2024-2025高中數(shù)學(xué)第二章平面向量2.3.2-3平面向量的正交分解及坐標(biāo)表示　平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算課時(shí)作業(yè)含解析新人教A版必修4

PAGE2.3.2-3[基礎(chǔ)鞏固](25分鐘，60分)一、選擇題(每小題5分，共25分)1．設(shè)i，j是平面直角坐標(biāo)系內(nèi)分別與x軸，y軸正方向相同的兩個(gè)單位向量，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若eq\o(OA,\s\up10(→))＝4i＋2j，eq\o(OB,\s\up10(→))＝3i＋4j，則2eq\o(OA,\s\up10(→))＋eq\o(OB,\s\up10(→))的坐標(biāo)是()A．(1，－2)B．(7,6)C．(5,0)D．(11,8)解析：因?yàn)閑q\o(OA,\s\up10(→))＝(4,2)，eq\o(OB,\s\up10(→))＝(3,4)，所以2eq\o(OA,\s\up10(→))＋eq\o(OB,\s\up10(→))＝(8,4)＋(3,4)＝(11,8)．答案：D2．已知向量a＝(－1,2)，b＝(1,0)，那么向量3b－a的坐標(biāo)是()A．(－4,2)B．(－4，－2)C．(4,2)D．(4，－2)解析：3b－a＝3(1,0)－(－1,2)＝(4，－2)．答案：D3．已知向量a＝(1,2)，2a＋b＝(3,2)，則bA．(1，－2)B．(1,2)C．(5,6)D．(2,0)解析：b＝(3,2)－2a答案：A4．已知向量i＝(1,0)，j＝(0,1)，對坐標(biāo)平面內(nèi)的任一向量a，給出下列四個(gè)結(jié)論：①存在唯一的一對實(shí)數(shù)x，y，使得a＝(x，y)；②若x1，x2，y1，y2∈R，a＝(x1，y1)≠(x2，y2)，則x1≠x2，且y1≠y2；③若x，y∈R，a＝(x，y)，且a≠0，則a的起點(diǎn)是原點(diǎn)O；④若x，y∈R，a≠0，且a的終點(diǎn)坐標(biāo)是(x，y)，則a＝(x，y)．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是()A．1B．2C．3D．4解析：由平面對量基本定理知①正確；若a＝(1,0)≠(1,3)，但1＝1，故②錯(cuò)誤；因?yàn)橄蛄靠梢云揭?，所以a＝(x，y)與a的起點(diǎn)是不是原點(diǎn)無關(guān)，故③錯(cuò)誤；當(dāng)a的終點(diǎn)坐標(biāo)是(x，y)時(shí)，a＝(x，y)是以a的起點(diǎn)是原點(diǎn)為前提的，故④錯(cuò)誤．答案：A5．已知四邊形ABCD的三個(gè)頂點(diǎn)A(0,2)，B(－1，－2)，C(3,1)，且eq\o(BC,\s\up10(→))＝2eq\o(AD,\s\up10(→))，則頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(7,2)))B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，－\f(1,2)))C．(3,2)D．(1,3)解析：設(shè)點(diǎn)D(m，n)，則由題意知，(4,3)＝2(m，n－2)＝(2m,2n－4)，故eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2m＝4，,2n－4＝3，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝2，,n＝\f(7,2)，))即點(diǎn)Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(7,2)))，故選A.答案：A二、填空題(每小題5分，共15分)6．在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，已知i、j是兩個(gè)相互垂直的單位向量，若a＝i－2j，則向量用坐標(biāo)表示a＝________.解析：由于i，j是兩個(gè)相互垂直的單位向量，所以a＝(1，－2)．答案：(1，－2)7．如右圖所示，已知O是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A在第一象限，|eq\o(OA,\s\up10(→))|＝4eq\r(3)，∠xOA＝60°，則向量eq\o(OA,\s\up10(→))的坐標(biāo)為________．解析：設(shè)點(diǎn)A(x，y)，則x＝|eq\o(OA,\s\up10(→))|·cos60°＝4eq\r(3)cos60°＝2eq\r(3)，y＝|eq\o(OA,\s\up10(→))|·sin60°＝4eq\r(3)sin60°＝6，即A(2eq\r(3)，6)，所以eq\o(OA,\s\up10(→))＝(2eq\r(3)，6)．答案：(2eq\r(3)，6)8．已知向量a＝(x＋3，x2－3x－4)與eq\o(AB,\s\up10(→))相等，其中A(1,2)，B(3,2)，則x＝________.解析：易得eq\o(AB,\s\up10(→))＝(2,0)，由a＝(x＋3，x2－3x－4)與eq\o(AB,\s\up10(→))相等得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋3＝2，,x2－3x－4＝0，))解得x＝－1.答案：－1三、解答題(每小題10分，共20分)9．如圖，取與x軸、y軸同向的兩個(gè)單位向量i，j作為基底，分別用i，j表示eq\o(OA,\s\up10(→))，eq\o(OB,\s\up10(→))，eq\o(AB,\s\up10(→))，并求出它們的坐標(biāo)．解析：由圖形可知，eq\o(OA,\s\up10(→))＝6i＋2j，eq\o(OB,\s\up10(→))＝2i＋4j，eq\o(AB,\s\up10(→))＝－4i＋2j，它們的坐標(biāo)表示為eq\o(OA,\s\up10(→))＝(6,2)，eq\o(OB,\s\up10(→))＝(2,4)，eq\o(AB,\s\up10(→))＝(－4,2)．10．已知a＝(2，－4)，b＝(－1,3)，c＝(6,5)，p＝a＋2b－c.(1)求p的坐標(biāo)；(2)若以a，b為基底，求p的表達(dá)式．