示即可求出.

【詳解】因?yàn)镼=(1,1),3=。,一1),所以Q+XB=(1+41_4),Q+=+,

由(〃+幾否)_L(Q+可得，(Q+?(a+=0,

即(l+4)(l+〃)+(l_4)(l_〃)=0,整理得：加=-l.

故選：D.

即時(shí)檢測(cè)

1.(2024?廣西?三模)已知向量)=(-1,3)為，分，那么向量B可以是()

A.(1,3)B.1一1,￡|C.(3,-1)D.(3,1)

【答案】D

【分析】根據(jù)平面向量垂直的坐標(biāo)表示即可求解.

【詳解】對(duì)于A,因?yàn)?-1,3>(1,3)=—1+9=8*0,所以用B不垂直，故A錯(cuò)誤;

對(duì)于B,因?yàn)?-1,3)1-1,「=1+1=24,所以落彼不垂直，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,因?yàn)?-1,3)-(3,-1)=-3-3=-630,所以萬了不垂直，故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D,因?yàn)?-1,3)-(3,1)=-3+3=0,所以故D正確.

故選：D

2.(2024.浙江臺(tái)州.二模)已知平面向量Z=(2,l),b=(-2,4),若(2￡+可乂翁-Z；),則實(shí)數(shù)幾=()

A.-1B.-2C.1D.2

【答案】D

【分析】根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算及向量垂直的坐標(biāo)表示求解.

【詳解】因?yàn)椤?(2,1),6=(-2,4),

所以2a+6=（2,6）,Atz—b=（2A+2,A—4）,

因?yàn)椋?Q+B）_L,

所以（23+4畫-*（2,6）.（2X+2,；l-4）=4/L+4+6X-24=0,

解得2=2.

故選：D

3.（2023?浙江寧波?一模）若々花是夾角為60°的兩個(gè)單位向量，茄+B與-31+23垂直，貝慎=（）

1177

A.—B.—C.-D.一

8484

【答案】B

【分析】由題意先分別算出二片,小的值，然后將蘇+g與一32+25垂直"等價(jià)轉(zhuǎn)換為胸+即卜3々+2可=0,

從而即可求解.

【詳解】由題意有。-=卜|=11-=W=1,a-S=|a|-|/j|cos60°=1X1X,

又因?yàn)?5與一32+29垂直，

所以俱Z+刀?卜3￡+2@=-3/l7+（2/l—3”4+27=-3/U；x（2X-3）+2=0,

整理得-2/1+LO,解得2」.

24

故選:B.

4.（2024?安徽合肥?模擬預(yù)測(cè)）已知向量1=（2,。，5=（1,2）,若當(dāng)仁。時(shí)，展【同似，當(dāng)"芍時(shí)，

d」B,貝U（）

A.t1=-4,t2=-lB.=-4,t2=l

C.%=4,f2=-1D.%=4,%2=1

【答案】C

【分析】根據(jù)向量同向及數(shù)量積為0分別建立方程求解.

【詳解】當(dāng)"4時(shí)，由展3=同.「可知G與B方向相同，得］=3>0,解得。=4；

當(dāng)，=，2時(shí)，a-b=0f即2+2%=0,解得，2=-L

故選：C

考點(diǎn)六、求投影向量

典例引領(lǐng)

L（2024?山東青島二模）已知向量1=（-1,2）,6=（-3,1）,則方在B上的投影向量為（）

【答案】A

【分析】利用投影向量的定義直接求解即可.

【詳解】依題意，a.S=-lx（-3）+2xl=5,|6|=7（-3）2+l2=V10,

所以3在B上的投影向量為震6==

U乙乙乙

故選：A

2.（2023?黑龍江哈爾濱?模擬預(yù)測(cè)）已知向量0》滿足同=2石=（3,0）,5-同=/記，則向量3在向量]方向

上的投影向量為（）

【答案】C

【分析】將歸-'=】而兩邊平方求出Z片,然后由投影向量公式可得.

