一元二次函數(shù)、方程和不等式（解析版）-2024-2025學(xué)年人教版高一數(shù)學(xué)壓軸題攻略

專題09一元二次函數(shù)、方程和不等式8大壓軸

考法

一、單選題

1.(23-24高一上?河北石家莊?期中)已知1W4+6V4,-l<a-b<2,則4a-26的取值范圍是()

A.{尤1-4<x<l。}B.{x[-3<尤<6}

C.{x|-2<x<14}D.{x|-2<x<10)

【答案】D

【分析】利用。+6和a-6范圍求出0W2aW6,然后利用不等式的性質(zhì)求解即可

【詳解】^-\<a-b<2,1<(?+/?<4,

得0W(a—Z?)+(a+Z?)W6,BP0<2<?<6,

-2<2(?-/?)<4,

所以-2W2(a-3+2aW10,即一244。一%《10,

故選：D

2.(23-24高一上?河北張家口?期末)已知1<4一6<2,3<a+b<4,則仍的最大值為()

A.—B.—C.3D.4

42

【答案】A

【分析】用已知式子。+仇。-8表示他，并利用不等式的性質(zhì)求向的范圍，驗(yàn)證最大值取到即可.

【詳解】4a6=(a+6)2-(a-6)2,

由不等式的性質(zhì)9V(a+6)2W16,l<(a-b)2<4,所以7W-(a-匕yW-1

所以54(a+6)2_(a_6)2415,所以MabW”，

44

「2

(a+bY=16a~2

當(dāng)且僅當(dāng)4時(shí)，且已知a+8>0，”6>。，解得

[3)=1b=)

[2

即他的最大值為二

4

故選：A.

f2<x+y<412Vx<3

3.(23-24局一上?上海?期末)n。是'1的()

[0〈孫<3I0<y<1

A.充分非必要條件B.必要非充分條件

C.充分必要條件D.既非充分也非必獎(jiǎng)條件

【答案】B

【分析】借助充分條件與必要條件的性質(zhì)計(jì)算即可得.

f2<x+y<4[2<x<3

【詳解】當(dāng)八二時(shí)，可取1=1、y=2符合題意，但此時(shí)不能得到八：

[0<xy<3[0<y<1

（2<x<3[2<x+y<4、

當(dāng)時(shí)，有2<x+y<4,0〈孫<3,即[成立；

[0<y<1[0<孫<3

[2<x+y<4f2<x<3——

故八Q是C1的必要非充分條件.

[0〈孫<3[0<^<1

故選：B.

4.（23-24高一上?福建龍巖?期中）已知0<6<a,a+b=l,則（）

A.0<￡7<—B.—<￡?<1C.ab>a2D.0<a-b<l

22

【答案】D

【分析】依題意利用不等式性質(zhì)可解得。<1,即可得AB錯(cuò)誤，將不等式0<8（。同時(shí)乘以

11

a,即可得即c錯(cuò)誤；結(jié)合的取值范圍可得;<a<l,-<-b<0,利用不等式同向可加性

可得D正確.

【詳解】由。<》<a,a+b=l可得。解得可得A錯(cuò)誤；

也可得0<人<1一6,解得即B錯(cuò)誤；

由0<b<a可得,即abca?,可得c錯(cuò)誤；

由A可知一<a<l,由B可得0<b<一,即—<—b<0,

222

所以可得一;+3<。+（—6）<1+0,即可得0<a-〃<l,即D正確.

故選：D

5.（23-24高三上?北京東城?階段練習(xí)）已知甲、乙、丙三人組成考察小組，每個(gè)組員最多可以攜帶供本人在

沙漠中生存36天的水和食物，且計(jì)劃每天向沙漠深處走30公里，每個(gè)人都可以在沙漠中將部分水和食物

交給其他人然后獨(dú)自返回.若組員甲與其他兩個(gè)人合作，且要求三個(gè)人都能夠安全返回，則甲最遠(yuǎn)能深入沙

漠公里數(shù)為（）

A.1080B.900C.810D.540

【答案】C

【分析】每人最多帶36天的水和食物，按乙丙兩人同時(shí)把水和食物交給甲，乙丙先后不同時(shí)把水和食物交

給甲兩種情況分別計(jì)算甲行駛的總天數(shù)即可判斷.

