2024-2025學年新教材高中數(shù)學第五章計數(shù)原理2第1課時排列與排列數(shù)排列數(shù)公式學案北師大版選擇性必修第一冊

PAGE§2排列第1課時排列與排列數(shù)、排列數(shù)公式新課程標準學業(yè)水平要求通過實例，理解排列的概念，能利用計數(shù)原理推導排列數(shù)公式．1.理解排列的概念，能正確寫出一些簡潔問題的全部排列．(數(shù)學抽象)2．理解排列數(shù)公式的推導并應用．(邏輯推理)3．駕馭排列數(shù)公式并會運用．(數(shù)學運算)必備學問·自主學習1．排列：從n個不同元素中取出m(m≤n，且m，n∈N＋)個元素，依據(jù)肯定的依次排成一列，叫作從n個不同元素中取出m個元素的一個排列．2.相同排列的兩個條件(1)元素相同．(2)依次相同．(1)排列中“肯定的依次”的含義是什么？提示：肯定的依次就是指排列中的元素與位置有關(guān)，當位置不同時排列也就不同．(2)排列定義中的兩個要素是什么？提示：一是“取出不同的元素”，二是“將元素按肯定依次排列”．3．排列中元素所滿意的兩個特性(1)無重復性：從n個不同元素中取出m(m≤n，且m，n∈N＋)個不同的元素，否則不是排列問題．(2)有序性：支配這m個元素時是有依次的，有序的就是排列，無序的不是排列．檢驗它是否有依次的依據(jù)是變換元素的位置，看結(jié)果是否發(fā)生改變，有改變就是有依次，無改變就是無依次．(1)每一個排列中元素的位置是確定的嗎？提示：是，元素在排列中的位置不同排列也就不同．(2)同一個排列中，同一個元素能重復出現(xiàn)嗎？提示：由排列的定義知，在同一個排列中不能重復出現(xiàn)同一個元素．4．排列數(shù)及排列數(shù)公式排列數(shù)定義從n個不同元素中取出m(m≤n，且m，n∈N＋)個元素的全部不同排列的個數(shù)，叫作從n個不同元素中取出m個元素的排列數(shù)排列數(shù)表示法全排列n個不同元素全部取出的一個排列，叫作n個元素的一個全排列，且Aeq\o\al(\s\up1(n),\s\do1(n))＝n×(n－1)×…×3×2×1階乘正整數(shù)1到n的連乘積，叫作n的階乘，用n！表示排列數(shù)公式乘積式Aeq\o\al(\s\up1(m),\s\do1(n))＝n(n－1)(n－2)·…·[n－(m－1)]階乘式Aeq\o\al(\s\up1(m),\s\do1(n))＝規(guī)定Aeq\o\al(\s\up1(0),\s\do1(n))＝1，0?。?備注n，m∈N＋，m≤n(1)“得到從n個不同的元素中取出m個元素的一個排列”的含義是什么？提示：“得到從n個不同元素中取出m個元素的一個排列”，包含兩個方面：①從n個不同元素中取出m個元素；②依據(jù)肯定依次排列．(2)排列與排列數(shù)有何不同？提示：排列與排列數(shù)是兩個不同的概念，“排列”是指從n個不同元素中取出m個元素依據(jù)肯定依次排成一列，是一種排法；“排列數(shù)”是指從n個不同元素中取出m個元素所得不同排列的個數(shù)，是一個數(shù)，用Aeq\o\al(\s\up1(m),\s\do1(n))表示．1．辨析記憶(對的打“√”，錯的打“×”)(1)由于排列數(shù)的階乘式是一個分式，所以其化簡的結(jié)果不肯定是整數(shù)．()(2)在排列的問題中，總體中的元素可以有重復．()(3)用1，2，3這三個數(shù)字組成無重復數(shù)字的三位數(shù).123與321是不相同的排列．()(4)若Aeq\o\al(\s\up1(m),\s\do1(n))＝10×9×8×7×6，則n＝10，m＝6.()提示：(1)×.排列數(shù)是從若干個不同元素中取出若干個不同元素的排列的個數(shù)，所以排列數(shù)肯定是整數(shù)．(2)×.在排列問題中總體內(nèi)元素不能重復．(3)√.依據(jù)排列的定義可以推斷123與321是不同的排列．(4)×.在Aeq\o\al(\s\up1(m),\s\do1(n))中m表示連乘因數(shù)的個數(shù)，所以，n＝10，m＝5.2．3名男生和3名女生排成一排，男生不相鄰的排法有()A．144種 B．90種C．260種 D．