浙教版七年級(jí)數(shù)學(xué)上冊同步講義：圓周角（學(xué)生版+解析）

第14課圓周角

號(hào)目標(biāo)導(dǎo)航

學(xué)習(xí)目標(biāo)

1.理解圓周角的概念.

2.經(jīng)歷探索圓周角定理的過程.

3.掌握?qǐng)A周角定理和它的推論.

4.會(huì)運(yùn)用圓周角定理及其推論解決簡單的幾何問題.

魏劉識(shí)精講

知識(shí)點(diǎn)01圓周角的概念

圓周角：頂點(diǎn)在圓上，兩邊分別和圓相交的角叫做圓周角.

圓周角的度數(shù)等于它所對(duì)弧上的圓心角度數(shù)的一半.

知識(shí)點(diǎn)02圓周角性質(zhì)定理

1.圓周角性質(zhì)定理：一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半.

2.推論1：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等；相等的圓周角所對(duì)的弧也相等.

3.推論2：半圓（或直徑）所對(duì)的圓周角是直角，90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑.

能力拓展

考點(diǎn)01圓周角的概念

【典例1］下列圖形中的角是圓周角的是（）

【即學(xué)即練1】下面圖形中的角，是圓周角的是（）

A.B.C.D.

考點(diǎn)02圓周角性質(zhì)的應(yīng)用

【典例2】如圖，。為半圓的圓心，C、。為半圓上的兩點(diǎn)，連接C。、BD、AD,CD=BD.連接AC并延

長，與2。的延長線相交于點(diǎn)E.

(1)求證：CD=DE；

(2)若AC=6,半徑。8=5,求8。的長.

【即學(xué)即練2］如圖，OO的直徑的長為10,弦AC的長為6,的平分線交O。于點(diǎn)D

(1)求弦BC的長；

(2)求弦8。的長；

(3)求CD的長.

fii分是分

題組A基礎(chǔ)過關(guān)練

1.下列說法正確的是()

A.頂點(diǎn)在圓上的角是圓周角B.兩邊都和圓相交的角是圓周角

C.圓心角是圓周角的2倍D.在同圓中，同弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角度數(shù)的一半

2.如圖，為的直徑，點(diǎn)C、。在。。上.若NACD==50°,則/BA。的大小為()

A.25°B.30°C.40°D.50°

3.如圖，點(diǎn)A,B,C在O。上，ZAOC=130°,/B的大小是()

A.50°B.100°C.115°D.130°

4.圓中一條弦恰好等于圓的半徑，則這條弦所對(duì)的圓周角的度數(shù)為()

A.30°B.60°C.30°或150°D.60°或120°

5.如圖，已知A8是的直徑，弦與交于點(diǎn)E,設(shè)N42C=a,ZAEC^y,貝U()

A.a+p-y=90°B.P+Y-a=90°C.a+y-0=90°D.a+0+Y=18O。

6.一圓形玻璃鏡面損壞了一部分，為得到同樣大小的鏡面，工人師傅用直角尺作如圖所示的測量，測得AB

=12CMI,BC=5cm,則圓形鏡面的半徑為

7.如圖，有一個(gè)弓形的暗礁區(qū)，弓形所在圓的圓周角NC=48°,問船在航行時(shí)怎樣才能保證不進(jìn)入暗礁區(qū)？

答：—.

燈塔」燈塔3

8.如圖，△ABC中，AB^AC,以AB為直徑作O。，交BC于點(diǎn)、D,交AC于點(diǎn)E.

(1)求證：.

(2)若/BAC=50°,求益的度數(shù).

A

9.如圖，A3是。。的直徑，點(diǎn)C是圓上一點(diǎn)，點(diǎn)。為癌的中點(diǎn)，過點(diǎn)。作。A3于E,交3C于點(diǎn)F

（1）求證：DF=BF；

（2）若AC=6,。0的半徑為5,求8。的長.

題組B能力提升練

10.將量角器按如圖所示的方式放置在三角形紙板上，使點(diǎn)C在半圓上.點(diǎn)A,2的讀數(shù)分別為86。，30°,

則NACB的度數(shù)是（）

C.36°D.56°

11.下列語句中：①平分弦的直徑垂直于弦；②相等的圓心角所對(duì)的弧相等；③長度相等的兩條弧是等弧；

④圓是軸對(duì)稱圖形，任何一條直徑都是它的對(duì)稱軸；⑤在同圓或等圓中，如果兩條弦相等，那么他們所

對(duì)的圓周角相等，不正確的有（）

A.2個(gè)B.3個(gè)C.4個(gè)D.5個(gè)

12.如圖，已知。。的半徑為5,AB,CD為的弦，且CO=6.若/408+/6'0。=180°,則弦A8的長

為（）

B.

A.6B.7C.8D.9

13.如圖,在RtZsABC中，ZABC=90°，ZA=32°,點(diǎn)、B、C在上，邊AB、AC分別交00于。、E

兩點(diǎn)，點(diǎn)8是面的中點(diǎn)，則/ABE的度數(shù)是()

C.18D.21°

14.OO內(nèi)一點(diǎn)P,OP=3cm,過點(diǎn)P的最短的弦48=6近51,。是。。上除AB兩點(diǎn)之外的任一點(diǎn)，則/

AQB=.