【詳解】甲、乙、丙三人一起出發(fā)，設(shè)〃天后，乙丙兩人同時(shí)把水和食物交給甲，乙丙分別給甲36-2〃天

的水和食物，

于是36—〃+2(36—2〃)<36,解得〃之72,，甲全程共有水和食物的天數(shù)36+2(36—2〃)W言252，

因此從出發(fā)點(diǎn)甲最多往前走?天，最遠(yuǎn)能深入沙漠30乂卷=756公里；

甲、乙、丙三人一起出發(fā)，設(shè)x天后乙丙之一獨(dú)自返回，不妨令丙返回，丙扣除x天的水和食物后，

把剩余的水和食物的一半分別分給甲乙，則由36-x+(18-x)V36,得xN9,

從出發(fā)甲乙?guī)У乃褪澄锏奶鞌?shù)都為36+(18-x)<45,當(dāng)且僅當(dāng)x=9時(shí)取等號(hào)，

要使前行天數(shù)最多，則取x=9,甲乙均有36天的水和食物，甲乙繼續(xù)前行，再行y天后，乙獨(dú)自返回，

乙扣除9+，天的水和食物后，把剩余的水和食物給甲，則由36-y+(36-9-2y)V36,解得49,

此時(shí)甲全程共有水和食物的天數(shù)是36+9+(36-9-2y)=72-2yV54,

因此從出發(fā)點(diǎn)甲最多往前走27天，最遠(yuǎn)能深入沙漠30x27=810公里，顯然810>756,

所以甲最遠(yuǎn)能深入沙漠公里數(shù)為810.

故選：C

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：分類討論思想要求在不能用統(tǒng)一的方法解決問(wèn)題的時(shí)候，將問(wèn)題劃分成不同的模塊，

通過(guò)分塊來(lái)實(shí)現(xiàn)問(wèn)題的求解，體現(xiàn)了對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題的分析處理能力和解決能力.

6.(2024高一上?山東?專題練習(xí))已知34b45,則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是()

A.。+6的取值范圍為[4,7]B.b-a的取值范圍為[2,3]

C.而的取值范圍為[3,10]D.9取值范圍為「吳

b\_JJ_

【答案】B

【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)依次討論各選項(xiàng)即可得答案.

【詳解】因?yàn)?<b<5,

所以4<a+6<7,-2<-a<-1,l<b-a<4,

所以a+6的取值范圍為[4,7],a的取值范圍為[1,4],故A正確，B錯(cuò)誤；

因?yàn)閘WaW2,3<b<5,

所以34H410,

5b35b3

所以"的取值范圍為[3,10],/的取值范圍為故C正確，D正確.

故選：B

一、解答題

1.(24-25高一上?上海?課堂例題)比較下列各組中兩式的大小:

(1)已知試比較■與空|的大小;

a-ba-b

⑵已知％<1,比較丁_1與2f_2%的大小.

【答案】(1)鐺

a—bci—b

(2)x3—1<2x2-2x.

【分析】(D(2)利用作差法比較大小即得.

【詳解】(1)依題意，=由。>匕>0,得02〉爐>o,

u—bci—bQ—b

-lab

貝！J4—/〉。，H-ab<0,即K<0,

a2+b2a+b

所以<----

a-b

(2)依題意，/—1—(2f—2%)=/—2f+2%-1

=(d_%2)_卜2—2x+l)=%2(x-l)-(x-l)2

=-x+l)=(x-l)

由X<1,得x—IvO,而［x—gj+：〉()，因此(x—l)j+—<0,

所以％3_1<2x2—2x.

2.(24-25高一上?上海,隨堂練習(xí))(1)求函數(shù)y=廠+尤+1(x<0)的最大值;

X

(2)求函數(shù)、=/+5)0+2)3>一］)的最小值.

X+1

【答案】⑴-1;(2)最小值為9.

【分析】(1)(2)根據(jù)給定條件，配湊并利用基本不等式求出最值即得.

【詳解】(1)由x<0,得-x>0,

因此y=±±￡±1=尤+4+1=_(一尤_1_)+1v_2J(—尤)?(_L)+1=_1,

XXX\X

當(dāng)且僅當(dāng)-尤=工，即x=-l時(shí)取等號(hào)，

-X

所以原函數(shù)的最大值為-1.

(2)由犬>—1,得x+l>0,

因此y=（x+5）（x+2）=[（x+l）+4][（x+l）+l]

x+1x+1

=（x+iy+5（x+l）+4+J_+5k「+5=9,

x+1x+1vx+1

4

當(dāng)且僅當(dāng)x+l=」，即無(wú)=1時(shí)取等號(hào)，

x+1

所以原函數(shù)的最小值為9.

