2025廣東省廣州市高考數(shù)學(xué)模擬試卷（附答案解析）

2025廣東省廣州市高考數(shù)學(xué)模擬試卷

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目

要求的。

->TTT

1.（5分）已知向量&=（1,3）,b=（3,x）,若則實(shí)數(shù)x的值為（）

A.9B.-9C.ID.-1

2.（5分）已知集合4={X|1<X2<9},B={-2,-1,0,I,2},貝（）

A.{0,1,2}B.{1,2}C.{-2,2}D.{-2,-1,1,2}

3.（5分）某公司對(duì)員工的工作績(jī)效進(jìn)行評(píng)估，得到一組數(shù)據(jù)XI,X2,X3,…，X9,后來復(fù)查數(shù)據(jù)時(shí)，又將

X3,X9重復(fù)記錄在數(shù)據(jù)中，則這組新的數(shù)據(jù)和原來的數(shù)據(jù)相比，一定不會(huì)改變的是（）

A.平均數(shù)B.中位數(shù)C.極差D.眾數(shù)

4.（5分）曲線y=/+sin2x在點(diǎn)（0,1）處的切線方程為（）

A.3x+2y-2=0B.2x-2y+l=0C.3x~y~^~l=0D.3x~2jv+2=0

5.（5分）若a是第二象限角，4sin2a=tana,則tana=（）

l"五r~

A.-V7B.一￥C.一D.V7

77

6.（5分）由0,1,2,3,4,5組成沒有重復(fù)數(shù)字的六位數(shù)，其中任意兩個(gè)偶數(shù)都不相鄰，則滿足條件的

六位數(shù)的個(gè)數(shù)為（）

A.60B.108C.132D.144

7.（5分）已知函數(shù)/（%）的定義域?yàn)镽,y=f（x）+厘是偶函數(shù)，y=f（x）-3"是奇函數(shù)，則/（加3）

的值為（）

71011

A.-B.3C.—D.—

333

T7->一

8.（5分）已知向量向=同=4,a*b=-8,W=與±且向一％=1,則1與"夾角的最大值為（）

71717157r

A.-B.C.-D.—

64312

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.

全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分。

（多選）9.（6分）如圖，在棱長為2的正方體/2CD-/i2iCbDi中，E為3c的中點(diǎn)，若一點(diǎn)尸在底面

/BCD內(nèi)（包括邊界）移動(dòng)，且滿足BiPLDiE,則（）

第1頁（共20頁）

DiG

AB

1

A.。歸與平面CCiDi。的夾角的正弦值為石

4V2

B.4點(diǎn)到。i￡的距離為亍

C.線段SP的長度的最大值為2四

D.PZ與PE的數(shù)量積的范圍是[一31]

(多選)10.(6分)已知等比數(shù)列｛斯｝的公比為夕,前〃項(xiàng)和為必，若Si=-1,且多WN*,即+2>即，則

()

1

A.。2>0B.0<q<1C.斯+1>斯D.Sn〈.I

(多選)11.(6分)已知/(x)=2/-3f+(1_a)x+b)則下列結(jié)論正確的是()

A.當(dāng)a=l時(shí)，若/(x)有三個(gè)零點(diǎn)，則6的取值范圍是(0,1)

B.當(dāng)a=l且(0,n)時(shí)，f(sinx)<f(sin2x)

C.若/(x)滿足/(1-x)=2-f(x),則a-26=2

D.若/(x)存在極值點(diǎn)xo,且/(xo)=f(xi),其中xoNxi,則2久o+%i=2

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

y_2

12.(5分)已知集合4=｛加燈見乂<a｝,B=[x\^^<1｝,若是"x￡8"的充分不必要條件，則

實(shí)數(shù)小的取值范圍是.

13.(5分)已知函數(shù)/(x)=(^-ax-x(其中a>0且aWl),若存在比€(0,+8),使得了(比)<0,

則實(shí)數(shù)q的取值范圍是.

14.(5分)設(shè)嚴(yán)格遞增的整數(shù)數(shù)列41,a?,420滿足。1=1,020=40.設(shè)/為。1+°2,。2+。3，。19+。20

這19個(gè)數(shù)中被3整除的項(xiàng)的個(gè)數(shù)，則/的最大值為,使得/取到最大值的數(shù)列｛斯｝的個(gè)數(shù)

為.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

15.(15分)設(shè)△/8C的內(nèi)角/,B,。的對(duì)邊分別為a,b,c,且6cosc+csiaB=a.

