全國統(tǒng)考版2025屆高考數(shù)學二輪復習專題十一不等式梳理糾錯預測學案理含解析

2024年高考“2024年高考“最終三十天”專題透析好教化云平臺--教化因你我而變好教化云平臺--教化因你我而變不等式專題專題11××不等式命題趨勢命題趨勢不等式在高考當中的考查主要是作為選考內容，考查的重點為不等式的證明，肯定值不等式的解法，肯定值三角不等式的應用，恒成立問題，利用比較法、綜合法、分析法、反證法、放縮法證明不等式，柯西不等式的應用等，有時也會作為工具應用在解題當中，總體而言難度不大．考點清單考點清單學問點1．含肯定值不等式的解法1．肯定值三角不等式（1）定理1：假如a，b是實數(shù)，則|a+b|≤|a|+|b|，當且僅當（2）性質：|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|；（3）定理2：假如a，b，c是實數(shù)，則2．肯定值不等式的解法（1）含肯定值不等式|x|<a，不等式a>0a=0a<0|x|<a{x|-a<x<a}|x|>a{x|x>a或x<-a}{x|x∈RR（2）|ax+b|≤c(c>0)和|ax+b|≥c(c>0)型不等式的解法①|ax+b|≤c?②|ax+b|≥c?ax+b≥c或（3）|x-a|+|x-b|≥c(c>0)和|x-a|+|x-b|≤c(c>0)型不等式的解法解法一：利用肯定值不等式的幾何意義求解，體現(xiàn)了數(shù)形結合的思想；解法二：利用“零點分段法”求解，體現(xiàn)分類探討的思想；解法三：通過構造函數(shù)，利用函數(shù)的圖象求解，體現(xiàn)函數(shù)與方程的思想．學問點2：不等式的證明方法1．基本不等式定理一：設a，b∈R，定理二：假如a，b為正數(shù)，則，當且僅當a=b定理三：假如a，b，c為正數(shù)，則2．不等式的證明方法（1）比較法①作差比較：a>b?②作商比較：，．（2）分析法：從待證的不等式動身，逐步尋求使它成立的充分條件，直到將待證不等式歸結為一個已成立的不等式；（3）綜合法：從已知條件動身，利用不等式的有關性質或定理，經(jīng)過推理證明，推導出所要證明的不等式成立；（4）反證法①作出與所證不等式相反的假設；②從條件動身，應用正確的推理方法，推出沖突的結論，否定假設，從而證明原不等式成立．（5）放縮法：要證a<b，可找尋合適的中間量c有a<c，c<b，從而證得

精題集訓精題集訓（70分鐘）經(jīng)典訓練題經(jīng)典訓練題一、選擇題．1．若a，b∈R，則“a+b>4”是“a，A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【解析】當a+b>4時，假設a，b都不大于2，即a≤2，b≤2，則a+b≤4，這與a+b>4沖突，所以“a+b>4”是“a，b至少有一個大于2”的充分條件；但是，當a，b至少有一個大于2，如a=3，b=1，a+b=4，所以“a+b>4”不是“a，b至少有一個大于2”的必要條件，故選A．【點評】本題考查充分不必要條件的推斷，一般可依據(jù)如下規(guī)則推斷：（1）若是q的必要不充分條件，則q對應集合是對應集合的真子集；（2）若是q的充分不必要條件，則對應集合是q對應集合的真子集；（3）若是q的充分必要條件，則對應集合與q對應集合相等；（4）若是q的既不充分又不必要條件，則對的集合與q對應集合互不包含．2．（多選）若0<x<y<1，則下列結論正確的是（）A． B．C．， D．【答案】ABC【解析】因為0<x<y<1，所以0<xy<1，，所以，所以，故A正確；因為0<x<y<1，所以x>0>x-y，所以ex>e因為0<x<y<1，所以0<xn<yn因為0<x<y<1，所以0<logxy所以logxy<1<log故選ABC．【點評】本題主要考了均值不等式的運用條件，屬于基礎題．二、填空題．3．若x，y滿意約束條件，則的最大值為__________．【答案】14【解析】由線性約束條件作出可行域如圖，由可得，作直線，沿可行域的方向平移可知過點A時，取得最大值，由，可得，所以，所以，故答案為14．【點評】線性規(guī)劃求最值的常見類型．（1）線性目標函數(shù)求最值：轉化為直線的截距問題，結合圖形求解；（2）分式型目標函數(shù)最值：轉化為平面區(qū)域內的點與定點連線的斜率問題，結合圖形求解；（3）平方型目標函數(shù)求最值；轉為兩點間的距離問題，結合圖形求解．三、解答題．4．已知函數(shù)f(x)=|2x|+|x-1|，（1）求的解集；（2）若f(x)=kx有2個不同的實數(shù)根，求實數(shù)k的取值范圍．【答案】（1）或；（2）2<k<3．【解析】（I），得或或，解得或，所以的解集是或．