專(zhuān)題08 數(shù)列（5大易錯(cuò)點(diǎn)分析+解題模板+舉一反三+易錯(cuò)題通關(guān)）（新高考專(zhuān)用）含答案及解析

專(zhuān)題08數(shù)列易錯(cuò)點(diǎn)一：混淆數(shù)列與函數(shù)的區(qū)別（數(shù)列求最值問(wèn)題）1、等差數(shù)列的定義（1）文字語(yǔ)言：一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差都等于同一個(gè)常數(shù)；（2）符號(hào)語(yǔ)言：(，為常數(shù))．2、等差中項(xiàng)：若三個(gè)數(shù)a，A，b組成等差數(shù)列，則A叫做a，b的等差中項(xiàng)．3、通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式（1）通項(xiàng)公式：．（2）前項(xiàng)和公式：．（3）等差數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系=1\*GB3①通項(xiàng)公式：當(dāng)公差時(shí)，等差數(shù)列的通項(xiàng)公式是關(guān)于的一次函數(shù)，且一次項(xiàng)系數(shù)為公差.若公差，則為遞增數(shù)列，若公差，則為遞減數(shù)列．=2\*GB3②前n項(xiàng)和：當(dāng)公差時(shí)，是關(guān)于的二次函數(shù)且常數(shù)項(xiàng)為0.已知數(shù)列是等差數(shù)列，是其前項(xiàng)和．1、等差數(shù)列通項(xiàng)公式的性質(zhì)：（1）通項(xiàng)公式的推廣：．（2）若，則．（3）若的公差為d，則也是等差數(shù)列，公差為．（4）若是等差數(shù)列，則也是等差數(shù)列．2、等差數(shù)列前項(xiàng)和的性質(zhì)（1）；（2）；（3）兩個(gè)等差數(shù)列，的前n項(xiàng)和，之間的關(guān)系為.（4）數(shù)列，，，…構(gòu)成等差數(shù)列．3、關(guān)于等差數(shù)列奇數(shù)項(xiàng)和與偶數(shù)項(xiàng)和的性質(zhì)（1）若項(xiàng)數(shù)為，則，；（2）若項(xiàng)數(shù)為，則，，，.最值問(wèn)題：解決此類(lèi)問(wèn)題有兩種思路：一是利用等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式，可用配方法求最值，也可用頂點(diǎn)坐標(biāo)法求最值；二是依據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，當(dāng)時(shí)，數(shù)列一定為遞增數(shù)列，當(dāng)時(shí)，數(shù)列一定為遞減數(shù)列．所以當(dāng)，且時(shí)，無(wú)窮等差數(shù)列的前項(xiàng)和有最大值，其最大值是所有非負(fù)項(xiàng)的和；當(dāng)，且時(shí)，無(wú)窮等差數(shù)列的前項(xiàng)和有最小值，其最小值是所有非正項(xiàng)的和，求解非負(fù)項(xiàng)是哪一項(xiàng)時(shí)，只要令即可易錯(cuò)提醒：數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，在求解數(shù)列問(wèn)題時(shí)有時(shí)可以利用函數(shù)的性質(zhì)，但是在利用函數(shù)單調(diào)性求解數(shù)列問(wèn)題，要注意的取值不是連續(xù)實(shí)數(shù)，忽略這一點(diǎn)很容易出錯(cuò).例．已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，，求取得最大值時(shí)對(duì)應(yīng)的n值.變式1．?dāng)?shù)列是等差數(shù)列，，．(1)從第幾項(xiàng)開(kāi)始有？(2)求此數(shù)列的前項(xiàng)和的最大值．變式2．記為等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，已知，．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)求的最小值．變式3．等差數(shù)列，，公差．(1)求通項(xiàng)公式和前項(xiàng)和公式；(2)當(dāng)取何值時(shí)，前項(xiàng)和最大，最大值是多少．1．已知數(shù)列是等差數(shù)列，若，，且數(shù)列的前項(xiàng)和，有最大值，當(dāng)時(shí)，的最大值為（

）A．20 B．17 C．19 D．212．已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，且，則取得最小值時(shí)n的值為（

）A．5 B．6 C．7 D．83．已知數(shù)列中，若其前n項(xiàng)和為Sn，則Sn的最大值為（

）A．15 B．750 C． D．4．若是等差數(shù)列，首項(xiàng)，，，則使前項(xiàng)和成立的最大自然數(shù)是（

）A．2021 B．2022 C．4042 D．40435．設(shè)是等差數(shù)列，是其前n項(xiàng)和，且，，則下列結(jié)論正確的是（

）.A． B．C． D．與均為的最大值6．設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，公差為．已知，，，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．設(shè)的前項(xiàng)和為，則時(shí)，的最大值為277．已知數(shù)列的前項(xiàng)和滿足，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．是為等差數(shù)列的充要條件B．可能為等比數(shù)列C．若，，則為遞增數(shù)列D．若，則中，，最大8．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和，則下列結(jié)論正確的是（

）A．是等差數(shù)列 B．C． D．有最大值9．?dāng)?shù)列的前項(xiàng)和為，已知，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．是遞增數(shù)列 B．C．當(dāng)時(shí)， D．當(dāng)或4時(shí)，取得最大值10．等比數(shù)列中，，則數(shù)列的前項(xiàng)和的最大值為．11．記等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，，則當(dāng)取得最大值時(shí)，n＝．易錯(cuò)點(diǎn)二：忽視兩個(gè)“中項(xiàng)”的區(qū)別（等比數(shù)列利用中項(xiàng)求其它）1、等比數(shù)列的定義：如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于同一個(gè)非零常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列叫做等比數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，公比通常用字母表示。數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)式：(，為非零常數(shù))．2、等比中項(xiàng)性質(zhì)：如果三個(gè)數(shù)，，成等比數(shù)列，那么叫做與的等比中項(xiàng)，其中.注意：同號(hào)的兩個(gè)數(shù)才有等比中項(xiàng)。3、通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式（1）通項(xiàng)公式：若等比數(shù)列的首項(xiàng)為，公比是，則其通項(xiàng)公式為；通項(xiàng)公式的推廣：.（2）等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.已知是等比數(shù)列，是數(shù)列的前項(xiàng)和．（等比中項(xiàng)）1、等比數(shù)列的基本性質(zhì)（1）相隔等距離的項(xiàng)組成的數(shù)列仍是等比數(shù)列，即，，，…仍是等比數(shù)列，公比為.（2）若，（項(xiàng)數(shù)相同）是等比數(shù)列，則，，，，仍是等比數(shù)列．（3）若，則有口訣：角標(biāo)和相等，項(xiàng)的積也相等推廣：（4）若是等比數(shù)列，且，則（且）是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列。（5）若是等比數(shù)列，，則構(gòu)成公比為的等比數(shù)列。易錯(cuò)提醒：若成等比數(shù)列，則為和的等比中項(xiàng)。只有同號(hào)的兩數(shù)才有等比中項(xiàng)，“”僅是“為和的等比中項(xiàng)”的必要不充分條件，在解題時(shí)務(wù)必要注意此點(diǎn)。例．已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列中，，則等于（

