初中數(shù)學(xué)《二次函數(shù)》十大題型匯編（含解析）

二次函數(shù)【十大題型】

A題型梳理

【題型1辨別二次函數(shù)】........................................................................1

【題型2由二次函數(shù)的定義求字母的值】.........................................................3

【題型3由二次函數(shù)的定義求字母的取值范圍】...................................................4

【題型4二次函數(shù)的一般形式】.................................................................6

【題型5求二次函數(shù)的值】.....................................................................7

【題型6判斷函數(shù)關(guān)系】.......................................................................9

【題型7列二次函數(shù)關(guān)系式（幾何圖形）］.........................................................11

【題型8列二次函數(shù)關(guān)系式（增長(zhǎng)率）］...........................................................14

【題型9列二次函數(shù)關(guān)系式（循環(huán)）】.............................................................15

【題型10列二次函數(shù)關(guān)系式（銷售）】.............................................................16

?舉一反三

知識(shí)點(diǎn)1:二次函數(shù)的定義

一般地，形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常數(shù)，a^O）的函數(shù)，叫做二次函數(shù).其中x、y是變量，a、b、

c是常量，a是二次項(xiàng)系數(shù)，b是一次項(xiàng)系數(shù)，c是常數(shù)項(xiàng).y=ax2+bx+c（a、b、c是常數(shù)，a#0）也叫做二

次函數(shù)的一般形式.

【題型1辨別二次函數(shù)】

【例1】（23-24九年級(jí)上?江西南昌?階段練習(xí)）下列函數(shù)解析式中，y一定是久的二次函數(shù)的是（）

A.y—2ax2B.y—2x+a2C.y—2x2—1D.y=%2+-

【答案】C

【分析】本題考查二次函數(shù)的識(shí)別，形如y=a久2+6久+c（aK0）的函數(shù)是二次函數(shù)，根據(jù)定義逐一判斷即

可得到答案.

【詳解】解：A,當(dāng)a=。時(shí)，y=2ax2=o,不是二次函數(shù)，不合題意；

B,y=2x+a2,y是久的一次函數(shù)，不合題意；

C,y=2%2-1,y一定是x的二次函數(shù)，符合題意；

D,y=*+并含有分式，不是二次函數(shù)，不合題意；

X

故選C.

【變式1-1](23-24九年級(jí)上.安徽安慶?階段練習(xí))下列函數(shù)是二次函數(shù)的是()

A.y=2x—1B.y=Vx2—1C.y=x2—1D.y=^-

【答案】C

【分析】本題考查了二次函數(shù)的定義，能熟記二次函數(shù)的定義是解此題的關(guān)鍵，注意：形如y=a久2+6“+C

(a、氏c為常數(shù)，a40)的函數(shù)叫二次函數(shù).根據(jù)二次函數(shù)的定義逐個(gè)判斷即可.

【詳解】解：A、函數(shù)y=2x-1是一次函數(shù)，不是二次函數(shù)，故本選項(xiàng)不符合題意；

B、函數(shù)y=J在F艮號(hào)內(nèi)含有苞不是二次函數(shù)，故本選項(xiàng)不符合題意；

C、函數(shù)y=*—1是二次函數(shù)，故本選項(xiàng)符合題意；

D、函數(shù)'分母中含有x,不是二次函數(shù)，故本選項(xiàng)不符合題意.

故選：C.

【變式1-2](23-24九年級(jí)下?江蘇?專題練習(xí))下列函數(shù)關(guān)系式中，二次函數(shù)的個(gè)數(shù)有()

(1)y=3(x-l)2+l；y=-A-;(3)S=3-2t2；y=x4+2x2-1；(5)y=3x(2-%)+3x2；

(6)y—mx2+8.

A.l個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【答案】B

【分析】本題考查了二次函數(shù)的定義，一般地，形如y=。戶+6刀+。(口,6，為常數(shù)，a力0)的函數(shù)叫做二次

函數(shù).判斷一個(gè)函數(shù)是不是二次函數(shù)，在關(guān)系式是整式的前提下，如果把關(guān)系式化簡(jiǎn)整理(去括號(hào)、合并

同類項(xiàng))后，能寫成、=。/+6%+其口,6,。為常數(shù)，a#0)的形式，那么這個(gè)函數(shù)就是二次函數(shù)，否則就不

是.