解析：(1)p＝(2，－4)＋2(－1,3)－(6,5)＝(－6，－3)．(2)設(shè)p＝λa＋μb(λ，μ∈R)，則(－6，－3)＝λ(2，－4)＋μ(－1,3)＝(2λ－μ，－4λ＋3μ)，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2λ－μ＝－6，,－4λ＋3μ＝－3，))所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝－\f(21,2)，,μ＝－15，))所以p＝－eq\f(21,2)a－15b.[實(shí)力提升](20分鐘，40分)11．已知點(diǎn)A(2,3)，B(5,4)，C(7,10)，若第三象限的點(diǎn)P滿意eq\o(AP,\s\up10(→))＝eq\o(AB,\s\up10(→))＋λeq\o(AC,\s\up10(→))，則實(shí)數(shù)λ的取值范圍是()A．(－∞，－1)B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(3,5)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，－\f(4,7)))D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，－\f(3,5)))解析：方法一設(shè)P(x，y)，則eq\o(AP,\s\up10(→))＝(x－2，y－3)，又eq\o(AP,\s\up10(→))＝eq\o(AB,\s\up10(→))＋λeq\o(AC,\s\up10(→))＝(3,1)＋λ(5,7)＝(3＋5λ，1＋7λ)，于是由eq\o(AP,\s\up10(→))＝eq\o(AB,\s\up10(→))＋λeq\o(AC,\s\up10(→))可得，(x－2，y－3)＝(3＋5λ，1＋7λ)，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－2＝3＋5λ，,y－3＝1＋7λ，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝5λ＋5，,y＝7λ＋4.))因?yàn)辄c(diǎn)P在第三象限，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(5λ＋5＜0，,7λ＋4＜0，))解得λ＜－1.故所求實(shí)數(shù)λ的取值范圍是(－∞，－1)．方法二eq\o(OP,\s\up10(→))＝eq\o(OA,\s\up10(→))＋eq\o(AP,\s\up10(→))＝eq\o(OA,\s\up10(→))＋eq\o(AB,\s\up10(→))＋λeq\o(AC,\s\up10(→))＝eq\o(OB,\s\up10(→))＋λeq\o(AC,\s\up10(→))＝(5,4)＋λ(5,7)＝(5＋5λ，4＋7λ)，所以P(5＋5λ，4＋7λ)，因?yàn)辄c(diǎn)P在第三象限，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(5＋5λ＜0，,4＋7λ＜0，))所以λ＜－1.答案：A12．在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A(2,3)，B(－3,4)，如圖所示，x軸、y軸正方向上的兩個(gè)單位向量分別為i和j，則下列說法正確的是________．(只填序號)①eq\o(OA,\s\up10(→))＝2i＋3j；②eq\o(OB,\s\up10(→))＝3i＋4j；③eq\o(AB,\s\up10(→))＝－5i＋j；④eq\o(BA,\s\up10(→))＝5i－j.解析：i，j相互垂直，故可作為基底，由平面對量基本定理，有eq\o(OA,\s\up10(→))＝2i＋3j，eq\o(OB,\s\up10(→))＝－3i＋4j，eq\o(AB,\s\up10(→))＝eq\o(OB,\s\up10(→))－eq\o(OA,\s\up10(→))＝－5i＋j，eq\o(BA,\s\up10(→))＝eq\o(OA,\s\up10(→))－eq\o(OB,\s\up10(→))＝5i－j，故①③④正確．答案：①③④13．已知O是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A在第一象限，|eq\o(OA,\s\up10(→))|＝4eq\r(3)，∠xOA＝60°，(1)求向量eq\o(OA,\s\up10(→))的坐標(biāo)；(2)若B(eq\r(3)，－1)，求eq\o(BA,\s\up10(→))的坐標(biāo)．解析：(1)設(shè)點(diǎn)A(x，y)，則x＝|eq\o(OA,\s\up10(→))|cos60°＝4eq\r(3)cos60°＝2eq\r(3)，y＝|eq\o(OA,\s\up10(→))|sin60°＝4eq\r(3)sin60°＝6，即A(2eq\r(3)，6)，所以eq\o(OA,\s\up10(→))＝(2eq\r(3)，6)．(2)eq\o(BA,\s\up10(→))＝(2eq\r(3)，6)－(eq\r(3)，－1)＝(eq\r(3)，7)．14．已知向量eq\o(AB,\s\up10(→))＝(4,3)，eq\o(AD,\s\up10(→))＝(－3，－1)，點(diǎn)A(－1，－2)．(1)求線段BD的中點(diǎn)M的坐標(biāo)；(2)若點(diǎn)P(2，y)滿意eq\o(PB,\s\up10(→))＝λeq\o(BD,\s\up10(→))(λ∈R)，求λ與y的值．解析：(1)設(shè)B(x1，y1)，因?yàn)閑q\o(AB,\s\up10(→))＝(4,3)，A(－1，－2)，所以(x1＋1，y1＋2)＝(4,3)，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1＋1＝4，,y1＋2＝3，))所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1＝3，,y1＝1，))所以B(3,1)．同理可得D(－4，－3)，設(shè)BD的中點(diǎn)M(x2，y2)，則x2＝eq\f(3－4,2)＝－eq\f(1,2)，y2＝eq\f(1－3,2)＝－1.所以Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，－1)).(2)由eq\o(PB,\s\up10(