）A．5 B．10 C．15 D．20變式1．已知等差數(shù)列的公差，且，，成等比數(shù)列，則(

)A． B． C． D．變式2．已知，如果，，，，成等比數(shù)列，那么（

）A．， B．，C．， D．，變式3．已知等比數(shù)列中，，，則（

）A． B． C．或 D．1．已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，公差不為0，若滿足、、成等比數(shù)列，則的值為（

）A．2 B．3 C． D．不存在2．已知公差不為零的等差數(shù)列中，，且，，成等比數(shù)列，則數(shù)列的前9項(xiàng)的和為（

）A．1 B．2 C．81 D．803．已知，，則使得成等比數(shù)列的充要條件的值為（

）A．1 B． C．5 D．4．已知等差數(shù)列的公差不為0，且成等比數(shù)列，則錯(cuò)誤的是（

）A． B． C． D．5．正項(xiàng)等比數(shù)列中，是與的等差中項(xiàng)，若，則（

）A．4 B．8 C．32 D．646．已知實(shí)數(shù)4，m，9構(gòu)成一個(gè)等比數(shù)列，則圓錐曲線＋y2＝1的離心率為（

）A． B． C．或 D．或77．?dāng)?shù)列為等比數(shù)列，，，命題，命題是、的等比中項(xiàng)，則是的（

）條件A．充要 B．充分不必要 C．必要不充分 D．既不充分也不必要8．在數(shù)列中，，，則（

）．A． B．C． D．9．已知是等差數(shù)列，公差，前項(xiàng)和為，若，，成等比數(shù)列，則A．， B．， C．， D．，10．?dāng)?shù)1與4的等差中項(xiàng)，等比中項(xiàng)分別是（

）A．， B．， C．， D．，11．已知數(shù)列是等差數(shù)列，，其中公差，若是和的等比中項(xiàng)，則（

）A．398 B．388C．189 D．199易錯(cuò)點(diǎn)三：忽略等比數(shù)列求和時(shí)對(duì)的討論（等比數(shù)列求和）等比數(shù)列前項(xiàng)和的性質(zhì)（1）在公比或且為奇數(shù)時(shí)，，，，……仍成等比數(shù)列，其公比為；（2）對(duì)，有；（3）若等比數(shù)列共有項(xiàng)，則，其中，分別是數(shù)列的偶數(shù)項(xiàng)和與奇數(shù)項(xiàng)和；（4）等比數(shù)列的前項(xiàng)和，令，則（為常數(shù)，且）易錯(cuò)提醒：注意等比數(shù)列的求和公式是分段表示的：，所以在利用等比數(shù)列求和公式求和時(shí)要先判斷公比是否可能為1，，若公比未知，則要注意分兩種情況q＝1和q≠1討論..例．設(shè)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為.已知，，則.變式1．記為等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，若，，則．變式2．在等比數(shù)列中，，，令，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．變式3．?dāng)?shù)列前項(xiàng)和滿足，數(shù)列滿足．(1)求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；(2)對(duì)任意，將數(shù)列中落入?yún)^(qū)間內(nèi)項(xiàng)的個(gè)數(shù)記為，求數(shù)列前項(xiàng)和．1．已知為等比數(shù)列，其公比，前7項(xiàng)的和為1016，則的值為（

）A．8 B．10 C．12 D．162．已知正項(xiàng)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則（