【詳解】解：(1)y=3Q—1)2+1是二次函數(shù)，故符合題意；

(2)y=上，不是二次函數(shù)，故不符合題意；

(3)S=3-2t2是二次函數(shù)，故符合題意；

(4)y="+2/一1不是二次函數(shù)，故不符合題意；

(5)y=3x(2-x)+3/=6x不是二次函數(shù)，故不符合題意；

(6)y=mx2+8,不確定機(jī)是否為0,不一定是二次函數(shù)，故不符合題意；

綜上所述，二次函數(shù)有2個(gè).

故選：B.

【變式1-3](23-24九年級(jí)上?湖南長(zhǎng)沙?期末)下列函數(shù)①y=5%-5；②y=3/—1；③丫=4久3—3久2；

@y=2x2-2%+1；⑤y=2_,其中是二次函數(shù)的是.

【答案】②④/④②

【分析】根據(jù)二次函數(shù)的定義，函數(shù)式為整式且自變量的最高次數(shù)為2,二次項(xiàng)系數(shù)不為0,逐一判斷.

【詳解】解：①y=—5為一次函數(shù)；

②y=3*—1為二次函數(shù)；

③y=4久3-3久3自變量次數(shù)為3,不是二次函數(shù)；

@y=2久2-2%+1為二次函數(shù)；

⑤y=另函數(shù)式為分式，不是二次函數(shù).

故答案為②④.

【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的定義，能夠根據(jù)二次函數(shù)的定義判斷函數(shù)是否屬于二次函數(shù)是解決本題的關(guān)鍵.

【題型2由二次函數(shù)的定義求字母的值】

[例2]（23-24九年級(jí)下?廣東東莞?期中）已知函數(shù)y=（m-是二次函數(shù)，則7n=

【答案】-1

【分析】根據(jù)定義得：形如y=a/+6乂+。（a、b、c是常數(shù)，且ak0）的函數(shù)是二次函數(shù)，列方程可求得

答案.

【詳解】解：依題意得：而+1=2且m-1^0,

解得m=-1

故答案為：—1.

【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的定義.注意：二次函數(shù)y=ax2+bx+c中，a是常數(shù)，本題關(guān)鍵點(diǎn)為aHO.

【變式2-1]（23-24九年級(jí)上?江蘇揚(yáng)州?階段練習(xí)）如果y=2x\m\+3x-1是關(guān)于％的二次函數(shù)，貝IJ

【答案】±2

【分析】本題主要考查了二次函數(shù)的定義，直接利用二次函數(shù)的定義得出答案.

【詳解】解：=2獷利+3%-1是關(guān)于X的二次函數(shù)，

\m\=2,

解得：771=±2.

故答案為：±2.

【變式2-2]（23-24九年級(jí)上.湖北?周測(cè)）如果函數(shù)y=—丘2+k％-1是關(guān)于x的二次函數(shù)，則

k=.

【答案】0

【分析】本題考查了二次函數(shù)的定義.根據(jù)二次函數(shù)的定義得到k-1力。且H-k+2=2,然后解不等式

和方程即可得到上的值.

【詳解】解：根據(jù)題意，得k—1片0且H—k+2=2,

解得k=0.

故答案為：。.

【變式2-3］（23-24九年級(jí)下?廣東廣州?期末）如果y=（k-3）久仁11+久一3是二次函數(shù)，佳佳求出％的值

為3,敏敏求出左的值為-1,她們倆中求得結(jié)果正確的是..

【答案】敏敏

【分析】本題考查了二次函數(shù)的定義，由定義得上-1|=2,k-3^0,即可求解；理解定義：“一般地，

形如y=a久2+6%+c（小b、c是常數(shù)，口力0）的函數(shù)叫做二次函數(shù).”是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：?■-y=（fc-3）xl^i|+x—3是二次函數(shù)，

|fc-l|=2,

解得尤=3,k2=-1,

又；k—370,

即k豐3,

k=-1,

故敏敏正確.

【題型3由二次函數(shù)的定義求字母的取值范圍】

【例3】Q3-24九年級(jí)上.上海嘉定.期末）如果函數(shù)y=（k-l）/+kx-1（k是常數(shù)）是二次函數(shù)，那么k的

取值范圍是.

【答案】fc*1

【分析】根據(jù)：“形如y=a/+bx+c（aR0）,這樣的函數(shù)叫做二次函數(shù)”，得到左一170,即可.

【詳解】解：由題意，得：k—140,

.".fc1；

故答案為：k力1.