15.如圖，是。。的直徑，45=4,AC=2?，如果。為圓上一點(diǎn)，且AO=2,那么/D4C=

16.如圖，A8是。。的直徑，弦平分/8AC,過點(diǎn)。分別作DELAC、DF±AB,垂足分別為￡、F,Q0

與AC交于點(diǎn)G.

(1)求證：EG=BF；

(2)若。。的半徑r=6,BF=2,求AG長.

17.如圖，是。。的直徑，C是俞的中點(diǎn)，尸是線段上一點(diǎn)，連接B并延長CF,與AB交于點(diǎn)E,

CF=BF.

(1)求證：CELAB；

(2)若C￡=12,BE=8,求43的長.

18.如圖所示，AB=AC,AB為OO的直徑，AC.BC分別交。。于E,D,連結(jié)EDBE.

(1)試判斷。E與2。是否相等，并說明理由；

(2)如果8C=12,AB=1Q,求BE的長.

題組C培優(yōu)拔尖練

19.如圖，A、P、B、C是。。上的四點(diǎn)，ZAPC=ZBPC=60°,E4=2,PC=4,則△ABC的面積為()

A.1V3B.拜C.273D.3M

20.如圖，半徑為R的。。的弦AC=B。，AC.BD交于E,尸為BC上一點(diǎn)，連ARBF、AB,AD,下列結(jié)

論：①AE=BE；AC±BD,則AD=&R；③在②的條件下，若靜=而，AB=、［i，貝UBF+CE^1.其

中正確的是()

A.①②B.①③C.②③D.①②③

21.如圖，A8是。。的直徑，C,。是O。上的點(diǎn)，S.OC//BD,AD分別與BC,0c相交于點(diǎn)E,F,則下

列結(jié)論:

@AD_LBD；?ZAOC=ZAEC；③BC平分NAB。；?AF^DF-,⑤BD=20F；?/\CEF^/\BED,其中

一定成立的是()

A.②④⑤⑥B.①③⑤⑥C.②③④⑥D(zhuǎn).①③④⑤

22.在△ABC中，ZBAC=100°,AB=AC,。為△ABC外一點(diǎn)，且AO=AC,則/BZ)C=°.

23.如圖，A2是。。的一條弦，點(diǎn)C是O。上一動(dòng)點(diǎn)，且/ACB=30°,點(diǎn)、E、P分別是AC、BC的中點(diǎn),

直線E尸與。。交于G、H兩點(diǎn)，若。。的半徑為8,則GE+尸”的最大值為.

24.如圖，。。的半徑為1,A、2、C是。。上的三個(gè)點(diǎn)，點(diǎn)P在劣弧AB上，ZAPB=120°,PC平分NAPB.

(1)求證：PA+PB=PC-,

(2)當(dāng)點(diǎn)尸位于什么位置時(shí)，△AP2的面積最大？求出最大面積.

25.如圖1,在圓。中，AB=AC,/AC8=75°,點(diǎn)E在劣弧AC上運(yùn)動(dòng)，連接EC、BE,交AC于點(diǎn)反

(1)求/E的度數(shù)；

(2)當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到使8ELAC時(shí)，如圖2,連接AO并延長，交BE于點(diǎn)、G,交8C于點(diǎn)。，交圓。于

點(diǎn).M,求證：。為GM中點(diǎn).

圖1圖2

第14課圓周角

號(hào)目標(biāo)導(dǎo)航

學(xué)習(xí)目標(biāo)

1.理解圓周角的概念.

2.經(jīng)歷探索圓周角定理的過程.

3.掌握?qǐng)A周角定理和它的推論.

4.會(huì)運(yùn)用圓周角定理及其推論解決簡單的幾何問題.

微電識(shí)精講

知識(shí)點(diǎn)01圓周角的概念

圓周角：頂點(diǎn)在圓上，兩邊分別和圓相交的角叫做圓周角.

圓周角的度數(shù)等于它所對(duì)弧上的圓心角度數(shù)的一半.

知識(shí)點(diǎn)02圓周角性質(zhì)定理

1.圓周角性質(zhì)定理：一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半.

2.推論1：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等；相等的圓周角所對(duì)的弧也相等.

3.推論2：半圓（或直徑）所對(duì)的圓周角是直角，90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑.

能力拓展

考點(diǎn)01圓周角的概念

【典例1］下列圖形中的角是圓周角的是（）

【思路點(diǎn)撥】根據(jù)圓周角的定義判斷即可.

【解析】解：根據(jù)圓周角的定義可知，選項(xiàng)A中的角是圓周角.

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查圓周角的定義，解題的關(guān)鍵是理解圓周角的定義，屬于中考基礎(chǔ)題.

【即學(xué)即練1】下面圖形中的角，是圓周角的是（）

A.B.C.

