全國(guó)統(tǒng)考2024高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第十一章計(jì)數(shù)原理11.2排列與組合學(xué)案理含解析北師大版

PAGE11.2排列與組合必備學(xué)問(wèn)預(yù)案自診學(xué)問(wèn)梳理1.排列與組合的概念名稱定義排列從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素依據(jù)排成一列

組合合成一組2.排列數(shù)與組合數(shù)的概念名稱定義排列數(shù)從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素的全部不同的個(gè)數(shù)

組合數(shù)的個(gè)數(shù)

3.排列數(shù)、組合數(shù)的公式及性質(zhì)公式(1)Anm=n(n-1)(n-2)·…·(n-m+1)(2)C性質(zhì)(1)0!=;

Ann=n×(n-1)×(n-2)×…×2×1(2)CnC1.Anm=(n-m+1)2.Anm=n3.(n+1)!-n!=n·n!.4.kCnk=n5.Cn考點(diǎn)自診1.推斷下列結(jié)論是否正確,正確的畫“√”,錯(cuò)誤的畫“×”.(1)全部元素完全相同的兩個(gè)排列為相同排列.()(2)一個(gè)組合中取出的元素講究元素的先后依次.()(3)兩個(gè)組合相同的充要條件是其中的元素完全相同.()(4)若組合式Cnx=Cnm,則(5)排列中,給出的n個(gè)元素各不相同,被取出的元素也各不相同的狀況.即假如某個(gè)元素已被取出,則這個(gè)元素就不再取了.()2.2024年5月22日具有“國(guó)家戰(zhàn)略”意義的“長(zhǎng)三角一體化”會(huì)議在蕪湖實(shí)行,長(zhǎng)三角城市群包括:上海市以及江蘇省、浙江省、安徽省三省部分城市,簡(jiǎn)稱“三省一市”.現(xiàn)有4名高三學(xué)生打算高考后到上海市、江蘇省、浙江省、安徽省四個(gè)地方旅游,假設(shè)每名同學(xué)均從這四個(gè)地方中隨意選取一個(gè)去旅游,則恰有一個(gè)地方未被選中的概率為()A.2764 B.916 C.812563.將A,B,C,D,E這5名同學(xué)從左至右排成一排,則A與B相鄰且A與C之間恰好有一名同學(xué)的排法種數(shù)為()A.18 B.20 C.21 D.224.2024年7月1日迎來(lái)了我國(guó)建黨99周年,6名老黨員在這天相約來(lái)到革命圣地之一的西柏坡.6名老黨員中有3名黨員當(dāng)年在同一個(gè)班,他們站成一排拍照留念時(shí),要求同班的3名黨員站在一起,且滿意條件的每種排法都要拍一張照片,若將照片洗出來(lái),每張照片0.5元(不含過(guò)塑費(fèi)),且有一半的照片須要過(guò)塑,每張過(guò)塑費(fèi)為0.75元.若將這些照片平均分給每名老黨員(過(guò)塑的照片也要平均分),則每名老黨員須要支付的照片費(fèi)為()A.20.5元 B.21元 C.21.5元 D.22元5.(2024廣西柳州抽測(cè))將4名學(xué)生分別支配到甲、乙、丙三地參與社會(huì)實(shí)踐活動(dòng),每個(gè)地方至少支配一名學(xué)生參與,則不同的支配方案共有種.

關(guān)鍵實(shí)力學(xué)案突破考點(diǎn)簡(jiǎn)潔的排列應(yīng)用題(多考向探究)考向1在與不在問(wèn)題——特別元素(或位置)優(yōu)先法【例1】6人站成一排,其中甲不能站在排頭,乙不能站在排尾的不同排法共有種.

解題心得解此類問(wèn)題常用“元素分析法”“位置分析法”.元素分析法——即以元素為主,優(yōu)先考慮特別元素的要求,再考慮其他元素;位置分析法——即以位置為主,優(yōu)先考慮特別位置的要求,再考慮其他位置.變式發(fā)散6人站成一排,則甲既不站排頭又不站排尾的站法有種.