【變式3-1］（23-24九年級(jí)上?浙江嘉興?開學(xué)考試）已知函數(shù)y=（爪2—爪）/+（m—1）萬—2（相為常數(shù)）

(1)若這個(gè)函數(shù)是關(guān)于X的一次函數(shù)，求相的值.

⑵若這個(gè)函數(shù)是關(guān)于X的二次函數(shù)，求機(jī)的取值范圍.

【答案】(l)m=0；

(2)mW1且mW0.

【分析】(1)根據(jù)一次函數(shù)的定義即可解決問題；

(2)根據(jù)二次函數(shù)的定義即可解決問題.

【詳解】(1)解：依題意m2一爪=o且6一1力0,

所以m=0；

(2)解：依題意根2-7n力0,

所以m*1且zn*0.

【點(diǎn)睛】本題考查一次函數(shù)的定義、二次函數(shù)的定義，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本概念，屬于中考?？碱}型.

【變式3-2](23-24九年級(jí)上?廣東江門?階段練習(xí))已知關(guān)于久的二次函數(shù)y=(a2-l)久2+乂一2,則a的取

值范圍是()

A.aRlB.a-1C.a±1D.為任意實(shí)數(shù)

【答案】C

【分析】根據(jù)二次函數(shù)定義可得a?-1力0,解出答案即可.

【詳解】因?yàn)殛P(guān)于X的二次函數(shù)y=(a2-l)x2+x-2,

a2-1^0,

解得：aK±1.

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查的是二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a*0)概念，熟練掌握二次函數(shù)定義是解題關(guān)鍵.

【變式3-3】Q3-24九年級(jí)下?四川遂寧.期中)已知函數(shù)y=(zn2-2)x2+(rn+J2后+8.若這個(gè)函數(shù)是二次函數(shù)，

求小的取值范圍_______________

【答案】m#：V2Km^-V2

【分析】根據(jù)二次函數(shù)的定義，即可得不等式巾2一2力0,解不等式即可求得.

【詳解】解：,.?函數(shù)'玄加⑷/+⑺+/幻％+8是二次函數(shù)，

解得7714士，2,

故答案為：.

【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的定義，熟練掌握和運(yùn)用二次函數(shù)的定義是解決本題的關(guān)鍵.

【題型4二次函數(shù)的一般形式】

[例4](23-24九年級(jí)上?四川南充?階段練習(xí))二次函數(shù)'=如—3*+5的二次項(xiàng)是,一次項(xiàng)系數(shù)

是,常數(shù)項(xiàng)是.

【答案】戶_35

【分析】根據(jù)二次函數(shù)的定義判斷即可。

【詳解】解：二次函數(shù)y=*—3x+5的二次項(xiàng)是始，一次項(xiàng)系數(shù)是-3,常數(shù)項(xiàng)是5,

故答案為：①比2,②—3,③5,

【點(diǎn)睛】此題主要考查了二次函數(shù)的定義，要熟練掌握，一般地，形如y=a#+b久+c(a、6、c是常數(shù)，a40)

的函數(shù)，叫做二次函數(shù).其中x、y是變量，a、b、c是常量，a是二次項(xiàng)系數(shù)，6是一次項(xiàng)系數(shù)，c是常數(shù)項(xiàng).

【變式4-1](23-24九年級(jí)上?全國(guó)?單元測(cè)試)把二次函數(shù)y=-4(1+2x)(x-3)化為一般形式為：.

【答案】y=-8x2+20x+12

【分析】先利用整式的乘法得到y(tǒng)=-4(X-3+2X2-6X),然后去括號(hào)合并即可得到二次函數(shù)的一般式.

[詳解】y=-4(l+2x)(x-3)=-4(x-3+2x2-6x)=-8x2+20x+12,

故答案為y=-8x2+20x+12.

【點(diǎn)睛】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是二次函數(shù)的三種形式，解題的關(guān)鍵是熟練的掌握二次函數(shù)的三種形式.

【變式4-2](23-24九年級(jí)上.安徽六安?階段練習(xí))二次函數(shù)y=(x-2)(5-2%)的二次項(xiàng)系數(shù)是_.

【答案】-2

【分析】先進(jìn)行多項(xiàng)式的乘法運(yùn)算，再合并同類項(xiàng)化成一般式即可.

【詳解】解：y=(x-2)(5—2久)=5x-2久2+10+4x,

=—2x2++9x+10,

.?.二次項(xiàng)系數(shù)是-2,

故答案為：—2.