【思路點(diǎn)撥】根據(jù)圓周角的定義：頂點(diǎn)在圓上，并且兩邊都與圓相交的角叫做圓周角.即

可求得答案，注意排除法在解選擇題中的應(yīng)用.

【解析】解：???圓周角的定義：頂點(diǎn)在圓上，并且兩邊都與圓相交的角叫做圓周角.

...是圓周角的是艮

故選：B.

【點(diǎn)睛】此題考查了圓周角定義.注意圓周角必須滿足兩個(gè)條件：①頂點(diǎn)在圓上.②角

的兩條邊都與圓相交，二者缺一不可.

考點(diǎn)02圓周角性質(zhì)的應(yīng)用

【典例2】如圖，。為半圓的圓心，C、。為半圓上的兩點(diǎn)，連接。、BD、AD,CD=BD.連

接AC并延長，與8。的延長線相交于點(diǎn)E.

(1)求證：CD=DE-,

(2)若AC=6,半徑08=5,求的長.

【思路點(diǎn)撥】(1)連接BC,由C￡>=8D,AB為直徑可得NE=NEC。，進(jìn)而求解.

(2)由勾股定理求出8C的值，再由為等腰三角形可得工8E,再通過勾股

2

定理求解.

【解析】(1)證明：??SB為直徑，

/A￡)B=/A￡)E=90°,

■:CD=BD,

J.ZEAD^ZDAB,

：.ZE=NABE,

連接8C,則/。CB=NZ)BC,ZACB=ZECB=90°,

E

c

.4OB

VZEBC+ZE=90°,NDCB+NECD=9Q°,

ZE=ZECD,

：.CD=DE.

(2)解：在Rt^ACB中，由勾股定理得BC='AB2_AC2=A/]02_62=8,

,/ZE=ZABE,

：./XAEB為等腰三角形，

：.AB=AE,BD=DE,

：.CE=AE-AC=AB-AC=10-6=4,

在RtABCE中，由勾股定理得—E={BC2KE2==4心

:.BD=LBE=2疾.

2

【點(diǎn)睛】本題考查圓與三角形的結(jié)合，解題關(guān)鍵是掌握?qǐng)A周角定理，掌握解直角三角形

的方法.

【即學(xué)即練2】如圖，O。的直徑AB的長為10,弦AC的長為6,NACB的平分線交。。

于點(diǎn)D.

(1)求弦BC的長；

(2)求弦BD的長；

(3)求CD的長.

【思路點(diǎn)撥】(1)利用勾股定理求解即可.

(2)證明是等腰直角三角形，可得結(jié)論.

(3)作于H,如圖，求出C”，DH,可得結(jié)論.

【解析】

解：(1)TAB為0O的直徑，

AZACB=90°,

在RtZXACB中，AB=10,AC=6,

?，,BC=VAB2-AC2=V102-62=8；

(2)為。。的直徑,

/.ZADB=90°,

??,ZACB的平分線交。0于D,

：.ZACD=/BCD,

：.AD=BDf

???/\ABD為等腰直角三角形，

：.BD=

2

(3)作8"_LCQ于H,如圖，

VZBC//=45°,

ABCH為等腰直角三角形，

BH=CH=?8c=4加,

2

在RtZ\BLW中，7BD2-BH2=3V2>

：.CD=CH+DH=4V2+3V2=7V2.

【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理等知識(shí),

解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問題.

M分層提分

題組A基礎(chǔ)過關(guān)練

1.下列說法正確的是()

A.頂點(diǎn)在圓上的角是圓周角B.兩邊都和圓相交的角是圓周角

C.圓心角是圓周角的2倍D.在同圓中，同弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角度

數(shù)的一半

【思路點(diǎn)撥】根據(jù)圓周角的定義及圓周角定理的內(nèi)容進(jìn)行各選項(xiàng)的判斷，繼而可得出答

案.

【解析】解：A、頂點(diǎn)在圓上，并且兩邊都與圓相交的角叫做圓周角，原說法錯(cuò)誤，故本

選項(xiàng)錯(cuò)誤；

8、沒有強(qiáng)調(diào)頂點(diǎn)在圓上，原說法錯(cuò)誤，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；

C、同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，都等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半，

原說法錯(cuò)誤，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；

D,在同圓中，同弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角度數(shù)的一半，說法正確，故本選項(xiàng)

正確.

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角的定義及圓周角定理的內(nèi)容，屬于基礎(chǔ)題，同學(xué)們注意仔細(xì)理解

一些定義及定理，牢記各定理成立的條件.

2.如圖，為的直徑，點(diǎn)C、D在上.若/AC￡>==50°,則NBA。的大小為（）

【思路點(diǎn)撥】利用在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，可以得到

ZACD=50°,再利用直徑所對(duì)的圓周角是直角，即可求出NBA。的度數(shù).

【解析】解：連接80,

AZADB=9Q°,

---AABD^ZACD所對(duì)的弧都是俞，

AZABD=ZACD=50°,

ZBAZ）=90°-ZABD=90°-50°=40°,

故答案選：C.