第2頁(共20頁)

(1)求角B的大小，

(2)若48邊上的高為￡,求cost?.

4

16.(15分)已知拋物線C：y1=2px(p>0)的焦點(diǎn)為凡點(diǎn)。Cxo,2)在拋物線C上，且|DF|=2.

(1)求拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

―?->

(2)拋物線的準(zhǔn)線與x軸交于點(diǎn)K,過K的直線/交拋物線C于兩點(diǎn)，且KM=4KN,46(1,2],

點(diǎn)G為線段MN的垂直平分線與x軸的交點(diǎn)，求點(diǎn)G的橫坐標(biāo)XG的取值范圍.

17.(15分)如圖，已知四邊形48CD是矩形，平面/BCD,且口=2,M、N是線段P8、DC上的

4rBMDN

點(diǎn)’滿足而=而=人

(1)若入=1,求證：直線〃平面P"；

(2)是否存在實(shí)數(shù)入，使直線兒W同時(shí)垂直于直線網(wǎng)，直線。C?如果有請(qǐng)求出入的值，否則請(qǐng)說明理

由；

(3)若入=1,求直線與直線尸口所成最大角的余弦值.

1

18.(15分)已知函數(shù)/(%)="(％+a)+2%2(a>0).

(1)討論函數(shù)/(x)的單調(diào)性；

1

(2)若4=1,設(shè)9(%)=/(%)一2%2,證明：對(duì)任意兩個(gè)不等實(shí)數(shù)％],X2旦0,+8),不等式第1一%2〉(。(%1)-

g(%2))+%1+%2+1恒成立.

19.(17分)在微積分中，泰勒展開是一種常用的分析方法.若/(x)在包含處的某個(gè)開區(qū)間(a,b)中

具有〃+1階導(dǎo)數(shù)，設(shè)/Q(%)表示f(x)的n階導(dǎo)數(shù).則對(duì)(a,b)有f(x)=f('。)+'(%—%o)+

,，°)(%-%o)2+…+"?)(%-+Rn(x).其中R式%)二盤黑，(%一%o嚴(yán),孑是位于xo與工

之間的某個(gè)值，它稱為n階泰勒余項(xiàng).Pyi(%)=f(%o)+'(%—久o)+'與。)(%—%o)2+…+

“一xo)n+&i(%)叫做f(x)在x=xo處的n階泰勒多項(xiàng)式.

(1)求仇(1+x)在x=0處的1階泰勒多項(xiàng)式Pi(x)和2階泰勒多項(xiàng)式尸2(x),并證明：當(dāng)％三0時(shí)，

第3頁(共20頁)

Pl(x)Win(1+x)WPi(x)；

d-i

(2)整數(shù)幾22024.定義數(shù)列劭=阮=L網(wǎng)=硫—i+聲，瓦=優(yōu)+2九一.'k>1.設(shè)e為自然對(duì)

數(shù)的底數(shù).

(/)求證：an<e；

(ii)求證：bn>e.

第4頁(共20頁)

2025廣東省廣州市高考數(shù)學(xué)模擬試卷

參考答案與試題解析

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目

要求的。

T—TT

1.（5分）已知向量。=（1,3）,b=（3,x）,若。_1力，則實(shí)數(shù)x的值為（）

A.9B.-9C.1D.-1

TT—T

【解答】解：?向量a=（1,3）,b=（3,x）,a±b,

TT

.,.a-b—lX3+3x—0,解得x=-1

故選：D.

2.（5分）已知集合N={X|1<X2<9},B={-2,-1,0,I,2},貝UNC8=（）

A.{0,1,2}B.{1,2}C.{-2,2}D.{-2,-1,1,2}

【解答】解：1<X2<9,

即l>0且％2-9<0,

即（x+1）G-1）>0且（x+3）（x-3）<0,

得-3<x<-1或l<x<3,

則/=（-3,-1）U（1,3）,

所以/門5={-2,2}.

故選：C.

3.（5分）某公司對(duì)員工的工作績(jī)效進(jìn)行評(píng)估，得到一組數(shù)據(jù)XI，X2,X3,…，X9,后來復(fù)查數(shù)據(jù)時(shí)，又將

X3,X9重復(fù)記錄在數(shù)據(jù)中，則這組新的數(shù)據(jù)和原來的數(shù)據(jù)相比，一定不會(huì)改變的是（）

A.平均數(shù)B.中位數(shù)C.極差D.眾數(shù)

【解答】解：平均數(shù)是所有數(shù)據(jù)之和再除以這組數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)，故平均數(shù)有可能改變，

中位數(shù)是按照順序排列的一組數(shù)據(jù)中居于中間位置的數(shù)，故中位數(shù)也可能改變，

極差表示一組數(shù)據(jù)中最大值與最小值之差，將X3,X9重復(fù)記錄在數(shù)據(jù)中，最大值與

最小值并未改變，所以極差一定不變，

眾數(shù)是一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)，有可能改變.