對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練16個(gè)人從左至右排成一行,最左端只能排甲或乙,最右端不能排甲,則不同的排法共有()A.192種 B.216種C.240種 D.288種考向2相鄰問(wèn)題——捆綁法【例2】3名男生、3名女生排成一排,男生必需相鄰,女生也必需相鄰的排法種數(shù)為()A.2 B.9 C.72 D.36解題心得在實(shí)際排列問(wèn)題中,某些元素要求必需相鄰時(shí),可以先將這些元素看成一個(gè)整體,與其他元素排列后,再考慮相鄰元素的內(nèi)部排序,這種方法稱為“捆綁法”.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練2某小區(qū)有排成一排的7個(gè)車位,現(xiàn)有3輛不同型號(hào)的車須要停放,假如要求剩余的4個(gè)車位連在一起,那么不同的停放方法的種數(shù)為()A.16 B.18 C.24 D.32考向3不相鄰問(wèn)題——插空法【例3】某校高三要支配畢業(yè)晚會(huì)的4個(gè)音樂(lè)節(jié)目,2個(gè)舞蹈節(jié)目和1個(gè)曲藝節(jié)目的演出依次,要求2個(gè)舞蹈節(jié)目不連排,則不同排法的種數(shù)是()A.1800 B.3600 C.4320 D.5040解題心得某些元素要求不相鄰時(shí),可以先支配其他元素,再將這些不相鄰元素插入已排好的元素的空隙或兩端位置,這種方法稱為“插空法”.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練3某次聯(lián)歡會(huì)要支配3個(gè)歌舞類節(jié)目,2個(gè)小品類節(jié)目和1個(gè)相聲類節(jié)目的演出依次,同類節(jié)目不相鄰的排法種數(shù)是()A.72 B.120 C.144 D.168考向4定序問(wèn)題——等幾率法【例4】有4名男生,3名女生,其中3名女生高矮各不相同,將7名學(xué)生排成一行,要求從左到右,女生從矮到高排列(不肯定相鄰),不同的排法共有種.