【點(diǎn)睛】本題主要考查圓周角定理，解題的關(guān)鍵是作輔助線連接8D

3.如圖，點(diǎn)A,B,C在。。上，NAOC=130",的大小是（）

【思路點(diǎn)撥】在優(yōu)弧AC上取點(diǎn)￡）,連接AQ、C。，根據(jù)圓周角定理求出/￡>=//AOC,

根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得出NB+NQ=180。，再求出答案即可.

【解析】解：在優(yōu)弧AC上取點(diǎn)￡）,連接A。、CD,

D

'：ZAOC=130°,

：.ZD=-L^AOC=65°,

：A、B、C、。四點(diǎn)共圓，

：.ZB+ZD=180°,

.\ZB=180°-65°=115°,

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理，圓心角、弧、弦之間的關(guān)系，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)等

知識(shí)點(diǎn)，能熟記圓周角定理是解此題的關(guān)鍵.

4.圓中一條弦恰好等于圓的半徑，則這條弦所對(duì)的圓周角的度數(shù)為（）

A.30°B.60°C.30°或150°D.60°或120°

【思路點(diǎn)撥】由題意先畫出圖形，由圓周角定理可求解/ACB=90°,利用含30°角的

直角三角形的性質(zhì)可求解C8=30°,利用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)可求解/。的度數(shù)，進(jìn)而

可求解.

【解析】解：如圖：AB=2AC,AB為O。的直徑，連接BC，AD,CD,

.,.ZB=30°,

VZB+ZD=180°,

.".ZD=150°,

即這條弦所對(duì)的圓周角的度數(shù)為30°或150°,

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題主要考查圓周角定理，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，含30°角的直角三角形的性

質(zhì)，根據(jù)題意畫出圖形是解題的關(guān)鍵.

5.如圖，已知AB是OO的直徑，弦與A8交于點(diǎn)E,設(shè)NABC=a,ZABD=p,ZAEC

=Y，則（）

B

A.a+p-y=90°B.P+Y-a=90°C.a+y-p=90°D.a+p+y=180°

【思路點(diǎn)撥】連接AC,根據(jù)圓周角定理及三角形外角性質(zhì)求解即可.

【解析】解：連接AC

TAB是。。的直徑，

AZACB=ZBCD+ZACD=90°,

ZACD=ZABD=^f

：.ZBCD=90°-p,

ZAEC=ZABC+ZBCD=yfZABC=a,

.??Y=a+90°-0,

即y+P-a=90°,

故選：B.

【點(diǎn)睛】此題考查了圓周角定理，熟記“直徑所對(duì)的圓周角等于90°”是解題的關(guān)鍵.

6.一圓形玻璃鏡面損壞了一部分，為得到同樣大小的鏡面，工人師傅用直角尺作如圖所示的

測量，測得AB=12cm,BC=5cm,則圓形鏡面的半徑為^-cm

~2

【思路點(diǎn)撥】連接AC,根據(jù)/ABC=90°得出AC是圓形鏡面的直徑，再根據(jù)勾股定理

求出AC即可.

【解析】解：連接AC,

VZABC=90°,且/ABC是圓周角，

；.AC是圓形鏡面的直徑，

由勾股定理得：AC—yj+BC—V12^+5=(cm),

所以圓形鏡面的半徑為整

2

故答案為：^-cm.

2

【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理和勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，能根據(jù)圓周角定理得出AC是圓

形鏡面的直徑是解此題的關(guān)鍵.

7.如圖，有一個(gè)弓形的暗礁區(qū)，弓形所在圓的圓周角/C=48°,問船在航行時(shí)怎樣才能保

證不進(jìn)入暗礁區(qū)？答：NASB<48°.

燈塔」燈塔3

【思路點(diǎn)撥】如圖，設(shè)AS交圓于點(diǎn)E,連接班，根據(jù)圓周角定理即可得到結(jié)論.

【解析】解：如圖，設(shè)AS交圓于點(diǎn)E,連接仍，

由圓周角定理知，ZAEB=ZC=4S°,而NAEB是aSEB的一個(gè)外角，由

即當(dāng)/S<48°時(shí)船不進(jìn)入暗礁區(qū).

所以，NASB應(yīng)滿足的條件是NASB<48°.

故答案為：ZASB<48°.

【點(diǎn)睛】本題考查三角形的外角的性質(zhì)，圓周角定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，

靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題.

8.如圖，△ABC中，AB=AC,以AB為直徑作OO,交于點(diǎn)。，交AC于點(diǎn)E.

（1）求證：.

（2）若/B4C=50°,求益的度數(shù).

【思路點(diǎn)撥】（1）連接AD,先由圓周角定理得/4。2=90°,則ADL2C,再由等腰

三角形的性質(zhì)得即可得出結(jié)論；

（2）連接OE,先由等腰三角形的性質(zhì)得/OE4=NBAC=50°,再由三角形內(nèi)角和定

理求出NAOE=80°,即可得出結(jié)論.