（2）問題轉化為與有兩個交點，由圖易知：，，∴koA<k<k【點評】本題考查依據(jù)方程實數(shù)根的個數(shù)求參數(shù)的取值范圍，一般可采納1．干脆法：干脆求解方程得到方程的根，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；（2）分別參數(shù)法：先將參數(shù)分別，轉化成求函數(shù)值域問題加以解決；（3）數(shù)形結合：先對解析式變形，在同一平面直角坐標系中，畫出函數(shù)的圖象，然后視察求解，此時須要依據(jù)零點個數(shù)合理找尋“臨界”狀況，特殊留意邊界值的取舍．5．已知函數(shù)f(x)=|x+a|+|2x-3|．（1）當時，求f(x)的最小值；（2）當時，不等式恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．【答案】（1）最小值為；（2）．【解析】（1）當時，，由解析式可知，f(x)在-∞，-1和上單調遞減，且在x=-1在上單調遞增，故f(x)在處取得最小值，且，所以f(x)的最小值為．（2）∵x∈[a，2a-2]又x∈[a，2a-2]，，2x-3>0∴f(x)≤即a≤-2x+8在x∈令y=-2x+8在x∈[a，∴a≤-4a+12，解得，綜上，a的取值范圍為．【點評】本題考查分類探討解肯定值不等式，含有肯定值的不等式的恒成立問題，不等式恒成立問題常見方法：①分別參數(shù)a≥fx恒成立(a≥fxmax即可)或a≤f②數(shù)形結合(圖象在y=gx上方即可)；③探討最值fxmin或6．已知函數(shù)，記f(x)最小值為k．（1）求k的值；（2）若a，b，c為正數(shù)，且．求證：．【答案】（1）2；（2）證明見解析．【解析】（1）當時，；當時，；當時，．所以f(x)最小值為．（2）由題得a2．【點評】不等式的證明常用的方法有：（1）比較法；（2）綜合法；（3）分析法；（4）反證法；（5）數(shù)學歸納法；（6）放縮法．要依據(jù)已知條件敏捷選擇合適的方法證明．7．設不等式∣|x+1|-|x-1|∣<2（1）求集合A；（2）若a，b，【答案】（1）；（2）證明見解析．【解析】（1）由題意得，令，由|f(x)|<2，得，即．（2）要證，只需證1-abc>|ab-c∣只需，只需證1-a2只需證1-a由a，b，c∈A，得a綜上，．【點評】本題其次問考查分析法證明不等式，關鍵是將不等式轉化為1-abc>|ab-c分解因式，再利用（1）的結論證明．8．已知函數(shù)f(x)=2x+1+4x-5（1）求M；（2）若正實數(shù)a，b，c滿意a+b+c=2M，求：(a+1)【答案】（1）；（2）3．【解析】（1），如圖所示：，∴．（2）由（1）知a+b+c=7，∴(a+1)+(b-2)+(c-3)=(a+1)∴(a+b+c)-42∴7-42∴(a+1)2+(b-2)2+(c-3)2∴(a+1)2+(b-2【點評】本題考查肯定值函數(shù)及平方平均數(shù)與算數(shù)平均數(shù)的大小關系，屬于基礎題．9．已知函數(shù)．（1）解不等式；（2）若f(x)的最大值為m，且a+2b+c=m，其中a0，b0，c>3，求【答案】（1）；（2）4．【解析】（1），，故或或，，故不等式的解集為．（2）由題意知f(x)的最大值為6，故a+2b+c=6，，，，c>3，∴a+1>0，2b+2>0，c-3>0，，當且僅當a+1=2b+2=c-3，即，b=0，c=5時等號成立，的最大值為4．【點評】本題考查了肯定值不等式的解法和利用基本不等式求最值，考查了分類探討思想和轉化思想，屬于中檔題．高頻易錯題高頻易錯題一、填空題．1．已知正項等比數(shù)列an（n∈N*）滿意a7=a6+2a5【答案】【解析】∵正項等比數(shù)列{an}滿意：a7=a又a1≠0，q0，解得q=2∵存在兩項am，an使得am∴a12qm+n-2=16∴，當且僅當，即取等號，但此時，．又m+n=6，當，即m=1，n=5時，，當，即時，，則的最小值為，故答案為．【點評】本題考查等比數(shù)列的通項和基本不等式，事實上應用基本不等式是本題的重點和難點，關鍵留意當兩個數(shù)字的和是定值，要求兩個變量的倒數(shù)之和的最小值時，要乘以兩個數(shù)字之和，是中檔題．二、解答題．2．已知a+b=1，?a，b（1）若a>0，b>0，求的最小值；（2）求x的取值范圍．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）因為，取等號時，即，所以的最小值為3．