【詳解】因?yàn)橥?2，W=3,

所以忖叫=52-23-6+62=22-23-6+32=10,得0/二萬,

_3

所以向量Z在向量B方向上的投影向量為a23=25=工（3,0）=[10].

園296l，＞UJ

故選：C

1一

3.（2024?安徽馬鞍山?模擬預(yù)測(cè)）已知平面向量。與B滿足:5在B方向上的投影向量為B在方方向上

4

的投影向量為心且同=2,則問=（）

A.V3B.2C.273D.4

【答案】D

【分析】根據(jù)投影向量的定義，即可求解.

Ia-bb1a-b_

【詳解】。在B方向上的投影向量為同*麗下=＞r即阿丁,①

Irla-ba一a-b,

B在日方向上的投影向量為|華麗*冏=a,即=1,（②

由①②得4=；,又同=2,所以9=4.

\b\

故選：D

________\--,--?

~ABHe—、ABAC1

4.（2024?湖南長(zhǎng)沙?模擬預(yù)測(cè)）已知非零向量方與4C滿足i=q+i=d?BC=6,且=”則向

UdkuIM"2

量而在向量無上的投影向量為（）

A.-CBB.-CBC.--CBD.--CB

2222

【答案】B

【分析】根據(jù)給定條件，確定“BC的形狀，再利用投影向量的意義求解作答

AC

【詳解】因?yàn)榱x和可分別表示向量方和向量就方向上的單位向量,

\AB\\AC\

（___,___k\

~AUAT___.

由尸可+mBC=0,可得//的角平分線與5c垂直，

所以O(shè)8C為等腰三角形，S.AB^AC,

ABAC1ABAC所以cos（在,元）=；,

又麗,扃=5,得?cos

AB\\AC\同國(guó)I

又（存兀］,所以/=（9，就）=5，

所以。8C為等邊三角形，

——k——>——*—ICBI2

所以向量而在向量無上的投影向量為中￡4名=2=一.而=工赤,

\CB\\CB\|CS|22

故選：B.

即回啊

1.（23-24高三下?湖北?開學(xué)考試）已知G是單位向量,且|2G-同=756,3+23在G上的投影向量為53,貝!

與）的夾角為（)

n71715兀

A.一B.1C.一D.——

64312

【答案】B

【分析】根據(jù)陛-司=麗,，推理得到求一4鼠0=6,再由投影向量求得展3=3,聯(lián)立得到同=30,利

用兩向量的夾角公式計(jì)算即得.

【詳解】因?yàn)閑是單位向量，且陛-司=9，

兩邊平方得，4e2-45-e+a2=10,BPa2-4a-e=6（*）,

（a+2eYe

由G+2G在己上的投影向量為52,可得一o-----e=5e,

所以伍+2到3=5,即晨）=3,代入（*）可得，月=18,即同=3a,

印”--a-e3V2

所以cos”,e=rqrq-=—f==—,

\a\\e\3j22

因?yàn)?,Ge[0,兀],所以=

故選：B.

2.（2024?浙江紹興?三模）若非零向量萬，3滿足同=問=忖+可，則）+23在3方向上的投影向量為（）

一3f-1T

A.2bB.—bC.bD.一b

22

【答案】B

【分析】利用向量的模長(zhǎng)關(guān)系可得aZ=-號(hào),2,再由投影向量的定義即可求出結(jié)果.

【詳解】根據(jù)題意同=忖=卜+可可得同2=4,

所以2同2cos他3〉+同~=0,則cos（3?=_g

所以小92=-軀2,

-五-七七J1Vl的旦…口Ja+2訃B-33+2同--1―5+2）/-3-

則11+26在b方向上的投影向重為1-------L—b=------——乙——b=~b-

w2Fl2附2

故選：B

3.（2024?全國(guó)■模擬預(yù)測(cè)）已知向量1=（2,%）,B=c=（m+l,-l）,若bile，則B在@上

的投影向量為（）

【答案】D

【分析】根據(jù)已知條件求得加，”的值，得到加和@+e的坐標(biāo)，即可利用投影向量的公式進(jìn)行求解.