【解析】（1）證明：連接AD,如圖1所示：

是OO的直徑,

ZADB=90°,

：.AD±BC,

'：AB^AC,

：.ZBAD=ZCAD,

(2)解：連接。E,如圖2所示:

「AB是OO的直徑，

*,.OA是半徑，

：.OA=OE,

.?./OEA=N2AC=50°,

ZAOE=1SO°-50°-50°=80°,

:?金的度數(shù)為80°.

【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理、等腰三角形性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理等知識(shí)；熟練

掌握?qǐng)A周角定理和等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

9.如圖，是。。的直徑，點(diǎn)C是圓上一點(diǎn)，點(diǎn)。為合的中點(diǎn)，過點(diǎn)。作。ELA3于E,

交BC于點(diǎn)F.

(1)求證：DF=BF；

(2)若AC=6,。。的半徑為5,求的長.

【思路點(diǎn)撥】(1)連接4。，由圓周角定理及。得出由點(diǎn)。為癌

的中點(diǎn)得出進(jìn)而得到即可證明。尸=8斤；

(2)連接。。交BC于點(diǎn)X,由勾股定理得出BC=8,由垂徑定理得出28=4,再由勾

股定理得到。"=3,進(jìn)而求得。"=2,再由勾股定理即可得出5。的長度.

【解析】（1）證明：如圖1,連接A。，

〈AB是OO的直徑，

AZADB=90°,

AZDAB+ZABD=90°,

VDEXAB,

AZBDE+ABD=90°,

???ZDAB=ZBDE,

丁點(diǎn)。為宸的中點(diǎn)，

??,

：.ZCBD=ZDAB,

：.ZCBD=ZBDE,

：.DF=BF；

（2）解：如圖2,連接。。交3C于點(diǎn)H,

???A8是。。的直徑，。0的半徑為5,

/.ZACB=90°,A5=10,

VAC=6,

:，BC=VAB2-AC2=V102-62=8，

:點(diǎn)。為合的中點(diǎn)，

：.OD±BC,

.\BH=ABC=AX8=4,

22

'OH=VOB2-BH2==3'

:.DH=OD-0H=5-3=2,

；?BD=VDH2+BH2=^22+42=2泥-

【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理及勾股定理，熟練掌握垂徑定理是解題的關(guān)鍵.

題組B能力提升練

10.將量角器按如圖所示的方式放置在三角形紙板上，使點(diǎn)C在半圓上.點(diǎn)A,B的讀數(shù)分

別為86°,30°,則NAC8的度數(shù)是（）

A.28°B.30°C.36°D.56°

【思路點(diǎn)撥】連接04OB,利用圓周角定理求解即可.

【解析】解：連接。4,OB.

由題意，ZAOB=86°-30°=56°,

ZACB=AZAOB=28°,

2

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查圓周角定理，解題的關(guān)鍵是理解題意，掌握?qǐng)A周角定理解決問題.

11.下列語句中：①平分弦的直徑垂直于弦；②相等的圓心角所對(duì)的弧相等；③長度相等的

兩條弧是等?。虎軋A是軸對(duì)稱圖形，任何一條直徑都是它的對(duì)稱軸；⑤在同圓或等圓中,

如果兩條弦相等，那么他們所對(duì)的圓周角相等，不正確的有（）

A.2個(gè)B.3個(gè)C.4個(gè)D.5個(gè)

【思路點(diǎn)撥】根據(jù)垂徑定理，圓周角定理，圓的基本性質(zhì)，圓心角、弧、弦的關(guān)系逐一

判斷即可.

【解析】解：①平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，故①錯(cuò)誤；

②在同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等，故②錯(cuò)誤；

③能夠完全重合的兩條弧是等弧，故③錯(cuò)誤；

④圓是軸對(duì)稱圖形，任何一條直徑所在的直線都是它的對(duì)稱軸，故④錯(cuò)誤；

⑤在同圓或等圓中，如果兩條弦相等，那么他們所對(duì)的圓周角相等或互補(bǔ)，故⑤錯(cuò)誤；

所以，不正確的有5個(gè)，

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理，圓周角定理，圓的基本性質(zhì)，圓心角、弧、弦的關(guān)系，

熟練掌握這些數(shù)學(xué)概念是解題的關(guān)鍵.

12.如圖，己知。。的半徑為5,AB、CD為O。的弦，且C￡?=6.若NA03+NC0￡）=180

，則弦AB的長為（）

A.6B.7C.8D.9

【思路點(diǎn)撥】延長AO交OO于點(diǎn)E,連接BE,由ZAOB+ZBOE=ZAOB+ZCOD知/

BOE=/COD,據(jù)此可得3E=C。，在RtZ\A2E中利用勾股定理求解可得.

【解析】解：如圖，延長AO交。。于點(diǎn)E,連接BE,

貝！|/AOB+/BOE=180°,

又?.,/AO8+NCO￡）=180°,

：.ZBOE^ZCOD,

：.BE=CD,

為O。的直徑，

AZABE=90°,

AB=>/AE2-BE2=V102-62=8，

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題主要考查圓心角定理，解題的關(guān)鍵是應(yīng)用圓心角定理和圓周角定理解決問

題.