解題心得若有(m+n)個(gè)元素排成一列,其中有m個(gè)元素之間的依次固定不變,則將這(m+n)個(gè)元素排成一列,共有Am+nm+n種不同的排法,然后固定其他的n個(gè)元素的位置不動(dòng),把這m個(gè)元素變換依次,共有A對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練47個(gè)人排成一隊(duì)參觀某項(xiàng)目,其中A,B,C三人進(jìn)入展廳的次序必需是先B再A后C,則不同的列隊(duì)方式種數(shù)為()A.120 B.240 C.420 D.840考點(diǎn)組合問(wèn)題【例5】某市工商局對(duì)35種商品進(jìn)行抽樣檢查,已知其中有15種不合格商品.現(xiàn)從35種商品中選取3種.(1)其中某一種不合格商品必需在內(nèi),不同的取法有多少種?(2)其中某一種不合格商品不能在內(nèi),不同的取法有多少種?(3)恰有2種不合格商品在內(nèi),不同的取法有多少種?(4)至少有2種不合格商品在內(nèi),不同的取法有多少種?(5)至多有2種不合格商品在內(nèi),不同的取法有多少種?解題心得組合問(wèn)題的兩類題型及求解方法(1)“含有”或“不含有”某些元素的組合題型:“含”,則先將這些元素取出,再由另外的元素補(bǔ)足;“不含”,則先將這些元素剔除,再?gòu)氖Ｏ碌脑刂腥ミx取.(2)“至少”或“至多”含有幾個(gè)元素的組合題型:解這類題必需非常重視“至少”與“至多”這兩個(gè)關(guān)鍵詞的含義,謹(jǐn)防重復(fù)與漏解.用干脆法和間接法都可以求解,通常用干脆法分類困難時(shí),考慮逆向思維,用間接法處理.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練5(1)從4男2女共6名學(xué)生中選出隊(duì)長(zhǎng)1人,副隊(duì)長(zhǎng)1人,一般隊(duì)員2人組成4人服務(wù)隊(duì),要求服務(wù)隊(duì)中至少有1名女生,不同選法共有()A.156種 B.168種 C.180種 D.240種(2)2024年國(guó)慶假期,高三的8名同學(xué)打算拼車去旅游,其中(1)班、(2)班、(3)班、(4)班每班各兩名,分乘甲乙兩輛汽車,每車限坐4名同學(xué)(乘同一輛車的4名同學(xué)不考慮位置),其中(1)班兩位同學(xué)是孿生姐妹,需乘同一輛車,則乘坐甲車的4名同學(xué)中恰有2名同學(xué)是來(lái)自同一個(gè)班的乘坐方式共有()A.18種 B.24種 C.48種 D.36種考點(diǎn)分組與安排問(wèn)題【例6】按下列要求安排6本不同的書,各有多少種不同的安排方法?(1)分成三份,1份1本,1份2本,1份3本;(2)甲、乙、丙三人中,一人得1本,一人得2本,一人得3本;(3)平均分成三份,每份2本;(4)平均安排給甲、乙、丙三人,每人2本;(5)分成三份,1份4本,另外兩份每份1本;(6)甲、乙、丙三人中,一人得4本,另外兩人每人得1本.解題心得分組、安排問(wèn)題的一般解題思路是先分組再安排.(1)分組問(wèn)題屬于“組合”問(wèn)題.①對(duì)于整體均分,不管它們的依次如何,都是一種狀況,所以分組后肯定要除以組數(shù)的階乘;②對(duì)于部分均分,即若有m組元素個(gè)數(shù)相同,則分組時(shí)應(yīng)除以m!;③對(duì)于不等分組,只需先分組,后排列.(2)安排問(wèn)題屬于“排列”問(wèn)題.①相同元素的“安排”問(wèn)題,常用的方法是采納“隔板法”;②不同元素的“安排”問(wèn)題,利用分步乘法計(jì)數(shù)原理,分兩步完成,第一步是分組,其次步是發(fā)放;③限制條件的安排問(wèn)題常采納分類法求解.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練6(1)某科研單位打算把7名高校生安排到編號(hào)為1,2,3的三個(gè)試驗(yàn)室實(shí)習(xí),若要求每個(gè)試驗(yàn)室安排到的高校生人數(shù)不小于該試驗(yàn)室的編號(hào),則不同的安排方案的種數(shù)為()A.280 B.455 C.355 D.350(2)(2024新高考全國(guó)1,3)6名同學(xué)到甲、乙、丙三個(gè)場(chǎng)館做志愿者,每名同學(xué)只去1個(gè)場(chǎng)館,甲場(chǎng)館支配1名,乙場(chǎng)館支配2名,丙場(chǎng)館支配3名,則不同的支配方法共有()A.120種 B.90種 C.60種 D.30種(3)在其次屆烏鎮(zhèn)互聯(lián)網(wǎng)大會(huì)中,為了提高安保的級(jí)別同時(shí)又為了便利接待,現(xiàn)將其中的五個(gè)參會(huì)國(guó)的人員支配酒店住宿,這五個(gè)參會(huì)國(guó)要在a,b,c三家酒店選擇一家,且每家酒店至少有一個(gè)參會(huì)國(guó)入住,則這樣的支配方法共有()A.96種 B.124種 C.130種 D.150種11.2排列與組合必備學(xué)問(wèn)·預(yù)案自診學(xué)問(wèn)梳理1.肯定的依次2.排列組合3.(1)1考點(diǎn)自診1.(1)×(2)×(3)√(4)×(5)√2.B4名同學(xué)去旅游的全部狀況有44=256(種),恰有一個(gè)地方未被選中共有C41·C42C213.B當(dāng)A,C之間為B時(shí),看成一個(gè)整體進(jìn)行排列,共有A22·A33=12(種),當(dāng)A,C之間不是B時(shí),先在A,C之間插入D,E中的隨意一個(gè),然后B在A之前或之后,再將這四個(gè)人看成一個(gè)整體,與剩余一個(gè)進(jìn)行排列,共有4.B利用捆綁法可求得照片的總數(shù)為A33A44=144,則每名老黨員須要支付的照片費(fèi)為144×05.36第一步,先從4名學(xué)生中任取兩人組成一組,與剩下2人組成三組,有C42其次步,將分成的三組支配到甲、乙、丙三地,則有A33=故共有6×6=36(種)不同的支配方案.