故選：C.

4.（5分）曲線y=，+sin2x在點(diǎn)（0,1）處的切線方程為（）

第5頁（共20頁）

A.3x+2y-2=0B.2x-2y+1=0C.3x-尹1=0D.3x~2y+2=0

【解答】解：因?yàn)榇?=+2cos2x,

所以y="+sin2x在點(diǎn)（0,1）處的切線斜率為y1x=o=e°+2cosQ3,

所以切線方程為V-1=3X(x-0),即3%-八1=0.

故選：C.

5.（5分）若a是第二象限角,4sin2a=tana,則tana

B.WV7

A.-V7c.—D.V7

7

【解答】解：若a是第二象限角,

又4sin2a=tana,

|o-sina

貝mUiosinacosa=------

cosa

即cos2a=

o

貝！Jcosa=—噌

4

即sina=V1—cos2a=

4

sina

貝rmUit,ana=------=—產(chǎn)=—Vn7.

cosa—72

故選：A.

6.(5分)由0,1,2,3,4,5組成沒有重復(fù)數(shù)字的六位數(shù),其中任意兩個(gè)偶數(shù)都不相鄰，則滿足條件的

六位數(shù)的個(gè)數(shù)為（)

A.60B.108C.132D.144

【解答】解:0,1,2,3,4,5組成沒有重復(fù)數(shù)字的六位數(shù)，其中任意兩個(gè)偶數(shù)都不相鄰,

首先排列1,3,5,3個(gè)數(shù)字，然后插入偶數(shù)，可得用（題-用）=108個(gè)不同數(shù)字.

故選：B.

7.（5分）已知函數(shù)/（%）的定義域?yàn)镽,y=/（x）+，是偶函數(shù)，y=f（x）-3"是奇函數(shù)，則/（歷3）

的值為（)

71011

A.-B.3c-TD.—

33

【解答】解:因?yàn)楹瘮?shù)（x）+/為偶函數(shù),

則/(-%)+ex=f(x)+/,即f(x)-/(-x)=ex-，①,

又因?yàn)楹瘮?shù)＞=/（%）-3"為奇函數(shù),

第6頁（共20頁）

則/(-x)-3e'=-/(x)+3，，即/(x)4/(-x)=3區(qū)+3/工②，

聯(lián)立①②可得/G)="+2/x,所以/"(m3)=戰(zhàn)3+2e-加3=爭(zhēng)

故選：D.

TTTT

8.(5分)已知向量向=|b|=4,a*b=-8,1=今￡且苗一[=1,則|與"夾角的最大值為()

717171STI

A.—B.-C.-D.—

64312

,T—TT

【解答】解：已知向量|a|=|b|=4,a9b=-8,

,T-

貝！J4x4xcos<a,b>=-8,

——1

即cosVa,b>=_2J

—?—"2TT

即<a,b>=丁，

建立如圖所示得平面直角坐標(biāo)系，

設(shè)。4=a,OB=b,OC=c,ON=n,

則4(4,0),B(—2,2次)，C(l,V3),

—>—>

又|n-c|=l,

貝！

即N的軌跡為以(1,遮)為圓心，1為半徑的圓，

顯然，當(dāng)ON與圓相切時(shí)，NCON最大,

止匕時(shí)sin/CON=.*=

7T

則/CON的最大值為二，

即藍(lán)與W夾角的最大值為？

6

故選：A.

第7頁(共20頁)

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.

全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分。

（多選）9.（6分）如圖，在棱長為2的正方體中，E為的中點(diǎn)，若一點(diǎn)尸在底面

/BCD內(nèi)（包括邊界）移動(dòng)，且滿足以尸_L￡h￡,則（）

1

A.與平面CCIDLD的夾角的正弦值為Q

4V2

B.小點(diǎn)到。1E的距離為丁

C.線段81P的長度的最大值為2/

TT4

D.PA與PE的數(shù)量積的范圍是[一三，1]

【解答】解：如圖，以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA,DB,分別為x,y,z軸，建立空間直角坐標(biāo)系,

第8頁（共20頁）

則4(2,0,0),E(1,2,0),Ai(2,0,2),B\(2,2,2),Di(0,0,2),設(shè)尸(x,y,0),x,

昨[0,2],

—>—>

可得BIP=(X-2,y-2,-2),DXE=(1,2,-2),

—>―?