120種【解析】選A.3名女生先排好，有Aeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(3))種排法，讓3個男生去插空，有Aeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(4))種方法，故共有Aeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(3))·Aeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(4))＝144種．3．9×10×11×…×20可表示為()A．Aeq\o\al(\s\up1(10),\s\do1(20))B．Aeq\o\al(\s\up1(11),\s\do1(20))C．Aeq\o\al(\s\up1(12),\s\do1(20))D．Aeq\o\al(\s\up1(13),\s\do1(20))【解析】選C.Aeq\o\al(\s\up1(12),\s\do1(20))＝20×19×18×…×(20－12＋1)＝20×19×18×…×9.4．從1，2，3中任取兩個數(shù)字組成不同的兩位數(shù)有________個．【解析】12，13，21，23，31，32，共6個．答案：6關(guān)鍵實力·合作學習類型一排列數(shù)的計算公式(數(shù)學運算)1．(2024·福州高二檢測)(x－2)(x－3)(x－4)·…·(x－15)(x∈N＋，x>15)可表示為()A．Aeq\o\al(\s\up1(13),\s\do1(x－2))B．Aeq\o\al(\s\up1(14),\s\do1(x－2))C．Aeq\o\al(\s\up1(13),\s\do1(x－15))D．Aeq\o\al(\s\up1(14),\s\do1(x－15))2．已知Aeq\o\al(\s\up1(m),\s\do1(n))＝11×10×9×8×…×5，則m＋n為________．3．(1)計算Aeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(15))和Aeq\o\al(\s\up1(6),\s\do1(6)).(2)用排列數(shù)表示(55－n)(56－n)·…·(69－n)(n∈N*且n＜55).(3)化簡：n(n＋1)(n＋2)(n＋3)·…·(n＋m).【解析】1.選B.由題意x∈N＋，x>15.其中最大的數(shù)(x－2)為n，則m＝(x－2)－(x－15)＋1＝14.所以(x－2)(x－3)(x－4)·…·(x－15)＝Aeq\o\al(\s\up1(14),\s\do1(x－2)).2．因為Aeq\o\al(\s\up1(m),\s\do1(n))＝11×10×9×8×…×5，所以n＝11，m＝(11－5)＋1＝7，m＋n＝18.答案：183．(1)Aeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(15))＝15×14×13＝2730，Aeq\o\al(\s\up1(6),\s\do1(6))＝6×5×4×3×2×1＝720.(2)因為55－n，56－n，…，69－n中的最大數(shù)為69－n，且共有(69－n)－(55－n)＋1＝15個數(shù)，所以(55－n)(56－n)·…·(69－n)＝Aeq\o\al(\s\up1(15),\s\do1(69－n)).(3)由排列數(shù)公式可知n(n＋1)(n＋2)(n＋3)·…·(n＋m)＝Aeq\o\al(\s\up1(m＋1),\s\do1(n＋m)).排列數(shù)的計算方法(1)排列數(shù)的計算主要是利用排列數(shù)的乘積公式進行，應用時留意：連續(xù)正整數(shù)的積可以寫成某個排列數(shù)，其中最大的是排列對象的總個數(shù)，而正整數(shù)(因式)的個數(shù)是選取對象的個數(shù)，這是排列數(shù)公式的逆用．(2)應用排列數(shù)公式的階乘形式時，一般寫出它們的式子后，再提取公因式，然后計算，這樣往往會削減運算量．【補償訓練】計算：eq\f(Aeq\o\al(\s\up1(6),\s\do1(7))－Aeq\o\al(\s\up1(5),\s\do1(6)),Aeq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(5)))＝________．