3.（23-24高一.上海?課堂例題）已知實(shí)數(shù)求證：a<-<4^b<—<J^-^<b.

a+b2N2

【答案】證明見(jiàn)解析

【分析】根據(jù)已知條件結(jié)合基本不等式及不等式的性質(zhì)證明即可.

2b

【詳解】因?yàn)樗?<。+6<26,所以——->1,

a+b

因?yàn)椤?gt;0,所以華>。，

a+b

因?yàn)镺vavZ?,所以a+b-->0,

所以〃+Z?>2V^,所以二_r—>—-r9

22y/aba+b

abab.（—lab

所以c---A?所以----,

2\aba+ba+b

因?yàn)镺vavb,所以〃+加>2〃.所以2面+〃）〉/+〃+2劭，

所以遍+〃）>（0+m所以/>四等'

a2+Z?2a+b

所以

22

因?yàn)镺vavb,所以h=(>

綜上，"迫*必J.

a+b2

4.（24-25高一上?上海?期中）已知〃、b、c、deR,證明下列不等式，并指出等號(hào)成立的條件:

⑴（/+/）（。2+12）之（々。+切）2；

（2）a2+b2+c2>ab+be+ca?

【答案】⑴證明見(jiàn)解析，當(dāng)且僅當(dāng)山=從

⑵證明見(jiàn)解析，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c

【分析】（1）利用作差法證明;

(2)利用基本不等式證明；

【詳解】(1)因?yàn)?。2+〃)(/+/)一(〃。+切)2,

=(a2c2+Q2d2+力2。2+62d2)_(〃2c2+2abed+b2d2),

=(ad-be)2>0,

所以(〃+b2)(c2+J2)>(ac+bd)2成立；

當(dāng)且僅當(dāng)〃=be時(shí)，等號(hào)成立；

(2)a2+b2+c2=；(〃+b2+c2+O2+〃+(?),

>(lab+lea+2bc)=ab+bc+ca.

2

所以〃+〃_|_c>ab+bc+ca.

當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)，等號(hào)成立.

5.(23-24高一上?江蘇南京?期中)(1)設(shè)mb,c,d為實(shí)數(shù)，求證：ab+bc+cd+ad<a2+b2+c2+d2；

(2)已知a,6eR,求證：—g—<--/?+—.

36"1+163

【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)證明見(jiàn)解析

【分析】(D利用作差法化簡(jiǎn)證明即可；

(2)利用基本不等式結(jié)合配方法證明即可.

【詳解】(1)S^/2(iz2+b2+c2+d2)-2(ab+be+cd+ad)

—(a—b)2+(Z7—c)2+(c—d)2+(a—d)220,

當(dāng)且僅當(dāng)a=Z?=c=d時(shí)，等號(hào)成立，

所^以2(Q2+b?+/+d?)>2(ab+be+cd+ad),

所以+Z?c+cd+adWa?+〃++/；

2=3,即。=-1時(shí)取等號(hào),

(2)因?yàn)?.+當(dāng)且僅當(dāng)6人

O

6"1v11

所以36.+1一1―12,當(dāng)且僅當(dāng)右2=方，即。=-1時(shí)取等號(hào)，

6a

因?yàn)椤?'="-

63321212

…6"15b2

綜上〃口―/?+.

36a+1+l63

題型3

一、單選題

31x

1.（23-24高一上.浙江杭州.期末）已知%>0,y>0,且—+—=1,則2x+y+—的最小值為（）

xyy

A.9B.10C.12D.13

【答案】D

【分析】借助基本不等式中“1”的妙用即可得.

【詳解】2%+y+-=f-+-^（2x+y）+-=6+l+^+—+-

yy）yyy

3y3x13y3尤

兀y\xy

當(dāng)且僅當(dāng)羽=把，即x=y=4時(shí)，等號(hào)成立.

%y

故選：D.

2

2.（23-24高一下.重慶沙坪壩?階段練習(xí)）已知正數(shù)羽〉滿足x+2y=l,則±±上的最小值為（）

xy

A.雙B.20C.7TD.2拒+1

【答案】D

【分析】將目標(biāo)式整理為齊次式，再結(jié)合均值不等式即可求得結(jié)果.