若81P_LD1￡,則。止=久一2+2(y—2)+4=0,可得x=2-2y,

則1y*2，解得O0W1,即尸(2-27，y,0),ye[O,1].

對(duì)于選項(xiàng)/：可知平面CCiDbD的法向量￡=(1,0,0),

->T

1

貝!Jcos<nfDrE>=二口唾=---===i,

1XJ

\n\-\DrE\lxJ12+22+(_2)2'

1

與平面CCiDi。的夾角的正弦值為W，故4正確；

―>

對(duì)于選項(xiàng)3：?.?。遇1=(2,0>0),

-_

...41點(diǎn)到。田的距離為。丁一(0止？叫2=%-(9)2=挈故2正確;

y"I"

―>

對(duì)于選項(xiàng)C：'：BxP=(x-2,y-2,-2)=(-2y,y-2.,-2),

1

貝J|BiP|=J4y2+(y—2)2+4=^/SyZ_4y+8=J53_|)2+善，

且俎0,1],可得當(dāng)且僅當(dāng)產(chǎn)1時(shí)，|B；P|取到最大值3,

線段囪尸的長度的最大值為3,故C錯(cuò)誤；

—>—>

對(duì)于選項(xiàng)。：VPA=(2y,-y,0),PE=(2y—l,2—y,0),

TT24

則P4PE=2y(2y-1)-y(2-y)=5y2-4y=5(y-1)2—g,

且陽0,1],可知當(dāng)y=|時(shí),日1?晶取到最小值一季

第9頁（共20頁）

—>—>

當(dāng)y=l時(shí)，P4PE取到最大值1,

，P4?PE范圍是［一看，1］，故。正確.

故選：ABD,

(多選)10.(6分)已知等比數(shù)列｛斯｝的公比為q,前〃項(xiàng)和為S〃，若Si=-1,且V幾EN*,。什2>即，則

()

1

A.。2>0B.0<q<1C.斯+1>斯D.S九Vq_I

【解答】解：根據(jù)題意，等比數(shù)列｛即｝的公比為外

若V〃EN*,即+2>斯，即劭/>斯，

n1

變形可得an(/-1)>0,即a\q(/-1)>0,

又由Si=-1,即a\=-1<0,

則有/"I(/-I)<0恒成立，

必有,解可得0<夕<1,3正確；

lq2-K0

Q2=〃iq=~q<0,A至昔1^；

n12

an+\~an=an("1)=aiqCq-1)>0,故Q〃+I>Q〃，。正確；

由于0<q<l,m=-l,則S產(chǎn)呼普=亶>工，。錯(cuò)誤.

1—qq-±q-1

故選：BC.

(多選)11.(6分)已知/(x)=2x3-3X2+(1-a)x+b,則下列結(jié)論正確的是()

A.當(dāng)。=1時(shí)，若/(x)有三個(gè)零點(diǎn)，則6的取值范圍是(0,1)

B.當(dāng)a=l且(0,n)時(shí)，f(sinx)</(sin2x)

C.若/(x)滿足/(1-x)=2-f(x),貝！Ja-26=2

D.若/'(x)存在極值點(diǎn)xo，且/(xo)=f(xi),其中xoWxi,則2%o+Xi=2

【解答】解：對(duì)于選項(xiàng)A,當(dāng)a=1時(shí)，f(x)=2x3-3?+6,f(x)=6x2-6x=6x(x-1),

由，Cx)=6xCx-1)>0,得到x<0或x>l,由/(x)=6x(x-1)<0,得到0<x<l,

所以/(x)=2?-3/+6單調(diào)遞增區(qū)間為(-8,0),(1,+8)；減區(qū)間為(0,1),

故/(x)在x=0處取到極大值，在x=l處取到極小值，

若/(x)有三個(gè)零點(diǎn)，則［"。)一°>°,得到0<6<1,故選項(xiàng)/正確；

1/(1)=b—1<0

第10頁(共20頁)