）A． B． C． D．3．已知，，（，），為其前項(xiàng)和，則（

）A． B． C． D．4．在等比數(shù)列中，，，則（

）A．的公比為4 B．的前20項(xiàng)和為170C．的前10項(xiàng)積為 D．的前n項(xiàng)和為5．已知正項(xiàng)等比數(shù)列的前n和為，若，且，則滿足的n的最大值為.6．已知等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，且－3，，成等差數(shù)列，則數(shù)列的通項(xiàng)．7．設(shè)為等比數(shù)列的前項(xiàng)和，若，，則8．已知正項(xiàng)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，且，則．9．已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，則．10．?dāng)?shù)列的前n項(xiàng)和為，且，，則滿足的最小的自然數(shù)n的值為．11．在正項(xiàng)等比數(shù)列中，已知，，則公比．易錯(cuò)點(diǎn)四：由求時(shí)忽略對(duì)“”的檢驗(yàn)（求通項(xiàng)公式）類(lèi)型1觀察法：已知數(shù)列前若干項(xiàng)，求該數(shù)列的通項(xiàng)時(shí)，一般對(duì)所給的項(xiàng)觀察分析，尋找規(guī)律，從而根據(jù)規(guī)律寫(xiě)出此數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)．類(lèi)型2公式法：若已知數(shù)列的前項(xiàng)和與的關(guān)系，求數(shù)列的通項(xiàng)可用公式構(gòu)造兩式作差求解．用此公式時(shí)要注意結(jié)論有兩種可能，一種是“一分為二”，即分段式；另一種是“合二為一”，即和合為一個(gè)表達(dá)，（要先分和兩種情況分別進(jìn)行運(yùn)算，然后驗(yàn)證能否統(tǒng)一）．類(lèi)型3累加法：形如型的遞推數(shù)列（其中是關(guān)于的函數(shù)）可構(gòu)造：將上述個(gè)式子兩邊分別相加，可得：=1\*GB3①若是關(guān)于的一次函數(shù)，累加后可轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列求和；=2\*GB3②若是關(guān)于的指數(shù)函數(shù)，累加后可轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求和；=3\*GB3③若是關(guān)于的二次函數(shù)，累加后可分組求和；=4\*GB3④若是關(guān)于的分式函數(shù)，累加后可裂項(xiàng)求和．類(lèi)型4累乘法：形如型的遞推數(shù)列（其中是關(guān)于的函數(shù)）可構(gòu)造：將上述個(gè)式子兩邊分別相乘，可得：有時(shí)若不能直接用，可變形成這種形式，然后用這種方法求解．類(lèi)型5構(gòu)造數(shù)列法：（一）形如（其中均為常數(shù)且）型的遞推式：（1）若時(shí)，數(shù)列{}為等差數(shù)列；（2）若時(shí)，數(shù)列{}為等比數(shù)列；（3）若且時(shí)，數(shù)列{}為線性遞推數(shù)列，其通項(xiàng)可通過(guò)待定系數(shù)法構(gòu)造等比數(shù)列來(lái)求．方法有如下兩種：法一：設(shè)，展開(kāi)移項(xiàng)整理得，與題設(shè)比較系數(shù)（待定系數(shù)法）得，即構(gòu)成以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列．再利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求出的通項(xiàng)整理可得法二：由得兩式相減并整理得即構(gòu)成以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列．求出的通項(xiàng)再轉(zhuǎn)化為類(lèi)型Ⅲ（累加法）便可求出（二）形如型的遞推式：（1）當(dāng)為一次函數(shù)類(lèi)型（即等差數(shù)列）時(shí)：法一：設(shè)，通過(guò)待定系數(shù)法確定的值，轉(zhuǎn)化成以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列，再利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求出的通項(xiàng)整理可得法二：當(dāng)?shù)墓顬闀r(shí)，由遞推式得：，兩式相減得：，令得：轉(zhuǎn)化為類(lèi)型Ⅴ㈠求出，再用類(lèi)型Ⅲ（累加法）便可求出（2）當(dāng)為指數(shù)函數(shù)類(lèi)型（即等比數(shù)列）時(shí)：法一：設(shè)，通過(guò)待定系數(shù)法確定的值，轉(zhuǎn)化成以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列，再利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求出的通項(xiàng)整理可得法二：當(dāng)?shù)墓葹闀r(shí)，由遞推式得：——①，，兩邊同時(shí)乘以得——②，由①②兩式相減得，即，在轉(zhuǎn)化為類(lèi)型Ⅴ㈠便可求出法三：遞推公式為（其中p，q均為常數(shù)）或（其中p，q，r均為常數(shù)）時(shí)，要先在原遞推公式兩邊同時(shí)除以，得：，引入輔助數(shù)列（其中），得：再應(yīng)用類(lèi)型Ⅴ㈠的方法解決．（3）當(dāng)為任意數(shù)列時(shí)，可用通法：在兩邊同時(shí)除以可得到，令，則，在轉(zhuǎn)化為類(lèi)型Ⅲ（累加法），求出之后得．類(lèi)型6對(duì)數(shù)變換法：形如型的遞推式：在原遞推式兩邊取對(duì)數(shù)得，令得：，化歸為型，求出之后得（注意：底數(shù)不一定要取10，可根據(jù)題意選擇）．類(lèi)型7倒數(shù)變換法：形如（為常數(shù)且）的遞推式：兩邊同除于，轉(zhuǎn)化為形式，化歸為型求出的表達(dá)式，再求；還有形如的遞推式，也可采用取倒數(shù)方法轉(zhuǎn)化成形式，化歸為型求出的表達(dá)式，再求．類(lèi)型8形如型的遞推式：用待定系數(shù)法，化為特殊數(shù)列的形式求解．方法為：設(shè)，比較系數(shù)得，可解得，于是是公比為的等比數(shù)列，這樣就化歸為型．總之，求數(shù)列通項(xiàng)公式可根據(jù)數(shù)列特點(diǎn)采用以上不同方法求解，對(duì)不能轉(zhuǎn)化為以上方法求解的數(shù)列，可用歸納、猜想、證明方法求出數(shù)列通項(xiàng)公式易錯(cuò)提醒：在數(shù)列問(wèn)題中，數(shù)列的通項(xiàng)與其前n項(xiàng)和之間關(guān)系如下，在使用這個(gè)關(guān)系式時(shí)，要牢牢記住其分段的特點(diǎn)。當(dāng)題中給出數(shù)列｛｝的與關(guān)系時(shí)，先令求出首項(xiàng)，然后令求出通項(xiàng)，最后代入驗(yàn)證。解答此類(lèi)題常見(jiàn)錯(cuò)誤為直接令求出通項(xiàng)，也不對(duì)進(jìn)行檢驗(yàn).例．已知數(shù)列和，其中的前項(xiàng)和為，且，.(1)分別求出數(shù)列和的通項(xiàng)公式；(2)記，求證：.變式1．?dāng)?shù)列的前n項(xiàng)和，已知，，k為常數(shù).(1)求常數(shù)k和數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，證明：變式2．設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)記，數(shù)列的前項(xiàng)和為.證明：對(duì)一切正整數(shù)，.變式3．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且（）.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.1．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.(1)當(dāng)時(shí)，求；(2)若為等比數(shù)列，求的值.2．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且與的等差中項(xiàng)為.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式.(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.3．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，.(1)求；(2)記，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.4．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足，，當(dāng)時(shí)，是4的常數(shù)列.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)當(dāng)時(shí)，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明：.5．在數(shù)列中，，是的前n項(xiàng)和，且數(shù)列是公差為的等差數(shù)列．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．6．已知數(shù)列的前項(xiàng)和是，且.(1)證明：是等比數(shù)列.(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.7．已知首項(xiàng)為4的數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且．(1)求證：數(shù)列為等比數(shù)列；(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和．8．設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：．9．設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且滿足．(1)求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求時(shí)，n的最小值．10．已知為數(shù)列的前項(xiàng)和，，．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)若，，求數(shù)列的前項(xiàng)和．11．已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，（且）．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．易錯(cuò)點(diǎn)五：裂項(xiàng)求和留項(xiàng)出錯(cuò)（數(shù)列求和）常見(jiàn)的裂項(xiàng)技巧積累裂項(xiàng)模型1：等差型（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）（11）（12）積累裂項(xiàng)模型2：根式型（1）（2）（3）（4）（5）（6）積累裂項(xiàng)模型3：指數(shù)型（1）（2）（3）（4）（5）（6），設(shè)，易得，于是（7）積累裂項(xiàng)模型4：對(duì)數(shù)型積累裂項(xiàng)模型5：三角型（1）（2）（3）（4），則積累裂項(xiàng)模型6：階乘（1）（2）常見(jiàn)放縮公式：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）；（9）；（10）；（11）；（12）；（13）．（14）．易錯(cuò)提醒：用裂項(xiàng)相消法求和時(shí)，裂項(xiàng)后可以產(chǎn)生連續(xù)相互抵消的項(xiàng)，但是要注意抵消后并不一定只剩下第一項(xiàng)和最后一項(xiàng)，也有可能前面剩兩項(xiàng)，后面也剩兩項(xiàng)，一般來(lái)說(shuō)前面剩余幾項(xiàng)后面也剩余幾項(xiàng)，若前面剩余的正數(shù)項(xiàng)，則后面剩余的是負(fù)數(shù)項(xiàng)。例．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，證明：.變式1．記為數(shù)列的前n項(xiàng)和，滿足，.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)證明：.變式2．已知首項(xiàng)為1的數(shù)列，其前項(xiàng)利為，且數(shù)列是公差為1的等差數(shù)列．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和．變式3．已知數(shù)列為非零數(shù)列，且滿足.(1)求及數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足，證明：.1．已知是數(shù)列的前項(xiàng)和，，且成等比數(shù)列．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式．(2)設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明：．2．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足，，當(dāng)時(shí)，是4的常數(shù)列.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)當(dāng)時(shí)，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明：.3．在數(shù)列中，為數(shù)列的前項(xiàng)和，且滿足.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若.求數(shù)列的前項(xiàng)和.4．設(shè)數(shù)列前n項(xiàng)和為，，.(1)求，及的通項(xiàng)公式；(2)若，證明：.5．已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，數(shù)列的前n項(xiàng)之積為，，且．(1)求；(2)令，求正整數(shù)n，使得“”與“是，的等差中項(xiàng)”同時(shí)成立；(3)設(shè)，，求數(shù)列的前2n項(xiàng)和．6．設(shè)是等比數(shù)列的公比大于，其前項(xiàng)和為，是等差數(shù)列，已知，，，.(1)求，的通項(xiàng)公式(2)設(shè)，求；(3)設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，求.7．已知數(shù)列滿足.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式(2)若，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，證明：.8．設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和，(1)求的通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)列的最小項(xiàng)為第項(xiàng)，求；(3)設(shè)數(shù)的前項(xiàng)和為，證明：9．已知正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.(1)求；(2)設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明：.10．已知數(shù)列滿足，且.(1)證明：是等比數(shù)列，并求的通項(xiàng)公式；(2)已知數(shù)列滿足，求的前項(xiàng)和.