13.如圖，在RtzXABC中，ZABC=90°,NA=32°,點(diǎn)2、C在。。上，邊AB、AC分別

交。。于。、E兩點(diǎn)，點(diǎn)B是面的中點(diǎn)，則NA2E的度數(shù)是（）

【思路點(diǎn)撥】連接CD,根據(jù)已知可得俞=黃，從而可得進(jìn)而可得

/BCO=45°,然后利用直角三角形的兩個(gè)銳角互余可得/ACB=58°,從而求出NOCE

=13°,最后根據(jù)同弧所對(duì)的圓周角相等即可解答.

【解析】解：連接

???點(diǎn)8是面的中點(diǎn)，

?,?而=前，

:?BD=BC,

VZABC=90°,

：.ZBDC=ZBCD=45°,

VZA=32°,

AZACB=90°-ZA=58°,

：.ZDCE=ZACB-ZDCB=13°,

AZABE=ZDCE=ir,

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是

解題的關(guān)鍵.

14.。。內(nèi)一點(diǎn)P,0P=3cm,過點(diǎn)P的最短的弦。是上除AB兩點(diǎn)之外

的任一點(diǎn)，則/4。2=60°或120°.

【思路點(diǎn)撥】連接。4,OB,根據(jù)垂徑定理得到4尸=2尸=_148=3我(cm),根據(jù)三

2

角函數(shù)的定義得到/AOP=60°,求得NAO8=120°,根據(jù)圓周角定理即可得到結(jié)論.

【解析】解：如圖，連接。1,OB,

:過點(diǎn)P的最短的弦43=6加。加，

：.OP±AB,

：.AP=BP=l.AB=3y/3(cm)，

2

OP=3cm,

；?tanNAOP=過=迅=如,

OP3

ZAOP=60°,

：.ZAOB=120°,

：.ZAQB=^^/AOB=60°,

：.ZAQ'8=180°-ZAQB=nO0,

故NAQB=60°或120°,

故答案為：60°或120°.

O'

【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理，解直角三角形，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，正確的作出圖

形是解題的關(guān)鍵.

15.如圖，是。。的直徑，AB=4,AC=2%，如果。為圓上一點(diǎn)，且AO=2,那么ND4c

=30°或90°.

【思路點(diǎn)撥】連接A。，OD,BC,先證明是等邊三角形，利用AB是圓。的直徑

求得NC=90°,利用直角三角形中的三角函數(shù)可求得/C4B=30°,點(diǎn)D的位置有兩

種情況：①當(dāng)點(diǎn)方在的下方的圓弧上，②當(dāng)點(diǎn)。在的上方的圓弧上，分別計(jì)算

即可.

【解析】解:如圖，連接A。，OD,BC,

'：AO=OB=OD,AB=4,AD=2,

J.OA^OD^AD,

是等邊三角形，ZBAD=60°,A8是圓。的直徑，

AZC=90°,

?：AB=4,AC=2?,

cosZCAB=-^-=2^1-,

AB2

.\ZCAB=30°,

點(diǎn)D的位置有兩種情況：

①當(dāng)點(diǎn)Z）在AB的下方的圓弧上時(shí)，ZCAD=ZCAB+Z30°+60°=90°；

②當(dāng)點(diǎn)。在4B的上方的圓弧上時(shí)，ZCAD=ZOAD-ZCAB=60°-30°=30°.

【點(diǎn)睛】本題考查圓周角定理，解直角三角形等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)用分類討論的

思想思考問題，屬于中考?？碱}型.

16.如圖，A8是OO的直徑，弦平分/B4C,過點(diǎn)。分別作。E_LAC、DFLAB,垂足分

別為E、F,O。與AC交于點(diǎn)G.

(1)求證：EG=BF；

(2)若O。的半徑r=6,BF=2,求AG長.

【思路點(diǎn)撥】(1)連接DG,BD,根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到NGADn/BA。，DE=DF,

求得Z)G=BD,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；

(2)根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AE=AP=10,根據(jù)線段的和差即可得到結(jié)論.

【解析】(1)證明：連接DG,BD,

平分NBAC,DE±AC.DF±AB,

：.ZGAD=ZBAD,DE=DF,

???DG=BD-

：.DG=BD,

在RtADEG與RtAZJFB中，

[DE=DF,

1DG=BD'

RtADEG^RtADFB(HL),

:.EG=BF；

(2)解：的半徑r=6,BF=2,

：.AF=IO,

在RtAAED與RtAAFD中，

fDE=DF；

1AD=AD，

/.RtAAED^RtAAFD(HL),

：.AE=AF=10,

YEG=BF=2,

：.AG=AE-EG=8.

【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，正確的作出輔助線是

解題的關(guān)鍵.

17.如圖，AB是。。的直徑，C是標(biāo)的中點(diǎn)，尸是線段8。上一點(diǎn)，連接CF并延長CF,與

交于點(diǎn)E,CF=BF.