[詳解】^±2+y（x+2y）=N+沖+2/=2+2+],因?yàn)閤>o,y>o,故土>0,a>0,

xyxyxyyxyx

貝產(chǎn)+@+G24Rx篁+1=2夜+1,當(dāng)且僅當(dāng)土=包,尤+2曠=1,也即苫=五-1,>=1-正取得等號(hào),

yXXyX2

2

故土上上的最小值為20+1.

xy

故選：D.

3.（23-24高三上?陜西榆林?階段練習(xí)）已知尤>0,y>0,且工+工=斗，則x+y的最小值為（）

xy4

A.1B.2C.4D.8

【答案】C

【分析】先得出4（1+#=（孫丫，再利用基本不等式求解即可.

【詳解】因?yàn)椴?寧，

所以4（x+y）=（盯yW=（尤;J，

所以(x+y)&64,所以x+y?4,

當(dāng)且僅當(dāng)尤=y=2時(shí)取等號(hào)，

所以x+y的最小值為4.

故選：c.

4.（23-24高一上?山西朔州?階段練習(xí)）已知x>0,y>0,滿足1+元+y=孫，則下列結(jié)論正確的是（）

A.X+〉有最小值2（1+0）B.X+〉有最大值2（1+夜）

C.孫有最小值2（1+忘）D.孫有最大值2（1+0）

【答案】A

【分析】由均值不等式得尤+”2而，從而得到孫23+2友，由仁支得到x+yN2+2應(yīng)，從而

選出正確選項(xiàng).

【詳解】因?yàn)閤>0,y>。，所以x+y?2歷，所以由l+x+y=沖得孫一1=尤+丫22而，

解得7^21+0,xy>3+2V2,當(dāng)且僅當(dāng)x=y=1+0時(shí)等號(hào)成立，

所以U有最小值3+2夜，排除CD；

因?yàn)閤>0,y>。，所以孫所以1+尤=解得x+y?2+2金，

44

當(dāng)且僅當(dāng)了=>=1+0時(shí)等號(hào)成立，所以無(wú)+>有最小值2+20,故A正確，B錯(cuò)誤；

故選：A.

81

5.（25-26高一上?全國(guó)?課后作業(yè)）已知羽>>0,且w+—=1,則％+丁的最小值為（）

A.8B.6C.4D.2

【答案】B

【分析】應(yīng)用常值代換結(jié)合基本不等式求出最小值即可.

Q1

【詳解】因?yàn)閄?>0,且不+—=1,

%y

所以x+y=%］與+，］+y=§+二+y=3我=6,

y）%yy

Qy

當(dāng)且僅當(dāng)一=-=y,即無(wú)=4,y=2時(shí)取等號(hào)，因此x+y的最小值為6.

xy

故選：B.

6.（23-24高二下?福建南平?期末）以maxM表示數(shù)集M中最大的數(shù).若x,y>0,且zNl,則

max1；廠+z,的最小值為（）

A.4B.272+1C.3D.2

【答案】D

J_+y^P>Jk+z9兩次運(yùn)用基本不等式，再

【分析】設(shè)尸=max根據(jù)定義‘得至。

Vxy

運(yùn)用不等式性質(zhì)，得到P*12>*82Ex2」正=4z>4，開(kāi)方即可.

y

+以正+z］,則小之+y,尸2正+z.顯然尸>0.

【詳解】設(shè)2=0??

yy

>2^,當(dāng)且僅當(dāng)我取得等號(hào).

尸沱+y=y

P/+z22、巫,當(dāng)且僅當(dāng)正=z取得等號(hào).

yVyy

兩式相乘，即產(chǎn)乜住xj巫=4z",貝!|PN2.

y

此時(shí)z=l,前面都要成立，貝!I正=1,3=y，貝！|x=y=L

y/x

max+y,—+z的最小值為2,當(dāng)且僅當(dāng)x=y=z=l取得最小值.

y

故選：D.

睡密基本不等式恒成立問(wèn)題

一、單選題

112

1.（24-25高一上?山東濟(jì)寧?階段練習(xí)）設(shè)Ov機(jī)<彳，若士+^^-之上恒成立，則上的最大值為（）

2m1—2m

A.2B.4C.6D.8

【答案】D

/、121

【分析】只需由基本不等式求出加。-2帆）的最大值，即疏+匚￡廠加麗的最小值即可.