專(zhuān)題08數(shù)列易錯(cuò)點(diǎn)一：混淆數(shù)列與函數(shù)的區(qū)別（數(shù)列求最值問(wèn)題）1、等差數(shù)列的定義（1）文字語(yǔ)言：一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差都等于同一個(gè)常數(shù)；（2）符號(hào)語(yǔ)言：(，為常數(shù))．2、等差中項(xiàng)：若三個(gè)數(shù)a，A，b組成等差數(shù)列，則A叫做a，b的等差中項(xiàng)．3、通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式（1）通項(xiàng)公式：．（2）前項(xiàng)和公式：．（3）等差數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系=1\*GB3①通項(xiàng)公式：當(dāng)公差時(shí)，等差數(shù)列的通項(xiàng)公式是關(guān)于的一次函數(shù)，且一次項(xiàng)系數(shù)為公差.若公差，則為遞增數(shù)列，若公差，則為遞減數(shù)列．=2\*GB3②前n項(xiàng)和：當(dāng)公差時(shí)，是關(guān)于的二次函數(shù)且常數(shù)項(xiàng)為0.已知數(shù)列是等差數(shù)列，是其前項(xiàng)和．1、等差數(shù)列通項(xiàng)公式的性質(zhì)：（1）通項(xiàng)公式的推廣：．（2）若，則．（3）若的公差為d，則也是等差數(shù)列，公差為．（4）若是等差數(shù)列，則也是等差數(shù)列．2、等差數(shù)列前項(xiàng)和的性質(zhì)（1）；（2）；（3）兩個(gè)等差數(shù)列，的前n項(xiàng)和，之間的關(guān)系為.（4）數(shù)列，，，…構(gòu)成等差數(shù)列．3、關(guān)于等差數(shù)列奇數(shù)項(xiàng)和與偶數(shù)項(xiàng)和的性質(zhì)（1）若項(xiàng)數(shù)為，則，；（2）若項(xiàng)數(shù)為，則，，，.最值問(wèn)題：解決此類(lèi)問(wèn)題有兩種思路：一是利用等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式，可用配方法求最值，也可用頂點(diǎn)坐標(biāo)法求最值；二是依據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，當(dāng)時(shí)，數(shù)列一定為遞增數(shù)列，當(dāng)時(shí)，數(shù)列一定為遞減數(shù)列．所以當(dāng)，且時(shí)，無(wú)窮等差數(shù)列的前項(xiàng)和有最大值，其最大值是所有非負(fù)項(xiàng)的和；當(dāng)，且時(shí)，無(wú)窮等差數(shù)列的前項(xiàng)和有最小值，其最小值是所有非正項(xiàng)的和，求解非負(fù)項(xiàng)是哪一項(xiàng)時(shí)，只要令即可易錯(cuò)提醒：數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，在求解數(shù)列問(wèn)題時(shí)有時(shí)可以利用函數(shù)的性質(zhì)，但是在利用函數(shù)單調(diào)性求解數(shù)列問(wèn)題，要注意的取值不是連續(xù)實(shí)數(shù)，忽略這一點(diǎn)很容易出錯(cuò).例．已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，，求取得最大值時(shí)對(duì)應(yīng)的n值.【詳解】在等差數(shù)列中，，則，而，于是公差，因此，由，得，顯然數(shù)列是遞減等差數(shù)列，前5項(xiàng)都是非負(fù)數(shù)，從第6項(xiàng)起為負(fù)數(shù)，所以的最大值為，此時(shí)或.變式1．?dāng)?shù)列是等差數(shù)列，，．(1)從第幾項(xiàng)開(kāi)始有？(2)求此數(shù)列的前項(xiàng)和的最大值．【詳解】（1）因?yàn)椋?，所以．令，則．由于，故當(dāng)時(shí)，，即從第項(xiàng)開(kāi)始各項(xiàng)均小于；（2）方法1：．當(dāng)取最接近于的自然數(shù)，即時(shí)，取到最大值．方法2：因?yàn)?，，由?），知，，所以，且．所以．變式2．記為等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，已知，．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)求的最小值．【詳解】（1）設(shè)公差為，，∴，解得，∴．（2）∵，，∴＝，∴當(dāng)時(shí)，最小，最小值為．變式3．等差數(shù)列，，公差．(1)求通項(xiàng)公式和前項(xiàng)和公式；(2)當(dāng)取何值時(shí)，前項(xiàng)和最大，最大值是多少．【詳解】（1）由為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，則，解得，，則，.（2）由，則數(shù)列為遞減數(shù)列，由，，則當(dāng)時(shí)，取得最大值，即最大值為.1．已知數(shù)列是等差數(shù)列，若，，且數(shù)列的前項(xiàng)和，有最大值，當(dāng)時(shí)，的最大值為（

）A．20 B．17 C．19 D．21【答案】C【分析】可判斷數(shù)列是遞減的等差數(shù)列，利用前項(xiàng)和公式和等差數(shù)列的性質(zhì)可得進(jìn)而可得的最大值．【詳解】因?yàn)?，所以和異?hào)，又等差數(shù)列的前項(xiàng)和有最大值，所以數(shù)列是遞減的等差數(shù)列，所以，，所以，，所以當(dāng)時(shí)，的最大值為19．故選：C．2．已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，且，則取得最小值時(shí)n的值為（

）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】B【分析】由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，求得，，進(jìn)而得到當(dāng)當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，即可求解.【詳解】由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，得，又，所以則等差數(shù)列中滿足，，且，數(shù)列為遞增數(shù)列，且當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)取得最小值時(shí)，n的值為.故選：B.3．已知數(shù)列中，若其前n項(xiàng)和為Sn，則Sn的最大值為（

）A．15 B．750 C． D．【答案】C【分析】由題意可得數(shù)列是以首項(xiàng)為25，公差的等差數(shù)列，結(jié)合等差數(shù)列的通項(xiàng)公式以及前n項(xiàng)和的性質(zhì)分析運(yùn)算.【詳解】由，可得，所以數(shù)列是以首項(xiàng)為25，公差的等差數(shù)列，且為單調(diào)遞減數(shù)列，其通項(xiàng)公式為．當(dāng)且時(shí)，Sn最大，解得且，則，即數(shù)列{an}的前15項(xiàng)均為非負(fù)值，第16項(xiàng)開(kāi)始為負(fù)值，故S15最大，.故選：C．4．若是等差數(shù)列，首項(xiàng)，，，則使前項(xiàng)和成立的最大自然數(shù)是（

）A．2021 B．2022 C．4042 D．4043【答案】C【分析】根據(jù)題意得，，再結(jié)合，，求解即可．【詳解】根據(jù),得，，所以，因?yàn)椋?，所以使前?xiàng)和成立的最大自然數(shù)是4042．故選：C5．設(shè)是等差數(shù)列，是其前n項(xiàng)和，且，，則下列結(jié)論正確的是（