(1)求證：CELAB-,

(2)若CE=12,BE=8,求AB的長.

【思路點(diǎn)撥】(1)根據(jù)圓周角定理和圓心角、弧、弦的關(guān)系可得結(jié)論；

(2)由勾股定理得的長，設(shè)AB=x,再利用勾股定理得方程組，求解即可得到答案.

【解析】(1)證明：是面的中點(diǎn)，

：.BC=CD,ZD=ZCBF,

：.ZCBF=ZA,

「AB是O。的直徑，

ZACB=90°,

CF=BF,

：.ZCBF=ZFCB,

：.ZA=ZECB,

VZA=90°-ZCBE,

：.ZECB=90°-ZCBE,

：.ZCEB=90°,

：.CELAB-,

(2)解：在RtZXEBC中，

VCE=12,BE=8,

:,BC=VCE2+BE2=V122+82=)

,:BC=CD,

：.BC^CD^4-.fl3,

設(shè)A3=x,

/.AE=x-8,

由勾股定理得，

\C2=(X-3)2+122

AC2=X2-(4V13)2

解得：x=26,

：.AB=26.

【點(diǎn)睛】此題考查的是圓周角定理、勾股定理、垂徑定理、圓的弦、弧、圓心角之間的

關(guān)系等知識(shí)，根據(jù)勾股定理列出方程組是解決此題關(guān)鍵.

18.如圖所示，AB=AC,A2為。。的直徑，AC.BC分別交。。于E,D,連結(jié)ED,BE.

(1)試判斷QE與BO是否相等，并說明理由；

(2)如果BC=12,AB=10,求BE的長.

【思路點(diǎn)撥】(1)根據(jù)題意得到就是等腰三角形ABC底邊上的高，根據(jù)等腰三角形

三線合一的特點(diǎn)，可得出/C4O=NBA。，根據(jù)圓周角定理即可得證；

(2)本題中由于AD_LBC,BELAC,根據(jù)三角形面積公式推出進(jìn)而

求出BE的長.

【解析】解：(1)DE=BD,理由如下：

為OO的直徑，

ZADB=90°,

：.AD±BC,

"：AB=AC,ADLBC,

：.ZCAD=ZBAD,

???ED=BD-

:.DE=BD；

(2),:BC=12,BD=LC=6,

2

在RtZ^AB。中，AB=10,ZADB=90°,

；?AD=VAB2-BD2=V102-62=8，

???AB為。。的直徑，

AZADB^ZAEB^90°,

：.AD±BC,BE±AC,

：.AABC的面積

22

VAB=AC=10,

：.AC-BE=CB-AD,

5

【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓周角定理、勾股定理等知識(shí)點(diǎn)的運(yùn)用，熟記圓周角定理、勾

股定理是解題的關(guān)鍵.

題組C培優(yōu)拔尖練

19.如圖，A、尸、B、C是O。上的四點(diǎn)，/APC=/BPC=60°,E4=2,PC=4,則△ABC

的面積為()

A.生如B.273C.2VSD.3M

32

【思路點(diǎn)撥】如圖，過點(diǎn)A作AHLPC于點(diǎn)X.首先證明△ABC是等邊三角形，解直角

三角形求出AC,可得結(jié)論.

【解析】解：如圖，過點(diǎn)A作AHLPC于點(diǎn)

VZABC=ZAPC=6Q°,ZBAC=ZBPC=60°,

ZABC=ZBAC=ZACB=60°,

AABC是等邊三角形，

'：AH±PC,

：.AH=Ri'sin60°=^3,PH=PA-cos600=1,

：.CH=PC-PH=4-1=3,

；?AC=VAH2CH2=V(V3)2+32=2V3,

.?.△ABC的面積=1_X(273)2=3?,

4

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，等邊三角形的判定，解直角三角形等知識(shí)，解

題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問題.

20.如圖，半徑為R的OO的弦AC=BD,AC,BD交于E,尸為前上一點(diǎn)，連AF、BF、AB、

AD,下列結(jié)論：①AE=BE；?^AC±BD,則4。=6尺；③在②的條件下，若盲=而,

AB=?貝UBF+C￡=1.其中正確的是（）

A.①②B.①③C.②③D.①②③

【思路點(diǎn)撥】①由弦AC=BD,可得益=而，繼而可得前=俞，然后由圓周角定理，

證得/A8O=NR4C,即可判定AE=BE；

②連接。4,OD,由AE=3E,AC±BD,可求得NABZ）=45°,繼而可得△AOD是等腰

直角三角形，則可求得AO=&R；

③設(shè)AF與8。相交于點(diǎn)G,連接CG,易證得△BGF是等腰三角形，CE=DE=EG,繼

而求得答案.

【解析】解：①：弦AC=BD,

AC=BD>

?*-BC=AD，

/ABD=ABAC,

：.AE=BE；

②連接OA,OD,

'：AC±BD,AE=BE,

：.ZABE=ZBAE=45°,

AZAOD=2ZABE=90°,

"JOA^OD,

:.AD=?R；

③設(shè)AF與8。相交于點(diǎn)G,連接CG,

?.,3=CD.

