2024-2025學(xué)年北京市某中學(xué)高三年級上冊階段測試數(shù)學(xué)試題（含答案）

2024-2025學(xué)年北京市第一六六中學(xué)高三上學(xué)期階段測試數(shù)學(xué)試題

一、單選題：本題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求

的。

1.已知集合4=B={x\x2<2},則An8=（）

A.{-2,-1,0,1,2}B.{-1,0,1}C.{2,-2}D.{0,1}

2.若a<b且abKO,則下列不等式中一定成立的是（）

A]竭B.*lC,<,3D.\a\<\b\

22

3.雙曲線馬―弓=1（a>0,6>0）的離心率為2,則其漸近線方程為（）

ab

A.y=±V-2%B.y=±V-3xC.y=±苧％D.y=±2%

4.下列函數(shù)中，是偶函數(shù)且在區(qū)間（0,+8）上單調(diào)遞增的是（）

1

A./（x）=—B./（%）=sin|x|C./（%）=2%+2TD./（%）=tanx

5.在平面直角坐標(biāo)系汽。y中，角a以。％為始邊，終邊與單位圓交于點(diǎn)P卜。，竽）則cos2a=（）

A--|B.±：C號D.|

6.小王同學(xué)進(jìn)行投籃練習(xí)，若他第1球投進(jìn)，則第2球投進(jìn)的概率為|；若他第1球投不進(jìn)，則第2球投進(jìn)的

概率為若他第1球投進(jìn)概率為余他第2球投進(jìn)的概率為（）

A.fB.|C]D.|

7.已知數(shù)列{&J為無窮項(xiàng)等比數(shù)列，S”為其前兀項(xiàng)的和，“Si>0,且S2>0”是“VneN*,總有片>

0”的（）

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不必要又不充分條件

8.近年來純電動汽車越來越受消費(fèi)者的青睞，新型動力電池迎來了蓬勃發(fā)展的風(fēng)口于1898年提出

蓄電池的容量C（單位：Ah）,放電時(shí)間單位：九）與放電電流/（單位：/）之間關(guān)系的經(jīng)驗(yàn)公式：C=嚴(yán)?

t,其中n為P常數(shù)為測算某蓄電池的尸常數(shù)九，在電池容量不變的條件下，當(dāng)放電電流/二

20/時(shí)，放電時(shí)間t=20/i；當(dāng)放電電流/=50/時(shí)，放電時(shí)間t=5兒若計(jì)算時(shí)取lg2、0.3,則該蓄電池的

常數(shù)幾大約為（）

A.1.25B.1.5C.1.67D.2

9.已知函數(shù)/(久)=儼則下列結(jié)論錯誤的是()

A.存在實(shí)數(shù)a,使函數(shù)/(乃為奇函數(shù)；

B.對任意實(shí)數(shù)a和/c,函數(shù)y=f(x)+k總存在零點(diǎn)；

C.對任意實(shí)數(shù)a,函數(shù)人久)既無最大值也無最小值；

D.對于任意給定的正實(shí)數(shù)小，總存在實(shí)數(shù)a,使函數(shù)f(x)在區(qū)間(-1,機(jī))上單調(diào)遞減.

10.設(shè)函數(shù)f(x)=sin(3久一9(3>0),若1fo1)-/(%2)1=2時(shí)，氏■-久2I的最小值為全則下列選項(xiàng)正確

的是()

A.函數(shù)f(x)的周期為亨

B.將函數(shù)“切的圖像向左平移J個單位，得到的函數(shù)為奇函數(shù)

C.當(dāng)Xe(睛)f(x)的值域?yàn)?苧,1)

D.方程f(x)=0在區(qū)間［-兀，汨上的根的個數(shù)共有6個

二、填空題：本題共5小題，每小題5分，共25分。

11.已知cosa=|,a是第一象限角，且角a,￡的終邊關(guān)于y軸對稱，貝!|tan￡=

12.若函數(shù)/(x)=Xsin(tox+0)(2>0,3〉0,0<9<§的部分圖象如圖所示，則R的值是

13.數(shù)列｛冊｝是公差為-2的等差數(shù)列，記｛廝｝的前n項(xiàng)和為工,且心,。3，。4成等比數(shù)列，則的=;

S7i=-----?

14.過拋物線y=%2的焦點(diǎn)尸的直線交拋物線于4,B兩點(diǎn)，若弦中點(diǎn)縱坐標(biāo)為2,則|2B|=.