）.A． B．C． D．與均為的最大值【答案】BD【分析】對(duì)于B：根據(jù)題意結(jié)合前n項(xiàng)和分析可得；對(duì)于A：根據(jù)等差數(shù)列的定義分析判斷；對(duì)于C：根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)分析可得，進(jìn)而可得結(jié)果；對(duì)于D：根據(jù)等差數(shù)列的正負(fù)性結(jié)合前n項(xiàng)和的性質(zhì)分析判斷.【詳解】因?yàn)椋?，則，故B正確；設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，故A錯(cuò)誤；可知數(shù)列為遞減數(shù)列，可得，可得，所以，故C錯(cuò)誤；因?yàn)闉樽詈笠豁?xiàng)正數(shù)，根據(jù)加法的性質(zhì)可知：為的最大值，又因?yàn)?，所以與均為的最大值，故D正確；故選：BD.6．設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，公差為．已知，，，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．設(shè)的前項(xiàng)和為，則時(shí)，的最大值為27【答案】BC【分析】由已知求得，，解公差為的取值范圍，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求和公式及其性質(zhì)逐個(gè)選項(xiàng)判斷正誤即可.【詳解】∵，，∴，，∴，，∴，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；又∵，即，∴，解得，B選項(xiàng)正確；∵，故C選項(xiàng)正確；因?yàn)榈炔顢?shù)列的前n項(xiàng)和為，所以，即，由，∴數(shù)列為等差數(shù)列，設(shè)，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以，，因?yàn)椋钥赡転檎龜?shù)，也可能為負(fù)數(shù)，所以D選項(xiàng)不正確．故選：BC．7．已知數(shù)列的前項(xiàng)和滿足，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．是為等差數(shù)列的充要條件B．可能為等比數(shù)列C．若，，則為遞增數(shù)列D．若，則中，，最大【答案】ABD【分析】計(jì)算，當(dāng)時(shí)，，驗(yàn)證知A正確，當(dāng)時(shí)是等比數(shù)列，B正確，舉反例知C錯(cuò)誤，計(jì)算得到D正確，得到答案.【詳解】，；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，滿足通項(xiàng)公式，數(shù)列為等差數(shù)列；當(dāng)為等差數(shù)列時(shí)，，，故A正確；當(dāng)時(shí)，，是等比數(shù)列，B正確；，取，則，C錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，從第二項(xiàng)開(kāi)始，數(shù)列遞減，且，故，故，最大，D正確.故選：ABD8．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和，則下列結(jié)論正確的是（

）A．是等差數(shù)列 B．C． D．有最大值【答案】AB【分析】由與的關(guān)系求出數(shù)列的通項(xiàng)，從而可判斷AB，根據(jù)數(shù)列性質(zhì)可判斷C，根據(jù)前項(xiàng)和的函數(shù)性質(zhì)可判斷D.【詳解】當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，符合，故，所以，，所以數(shù)列是等差數(shù)列，首項(xiàng)為，公差，A正確；，B正確；因?yàn)楣睿詳?shù)列是遞減數(shù)列，所以，C錯(cuò)誤；，易知當(dāng)或時(shí)，有最大值，D錯(cuò)誤.故選：AB9．?dāng)?shù)列的前項(xiàng)和為，已知，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．是遞增數(shù)列 B．C．當(dāng)時(shí)， D．當(dāng)或4時(shí)，取得最大值【答案】CD【分析】根據(jù)表達(dá)式及時(shí)，的關(guān)系，算出數(shù)列通項(xiàng)公式，即可判斷A、B、C選項(xiàng)的正誤.的最值可視為定義域?yàn)檎麛?shù)的二次函數(shù)來(lái)求得.【詳解】當(dāng)時(shí)，，又，所以，則是遞減數(shù)列，故A錯(cuò)誤；，故B錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，故C正確；因?yàn)榈膶?duì)稱(chēng)軸為，開(kāi)口向下，而是正整數(shù)，且或距離對(duì)稱(chēng)軸一樣遠(yuǎn)，所以當(dāng)或時(shí)，取得最大值，故D正確.故選：CD.10．等比數(shù)列中，，則數(shù)列的前項(xiàng)和的最大值為．【答案】21【分析】先求得數(shù)列的通項(xiàng)公式，由此求得數(shù)列的通項(xiàng)公式，可知數(shù)列是等差數(shù)列，然后根據(jù)通項(xiàng)公式的特征求得前項(xiàng)和的最大值．【詳解】由于等比數(shù)列中，，，所以，解得，所以，所以，所以數(shù)列是首項(xiàng)為6，公差為的等差數(shù)列，當(dāng)1≤n≤6時(shí)，；當(dāng)n＝7時(shí)，；當(dāng)n＞7時(shí)，，則當(dāng)n＝6或n＝7時(shí)，數(shù)列的前n項(xiàng)和取得最大值，最大值為6＋5＋4＋3＋2＋1＝21．故答案為：21．11．記等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，，則當(dāng)取得最大值時(shí)，n＝．【答案】【分析】由求出和的關(guān)系，結(jié)合等差數(shù)列前項(xiàng)和公式即可求解.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，由可得：，所以，因?yàn)椋?，則是關(guān)于的二次函數(shù)，開(kāi)口向下，對(duì)稱(chēng)軸，由二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)可得：當(dāng)時(shí)，取最大值，故答案為：.易錯(cuò)點(diǎn)二：忽視兩個(gè)“中項(xiàng)”的區(qū)別（等比數(shù)列利用中項(xiàng)求其它）1、等比數(shù)列的定義：如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于同一個(gè)非零常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列叫做等比數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，公比通常用字母表示。數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)式：(，為非零常數(shù))．2、等比中項(xiàng)性質(zhì)：如果三個(gè)數(shù)，，成等比數(shù)列，那么叫做與的等比中項(xiàng)，其中.注意：同號(hào)的兩個(gè)數(shù)才有等比中項(xiàng)。3、通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式（1）通項(xiàng)公式：若等比數(shù)列的首項(xiàng)為，公比是，則其通項(xiàng)公式為；通項(xiàng)公式的推廣：.（2）等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.已知是等比數(shù)列，是數(shù)列的前項(xiàng)和．（等比中項(xiàng)）1、等比數(shù)列的基本性質(zhì)（1）相隔等距離的項(xiàng)組成的數(shù)列仍是等比數(shù)列，即，，，…仍是等比數(shù)列，公比為.（2）若，（項(xiàng)數(shù)相同）是等比數(shù)列，則，，，，仍是等比數(shù)列．（3）若，則有口訣：角標(biāo)和相等，項(xiàng)的積也相等推廣：（4）若是等比數(shù)列，且，則（且）是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列。（5）若是等比數(shù)列，，則構(gòu)成公比為的等比數(shù)列。易錯(cuò)提醒：若成等比數(shù)列，則為和的等比中項(xiàng)。只有同號(hào)的兩數(shù)才有等比中項(xiàng)，“”僅是“為和的等比中項(xiàng)”的必要不充分條件，在解題時(shí)務(wù)必要注意此點(diǎn)。例．已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列中，，則等于（

）A．5 B．10 C．15 D．20【詳解】解：由等比數(shù)列的性質(zhì)可得a2a4＝a32，a4a6＝a52，∴a2a4＋2a3a5＋a4a6＝a32＋2a3a5＋a52＝（a3＋a5）2＝25，又等比數(shù)列各項(xiàng)均為正數(shù)，∴a3＋a5＝5，選項(xiàng)A正確變式1．已知等差數(shù)列的公差，且，，成等比數(shù)列，則(

)A． B． C． D．【詳解】由題意可知，得，解得或，因?yàn)?，故，所?故選：A.變式2．已知，如果，，，，成等比數(shù)列，那么（

）A．， B．，C．， D．，【詳解】因?yàn)槭呛偷牡缺戎许?xiàng)，所以，設(shè)公比為，則，所以b與首項(xiàng)-1同號(hào)，所以．又a，c必同號(hào)，所以．故選：B變式3．已知等比數(shù)列中，，，則（