【點(diǎn)睛】此題考查了二次函數(shù)的一般形式，解題的關(guān)鍵是掌握化成一般形式，確定二次項(xiàng)系數(shù)，一次項(xiàng)系數(shù)

和常數(shù)項(xiàng).

【變式4-3](23-24九年級(jí)上?廣東汕尾?階段練習(xí))把y=(3x-2)(x+3)化成一般形式后，一次項(xiàng)系數(shù)與常數(shù)

項(xiàng)的和為.

【答案】1

【分析】先將其化為一般式，即可求出一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)，從而求出結(jié)論.

【詳解】解：y=(3x-2)(x+3)=3x2+7x-6

，一次項(xiàng)系數(shù)為7,常數(shù)項(xiàng)為-6

；.一次項(xiàng)系數(shù)與常數(shù)項(xiàng)的和為7+(-6)=1

故答案為：1.

【點(diǎn)睛】此題考查的是二次函數(shù)的一般式，掌握二次函數(shù)的一般形式是解題關(guān)鍵.

【知識(shí)點(diǎn)2列二次函數(shù)關(guān)系式】

(1)理解題意：找出實(shí)際問題中的已知量和變量(自變量，因變量)，將文字或圖形語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言；

(2)分析關(guān)系：找到已知量和變量之間的關(guān)系，列出等量關(guān)系式；

(3)列函數(shù)表達(dá)式：設(shè)出表示變量的字母，把等量關(guān)系式用含字母的式子替換，將表達(dá)式寫成用自變量表示

的函數(shù)的形式.

【題型5求二次函數(shù)的值】

【例5】(23-24九年級(jí)下?四川達(dá)州?階段練習(xí))標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下，質(zhì)量一定的水的體積U(cm3)與溫度t")之間

的關(guān)系滿足二次函數(shù)了=，2+104(1>0),則當(dāng)溫度為4K時(shí)，水的體積為cm3.

8

【答案】106

【分析】本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用，細(xì)心計(jì)算是解題的關(guān)鍵.

將t=4代入解析式求值即可.

【詳解】解：y=it2+io4(t>o),

8

當(dāng)口4久時(shí),y=lx42+104=106(cm3),

8

.?.水的體積為106cm3'

故答案為：106

【變式5-1](23-24九年級(jí)上?江蘇鹽城?階段練習(xí))某車的剎車距離y(m)與開始剎車時(shí)的速度x(m/s)之間滿

足二次函數(shù)y=上始。>o),若該車某次的剎車距離為4m,則開始剎車時(shí)的速度為m/s.

16

【答案】8

【分析】將y=4代入即可求解.

【詳解】解：令y=4,則4=2/，

16

解得：久=8(負(fù)值舍去)

故答案為：8

【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，將y=4代入是解題的關(guān)鍵.

【變式5-2】23-24九年級(jí)上?全國(guó)?單元測(cè)試）把一個(gè)物體以20m/s的速度豎直上拋，該物體在空中的高度h（m）

與時(shí)間t（s）滿足關(guān)系h=20t—5t2,當(dāng)h=20m時(shí)，物體的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為s.

【答案】2

【分析】分析知，高h(yuǎn)=20m有兩種情況，一是在上升過程某一時(shí)刻高為20,或者是下降時(shí)高為20,把h代

入關(guān)系式即可分別得到時(shí)間.

【詳解】根據(jù)題意，把%=20代入關(guān)系式得：

20*-20=0,即（尸2）2=0,

解得仁2,

???物體運(yùn)動(dòng)時(shí)間為2s；

故答案為2.

【點(diǎn)睛】考查了二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征與物理運(yùn)動(dòng)問題的結(jié)合，進(jìn)行準(zhǔn)確的運(yùn)算即可.

【變式5-3］（23-24九年級(jí)上.安徽安慶?階段練習(xí)）如圖，在期末體育測(cè)試中，小朱擲出的實(shí)心球的飛行高

度y（米）與水平距離x（米）之間的關(guān)系大致滿足二次函數(shù)尸4/+拄+：則小朱本次投擲實(shí)心球的成

A.7mB.7.5mC.8mD,8.5m

【答案】C

【分析】根據(jù)實(shí)心球落地時(shí)，高度y=0,把實(shí)際問題可理解為當(dāng)y=0時(shí)，求X的值即可.