15.斐波那契數(shù)列又稱為黃金分割數(shù)列，在現(xiàn)代物理、化學(xué)等領(lǐng)域都有應(yīng)用，斐波那契數(shù)列滿足的=

a2=1,an=anT+an_2(n>3,nEN*).給出下列四個結(jié)論：

①存在mWN*,使得。皿。也+1，。也+2成等差數(shù)列；

②存在meN*,使得成等比數(shù)列；

③存在常數(shù)3使得對任意九EN*,都有成等差數(shù)列;

④存在正整數(shù)以…，im，且使得+見2+…+%恒=2023.

其中所有正確結(jié)論的序號是.

三、解答題：本題共6小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

16.已知函數(shù)/(久)=cos久“Zsinx+3cosx)-a的圖像經(jīng)過點(diǎn)弓,|).

(1)求實(shí)數(shù)a的值，并求/(久)的單調(diào)遞減區(qū)間；

(2)當(dāng)xe［o,1時(shí)，/(x)2m恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

17.設(shè)函數(shù)/(X)=2sin(3x+0)(3〉0,|卬|<?，已知VxeR,/(%)<f(x)在區(qū)間［工,工］上單

調(diào)，再從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇一個作為已知，使函數(shù)/(%)存在.

(1)求3,0的值；

(2)當(dāng)久e卜時(shí)，若曲線y=/(久)與直線y=小恰有一個公共點(diǎn)，求m的取值范圍.

條件①：管,0)為函數(shù)y=f(x)的圖象的一個對稱中心；

條件②：直線x=需為函數(shù)y=f(x)的圖象的一條對稱軸；

條件③：函數(shù)/(X)的圖象可由y=sin2x的圖象平移得到.

注：如果選擇的條件不符合要求，得0分；如果選擇多個符合要求的條件分別解答，按第一個解答計(jì)分.

18.某保險(xiǎn)公司為了了解該公司某種保險(xiǎn)產(chǎn)品的索賠情況，從合同險(xiǎn)期限屆滿的保單中隨機(jī)抽取1000份,

記錄并整理這些保單的索賠情況，獲得數(shù)據(jù)如下表：

賠償次數(shù)01234

單數(shù)800100603010

假設(shè)：一份保單的保費(fèi)為04萬元；前3次索賠時(shí)，保險(xiǎn)公司每次賠償0.8萬元；第四次索賠時(shí)，保險(xiǎn)公司賠

償0.6萬元.假設(shè)不同保單的索賠次數(shù)相互獨(dú)立用頻率估計(jì)概率.

(1)估計(jì)一份保單索賠次數(shù)不少于2的概率；

(2)一份保單的毛利潤定義為這份保單的保費(fèi)與賠償總金額之差.

①記X為一份保單的毛利潤，估計(jì)X的數(shù)學(xué)期望E(X)；

(ii)如果無索賠的保單的保費(fèi)減少4%,有索賠的保單的保費(fèi)增加20%,試比較這種情況下一份保單毛利潤

的數(shù)學(xué)期望估計(jì)值與①中E(X)估計(jì)值的大小.(結(jié)論不要求證明)

19.已知橢圓C：滔+/=l(a>6>0)的左頂點(diǎn)為力(―2,0),上下頂點(diǎn)為,禺心率為

(1)求橢圓C的方程

(2)設(shè)P點(diǎn)是橢圓C上一點(diǎn)，不與頂點(diǎn)重合，M滿足四邊形P/MB2是平行四邊形，過點(diǎn)P作垂直y軸的直線

交直線4于點(diǎn)Q,再過Q作垂直于X軸的直線交直線PE?于點(diǎn)M求證：A,M,N三點(diǎn)共線.

20.已知函數(shù)"X)=」j,其中a為常數(shù).

(%+a)

⑴若a=0,求函數(shù)/(X)的極值；

(2)若函數(shù)f(x)在(0,-a)上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

(3)若a=-1,求函數(shù)在(0,1)上的極值點(diǎn)的個數(shù).

21.已知數(shù)列4^a2>c1n.如果數(shù)列B“：瓦，%滿足瓦=%，=ak_r+ak—bk_1,其中

k=2,3,-,n,則稱8n為力日的“衍生數(shù)列”.

(1)若數(shù)列4：?i>a2,a3,的“衍生數(shù)列”是方4：5,-2,1,2,求心；

(2)若n為偶數(shù)，且4口的“衍生數(shù)列”是Bn，證明：Bn的“衍生數(shù)列”是4小

(3)若n為奇數(shù)，且上的“衍生數(shù)列”是4,當(dāng)?shù)摹把苌鷶?shù)列”是金，…依次將數(shù)列力n,Bn,Cn，…第i(i=

1,2,…,n)項(xiàng)取出，構(gòu)成數(shù)列。/a”bt，q....求證：化是等差數(shù)列.