）A． B． C．或 D．【詳解】解：由等比數(shù)列性質(zhì)可知，所以或，但，可知，所以，則，故選：B1．已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，公差不為0，若滿足、、成等比數(shù)列，則的值為（

）A．2 B．3 C． D．不存在【答案】A【分析】根據(jù)題意，利用等比中項(xiàng)公式列出方程求得，結(jié)合，即可求解.【詳解】由等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，公差不為0，若滿足，，成等比數(shù)列，可得，即，整理得，因?yàn)椋?，又?故選：A.2．已知公差不為零的等差數(shù)列中，，且，，成等比數(shù)列，則數(shù)列的前9項(xiàng)的和為（

）A．1 B．2 C．81 D．80【答案】C【分析】由題知，，進(jìn)而根據(jù)等差數(shù)列通項(xiàng)公式解得，再求和即可.【詳解】因?yàn)?，所以，解?又，，成等比數(shù)列，所以.設(shè)數(shù)列的公差為，則，即，整理得.因?yàn)?，所?所以.故選:C.3．已知，，則使得成等比數(shù)列的充要條件的值為（

）A．1 B． C．5 D．【答案】B【分析】根據(jù)等比中項(xiàng)的性質(zhì)求解即可.【詳解】若成等比數(shù)列，則，即，當(dāng)時(shí)，滿足，成等比數(shù)列，故使得成等比數(shù)列的充要條件的b值為.故選：B4．已知等差數(shù)列的公差不為0，且成等比數(shù)列，則錯(cuò)誤的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)出公差，根據(jù)題干條件列出方程，求出公差，求出通項(xiàng)公式，再利用通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式對(duì)四個(gè)選項(xiàng)一一計(jì)算，進(jìn)行判斷.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為d（）.因?yàn)榍页傻缺葦?shù)列，所以.解得：，所以.對(duì)于A：.故A正確；對(duì)于B：因?yàn)椋?故B正確；對(duì)于C：.故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，，即.故D正確.故選：C5．正項(xiàng)等比數(shù)列中，是與的等差中項(xiàng)，若，則（

）A．4 B．8 C．32 D．64【答案】D【分析】依題意是與的等差中項(xiàng)，可求出公比，進(jìn)而由求出，根據(jù)等比中項(xiàng)求出的值.【詳解】由題意可知，是與的等差中項(xiàng)，所以，即，所以，或（舍），所以，，故選：D.6．已知實(shí)數(shù)4，m，9構(gòu)成一個(gè)等比數(shù)列，則圓錐曲線＋y2＝1的離心率為（

）A． B． C．或 D．或7【答案】C【分析】根據(jù)等比中項(xiàng)可求，然后代入曲線方程分別得到曲線為橢圓和雙曲線，根據(jù)離心率的公式即可求解.【詳解】實(shí)數(shù)4，，9構(gòu)成一個(gè)等比數(shù)列，可得，當(dāng)時(shí)，圓錐曲線為橢圓,則其離心率為：．當(dāng)時(shí)，圓錐曲線為雙曲線,其離心率為：．故選：C．7．?dāng)?shù)列為等比數(shù)列，，，命題，命題是、的等比中項(xiàng)，則是的（

）條件A．充要 B．充分不必要 C．必要不充分 D．既不充分也不必要【答案】A【分析】根據(jù)等比中項(xiàng)的定義結(jié)合等比數(shù)列的定義判斷可得出結(jié)論.【詳解】因?yàn)閿?shù)列為等比數(shù)列，且，，若，則，則是、的等比中項(xiàng)，即；若是、的等比中項(xiàng)，設(shè)的公比為，則，因?yàn)?，故，?因此，是的充要條件.故選：A.8．在數(shù)列中，，，則（

）．A． B．C． D．【答案】D【分析】由等比數(shù)列定義可知數(shù)列為等比數(shù)列，結(jié)合等比數(shù)列性質(zhì)可知數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，結(jié)合等比數(shù)列求和公式可求得結(jié)果.【詳解】，，即，數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，，，，…，，又?jǐn)?shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，.故選：D.9．已知是等差數(shù)列，公差，前項(xiàng)和為，若，，成等比數(shù)列，則A．， B．， C．， D．，【答案】A【分析】首先由，，成等比數(shù)列可得，然后計(jì)算得出，再由可得，最后由等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式即可得出的表達(dá)式，進(jìn)而得出所求的答案．【詳解】因?yàn)?，，成等比?shù)列，所以，即，即，因?yàn)?，所以；而，故選：．10．?dāng)?shù)1與4的等差中項(xiàng)，等比中項(xiàng)分別是（

）A．， B．， C．， D．，【答案】B【分析】利用等差、等比中項(xiàng)的性質(zhì)求對(duì)應(yīng)中項(xiàng)即可.【詳解】若等差中項(xiàng)為m，則，可得；若等比中項(xiàng)為n，則，可得；故選：B11．已知數(shù)列是等差數(shù)列，，其中公差，若是和的等比中項(xiàng)，則（

）A．398 B．388C．189 D．199【答案】C【分析】數(shù)列是等差數(shù)列，，其中公差，由是和的等比中項(xiàng)，可得，解得即可得出．【詳解】解：數(shù)列是等差數(shù)列，，其中公差，是和的等比中項(xiàng)，，化為，．所以，則．故選：C．易錯(cuò)點(diǎn)三：忽略等比數(shù)列求和時(shí)對(duì)討論（等比數(shù)列求和）等比數(shù)列前項(xiàng)和的性質(zhì)（1）在公比或且為奇數(shù)時(shí)，，，，……仍成等比數(shù)列，其公比為；（2）對(duì)，有；（3）若等比數(shù)列共有項(xiàng)，則，其中，分別是數(shù)列的偶數(shù)項(xiàng)和與奇數(shù)項(xiàng)和；（4）等比數(shù)列的前項(xiàng)和，令，則（為常數(shù)，且）易錯(cuò)提醒：注意等比數(shù)列的求和公式是分段表示的：，所以在利用等比數(shù)列求和公式求和時(shí)要先判斷公比是否可能為1，，若公比未知，則要注意分兩種情況q＝1和q≠1討論..例．設(shè)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為.已知，，則.【詳解】當(dāng)?shù)墓葹?時(shí)，由可知顯然不成立，故公比不為1，由得，所以時(shí)，，相減可得，故公比，又，故，故答案為：變式1．記為等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，若，，則．【詳解】等比數(shù)列中，，，顯然公比，設(shè)首項(xiàng)為，則①，②，化簡(jiǎn)②得，解得或（不合題意，舍去），代入①得，所以．故答案為：變式2．在等比數(shù)列中，，，令，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，，，所以，解得：，所以，又，所以.變式3．?dāng)?shù)列前項(xiàng)和滿足，數(shù)列滿足．(1)求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；(2)對(duì)任意，將數(shù)列中落入?yún)^(qū)間內(nèi)項(xiàng)的個(gè)數(shù)記為，求數(shù)列前項(xiàng)和．【詳解】（1），①，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，②，兩式①-②得，即，其中，也滿足上式，故是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，故；；（2），令，解得，又，故，則，故，所以為等比數(shù)列，首項(xiàng)為，公比為3，所以.1．已知為等比數(shù)列，其公比，前7項(xiàng)的和為1016，則的值為（