【詳解】解：在尸-余/+江+熱，令y=0得：

.1%2+3%+8=0

1055

解得k-2（舍去）或％=8,

???小朱本次投擲實(shí)心球的成績(jī)?yōu)?米，

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用中函數(shù)式中變量與函數(shù)表達(dá)的實(shí)際意義，需要結(jié)合題意，取函數(shù)或自變

量的特殊值列方程求解是解題關(guān)鍵.

【題型6判斷函數(shù)關(guān)系】

【例6】（23-24九年級(jí)上.北京朝陽(yáng).期末）如圖，矩形綠地的長(zhǎng)和寬分別為30m和20m.若將該綠地的長(zhǎng)、

寬各增加xm,擴(kuò)充后的綠地的面積為ym2,則y與尤之間的函數(shù)關(guān)系是.（填“正比例函數(shù)關(guān)系”、“一

次函數(shù)關(guān)系''或"二次函數(shù)關(guān)系”）

【答案】二次函數(shù)關(guān)系

【分析】根據(jù)矩形面積公式求出y與龍之間的函數(shù)關(guān)系式即可得到答案.

【詳解】解：由題意得y=（30+x）（20+K）=/+50%+600,

???y與X之間的函數(shù)關(guān)系是二次函數(shù)關(guān)系，

故答案為；二次函數(shù)關(guān)系.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了列函數(shù)關(guān)系式和二次函數(shù)的定義，正確列出y與尤之間的函數(shù)關(guān)系式是解題的關(guān)鍵.

【變式6-1］（23-24九年級(jí)上?浙江嘉興?開學(xué)考試）下列函數(shù)關(guān)系中，可以用二次函數(shù)描述的是（）

A.圓的周長(zhǎng)與圓的半徑之間的關(guān)系

B.三角形的高一定時(shí)，面積與底邊長(zhǎng)的關(guān)系

C.在一定距離內(nèi)，汽車行駛速度與行駛時(shí)間的關(guān)系

D.正方體的表面積與棱長(zhǎng)的關(guān)系

【答案】D

【分析】根據(jù)二次函數(shù)，反比例函數(shù)、正比例函數(shù)的定義一一判斷即可.

【詳解】解：A.圓的周長(zhǎng)c與圓的半徑r之間的關(guān)系是：c=2nr,故他們之間的關(guān)系是正比例函數(shù)關(guān)系；

B.三角形的高〃一定時(shí)S=Uh,故他們之間的關(guān)系是正比例函數(shù)關(guān)系；

C.在一定距離s內(nèi)，故他們之間的關(guān)系是反比例函數(shù)關(guān)系；

D.正方體的表面積S與棱長(zhǎng)。的關(guān)系：S=6a2,S和。是二次函數(shù)關(guān)系，符合題意；

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查反比例函數(shù)的應(yīng)用，二次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問

題.

【變式6-2］（23-24九年級(jí)上?浙江杭州?期末）設(shè)y=yty,2y與x成正比例，y與xz成正比例，則y與x

的函數(shù)關(guān)系是（）

A.正比例函數(shù)B.一次函數(shù)

C.二次函數(shù)D.以上均不正確

【答案】C

【分析】設(shè)yi=kix,y2=k2x2,根據(jù)y=yi-y2得到y(tǒng)=kix-k2x2,由此得到答案.

2

【詳解】M：ixyi=kix,y2=k2x,

2

貝IJy=kix-k2x,

所以y是關(guān)于x的二次函數(shù)，

故選：C.

【點(diǎn)睛】此題考查列函數(shù)關(guān)系式，正確理解正比例函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵.

【變式6-3］（23-24九年級(jí)下?福建福州?期末）如圖，正方形4BCD和。。的周長(zhǎng)之和為a（a為常數(shù)）cm,

設(shè)圓的半徑為無cm,正方形的邊長(zhǎng)為ycm,陰影部分的面積為Scm?.當(dāng)x在一定范圍內(nèi)變化時(shí)，y和S者臃x的