【詳解】由于。〈根則得到、2，〃（1一2機(jī)）4工［網(wǎng)+0二網(wǎng)］=」（當(dāng)且僅當(dāng)2m=1—2m，即時(shí),

222284

取等號(hào)）；

1211o

cnI、I1---------=—7--------7NT=8

所以加l-2m1

8

121

又由丁匚恭二向匚為“恒成立，故人<8,則k的最大值為8.

故選：D.

二、多選題

X

2.（23-24高一下?湖南株洲?開(kāi)學(xué)考試）若對(duì)于任意尤>。，恒成立'則實(shí)數(shù)。的取值可以是（）

【答案】ACD

x_1

【分析】利用基本不等式求出;T7Z的最大值，結(jié)合選項(xiàng)可得

x-\----1-3

x

----X---=----1---?/1,1=一

【詳解】因?yàn)閤>0,所以f+3%+1x+l+32c1+35，

當(dāng)且僅當(dāng)苫=工，即X=1時(shí)等號(hào)成立，

X

所以a],

由任意%>。，-^―一恒成立,

x+3x+l

符合條件有:，—,故A、C、D對(duì)；故B錯(cuò);

J乙JLUJ

故選：ACD

三、填空題

3.（24-25高一上?上海?課后作業(yè)）若對(duì)任意的x>-l,不等式尤+一恒成立，則實(shí)數(shù)。的取值范圍

是.

【答案】?<0

【分析】先把恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化為最值問(wèn)題，再應(yīng)用基本不等式求最小值即可.

【詳解】因?yàn)椴坏仁絏+」匚-12。恒成立，則（彳+-7-1]>a,

X+lI尤+1人ni

因?yàn)橛?gt;一1,所以無(wú)--1=X+1+---2>2L+l）xf-!-L2=0,當(dāng)且僅當(dāng)x=0取等號(hào)，

x+1x+1Nv%+l）

所以

故答案為：G<0.

41

4.（24-25高一上?上海?隨堂練習(xí)）若命題“對(duì)任意實(shí)數(shù)。>0,b>0,且。+6=4,不等式一+:>，然恒成立，

ab

為真命題，則〃2的取值范圍為.

【答案】若

【分析】將不等式整理得到常=盥+加+力=睛+川,再利用基本不等式求解.

419

【詳解】—+—

ab4

4ba

當(dāng)且僅當(dāng)竺且。+6=4,

ab

即時(shí)等號(hào)成立，

O

所以加＜“

故答案為：相＜:?

5.（23-24高二下.浙江?期中）若不等式孫+V+z2N-x+y）z對(duì)任意滿足y+zNx的正實(shí)數(shù)％,y,z均成立,

則實(shí)數(shù)上的最大值為.

【答案】V2-1

yZZZ

【分析】先分離常數(shù)轉(zhuǎn)化成求上+—的最小值問(wèn)題，根據(jù)y+z2x,把一放縮成—,再變形

zx+yx+y2y+z

y=2y+1_l就可以用基本不等式求最小值，即為人的最大值.

z2z2

【詳解】因?yàn)閄'y'z為正實(shí)數(shù)，所以心，4竹+號(hào)'因?yàn)閥+z”

ZZ

所以—+Z,即

ZyZ=江+一

所以會(huì)>-+--------NG.

x+yz2y+z2z2y+z22

當(dāng)且僅當(dāng)y=正匚2時(shí)上式最右側(cè)等號(hào)成立.

2

故答案為：V2--

翅鷲基本不等式有解問(wèn)題

一、單選題

1.（25-26高一上?上海?課后作業(yè)）若兩個(gè)正實(shí)數(shù)滿足4x+y=◎,且存在這樣的x,V使不等式

x+：〈相？+3加有解，則實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍是（）

4

A.（-1,4）B.HOC.(^?,^4)U(l,+co)D.(^?,-3)u(0,+co)

【答案】C

【分析】由4x+y=孫，得過(guò)+L=1,則x+：=［x+曰］■化簡(jiǎn)后利用基本不等式可求出其最小值為

y尤414八y"

4,從而得療+3m>4,解不等式可求得答案.

41

【詳解】由4%+y=孫，羽y>。，可得一+—=1,

yx

所以喝="與〔;+」

=2+竺+上22+2叵'=4,

y4x\y4x

當(dāng)且僅當(dāng)4一x=>y，即y=4x=8時(shí)等號(hào)成立.

y4x

所以M+3%>4,M+3〃?-4=+4）—1）>0,解得加<-4或“7>1,

所以實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍是（-8,。）。（1,+8）.