對(duì)于選項(xiàng)5,當(dāng)(0,n)時(shí)，OVsinxVl,0<sin2x<l.,

又sinx-sin2x=sirix(1-siru)>0,BPsinx>sin2x,

由選項(xiàng)4知，/(x)在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞減，

所以/(sinx)</(sin2x),故選項(xiàng)5正確；

對(duì)于選項(xiàng)C,因?yàn)?(I-X)=2-/(x),即/(I-x)4/(x)=2,

所以/(X)關(guān)于點(diǎn)弓，1)中心對(duì)稱，

又/(X)=2/_3》2+d_a)x+b的定義域?yàn)镽,

所以/'6)=2x—3x+(1—a)xg+b=1,整理得到2b-a=2,所以選項(xiàng)C錯(cuò)誤；

對(duì)于選項(xiàng)D,因?yàn)閒(x)=2x3-3X2+(1-6Z)x+b,所以/(x)=6x2-6x+l-a,

由題有A=36-24(1-a)>0,即a>—

由=6就—6x0+1—a=0,得到a=6就—6x0+1,

令2xo+xi=/,則xi=/-2xo,又/(XO)=f(xi),所以/(xo)=f(L2xo),

得到2%Q—3XQ+(1—CL)XQ+b=2(t—2%o)3—3(t—2%o)〉+(1-u)(t—2%0)+lb,

整理得到(3xo-t)(6%Q+2?-6/xo-3/+9xo+l-a)=0,又a=6xg-6x0+1，

代入化簡(jiǎn)得到(3%o-t)2(-2t+3)=0,又2xo+xi=G,所以3xo-/=xo-xiWO,

得到-2/+3=0,即2%o+%i=t=2，所以選項(xiàng)。正確.

故選：ABD.

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.（5分）已知集合4={%『。02%＜血}，8={%|公＜1},若是“比5”的充分不必要條件，則

實(shí)數(shù)m的取值范圍是（-8,2].

【解答】解：由log2x＜加=0VxV2機(jī).所以4=（0,2加）;

%—2x—2x-2—x+42

由——<1=>-----1<0=---------<On——<0nx<4.所以2=(-°°4).

X—4X—4X—4%—4

因?yàn)椤癤E4”是“x€B”的充分不必要條件，所以“U5且

所以2'”W4n機(jī)W2.

故答案為：（-8,2].

13.（5分）已知函數(shù)/（x）=^-a-x-x（其中a＞0且aWl）,若存在加€（0,+?=）,使得/（比）＜0,

則實(shí)數(shù)。的取值范圍是_（0,1）U（1,近）

【解答】解：由題知/（0）=0,f⑴=（a*+/x）Ina-1,

第11頁（共20頁）

若a>\fe,則當(dāng)x20時(shí)，22lnay/ax-a~x—1—2lna-1>0,當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)第一個(gè)等號(hào)成立,

所以/(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增，

所以當(dāng)x>0時(shí)，/(x)>/(0)=0,不滿足題意；

若0<a<l,則當(dāng)x>0時(shí)，f(x)<0,f(x)在(0,+8)上單調(diào)遞減，

所以當(dāng)x>0時(shí)，/(x)</(0)=0,滿足題意；

若IVaVB，則當(dāng)x>0時(shí)，則/(0)=2>"1<0,

令g(x)=f(x),貝1Jg(久)=°於1(ma)2>0,所以g(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增，

當(dāng)x-+8時(shí)，f(x)f+8,所以存在唯一的xjC(0,+8),使得/(xi)=0,

且xe(0,XI)時(shí)，/(X)單調(diào)遞減，所以xe(0,XI)時(shí)，f(X)<f(0)=0,滿足題意.

故實(shí)數(shù)。的取值范圍是(0,1)U(1,?).

故答案為：(0,l)U(L?).

14.(5分)設(shè)嚴(yán)格遞增的整數(shù)數(shù)列。2,…，。20滿足。1=1,020=40.設(shè)/'為。1+。2,。2+。3,…，a19+020

這19個(gè)數(shù)中被3整除的項(xiàng)的個(gè)數(shù)，則r的最大值為18,使得了取到最大值的數(shù)列缶”｝的個(gè)數(shù)為

25270.

【解答】解：第一個(gè)空，由ai=l,。20=40,且｛斯｝為嚴(yán)格遞增數(shù)列，

為了讓盡可能多的相鄰兩數(shù)之和被3整除，則要盡量多地出現(xiàn)相鄰兩數(shù)一個(gè)模3余1,一個(gè)模3余2這

樣的組合，

這樣它們之和才會(huì)被3整除，而ai=l,。20=40,均為模3余1,

則不可能有19組上述組別，最多出現(xiàn)18組上述組別，

如嚴(yán)格遞增數(shù)列1,2,4,5,7,8,10,11,13,14,16,17,19,20,22,23,25,26,28,40,

滿足題意，

所以/的最大值為18.