變化而變化，貝的與x,S與x滿足的函數(shù)關(guān)系分別是（）

B.二次函數(shù)關(guān)系，一次函數(shù)關(guān)系

C.一次函數(shù)關(guān)系，一次函數(shù)關(guān)系D.一次函數(shù)關(guān)系，二次函數(shù)關(guān)系

【答案】D

【分析】根據(jù)圓的周長(zhǎng)公式和正方形的周長(zhǎng)公式先得到y(tǒng)=-：兀X+：a，再根據(jù)S陰影=S正方形一S園得到S=

y2f2=（#一小2—+#,由此即可得到答案

【詳解】解「,正方形ZBCD和。。的周長(zhǎng)之和為acm,圓的半徑為xcm,正方形的邊長(zhǎng)為ycm,

4y+2TTX=a,

?1,1

??y=--nx+-a,

J24

?二s陰影=s正方形一s圓，

2

S=y2—nx2=(一htx+%)—7TX2=(_zr2—TT)x2-kax+i2,

244416

.?.y與無，S與X滿足的函數(shù)關(guān)系分別是一次函數(shù)關(guān)系，二次函數(shù)關(guān)系，

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)與一次函數(shù)的識(shí)別、正方形的周長(zhǎng)與面積公式，理清題中的數(shù)量關(guān)系，熟練掌握

二次函數(shù)與一次函數(shù)的解析式是解答的關(guān)鍵.

【題型7列二次函數(shù)關(guān)系式(幾何圖形)]

【例7】(23-24九年級(jí)上?全國(guó)?單元測(cè)試)如圖，ZX=90°,AB=AC,BC=20,四邊形EFG”是△ABC的

內(nèi)接矩形，如果"的長(zhǎng)為匕矩形EFG”的面積為y,貝3與x的函數(shù)關(guān)系式為_.

【分析】根據(jù)題意可得△BEH,△CFG是等腰直角三角形，得出BH=EH=CG=GF,進(jìn)而根據(jù)矩形的面

積即可求解.

【詳解】=90°,AB=AC,

：.NB="=45°.

,??四邊形EFGH是AABC的內(nèi)接矩形，

:.乙EHB=KFGC=90°,EH=FG,EF=HG,

：.乙BEH=4CFG=45°,

BH=EH=CG=GF.

BC=20,EF=x,

J.BC-HG=BC-EF=20-x,

：.BH=EH=CG=GF=|(BC-HG)=10-

y=%(10—4)=一|x2+10%.

故答案為：y=-：源+1()久.

【點(diǎn)睛】本題考查了列二次函數(shù)關(guān)系式，熟練掌握矩形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

【變式7-1](23-24九年級(jí)下?遼寧本溪?期中)已知一正方體的棱長(zhǎng)是3cm,設(shè)棱長(zhǎng)增加xcm時(shí)，正方體的

表面積增加ycm2,則y與x之間的函數(shù)關(guān)系式是()

A.y=6x2—36%B.y=-6x2+36%

C.y=x2+36xD,y=6x24-36%

【答案】D

【分析】本題考查了列二次函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)題意直接列式即可作答.

【詳解】根據(jù)題意有：y=6(x+3/一6x32=6源+36%,

故選：D.

【變式7-2]23-24九年級(jí)上?山西太原.階段練習(xí))相框邊的寬窄影響可放入相片的大小.如圖，相框長(zhǎng)26cm,

寬22cm,相框邊的寬為xcm,相框內(nèi)的面積是ycm2,則y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為.

【答案】y=4*—96%+572(0<%<11)

【分析】本題主要考查二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，根據(jù)題意列出函數(shù)整理并求出支的取值范圍即可.

【詳解】解：根據(jù)題意，得

y=(26?2x)(22-2x)

展開得：

y=572—52%—44%+4x2

整理得：

y=4%2—96%+572

根據(jù)題意，得

'%>0

26-2%>0;

、22-2%>0

解得：0<x<11.

???丁與X之間的函數(shù)關(guān)系式為y=4久2—96%+572(0<%<11),

故答案為：y=4/-96%+572(0<%<11)

【變式7-3](23-24九年級(jí)上?廣東東莞?階段練習(xí))如圖所示，在RtaAB。中，AB1OB,且4B=OB=3,

設(shè)直線x=t截此三角形所得的陰影部分的面積為S,貝心與t之間的函數(shù)關(guān)系式為()

A.S=tB.S=-t2C.S=t2D.S=-t2-1

22

【答案】B

【分析】中，AB1OB,且48=08=3,可得乙4。8==45。；再由平行線的性質(zhì)得出4。。。=

乙4二45。，即NC。。=△。。。=45。，進(jìn)而證明最后根據(jù)三角形的面積公式，求出S與t之間

的函數(shù)關(guān)系式.

【詳解】解：如圖所示，

???/?[△48。中，AB1OB,且/8=。8=3,

???乙4。8=乙4=45。，

VCD1OB,

：.CD||AB,

:?乙OCD=乙4=45°,

:?乙COD=乙OCD=45°,

ACD=OD=t,

S/^OCD=^ODxCD

2

=lt2(0<t<3),

2

即：s=|t2(0<t<3).