）A．8 B．10 C．12 D．16【答案】C【分析】根據(jù)等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式求出首項(xiàng)，進(jìn)而可得，再結(jié)合對(duì)數(shù)運(yùn)算即可得答案.【詳解】依題意，，，解得，因此，所以.故選：C2．已知正項(xiàng)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式直接計(jì)算即可.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，當(dāng)時(shí)，，不符合題意，（注意對(duì)情況的討論），所以，由得，得，（注意等比數(shù)列為正項(xiàng)數(shù)列，故），因此.故選：C．3．已知，，（，），為其前項(xiàng)和，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用遞推關(guān)系構(gòu)造得是一個(gè)以3為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，再賦值，結(jié)合等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式求答案.【詳解】由（，）可得，已知，，所以，即是一個(gè)以3為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，所以，即，，，，，，，故選B.4．在等比數(shù)列中，，，則（

）A．的公比為4 B．的前20項(xiàng)和為170C．的前10項(xiàng)積為 D．的前n項(xiàng)和為【答案】ABC【分析】利用等比數(shù)列的性質(zhì)、等差數(shù)列、等比數(shù)列的求和公式計(jì)算即可.【詳解】由題意可知，所以，所以，，A對(duì)；由上可知：，所以，B對(duì)；而，C對(duì)；記的前n項(xiàng)和為，則的前n項(xiàng)和，D錯(cuò)，故選：ABC.5．已知正項(xiàng)等比數(shù)列的前n和為，若，且，則滿足的n的最大值為.【答案】5【分析】利用等比數(shù)列的性質(zhì)與求和公式求解基本量，再由解關(guān)于的不等式.【詳解】設(shè)等比數(shù)列公比為q，因?yàn)椋?，解得，?由數(shù)列為正項(xiàng)等比數(shù)列，則，所以.又由，即，解得，因?yàn)?，所以，得，解得，因?yàn)?，即，又，所以的最大值?故答案為：.6．已知等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，且－3，，成等差數(shù)列，則數(shù)列的通項(xiàng)．【答案】【分析】根據(jù)條件求和，從而可得數(shù)列的通項(xiàng)公式.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，由，得，解得，又－3，，成等差數(shù)列，得，即，，解得，所以.故答案為：.7．設(shè)為等比數(shù)列的前項(xiàng)和，若，，則【答案】【分析】結(jié)合等比數(shù)列通項(xiàng)公式可求得公比，代入等比數(shù)列求和公式中可求得結(jié)果.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，.故答案為：.8．已知正項(xiàng)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，且，則．【答案】【分析】根據(jù)條件求等比數(shù)列的基本量及等比數(shù)列求和公式計(jì)算即可.【詳解】設(shè)公比為，則，由，，解之得或（舍去），故.故答案為：9．已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，則．【答案】【分析】設(shè)等比數(shù)列的公比為q，則，顯然，根據(jù)題意求出，的值，再根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求解即可.【詳解】解：設(shè)等比數(shù)列的公比為q，則，顯然，因?yàn)椋?，所以，即，解?所以．故答案為：10．?dāng)?shù)列的前n項(xiàng)和為，且，，則滿足的最小的自然數(shù)n的值為．【答案】【分析】對(duì)遞推公式進(jìn)行變形構(gòu)造等比數(shù)列，根據(jù)等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式、比較法進(jìn)行求解即可.【詳解】，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，因此，所以，設(shè)，所以數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列，因此有，即，所以數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列，而，，因此滿足的最小的自然數(shù)n的值為，故答案為：11．在正項(xiàng)等比數(shù)列中，已知，，則公比．【答案】3【分析】利用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式求解.【詳解】解：因?yàn)樵谡?xiàng)等比數(shù)列中，，，所以，即，即，解得或（舍去），故答案為：3易錯(cuò)點(diǎn)四：由求時(shí)忽略對(duì)“”檢驗(yàn)（求通項(xiàng)公式）類(lèi)型1觀察法：已知數(shù)列前若干項(xiàng)，求該數(shù)列的通項(xiàng)時(shí)，一般對(duì)所給的項(xiàng)觀察分析，尋找規(guī)律，從而根據(jù)規(guī)律寫(xiě)出此數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)．類(lèi)型2公式法：若已知數(shù)列的前項(xiàng)和與的關(guān)系，求數(shù)列的通項(xiàng)可用公式構(gòu)造兩式作差求解．用此公式時(shí)要注意結(jié)論有兩種可能，一種是“一分為二”，即分段式；另一種是“合二為一”，即和合為一個(gè)表達(dá)，（要先分和兩種情況分別進(jìn)行運(yùn)算，然后驗(yàn)證能否統(tǒng)一）．類(lèi)型3累加法：形如型的遞推數(shù)列（其中是關(guān)于的函數(shù)）可構(gòu)造：將上述個(gè)式子兩邊分別相加，可得：=1\*GB3①若是關(guān)于的一次函數(shù)，累加后可轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列求和；=2\*GB3②若是關(guān)于的指數(shù)函數(shù)，累加后可轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求和；=3\*GB3③若是關(guān)于的二次函數(shù)，累加后可分組求和；=4\*GB3④若是關(guān)于的分式函數(shù)，累加后可裂項(xiàng)求和．類(lèi)型4累乘法：形如型的遞推數(shù)列（其中是關(guān)于的函數(shù)）可構(gòu)造：將上述個(gè)式子兩邊分別相乘，可得：有時(shí)若不能直接用，可變形成這種形式，然后用這種方法求解．類(lèi)型5構(gòu)造數(shù)列法：（一）形如（其中均為常數(shù)且）型的遞推式：（1）若時(shí)，數(shù)列{}為等差數(shù)列；（2）若時(shí)，數(shù)列{}為等比數(shù)列；（3）若且時(shí)，數(shù)列{}為線性遞推數(shù)列，其通項(xiàng)可通過(guò)待定系數(shù)法構(gòu)造等比數(shù)列來(lái)求．方法有如下兩種：法一：設(shè)，展開(kāi)移項(xiàng)整理得，與題設(shè)比較系數(shù)（待定系數(shù)法）得，即構(gòu)成以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列．再利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求出的通項(xiàng)整理可得法二：由得兩式相減并整理得即構(gòu)成以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列．求出的通項(xiàng)再轉(zhuǎn)化為類(lèi)型Ⅲ（累加法）便可求出（二）形如型的遞推式：（1）當(dāng)為一次函數(shù)類(lèi)型（即等差數(shù)列）時(shí)：法一：設(shè)，通過(guò)待定系數(shù)法確定的值，轉(zhuǎn)化成以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列，再利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求出的通項(xiàng)整理可得法二：當(dāng)?shù)墓顬闀r(shí)，由遞推式得：，兩式相減得：，令得：轉(zhuǎn)化為類(lèi)型Ⅴ㈠求出，再用類(lèi)型Ⅲ（累加法）便可求出（2）當(dāng)為指數(shù)函數(shù)類(lèi)型（即等比數(shù)列）時(shí)：法一：設(shè)，通過(guò)待定系數(shù)法確定的值，轉(zhuǎn)化成以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列，再利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求出的通項(xiàng)整理可得法二：當(dāng)?shù)墓葹闀r(shí)，由遞推式得：——①，，兩邊同時(shí)乘以得——②，由①②兩式相減得，即，在轉(zhuǎn)化為類(lèi)型Ⅴ㈠便可求出法三：遞推公式為（其中p，q均為常數(shù)）或（其中p，q，r均為常數(shù)）時(shí)，要先在原遞推公式兩邊同時(shí)除以，得：，引入輔助數(shù)列（其中），得：再應(yīng)用類(lèi)型Ⅴ㈠的方法解決．