參考答案

l.B

2.C

3.C

4.C

5.4

6.4

7.C

8.F

9.B

10.D

13.8；—n2+9n

14.6

15.①③④

16.(1)由題意得,cos((V3sin[+3cos[)-a=|.

解得a=|.

所以/(%)=cos%(V~^sin%+3cosx)—1=V"^sin%cos%+3cos2x—1

V3.1+cos2x3

=-2-sin2%+3x-----------]

=?sin2x+3c；2%_^/^sin(2x+§,

由5+CTT2,x+耳<——F2kn,keZ,得行+kn<%<—+kn,k￡Z,

乙2/<D乙J.乙.乙

所以/(%)的單調(diào)遞減區(qū)間為恪+加普+同(keZ).

(2)由(1)可知/(%)=V3sin(2x+5

因?yàn)?4%同，所以牌2%+牌竽

所以一5WV-3sin卜％+g<y/~3.

所以一?4/(%)

當(dāng)2%+g=與，即％=卯寸，/(%)取得最小值一|.

因?yàn)?(%)>ZH恒成立等價(jià)于zn</(%)min，所以血<-2-

所以實(shí)數(shù)小的取值范圍是(-8,-|]

17.(1)由/(x)<f("]知sin3+卬)=1,從而工3+0=1+2/c;r(fcSZ).

而/(X)在區(qū)間[芻期上單調(diào)，/(X)的周期為穿，

這意味著蔣W工+9衛(wèi)，即上工故0<3W2.

12122to2(x)

注意到工3+9=5+2%兀(攵CZ),從而有：

(p=^+2kn-^-a)>^+2kn-l=l+2k7i,cp=g+2kn—+2kn,

LLlzZ63一三L<L1Z〈三L

所以得+2/CTT,—5<5+2/C7T,即一：</CV2,而々6Z,故々=0.

從而專O)+(P=^,故/(%)=2sin(eox+(P)=2sin(3%+尹雪川)?

若選擇條件①，貝鳴,0)為函數(shù)y=/Q)的圖象的一個對稱中心，從而這等價(jià)于f管)=0,

所以sin售3+5一居3)=0,從而sin+1)=0,故+(="(4€Z),

所以a=-2+4k(keZ),由0<a<2知3=2,故/(%)=2sin(3%+/—強(qiáng)3)=2sin(2x+號)，故3=

71

2Q,(P-

若選擇條件②，則直線久=段為函數(shù)y=/(%)的圖象的一條對稱軸，從而/倍)=±2,

而向在區(qū)間層閣上單調(diào),f㈤=2,故f⑶=-2.

從而2sin借a—"a)=-2,所以sin(1a+])=-1,故為+,=寫+2而(々WZ),

所以3=2+4k(kEZ),由0<3<2知3=2,故/(%)=2sin(3%+一春3)=2sin(2x+號)，故a=

71

2Q,(p=-；

若選擇條件③，函數(shù)/(%)與丫=sin2%的振幅不一致，無法通過平移得到，

故不能選擇；

(2)條件等價(jià)于，關(guān)于％的方程/(%)=zn即2sin(2%+§=加在［-亨用上恰有一個解.

記2%+:〃，則％=從而％G卜與目和［Y片］一一對應(yīng)，

這就表明條件等價(jià)于關(guān)于a的方程sina=與在卜弓片］上恰有一個解.

設(shè)g(u)=sina,則在［―葭］上遞增，在||年］上遞減，9(一￡)=得，9(?=L9償)=,

此時(shí)，若租>2,則g(〃)=sinu<1<y,方程sin”=/無解，不滿足條件；

若mv-l,則當(dāng)身時(shí),g(〃)<g(_')=_1>'；

當(dāng)現(xiàn)叱用時(shí)，gQ)2g管"拉一W.

故方程sina在［-9引上無解，不滿足條件；

11m/\m1m

-<<gI7r)-1>--<-

----一-g--

若1<m<2,由g(〃)>g222,V2/222

知方程sin”=狎(Y與和&(］上各至少有一個根,

從而在［-*片］上至少有兩個根，不滿足條件；

若一lWznVl,則當(dāng)〃E年片］時(shí)，g(u)>g=1>-1>7,

故方程sinu=三在吟司上無解；

z\1m

1

而sina在［-弓用上單調(diào),且g(a)>g(―§=-|<j,gf7T-!->->-

v2722

所以方程sina=3在卜睛)上恰有一個根.

這就表明方程sin”=/在［-泉裔上恰有一個根，滿足條件；

若m=2,貝=sinu<1=y,當(dāng)且僅當(dāng)〃=+2kli(kEZ)時(shí)等號成立.

而ue故當(dāng)且僅當(dāng)a=軻等號成立，

故方程sinu=3在［Y鑿上恰有一個根比=與滿足條件.