故選：C.

二、填空題

2.（23-24高一上?湖北武漢?階段練習(xí)）已知關(guān)于x的不等式32_6*+3,"0在（0,2］上有解，則實(shí)數(shù)機(jī)的取

值范圍是.

【答案】卜8,君）

6x_66n

【分析】參變分離，得到“裒音=力在（0,2］上有解，由基本不等式求出二§一，從而得到實(shí)數(shù)機(jī)

XX

的取值范圍.

"7<__6_x_-----6---

【詳解】如2一6%+3瓶<0變形為x2+33,

x-\—

X

6x_6

故m<773=二在（0,2］上有解，

X

O6.6=r-

因?yàn)閤e（O,2］,所以x+±22括，則」3一26，

X^

X

當(dāng)且僅當(dāng)尤=工即無(wú)=石時(shí)，等號(hào)成立，

X

所以加〈石,

故答案為：（一9,伺

3.（22-23高二下?山東德州?階段練習(xí)）已知正實(shí)數(shù)x,y滿足3x+y+孫-13=0,且此2y+x有解，貝ijf的

取值范圍____.

【答案】17+8夜,+可

13—3r

【分析】根據(jù)已知表示出丁=若此2y+x有解，貝!|，“2y+x）n，表示出2y+x,然后利用基本不

x+1m1ira

等式即可求出其最小值，即可得出答案.

【詳解】由題知，因?yàn)?x+y+孫-13=0,

所以（x+l）y=13-3x,y=

若/22y+尤有解，貝此2（2、+村.即可，

因?yàn)橛龋?都是正數(shù)，

所以2y+x=^W+x=32-6(x+l)

x+1x+1

=^-+x+l-7>2J-.(x+l)-7=8^-7,

x+1Vx+1

當(dāng)且僅當(dāng)'=X+1,即x=4應(yīng)-1時(shí)，等號(hào)成立,

X+1

故tN8A/2—7?

故答案為：［-7+8正,”)

4.（22-23高一上?上海嘉定?期中）已知x,y是正實(shí)數(shù)，且關(guān)于x,y的方程?+4=左向工有解，則實(shí)數(shù)

k的取值范圍是.

【答案】（1,應(yīng)］

【分析】分離參數(shù)后平方，轉(zhuǎn)化為求無(wú)+,+2而的取值范圍,利用均值不等式求解即可.

x+y

【詳解】由石+拒父尸7有解可化為％=有解，

而/=葉2土^叵=1+冬叵＜1+馬g=2,當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí)，等號(hào)成立，

x+yx+y2{xy

又下「+尹2而=i+久五＞i,

x+yx+y

所以1V4242,又左＞0,

可得1<上4攻，

故答案為：(1,72].

三、解答題

5.(23-24高一上?遼寧丹東?階段練習(xí))關(guān)于x的不符式—x2+g+3)x-3a>0,aeR；

⑴若。=2,求不等式的解集.

⑵若玉43,小)時(shí)，不等式-2+(。+3卜-3。24有解，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

【答案】⑴(2,3)；

(2)[7,+00).

【分析】(1)利用一元二次不等式的解法直接求解即可，

44

(2)將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為當(dāng)x>3時(shí)，a>(x-3)+—^+3有解，然后利用基本不等式求出(彳-3)+—^+3的最小

x—3x—3

值即可求得實(shí)數(shù)〃的取值范圍.

【詳解】(1)當(dāng)。=2時(shí)，—爐+5%—6>0,即爐—5%+6<0,

(%—2)(%—3)<0,解得2v%v3,

所以不等式的解集為(2,3)；

(2)由一一+(。+3)%—3〃24,得一/+以+3%—3〃N4,

a(x-3)>x2-3x+4,

因?yàn)镠xw(3,+oo)時(shí)，不等式一爐+(〃+3)無(wú)一3〃24有解，

所以當(dāng)x>3時(shí)，/尤23x+4=-3)2+3D+4=—3)+」-+3有解,

x-3x—3x-3

因?yàn)閤>3,所以x-3>0,

所以(無(wú)一3)+9+322，尤-3>9+3=7,當(dāng)且僅當(dāng)x-3=*,即x=5時(shí)取等號(hào)，

所以aN7,即實(shí)數(shù)。的取值范圍為口,+s).