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題主要考查的是二次函數(shù)解析式的求法，考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，平行線的判定和性質(zhì)，

等腰三角形的判定，三角形的面積等知識(shí)點(diǎn).解題的關(guān)鍵是能夠找到題目中的有關(guān)面積的等量關(guān)系.

【題型8列二次函數(shù)關(guān)系式(增長(zhǎng)率)】

【例8】(23-24九年級(jí)上?四川自貢?期末)一部售價(jià)為4000元的手機(jī)，一年內(nèi)連續(xù)兩次降價(jià)，如果每次降

價(jià)的百分率都是x,則兩次降價(jià)后的價(jià)格y(元)與每次降價(jià)的百分率尤之間的函數(shù)關(guān)系式是()

A.y=4000(1-x)B.y=4000(1-%)2

C.y=8000(1-x)D.y=8000(1-x)2

【答案】B

【分析】根據(jù)兩次降價(jià)后的價(jià)格等于原價(jià)乘以(1-每次降價(jià)的百分率)2,列出函數(shù)關(guān)系式，即可求解.

【詳解】解：：每次降價(jià)的百分率都是尤，

,兩次降價(jià)后的價(jià)格y(元)與每次降價(jià)的百分率x之間的函數(shù)關(guān)系式是y=4000(1-02.

故選：B

【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，明確題意，準(zhǔn)確得到等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

【變式8-1](23-24九年級(jí)上?安徽合肥?階段練習(xí))據(jù)省統(tǒng)計(jì)局公布的數(shù)據(jù)，合肥市2023年第一季度GDP總

值約為2.6千億元人民幣，若我市第三季度GDP總值為y千億元人民幣，平均每個(gè)季度GDP增長(zhǎng)的百分率

為x,則y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式是()

A.y=2.6(1+2x)B.y=2.6(1—x)2

C.y=2.6(1+x)2D.y=2.6+2.6(1+無)+2.6(1+x)2

【答案】c

【分析】第二季度GDP總值為2.6(1+久)，第三季度為2.6(1+x)2,得解；

【詳解】解：第三季度GOP總值為y=2.6(1+x)(l+x)=2.6(1+刀下;

故選：C

【點(diǎn)睛】本題考查增長(zhǎng)率問題，理解固定增長(zhǎng)率下增長(zhǎng)一期、二期后的代數(shù)式表達(dá)是解題的關(guān)鍵.

【變式8-2](23-24九年級(jí)上.安徽蚌埠?階段練習(xí))為執(zhí)行國(guó)家藥品降價(jià)政策，給人民群眾帶來實(shí)惠，某藥

品經(jīng)過兩次降價(jià)，每盒零售價(jià)由16元降為y元，設(shè)平均每次降價(jià)的百分率是居貝的關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式

為.

【答案】y=16/_32X+16

【分析】根據(jù)增長(zhǎng)率問題列出函數(shù)解析式即可.

【詳解】解：某藥品經(jīng)過兩次降價(jià)，每盒零售價(jià)由16元降為y元，設(shè)平均每次降價(jià)的百分率是久，貝如關(guān)于久的

函數(shù)表達(dá)式為：

y=16(1-x)2=16x2-32x+16,

即y=16x2—32x+16.

故答案為：y=16久2-32%+16.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了求二次函數(shù)解析式，明確題意，準(zhǔn)確得到等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

【變式8-3](23-24九年級(jí)上?全國(guó)?階段練習(xí))某學(xué)校去年對(duì)實(shí)驗(yàn)器材投資為2萬元，預(yù)計(jì)今明兩年的投資

總額為V萬元，年平均增長(zhǎng)率為x.則y與x的函數(shù)解析式.

【答案】y=2x2+6x+4

【分析】由已知可得今年投資是2(x+1)萬元，明年投資是2(1+x)2萬元；故尸2(x+1)+2(1+無)2.

【詳解】解：依題意可得y=2(x+l)+2(1+x)2=2X2+6X+4

故答案為y=2久2+6久+4.

【點(diǎn)睛】本題考核知識(shí)點(diǎn)：列二次函數(shù)，解題關(guān)鍵點(diǎn)：理解題意列出函數(shù)關(guān)系式.