（2）因為?a，b所以恒成立，即2x-2+x+1當x<-1時，2-2x-x-1≤3，此時無解；當x>1時，2x-2+x+1≤3，解得；當-1≤x≤1時，2-2x+x+1≤3，解得0≤x≤1，綜上可知：x的取值范圍為．【點評】利用基本不等式求最值時，要留意其必需滿意的三個條件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各項必需為正數(shù)；（2）“二定”就是要求和的最小值，必需把構成和的二項之積轉化成定值；要求積的最大值，則必需把構成積的因式的和轉化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值時，必需驗證等號成立的條件，若不能取等號則這個定值就不是所求的最值，這也是最簡單發(fā)生錯誤的地方．精準精準預料題一、選擇題．1．已知x，y滿意約束條件，則目標函數(shù)z=A． B． C． D．【答案】B【解析】畫出所表示的可行域如下圖所示：目標函數(shù)z=x由圖可知：原點到直線x+y-1=0的距離OP最短，又∵原點到x+y-1=0距離，，故選B．【點評】線性規(guī)劃求最值的常見類型．（1）線性目標函數(shù)求最值：轉化為直線的截距問題，結合圖形求解；（2）分式型目標函數(shù)最值：轉化為平面區(qū)域內的點與定點連線的斜率問題，結合圖形求解；（3）平方型目標函數(shù)求最值；轉為兩點間的距離問題，結合圖形求解．2．關于x的不等式的解為（）A．0<x<2 B．0<x<1 C．x<2 D．x>1【答案】B【解析】依據(jù)對數(shù)式有意義，可得x>0，不等式等價于x?log所以log2x<0，解得0<x<1【點評】該題考查的是有關求不等式的解集的問題，在解題的過程中，留意到x?二、解答題．3．已知函數(shù)fx（1）解不等式f(x)<4-2x-1（2）已知，若，求證．【答案】（1）；（2）證明見解析．【解析】（1）f(x)<4-2x-1等價于x+1當x<-1時，原不等式化為-(x+1)<4+(2x-1)，即，∴；當時，原不等式化為x+1<4+2x-1，即x>-2，∴；當時，原不等式化為x+1<4-2x+1，即，∴，綜上可得，原不等式的解集為．（2）證明：|x+a|-f(x)=x+a∵，∴-2≤a-1≤2，即a-1≤2，∴x+a-f∵，∴，∴，∴．【點評】本題主要考查了肯定值不等式的解法，函數(shù)的恒成立問題，基本不等式的應用，屬于中檔題．4．已知函數(shù)fx=x（1）當a=2時，解不等式fx（2）對隨意的，fx≥ax+1恒成立，求實數(shù)【答案】（1）；（2）．【解析】（1）當a=2時，fx=x2則不等式fx+f2當x≥1時，x2-2x-1≥0為恒成立，當x<1時，x2-2x-1解得x≤-1-3或x≥-1+∴x≤-1-3或-1+綜上，不等式fx+f2（2）不等式fx≥ax+1即對隨意的恒成立，即對隨意的恒成立，∵函數(shù)在區(qū)間上單調遞增，最小值為，∴，故實數(shù)a的取值范圍是．【點評】解肯定值不等式的常用方法：（1）基本性質法：a為正實數(shù)，x<a?-a<x<a，（2）平方法：兩邊平方去掉肯定值，適用于x-a<x-b或（3）分類探討法(零點分區(qū)間法)：含有兩個或兩個以上肯定值的不等式，可用分類探討法去掉肯定值，將其轉化為與之等價的不含肯定值符號的不等式求解；（4）幾何法：利用肯定值不等式的幾何意義，畫出數(shù)軸，將肯定值問題轉化為數(shù)軸上兩點的距離問題求解；（5）數(shù)形結合法：在直角坐標系中，作出不等式兩邊所對應的兩個函數(shù)的圖象，利用函數(shù)圖象求解．5．已知函數(shù)f(x)=x-2（1）求不等式f(x)≥2x+4的解集；（2）若f(x)的最小值為k，且實數(shù)a，b，c，滿意【答案】（1）(-∞，0]；（【解析】（1）①當x<-2時，不等式即為-2x≥2x+4，解得x≤-1，②當-2≤x≤2時，不等式即為4≥2x+4，x≤0，③當x>2時，不等式即為2x≥2x+4，，綜上，不等式f(x)≥2x+4的解集為(-∞，（2）由肯定值不等式的性質可得：|x-2|+|x+2|≥|(x-2)-(x+2)|=4，∴當-2≤x≤2時，f(x)取最小值4，即k=4，∴a(b+c)=4，即∴2當且僅當a=b=c=±2【點評】證明不等式常用的方法有：（1）比較法；（2）綜合法；（3）分析法；（4）放縮法；（5）數(shù)學歸納法；（6）反證法．要依據(jù)已知條件敏捷選擇方法證明．6．已知函數(shù)f(x)=|x-4|+|1-x|，．（1）解不等式：f(x)≤5；（2）記f(x)的最小值為M，若實數(shù)a，b滿意a2【答案】（1）x0≤x≤5，（2【解析】（1），因為f(x)≤5，所以或1≤x≤4或，所以4<x≤5或1≤x≤4或0≤x<1，所以