睡室一元一次不等式的后成立問(wèn)題▼

一、單選題

1.(24-25高一上?全國(guó)?課后作業(yè))已知“VXER,不等式4%—a—GO恒成立”，則〃的取值范圍為()

A.(-co,-5]B.(-oo,-2]

C.(-5,+oo)D.[-5,+oo)

【答案】A

【分析】根據(jù)一元二次不等式恒成立求參即可.

【詳解】由不等式寸-4》-°-120恒成立，

所以△=（T）2_4（_a_l）wO,aW_5,

故選：A.

2.（23-24高一上.江蘇南通?階段練習(xí)）若Vxe1,2,使得3/一2了+120成立是真命題，則實(shí)數(shù)4的最大

值為（）

713

A.—B.2,y/3C.4D.—

22

【答案】B

【分析】依據(jù)題意先將問(wèn)題等價(jià)轉(zhuǎn)化成2V3彳+工在xej：,21上恒成立，接著將恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化成最值問(wèn)

題尤+工],Vxe[,2],再結(jié)合基本不等式即可求解.

Ix/ninL2J

【詳解】Vxe1,2,使得3/_入+120成立是真命題，

所以Vxw1.2,3爐-九尤+1w0恒成立.

所以/143XH—在xe—,2上恒成立，

x|_2_

所以2d3x+」，Vxe[,2],

I工人inl_2」

因?yàn)?冗+工2213XXL=24,當(dāng)且僅當(dāng)3x='即％—,2時(shí)等號(hào)成立，

x\x%3|_2.

所以[x+L]=2/，所以4W2由，即實(shí)數(shù)彳的最大值為26.

V-^7min

故選:B.

3.（25-26高三上?全國(guó)?單元測(cè)試）若（2x—l）y44f—2龍+相對(duì)滿足?！从鹊娜我鈱?shí)數(shù)恒成立，則

（）

A.m>-lB.m>—

8

26?

C.-l<m<—D.-----<m<-l

89

【答案】B

【分析】由參變分離，并引入?yún)?shù)3得，只需加2—-2^（l-2x）,結(jié)合題意得出/的范圍，結(jié)合基本

-」max

不等式即可求解.

【詳解】分離參變量得mN（2x-l）（y-2x）恒成立，則〃叱［（2%-1）（丫-2切皿*,

故不等式右邊取最大值時(shí)2x-1,y-2元必須同號(hào)（且都不為零），

此時(shí)無(wú)<g,因?yàn)槿粲?gt;；,貝！|2天一1>0,〉一2》與其同號(hào)，貝!Jy>l,矛盾.

由OWxWyWl,設(shè)y=ZX（14f）,

貝!］（2x-l）（y-2x）=尤（l-2x）,

若要求（2x-l）（y-2x）取最大值，則需三>0,gpi<r<2,

2—t三/口、三J

此時(shí)(2x-l)(^-2x)=^—-2x(l-2x)<

2⑶88

2—%>0

即時(shí)等號(hào)成立,所以心"

當(dāng)且僅當(dāng)1-2%=2X,

/=1

故選：B.

二、多選題

4.（23-24高二下?江西南昌?期末）“V尤40,3］,尤2—依+920”成立的一個(gè)充分條件是（）

A.a<5B.a<6C.a<lD.a<8

【答案】AB

【分析】先把已知化簡(jiǎn)為。46,再結(jié)合充分條件的定義得出條件即可.

【詳解】因?yàn)樾膧（0,3］,尤2_◎+920,所以元+?,xe（0,3］恒成立，a<lx+-］，尤e（0,3］

%\%/min

因?yàn)閤+?N2?=6,當(dāng)x=3取等號(hào)，所以。W6,

X

因?yàn)閍V5na46,所以aV5是aW6的充分條件.

因?yàn)閍W6naW6,所以aV6是aW6的充分條件，

又。<7,。<8都不能推出。（6,所以CD錯(cuò)誤，

故選：AB.

三、填空題

5.（23-24高一上?江蘇?階段練習(xí)）不等式h2一履+1〉。的解集為R,則實(shí)數(shù)％的取值范圍為

【答案】［0,4）

【分析】分左=0,左盧0討論，當(dāng)4M0時(shí)，根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)可解.

【詳解】當(dāng)左=0時(shí)，1>0恒成立，滿足題意；

k>Q

當(dāng)無(wú)W0時(shí),由題知<公_（此『_做<0，解得。<%<4.