綜上，山的取值范圍是［-1,1)U{2}.

18.(1)設(shè)4為“隨機(jī)抽取一單，賠償不少于2次”，

60+30+101

由題設(shè)中的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)可得PQ4)=

800+100+60+30+1010,

(2)(回)設(shè)f為賠付金額，則f可取0,0.8,1.6,2.4,3,

由題設(shè)中的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)可得%=0)=磊==0.8)=熱=白,

「轉(zhuǎn)=1-6)=蒜=去W=2.4)=蒜=高，

。紇=3)=蒜=+，

故E(§)=。*"0.8*春+1.6*9+2.4*高+3*焉=0.278

故灰X)=0.4-0.278=0.122(萬元).

(日)由題設(shè)保費(fèi)的變化為0.4*白96%+0.4*白1.2=0.4032,

故E(K)=0.122+0.4032-0.4=0.1252(萬元)，

從而E(X)<F(r).

19.(1)因?yàn)闄E圓C：捻+"=l(a>b>0)的左頂點(diǎn)為4(—2,0),所以a=2,

又￡=噂，所以C=，3,所以匕2=a2-c2=1,

a2

所以橢圓C的方程為9+y2=L

⑵

B2

由(1)知Bi(0,1),S2(0,-l),

1

f+

設(shè)尸4：y=kx-ZcWO,c-2-

y=kx—1

聯(lián)立方程%2可得(4々2+1)%2—8收=0,

—+yz=1

4/

X—__8k_

一所以P(牛，紇匚)，

_4r-l\4/cz+l4/cz+l/

{y―4/C2+I

因?yàn)樗倪呅蜳/MB2是平行四邊形，由橢圓的對稱性可知點(diǎn)P與點(diǎn)M關(guān)于原點(diǎn)對稱,

所以M(瑞瑞，

直線/Bi的方程為y=+1,把y=當(dāng)匚代入可得％=j4-,

2/4/cz+l4k'+l

所以Q(q一，竺二)，

\4r+l4kz+l/

把％==代入y=kx-l可得N-4fc2-4k-l\

4k'+l\4r+l4r+l/

-(2k+l)2

所以過4N的直線的斜率為%N=尹匚=溫咨=篝，

1-4-2

所以過4,M的直線的斜率k4M=24,白=2；U？)2=|^票=%一

4fc2+l

所以4M,N三點(diǎn)共線.

20.(1)當(dāng)a=0時(shí)，〃>)=臀，定義域?yàn)?0,+8),

(。)=鏟

令((%)=0,即1—21n%=0,

Inx=I，解得％=V"^,

???當(dāng)％e(0,，^)時(shí)，/'(%)>0,

當(dāng)％E(yfe,+8)時(shí),[(x)<0,

???/(%)在(0,，5)上單調(diào)遞增，在(/?,+8)上單調(diào)遞減,

故〃%)的極大值為f(五)=曳I=E無極小值.

(<e)Le

(2),定義域?yàn)椋?|%>0且%C—a),

^(x+a)2—(2x4-2a)Inx1+^—21nx

/'(%)=

(x+a)4(x+a)3

要使/(%)在(0,-。)上單調(diào)遞增，則。<0,

又1G(0,—a)時(shí)，a<%+a<0,

只需1+?—21nx<0在(0,-a)上恒成立,

即a<2x\nx—%在(0,一a)上恒成立，

令9(%)=2xlnx-x,即a4g(%)min，

則=21nx+2—1=21nx+1,

令g'(%)=0，即21n%+1=0,

解得無=余

1

???當(dāng)％￡(0,.)時(shí)，g'(%)<0,

Ve

當(dāng)％E(2+8)時(shí)，“(%)>0,

Ve

。(久)在(0,+)上單調(diào)遞減，在(看,+8)上單調(diào)遞增，

???gQ)min=9(蚩)=a啥—蚩=—急

(3)當(dāng)a=-l時(shí)，f(x)=xe(0,1),

'。-1)

,,1———21nx

由(2)知[(久)=一才，

(x-1)

令h(%)=1---21nx,

則/1G)=與二=號,

當(dāng)％e(o[)時(shí)，h'(x)>o,

當(dāng)xe6,i)時(shí)，"(久)<0,

八⑺在(0,今單調(diào)遞增，在@,1)上單調(diào)遞減，

???八(x)max=h(今=21n2-1>0,

11

又hg)=1_4-21n：=41n2-3<0,h(l)=0,

44

則％(x)在(0,1)上有且僅有一個零點(diǎn)，設(shè)該零點(diǎn)為比，

則當(dāng)久6(0,久0)時(shí)，旗久)<0，即