【解析】Aeq\o\al(\s\up1(6),\s\do1(7))＝7×6×5×4×3×2，Aeq\o\al(\s\up1(5),\s\do1(6))＝6×5×4×3×2，Aeq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(5))＝5×4×3×2，所以eq\f(Aeq\o\al(\s\up1(6),\s\do1(7))－Aeq\o\al(\s\up1(5),\s\do1(6)),Aeq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(5)))＝7×6－6＝36.答案：36類型二簡潔問題中的排列(邏輯推理)1．若直線Ax＋By＝0的系數(shù)A，B可以從2，3，5，7中取不同的數(shù)值，則構(gòu)成的不同直線的條數(shù)是()A．12條B．9條C．8條D．4條2．某班上午要上語文、數(shù)學、體育和外語4門課，而體育老師因故不能上第一節(jié)和第四節(jié)，則不同排課方案的種數(shù)是()A．24B．22C．20D．123．寫出下列問題的全部排列：(1)從1，2，3，4四個數(shù)字中任取兩個數(shù)字組成兩位數(shù)，共有多少個不同的兩位數(shù)．(2)由1，2，3，4四個數(shù)字能組成多少個沒有重復數(shù)字的四位數(shù)，試全部列出．【解析】1.選A.畫樹狀圖如下：故共有12條．2．選D.分兩步排課：體育可以排其次節(jié)或第三節(jié)有兩種排法；其他科目有：語文、數(shù)學、外語語文、外語、數(shù)學數(shù)學、語文、外語數(shù)學、外語、語文外語、語文、數(shù)學外語、數(shù)學、語文共6種排法，所以依據(jù)分步乘法計數(shù)原理可知共有2×6＝12種排課方案．3．(1)全部兩位數(shù)是12，21，13，31，14，41，23，32，24，42，34，43，共有12個不同的兩位數(shù)．(2)畫出樹狀圖，如圖所示．由上面的樹狀圖可知，全部的四位數(shù)為1234、1243、1324、1342、1423、1432、2134、2143、2314、2341、2413、2431、3124、3142、3214、3241、3412、3421、4123、4132、4213、4231、4312、4321，共24個四位數(shù)．利用“樹狀圖”法解決簡潔排列問題的適用范圍及策略(1)適用范圍：“樹狀圖”在解決排列對象個數(shù)不多的問題時，是一種比較有效的表示方式．(2)策略：在操作中先將對象按肯定依次排出，然后以先支配哪個對象為分類標準進行分類，再支配其次個對象，并按此對象分類，依次進行，直到完成一個排列，這樣能做到不重不漏，然后再按樹狀圖寫出排列．類型三排列與排列數(shù)公式的簡潔應用(邏輯推理、數(shù)學運算)【典例】1.5名成人帶兩個小孩排隊上山，小孩不排在一起也不排在頭尾，則不同的排法種數(shù)為()A．Aeq\o\al(\s\up1(5),\s\do1(5))Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(4)) B．Aeq\o\al(\s\up1(5),\s\do1(5))Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(5))C．Aeq\o\al(\s\up1(5),\s\do1(5))Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(6)) D．Aeq\o\al(\s\up1(7),\s\do1(7))－4Aeq\o\al(\s\up1(6),\s\do1(6))2．有2名老師，3名男生，3名女生站成一排照相留念，在下列狀況中，各有多少種不同站法．(1)3名男生必需站在一起．(2)2名老師不能相鄰．【思路導引】1．先將5名成人進行排列，再依據(jù)題中條件對小孩進行排列．2．(1)男生必需相鄰，可把三個男生看成一個整體，進行全排列，再乘以三個男生的全排列，即可計算結(jié)果；(2)先把6名學生進行全排列，利用插空法插入兩名老師，即可得到計算結(jié)果．【解析】1.選A.首先5名成人先排隊，共有Aeq\o\al(\s\up1(5),\s\do1(5))種排法，然后把兩個小孩插進中間的4個空中，共有Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(4))種排法，依據(jù)分步乘法計數(shù)原理，共有Aeq\o\al(\s\up1(5),\s\do1(5))Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(4))種排法．