第二個(gè)空，因?yàn)??40這40個(gè)數(shù)中，共有27個(gè)數(shù)符合模3余1或模3余2,則要從這27個(gè)數(shù)中選出

滿足要求的20個(gè)數(shù).

第一步，在ai到。20這20個(gè)數(shù)中刪去一個(gè)數(shù)(后面再加回來)，使得剩下的19個(gè)數(shù)滿足任意相鄰數(shù)一

個(gè)模3余1,一個(gè)模3余2,

這樣就形成了18組，即使得了的最大值為18；

第二步，將這27個(gè)數(shù)從小到到大排列，需要?jiǎng)h去8個(gè)數(shù)得到目標(biāo)19個(gè)數(shù)的數(shù)列，它們中任意相鄰兩數(shù)

一個(gè)模3余1,一個(gè)模3余2,

第12頁(共20頁)

因此，需要?jiǎng)h去的8個(gè)數(shù)應(yīng)該為4組相鄰的數(shù)；

第三步，利用捆綁思想，從27個(gè)數(shù)中刪去4組相鄰的數(shù)等價(jià)于從23個(gè)數(shù)中刪去4個(gè)數(shù)，有3種情況：

①兩端均刪去，這種情況不滿足要求，因?yàn)槿魞啥司鶆h去，那么1和40必定被刪去，在下一步加回來

時(shí)也最多加回1或40中的一個(gè)，

而1和40必定在數(shù)列中，因此不滿足；

②兩端均不刪去，從中間21個(gè)數(shù)中選4個(gè)刪去，有C丸種，再從刪去的8個(gè)數(shù)中拿一個(gè)加回原來的19

個(gè)數(shù)中，有廢種方法，共有種；

③兩端中有一個(gè)被刪去，其余3個(gè)數(shù)從中間21個(gè)數(shù)里選，有2或1種，此時(shí)加回來的數(shù)必定是刪去的兩

端之一的1或40,有1種選法，共有201種;

第四步，刪去的四組相鄰數(shù)中有一組中有一個(gè)數(shù)被加回來，即未被刪去，被刪去的是這一組中的另一個(gè)

數(shù)，而對(duì)于刪去的數(shù)，假設(shè)為

它旁邊兩個(gè)數(shù)分別為2,C,即排列為2,A,C,在第三步捆綁時(shí)，可能捆綁的組合為A4,然后刪去，

再補(bǔ)回&或者為NC,然后刪去，再補(bǔ)回C,這兩種刪去方式結(jié)果相同.

綜上，共有g(shù)x(廢1瑪+2最1)=25270種.

故答案為：18；25270.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

15.(15分)設(shè)△/2C的內(nèi)角4,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且6cosc+csinB=a.

(1)求角B的大小，

(2)若48邊上的高為一，求cosC.

4

【解答】解：(1)在△45。中，A=u-(5+C),

所以siib4=sin(n-(5+0)=sin(B+C)=sin5cosC+sinCcos5,

、abc

所以由正弦定理：----=-----=----，sirU=sin5cosC+sinCcos5,

sinAsinBsinC

可得a=bcosC+ccosB,

又由題意知a=bcosC+csinB,

所以sin5=cos5,且(0,n)

可得B=~

(2)在△/BC中過點(diǎn)C作邊的高CD,交邊AB與D,

由題意可知CD=",且△BCA和△/CD都是直角三角形.

第13頁(共20頁)

因?yàn)锽=?

所以△BCA是等腰直角三角形,

所以BD=CD=

所以AD=A8—BD=7c,

由勾股定理，BC2=BD2+CD2,AC2=AD2+CD2,

解得BC=￥C,4C=乎C,

a2+b2—c2

在△中，由余弦定理得：cosC=

45C2ab

因此cosC=在

2.務(wù)魯

BDA

16.(15分)已知拋物線C：產(chǎn)=28：(p>0)的焦點(diǎn)為凡點(diǎn)。Go,2)在拋物線C上，且0尸|=2.

(1)求拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

—>—>

(2)拋物線的準(zhǔn)線與x軸交于點(diǎn)K,過K的直線/交拋物線。于兩點(diǎn)，且KM=4KN,Ae(1,2],

點(diǎn)G為線段MN的垂直平分線與x軸的交點(diǎn)，求點(diǎn)G的橫坐標(biāo)XG的取值范圍.