【題型9列二次函數(shù)關(guān)系式(循環(huán))】

【例9】(23-24九年級(jí)上.遼寧大連?期中)已知有〃個(gè)球隊(duì)參加比賽，每?jī)申?duì)之間進(jìn)行一場(chǎng)比賽，比賽的場(chǎng)

次數(shù)為見則相關(guān)于"的函數(shù)解析式為.

【答案】m=-n2--n

22

【分析】根據(jù)W個(gè)球隊(duì)都要與除自己之外的(n-l)球隊(duì)個(gè)打一場(chǎng)，因此要打打(n-l)場(chǎng)，然而有重復(fù)一半的

場(chǎng)次，即可求出函數(shù)關(guān)系式.

【詳解】解：根據(jù)題意，得爪=與生=*-|n,

故答案為：m=In2-In.

22

【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)關(guān)系式，理解題意是解題的關(guān)鍵.

【變式9-1](23-24九年級(jí)上?全國(guó)?單元測(cè)試)寒假九(1)班n名同學(xué)為了相互表達(dá)春節(jié)的祝愿，約定每?jī)擅?/p>

同學(xué)之間互發(fā)一次信息，那么互發(fā)信息的總次數(shù)m與n的函數(shù)關(guān)系式可以表示為()

A.m=|n(n+1)B,m=|n(n—1)C.m=|n2D.m=n(n—1)

【答案】D

【分析】一共有n名同學(xué)，由于每?jī)擅瑢W(xué)之間互發(fā)一次信息，那么每一名同學(xué)都需給(n-1)名同學(xué)發(fā)一次

信息，進(jìn)而得出總次即可.

【詳解】：九(1)班n名同學(xué)為了相互表達(dá)春節(jié)的祝愿，約定每?jī)擅瑢W(xué)之間互發(fā)一次信息，

,互發(fā)信息的總次數(shù)m與n的函數(shù)關(guān)系式可以表示為：m=n(n-l).

故答案選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)關(guān)系式，解題的關(guān)鍵是根據(jù)實(shí)際問題列二次函數(shù)關(guān)系式.

【變式9-2](23-24九年級(jí)上.山東德州.階段練習(xí))有一個(gè)人患流感，經(jīng)過兩輪傳染后共有y人患了流感，

每輪傳染中，平均一個(gè)人傳染了x人，則y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為_.

【答案】y=x2+2x+l

【詳解】試題解析：第一輪流感后的人數(shù)為1+久，

第二輪流感后的人數(shù)為1+x++1)=%2+2%+1.

???y=x2+2x+1.

y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為:y=%2+2%+1.

故答案為y=x2+2x+i.

【變式9-3](23-24九年級(jí)上.甘肅定西?階段練習(xí))籃球聯(lián)賽中，每?jī)蓚€(gè)球隊(duì)之間進(jìn)行兩場(chǎng)比賽，設(shè)有尤個(gè)

球隊(duì)參賽計(jì)劃共打y場(chǎng)比賽，則y與X之間的函數(shù)關(guān)系為.

【答案】y=x2-x

【分析】根據(jù)題意找到比賽場(chǎng)數(shù)與球隊(duì)數(shù)量的關(guān)系即可.

【詳解】解：每個(gè)球隊(duì)和剩下的1)個(gè)球隊(duì)比賽，每?jī)蓚€(gè)球隊(duì)之間進(jìn)行兩場(chǎng)比賽，

???y=%(x—1)=x2—x.

故答案為：y=*一％.

【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，理解題意，正確得出二次函數(shù)的解析式是求解本題的關(guān)鍵.

【題型10列二次函數(shù)關(guān)系式(銷售)】

【例10】(23-24九年級(jí)上?廣東廣州?期末)某商店購(gòu)進(jìn)某種商品的價(jià)格是7.5元/件，在一段時(shí)間里，單價(jià)

是13.5元，銷售量是500件，而單價(jià)每降低1元就可多售出200件，當(dāng)銷售價(jià)為x元/件(7.5<x<13.5)

時(shí)，獲取利潤(rùn)y元，貝W與久的函數(shù)關(guān)系為()

A.y=(%-7.5)(500+%)B,y=(13.5-x)(500+200x)

C.y=O—7.5)(500+200x)D,以上答案都不對(duì)

【答案】D

【分析】當(dāng)銷售價(jià)為x元/件時(shí)，每件利潤(rùn)為0—7.5)元，銷售量為[500+200x(13.5-*)],根據(jù)利潤(rùn)=每