2．(1)把3名男生看成一個整體與其他人排列有Aeq\o\al(\s\up1(6),\s\do1(6))種，再來考慮3名男生間的依次有Aeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(3))種，故3名男生必需站在一起的排法有Aeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(3))Aeq\o\al(\s\up1(6),\s\do1(6))＝4320種．(2)6名學生先站成一排有Aeq\o\al(\s\up1(6),\s\do1(6))種站法，再插入兩名老師有Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(7))種插法，故2名老師不相鄰的站法有Aeq\o\al(\s\up1(6),\s\do1(6))Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(7))＝30240種．解簡潔排列應用題的思路(1)仔細分析題意，看能否把問題歸結(jié)為排列問題，即是否有依次．(2)假如是的話，再進一步分析，這里n個不同的對象指的是什么，以及從n個不同的對象中任取m(m≤n)個對象的每一種排列對應的是什么事務(wù)．(3)運用排列數(shù)公式求解．提示：解答相關(guān)的應用題時不要忽視n為正整數(shù)這一條件．小五、小一、小節(jié)、小快、小樂五位同學站成一排，若小一不出現(xiàn)在首位和末位，小五、小節(jié)、小樂中有且僅有兩人相鄰，求能滿意條件的不同排法共有多少種．【解析】按小一的位置分三類：①當小一出現(xiàn)在第2位時，則第1位必為小五、小節(jié)、小樂中的一位同學，所以滿意條件的不同排法有3Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))＝12種；②當小一出現(xiàn)在第3位時，則第1位、第2位為小五、小節(jié)、小樂中的兩位同學或第4位、第5位為小五、小節(jié)、小樂中的兩位同學，所以滿意條件的不同排法有2Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(3))Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))＝24種；③當小一出現(xiàn)在第4位時，則第5位必為小五、小節(jié)、小樂中的一位同學，所以滿意條件的不同排法有3Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))＝12種．綜上，共有12＋24＋12＝48種．課堂檢測·素養(yǎng)達標1．已知下列問題：(1)從甲、乙、丙三名同學中選出兩名分別參與數(shù)學和物理學習小組．(2)從甲、乙、丙三名同學中選出兩名同學參與一項活動．(3)從a，b，c，d四個字母中取出2個字母．(4)從1，2，3，4四個數(shù)字中取出2個數(shù)字組成一個兩位數(shù)．其中是排列問題的有()A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【解析】選B.(1)是排列問題，因為兩名同學參與的學習小組與依次有關(guān)．(2)不是排列問題，因為兩名同學參與的活動與依次無關(guān)．(3)不是排列問題，因為取出的兩個字母與依次無關(guān)．(4)是排列問題，因為取出的兩個數(shù)字還須要按依次排成一列．2．(x－3)(x－4)(x－5)…(x－12)(x－13)，x∈N*，x>13可表示為()A．Aeq\o\al(\s\up1(10),\s\do1(x－3)) B．Aeq\o\al(\s\up1(11),\s\do1(x－3)) C．Aeq\o\al(\s\up1(10),\s\do1(x－13)) D．Aeq\o\al(\s\up1(11),\s\do1(x－13))【解析】選B.從(x－3)到(x－13)共(x－3)－(x－13)＋1＝11個數(shù)，所以依據(jù)排列數(shù)公式知(x－3)(x－4)(x－5)·…·(x－12)(x－13)＝Aeq\o\al(\s\up1(11),\s\do1(x－3)).3．已知Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(n))＝132，則n＝()A．11 B．