【解答】解：(1)因?yàn)椤?xo，2)在拋物線C：?=2px(p>0)上，

所以4=2?猶，解得：％0=旨又|。尸|=2,

所以久o+§=2,即一+與=2,解得：p=2,

所以拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為產(chǎn)=4%；

(2)易知拋物線的準(zhǔn)線為x=-1,則可得K(-1,0),

如圖，設(shè)M(xi,yi),N(X2,”)，直線/：x=my-L

->—>

因?yàn)镵M=4KN,即(xi+1,yi)=入(%2+1,>2),

則歹1=仙2,

第14頁(共20頁)

聯(lián)立方程｛；2二^一1，消去x得：丁-4?0+4=0,則A=16混-16>0,即蘇>1,

所以>2-4叼+4=0,yi+y2=^m,>1"=4,

即可得加2+丫2=4m,4禿=4,

聯(lián)立兩式并整理可得4m2=%比=4+*+2,

又%1+%2=租31+72)—2=4m2-2,

由1c入W2可得y=4+$+2遞增，

即有4m2e(4,/HPm2e(1/；卷］,

又MV中點(diǎn)坐標(biāo)為(2加2-1,2m),

可得直線腦V的垂直平分線的方程為〉-2nl=-m(x-2m2+l),

令y=0,可得％G=2血2+i￡(3,竽］,

即XG的取值范圍為(3,竽］.

17,(15分)如圖，已知四邊形45CQ是矩形，Q4_L平面45cZ),且F4=2,M、N是線段尸5、。。上的

,「BMDN

點(diǎn)’7兩足運(yùn)=而=九

(1)若入=1,求證：直線〃平面尸D4；

(2)是否存在實(shí)數(shù)入，使直線同時(shí)垂直于直線尸2,直線。C?如果有請(qǐng)求出入的值，否則請(qǐng)說明理

由；

(3)若入=1,求直線與直線PD所成最大角的余弦值.

第15頁(共20頁)

p

【解答】解：（1）證明：取/產(chǎn)的中點(diǎn)。，連接加，QD,

因?yàn)槿?1,所以又是線段尸2上的中點(diǎn)，

1

因止匕有QMII4B,QM=-jAN,

因?yàn)?BCD是矩形，N是線段DC上的中點(diǎn)，

所以DN||AB,DN二AB,

因此有DN〃M。，DN=QM,

所以四邊形DNM。是平行四邊形，所以有

而2WC平面PZX4,°￡>u平面PZM,

所以直線VN〃平面PDA；

（2）假設(shè)存在實(shí)數(shù)入，使直線"N同時(shí)垂直于直線尸2,直線。C,

因?yàn)樗倪呅?BCD是矩形，所以CD〃幺B,

BPMNLPB,MN±AB,[fnPBHAB=B,PB,/3u平面ABP,

所以MALL平面NHP,

因?yàn)?8CD是矩形，所以/B_LAD,

因?yàn)槿衉L平面48CD,NOu平面/BCD,

所以以_LAD,R4CiAB=A,PA,N3u平面ARP,

所以平面尸，因此顯然不可能，所以假設(shè)不成立,

因此不存在實(shí)數(shù)入，使直線同時(shí)垂直于直線尸2,直線DC；

（3）當(dāng)入=1時(shí)，由（2）可知：MN//DQ,

所以/PD。是直線與直線尸。所成角，設(shè)4D=a（a>0）,

由（2）可知處_L/。，所以PD=Va2+4,DQ=Va2+1,

在△尸￡>0中，由余弦定理可知：

_PD2+DQ2-PQ2_a2+4+a2+l-l_a2+2

°°=_2PD^DQ-=2^+4x^+l=^+4x^+1

11

令02+2=/O>2）,所以O(shè)V^V分

第16頁（共20頁）

f1

cosZ-PDQ=-i===?，

SEJ-2（H）24

112V2

當(dāng)［=［時(shí)，cosN尸。。有最小值，最小值為亍，此時(shí)/尸。。有最大值.

2V2

則直線MN與直線PD所成最大角的余弦值為亍.

1

18.(15分)已知函數(shù)/(%)=M(％+a)+2%2(口>0).