ZFAC=ADAC,

'：AC±BD,

:在AAGE和△ADE中，

AAGE^AADE(ASA),

：.AG=ADfEG=DE,

：.ZAGD=ZADG,

VZBGF=ZAGDfNF=NADG,

：.ZBGF=ZF9

:.BG=BF,

'：AC=BD9AE=BE,

:,DE=CE,

:?EG=CE,

：.BE=BG+EG=BF+CE,

?;AB=E

.".BE—ABtcos45°=1,

：.BF+CE=1.

故其中正確的是：①②③.

故選：D.

【點(diǎn)睛】此題考查了圓周角定理、弧與弦的關(guān)系、等腰直角三角形的性質(zhì)與判定以及全

等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí).此題難度較大，注意掌握輔助線的作法，注意數(shù)形結(jié)合

思想的應(yīng)用.

21.如圖，A8是。。的直徑，C,。是。。上的點(diǎn)，§LOC//BD,分別與BC,0C相交于

點(diǎn)E,F,則下列結(jié)論：

?AD±BD；?ZAOC=ZAEC；③BC平分NAB。；@AF=DF；@BD=2OF；@ACEF

當(dāng)ABED,其中一定成立的是（）

A.②④⑤⑥B.①③⑤⑥C.②③④⑥D(zhuǎn).①③④⑤

【思路點(diǎn)撥】①由直徑所對(duì)圓周角是直角，

②由于/AOC是OO的圓心角，/AEC是OO的圓內(nèi)部的角，

③由平行線得到/OCB=ZDBC,再由圓的性質(zhì)得到結(jié)論判斷出/OBC=ZDBC-,

④用半徑垂直于不是直徑的弦，必平分弦；

⑤用三角形的中位線得到結(jié)論；

⑥得不到△仁所和中對(duì)應(yīng)相等的邊，所以不一定全等.

【解析】解：①、是O。的直徑，

AZADB=90°,

：.AD±BD,

②假設(shè)/AOC=ZAEC,

：.ZA=ZC,

,：ZABC=ZC,

：.ZA=ZABC,

??，

OC//BD

：.ZC=ZCBDf

：.ZABC=ZDBC,

即：

AC,O是半圓的三等分點(diǎn)，

而與“C。是。。上的點(diǎn)”矛盾，

???ZAOC^ZAEC,

③、VOC//BD,

：.ZOCB=ZDBCf

???OC=OB,

：.ZOCB=ZOBCf

：.ZOBC=ZDBC,

???5C平分NABO,

④、TAB是OO的直徑，

AZADB=90°,

：.AD±BD,

9：OC//BD,

：.ZAFO=90°,

??,點(diǎn)。為圓心，

：.AF^DFf

⑤、由④有，AF=DF,

:點(diǎn)。為A2中點(diǎn)，

：.O尸是△ABD的中位線，

：.BD=2OF,

⑥:△CE尸和△BEO中，沒有相等的邊，

ACEF與ABED不全等，

故選：D.

【點(diǎn)睛】此題是圓綜合題，主要考查了圓的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，解

本題的關(guān)鍵是熟練掌握?qǐng)A的性質(zhì).

22.在△ABC中，ZBAC=100°,AB^AC,。為△ABC外一點(diǎn)，且AD=AC,貝l|/8DC=

50°或或0°.

【思路點(diǎn)撥】根據(jù)題意畫出兩個(gè)圖形，根據(jù)圓周角定理和圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)求出答案

即可.

【解析】解：

---

D

圖1圖2

如圖，以A為圓心，以48為半徑作圓，

'：AB^AC,AC^AD,

...點(diǎn)C和。也在0A上，

①如圖1,當(dāng)。點(diǎn)在優(yōu)弧BC上時(shí)，

:前對(duì)的圓心角是N8AC,圓周角是N8OC,

ZBDC=1./BAC=1-x100°=50°；

22

②如圖2,當(dāng)。點(diǎn)在劣弧BC上時(shí)，

此時(shí)/8OC=180°-50°=130°；

AZBDC=5O°或130°,

故答案為：50°或130.

【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，圓周角定理和圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn),

注意：一條弧所對(duì)的圓周角等于圓心角的一半，用了分類討論思想.

23.如圖，是。。的一條弦，點(diǎn)C是。。上一動(dòng)點(diǎn)，且NACB=30°,點(diǎn)、E、尸分別是AC、

2C的中點(diǎn)，直線跖與。。交于G、H兩點(diǎn),若O。的半徑為8,則GE+M的最大值為

12

【思路點(diǎn)撥】首先連接0A、。8,根據(jù)圓周角定理，求出NAOB=2NACB=60°,進(jìn)而

判斷出△AOB為等邊三角形；然后根據(jù)。。的半徑為8,可得48=。4=。8=8,再根據(jù)

三角形的中位線定理，求出所的長度；最后判斷出當(dāng)弦GH是圓的直徑時(shí)，它的