關(guān)鍵實(shí)力·學(xué)案突破例1504(方法1特別元素法)分兩類:第1類,甲先從中間四個(gè)位置選一個(gè)站好,有A41種站法.乙不站排尾,則乙可從除排尾之外的4個(gè)位置中選一個(gè)站好,共有A41種站法.其余四人隨意排,有A44第2類,甲站排尾,此時(shí),乙不再特別,共有A55種站法.依據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理,共有A4(方法2特別位置法)排頭與排尾特別,故可以從排頭與排尾入手.分三類:第1類,從除甲、乙之外的4人中選2人站排頭、排尾,有A42A44種站法.第2類,甲站排尾,有A55種站法.第3類,乙站排頭,有A55種站法(其中重合部分:乙站排頭,甲站排尾,有(方法3間接法)6人站成一排有A66種站法,甲站排頭或乙站排尾有2A55種站法,甲站排頭且乙站排尾有A44種站法,故共有A變式發(fā)散480先支配甲的位置(既不站排頭又不站排尾),再支配其他5人的位置,分為兩步:第1步,將甲排在除排頭、排尾的隨意位置上,有A41種站法;第2步,余下5人站在剩下的5個(gè)位置上,有A55種站法.由分步乘法計(jì)數(shù)原理可知,共有對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1B分兩類:第1類,甲在最左端,有A55=5×4×3×2×1=120(種)不同的排法;第2類,乙在最左端,甲不在最右端,有4A44=4×4×3×2×1=96(種)不同的排法.所以共有120+例2C可分兩步完成:第1步,把3名女生作為一個(gè)整體,看成一個(gè)元素,3名男生作為一個(gè)整體,看成一個(gè)元素,兩個(gè)元素排成一排有A22種排法;第2步,3名女生排在一起有A33種排法,3名男生排在一起有A3對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練2C將4個(gè)車位捆綁在一起,看成一個(gè)元素,先排3輛不同型號(hào)的車,在3個(gè)車位上隨意排列,有A33=6(種)方法,再將捆綁在一起的4個(gè)車位插入4個(gè)空位中,有4種方法,故共有4×6=例3B先解除舞蹈節(jié)目以外的5個(gè)節(jié)目,共A55種排法,再把2個(gè)舞蹈節(jié)目插在6個(gè)空位中,有A62種排法,所以共有對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練3B先支配小品節(jié)目和相聲節(jié)目,然后讓歌舞節(jié)目去插空.支配小品節(jié)目和相聲節(jié)目的依次有三種:“小品,小品,相聲”“小品,相聲,小品”和“相聲,小品,小品”.對(duì)于第一種狀況,形式為“□小品歌舞小品□相聲□”,有A22C31A32=36(種)支配方法;同理,第三種狀況也有36種支配方法;對(duì)于其次種狀況,三個(gè)節(jié)目形成4個(gè)空,其形式為“□小品□相聲□小品□”,有A22A43例48407名學(xué)生的排列共有A77種,其中女生的排列共有A33種,依據(jù)從左到右,女生從矮到高的排列只是其中的一種,故有對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練4D依據(jù)題意,先將7人排成一列,有A77種排法,其中A,B,C三人進(jìn)入展廳的次序必需是先B再A后C,即A,B,C三人依次肯定,則不同的列隊(duì)方式有A7例5解(1)從余下的34種商品中,選取2種,有C342=561(種)取法,故某一種不合格商品必需(2)從34種可選商品中,選取3種,有C343種或者C353-(3)從20種合格商品中選取1種,從15種不合格商品中選取2種,有C201C152(4)選取2種不合格商品有C201C152種取法,選取3種不合格商品有C153種取法,共有C故至少有2種不合格商品在內(nèi)的不同的取法有2555種.(5)隨意選取3種的總數(shù)為C353,因此共有C353-C15故至多有2種不合格商品在內(nèi)的不同的取法有6090種.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練5(1)B(2)B(1)從4男2女共6名學(xué)生中選出隊(duì)長(zhǎng)1人,副隊(duì)長(zhǎng)1人,一般隊(duì)員2人組成4人服務(wù)隊(duì)有C61·C51·C42=6×5×4×32=180(種)選法,服務(wù)隊(duì)中沒(méi)有女生的選法有C41·C(2)由題意,第一類,一班的2名同學(xué)在甲車上,甲車上剩下兩個(gè)要來(lái)自不同的班級(jí),從三個(gè)班級(jí)中選兩個(gè)為C32=3(種),然后分別從選擇的班級(jí)中再選擇一個(gè)學(xué)生為C21C21=4,故有3×4=12(種);其次類,一班的2名同學(xué)不在甲車上,則從剩下的3個(gè)班級(jí)中選擇一個(gè)班級(jí)的兩名同學(xué)在甲車上,為C31=3,然后再?gòu)氖Ｏ碌膬蓚€(gè)班級(jí)中分別選擇一人為C21C21=例6解(1)先從6本書中選1本,有C61種安排方法;再?gòu)氖Ｓ?本書中選擇2本,有C52種安排方法,剩余的就是3本書,有C33種安排方法,所以總共有(2)由(1)可知分組后共有60種方法,分別分給甲、乙、丙后的方法有C61C(3)從6本書中選擇2本書,有C62種安排方法;再?gòu)氖Ｓ?本書中選擇2本書,有C42種安排方法;剩余的就是2本書,有