（1）討論函數(shù)/（X）的單調(diào)性;

1c

（2）若。=1,設(shè)9（%）=/（%）-］%2,證明：對(duì)任意兩個(gè)不等實(shí)數(shù)XI,X2W［0,+8）,不等式汽］一式2〉（。（%1）-

g(%2))+%2+1恒成立.

1

【解答】解：（1）由函數(shù)/（%）=M（％+a）/的定義域?yàn)椋?〃，+8）,

口「〃、1,x24-ax+l

=

且Jf('%)'=~x+；aXx+：a

令>=，+4%+1,可得A=6Z2-4,

當(dāng)0VaW2時(shí)，即AW0時(shí)，此時(shí)，（%）20,所以/（%）在（-4,+8）上單調(diào)遞增;

當(dāng)。＞2時(shí)，即△＞（）時(shí)，由，+"+1=0,

—a±Va2-4—a—Ja2—4

可得久=-且->—a.

2

—a—7a2—4—a+Va2—4

令，（x）>0,解得一aV%<??或第＞

22

—a—J<2—4—a+Jq2-4

令f(x)<0,角牛得5<xV-

—a—Va2—4—a+Va2—4—a—Va2—4—a+Va2—4

所以/（%）在（一以，+8）上單調(diào)遞增，在（）上

2）和（222

單調(diào)遞減.

綜上，當(dāng)0VaW2時(shí)，/G）在（-〃，+8）上單調(diào)遞增，無單調(diào)遞減區(qū)間;

—a—Va2—4—a+Va2—4—a—Va2—4—a+Va2—4

當(dāng)時(shí)火》）在（—）和（，+8）上單調(diào)遞增，在（

a＞2，a,2222)

上單調(diào)遞減.

1

（2）證明：因?yàn)閍1,所以g(%)=f(x)一訝/=M(％+1),

第17頁（共20頁）

不妨設(shè)％1>X2三0,

則要證明％1-％2>(g(%i)-g(%2))J%i久2+%1+到+1，

只需證明(第1+1)-(%2+1)>[伍(久1+1)-Zn(%2++1)(%2+1)，

即。1+1)2-2(%]+1)02+1)+3+1)2%1+12

(%1+1)(%2+1)%2+1

%1+1%2+1%1+1

即證---7-2+—?>(仇—')2,

%2+1X1+1x2+l

設(shè)"罌(t〉l),則只需證明7^1>仇如化簡(jiǎn)得/〉/*

設(shè)0?)=一方t(t〉o),則8。)=(彳藍(lán)〉o在(1，+8)上恒成立,

所以叩(t)在(1,+8)上單調(diào)遞增.

所以當(dāng)，>1時(shí)，(P(力>(p(1)=0,即，^■得證.

19.(17分)在微積分中，泰勒展開是一種常用的分析方法.若/(x)在包含xo的某個(gè)開區(qū)間(a,b)中

n

具有n+\階導(dǎo)數(shù)，設(shè)/)(x)表示/(%)的n階導(dǎo)數(shù).則對(duì)VxE(a,b)有/(%)=/(%0)+'空)(%一%o)+

/(%—%。)？+…十外,。)Q—&)九+R九(%).其中R式式)=’；二2?(%一孫)計(jì)1,己是位于xo與x

之間的某個(gè)值，它稱為n階泰勒余項(xiàng).Pn(x)=f(x0)+'(%—%o)+‘.。)(%—%o)2+…+

n

"Q-Xo)+Rn(%)叫做于(x)在x=xo處的n階泰勒多項(xiàng)式.

(1)求歷(1+x)在x=0處的1階泰勒多項(xiàng)式Pi(x)和2階泰勒多項(xiàng)式尸2G),并證明：當(dāng)x20時(shí)，

尸2(x)Win(1+x)W尸i(x)；

(2)整數(shù)〃三2024.定義數(shù)列劭=打=1,q=破一1+擊，bk=用+2二九'k>1.設(shè)e為自然對(duì)

數(shù)的底數(shù).

(?)求證：an<e；

(ii)求證：bn>e.

【解答】解：(1)令/(x)=ln(1+x),貝爐(無)=擊，f'G)=—島7，

所以八。)=擊=1，廣(0)=一擊=1，

所以Pl(x)=X,P2(x)=X-條

1

證明：令力(x)=ln(1+x)-x,x20則/\(x)=不及一1W0,

故力(x)在(0,+8)上遞減，則力G)W力(0)=0,即歷(1+x)WPi(x)；

第18頁(共20頁)

令/2(%)="(1+%)—%+，%N0,則72(%)=]+%—1+%=]+%+%