綜上，實(shí)數(shù)上的取值范圍為［0,4）.

故答案為：［0,4）

6.（2025高三?全國(guó)?專題練習(xí)）已知函數(shù)y=（4-2）彳2+2（4-2）x-4,若對(duì)任意實(shí)數(shù)無(wú)，函數(shù)值恒小于0,則

a的取值范圍是

【答案】-2<a<2

【分析】根據(jù)給定條件，分類討論，再結(jié)合二次函數(shù)的圖象性質(zhì)列式求解作答.

【詳解】當(dāng)a=2時(shí)，>=一4<0恒成立，貝!］。=2；

當(dāng)4/2時(shí)，依題意，二次函數(shù)y=（a-2）/+2（a-2）x-4的圖象總在x軸下方，

。一2<0

于是</、［/、，解得-2<“<2.

△=4（a-2）-+16（a-2）<0

綜上，-2<a<2

故答案為：—2<67<2.

四、解答題

7.（2024高三?全國(guó)?專題練習(xí)）若對(duì)任意xw［l,2］,“7-（租+1）尤-140恒成立，求實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍

【答案】［-雙|

【分析】法一:利用分離變量法求解參數(shù)的范圍，、

法二：對(duì)二次函數(shù)的二次項(xiàng)系數(shù)和對(duì)稱軸進(jìn)行分類討論，求帶有參數(shù)的二次函數(shù)的最值，求解變量的范圍.

【詳解】法一：對(duì)勾函數(shù)參變分離后結(jié)合對(duì)勾函數(shù)性質(zhì)

當(dāng)x=l時(shí)，-2<0,成立；

I1

當(dāng)xe（1,2］時(shí)，由題可得m<弓r土L對(duì)任意xe（l,2卜恒成立，

X-X

Y+1

令y=—,則有mWynm，xe（l,2］,

X-x1

x+1

y------------------=-------1------

（尤+1）2-3（無(wú)+1）+2尤+1+^_一3,

X+1

令,=》+1+義，x+le(2,3],根據(jù)對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)可得/e

龍+1'」I3」

…1「3、

所以y=不+°°，

z-jJ

3

所以當(dāng)x=2時(shí)，y1nm=相

故實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍為、sg；

法二：分類討論

令〃%)=如？,

①當(dāng)TH=0時(shí)，〃x)=—X—1,

對(duì)任意x?l,2],/(x)?/(l)=—2<0恒成立；

②當(dāng)機(jī)>0時(shí)，函數(shù)/(%)圖象開(kāi)口向上，

若對(duì)任意xe[1,2],/(x)(0恒成立，只需

3

解得加

故當(dāng)0〈加工]時(shí)，對(duì)任意x《l,2],/(同(。恒成立；

③當(dāng)機(jī)<0時(shí)，對(duì)任意X-1>0,mx-l<0,

〃x)=(mx-l)(x-1)-2<-2〈。恒成立；

綜上可知，實(shí)數(shù)加的取值范圍為卜應(yīng)m-

8.(24-25高一上?上海?隨堂練習(xí))關(guān)于x的不等式3f_i4x+胴,0在區(qū)間[1,3]上恒成立，求實(shí)數(shù)加的取值范

圍.

【答案】(F

【分析】將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為y=3%2一14%+相，X￡[1,3]時(shí)的最大值小于或等于0.

【詳解】設(shè)丁=3/-14尤+相，xe[l,3],則V的最大值小于等于0.

(7V4971

而y=3f一14%+機(jī)=3卜一§J+m-—,；?對(duì)稱軸％=r

而當(dāng)x=l時(shí)，y=m-ll-當(dāng)％=3時(shí)，y=m-15,

二y的最大值為m-11V0,即mWll,故實(shí)數(shù)加的取值范圍是(F,11].

9.(23-24高一?上海?課堂例題)若函數(shù)y=(4+44-5卜2-4(4-1)*+3的圖像都在犬軸上方(不含x軸)，

求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

【答案】口，19）

〃+4?！?=0

/+4。-5>0

【分析】函數(shù)k（/+4。-5卜2-4（4-1卜+3的圖像都在%軸上方等價(jià),。-1=0或

A<0

3>0

解不等式，從而可求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)y=W+4a-5b2_4（a-l）x+3的圖像都在x軸上方,

+4。—5—0

Q2+4(2-5>0

所以