（3）當(dāng)為任意數(shù)列時(shí)，可用通法：在兩邊同時(shí)除以可得到，令，則，在轉(zhuǎn)化為類(lèi)型Ⅲ（累加法），求出之后得．類(lèi)型6對(duì)數(shù)變換法：形如型的遞推式：在原遞推式兩邊取對(duì)數(shù)得，令得：，化歸為型，求出之后得（注意：底數(shù)不一定要取10，可根據(jù)題意選擇）．類(lèi)型7倒數(shù)變換法：形如（為常數(shù)且）的遞推式：兩邊同除于，轉(zhuǎn)化為形式，化歸為型求出的表達(dá)式，再求；還有形如的遞推式，也可采用取倒數(shù)方法轉(zhuǎn)化成形式，化歸為型求出的表達(dá)式，再求．類(lèi)型8形如型的遞推式：用待定系數(shù)法，化為特殊數(shù)列的形式求解．方法為：設(shè)，比較系數(shù)得，可解得，于是是公比為的等比數(shù)列，這樣就化歸為型．總之，求數(shù)列通項(xiàng)公式可根據(jù)數(shù)列特點(diǎn)采用以上不同方法求解，對(duì)不能轉(zhuǎn)化為以上方法求解的數(shù)列，可用歸納、猜想、證明方法求出數(shù)列通項(xiàng)公式易錯(cuò)提醒：在數(shù)列問(wèn)題中，數(shù)列的通項(xiàng)與其前n項(xiàng)和之間關(guān)系如下，在使用這個(gè)關(guān)系式時(shí)，要牢牢記住其分段的特點(diǎn)。當(dāng)題中給出數(shù)列｛｝的與關(guān)系時(shí)，先令求出首項(xiàng)，然后令求出通項(xiàng)，最后代入驗(yàn)證。解答此類(lèi)題常見(jiàn)錯(cuò)誤為直接令求出通項(xiàng)，也不對(duì)進(jìn)行檢驗(yàn).例．已知數(shù)列和，其中的前項(xiàng)和為，且，.(1)分別求出數(shù)列和的通項(xiàng)公式；(2)記，求證：.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，所以，時(shí)，①，②，①-②得，即，，所以是以首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，所以，所以；（2），即③，④，④-③，得，因?yàn)?，，所?變式1．?dāng)?shù)列的前n項(xiàng)和，已知，，k為常數(shù).(1)求常數(shù)k和數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，證明：【詳解】（1）由得，，兩式相減的，整理得，當(dāng)時(shí)，得，，當(dāng)時(shí)，，，，，相加得，所以，，當(dāng)，2時(shí)符合，所以，則，，則，即.（2）由（1）得，所以，因?yàn)?，，所以，綜上可得，.變式2．設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)記，數(shù)列的前項(xiàng)和為.證明：對(duì)一切正整數(shù)，.【詳解】（1）因?yàn)?，即，?dāng)時(shí)，解得或（舍去），當(dāng)時(shí)，所以，即，即，則，因?yàn)?，所以，所以?shù)列是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式是（2）由（1）可得，所以，，所以，所以，因?yàn)椋?變式3．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且（）.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故，故數(shù)列是以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，故.（2）由（1）得，所以由題意，故，則，故，則.1．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.(1)當(dāng)時(shí)，求；(2)若為等比數(shù)列，求的值.【答案】(1)(2)5【分析】（1）利用與之間的關(guān)系將已知等式轉(zhuǎn)化為之間的關(guān)系式，然后利用之間的關(guān)系求的值，進(jìn)而求的值；（2）利用（1）得之間的關(guān)系式，分和討論，利用等比數(shù)列性質(zhì)列式求解即可.【詳解】（1）因?yàn)椋?，所以，所以，又，所以，解得，故，所以，解得；?）由（1）知，．①當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，這與矛盾，所以不成立，即；②當(dāng)時(shí)，，所以，所以，，因?yàn)闉榈缺葦?shù)列，所以，即，解得.綜上，的值為5.2．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且與的等差中項(xiàng)為.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式.(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用等差中項(xiàng)，構(gòu)造數(shù)列，等比數(shù)列的知識(shí)得出；（2）采用裂項(xiàng)相消法，注意分為奇數(shù)偶數(shù).【詳解】（1）因?yàn)榕c的等差中項(xiàng)為，所以，即.當(dāng)時(shí)，，則.當(dāng)時(shí)，，所以，所以，可變形為，所以，且也符合，所以數(shù)列是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，所以，所以，即數(shù)列的通項(xiàng)公式為.（2）方法一當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，.當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，.所以數(shù)列的前項(xiàng)和為.方法二..3．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，.(1)求；(2)記，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)的關(guān)系可得是等差數(shù)列，即可求解，進(jìn)而可得，（2）根據(jù)錯(cuò)位相減法即可求解.【詳解】（1），，又.數(shù)列是公差為2，首項(xiàng)為的等差數(shù)列.,即.當(dāng)時(shí)，，故.（2）時(shí)，時(shí)，.設(shè)的前n項(xiàng)和為，則，..（）當(dāng)時(shí)，也符合，所以4．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足，，當(dāng)時(shí)，是4的常數(shù)列.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)當(dāng)時(shí)，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明：.【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）由題目條件得到，故數(shù)列，均為公比為4的等比數(shù)列，從而得到通項(xiàng)公式；（2）裂項(xiàng)相消得到，從而求和，得到不等式.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，為等比數(shù)列，即是4的常數(shù)列，故，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，∴數(shù)列，均為公比為4的等比數(shù)列，，，.（2），∴當(dāng)時(shí)，數(shù)列的前項(xiàng)和為.5．在數(shù)列中，，是的前n項(xiàng)和，且數(shù)列是公差為的等差數(shù)列．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．【答案】(1)(2)【分析】（1）先應(yīng)用等差數(shù)列求，再應(yīng)用計(jì)算通項(xiàng)公式；（2）應(yīng)用錯(cuò)位相減法求和即可．【詳解】（1）由已知得，，所以，①當(dāng)時(shí)，，②，得，也符合該式，所以．（2）由（1）得，所以，③，④，得．故．6．已知數(shù)列的前項(xiàng)和是，且.(1)證明：是等比數(shù)列.(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2).【分析】（1）先對(duì)進(jìn)行化簡(jiǎn)構(gòu)造出，并結(jié)合等比數(shù)列定義可求解；（2）根據(jù)（1）求出，然后構(gòu)造關(guān)于的方程組并利用錯(cuò)位相減法可求解.【詳解】（1）證明：當(dāng)時(shí)，，得：；當(dāng)時(shí)，得：，將兩式相減得：，得：，所以得：當(dāng)時(shí)，是等比數(shù)列，通項(xiàng)公式為：，當(dāng)，也符合，故可證：數(shù)列為等比數(shù)列.（2）由（1）得：，則得：，則：①②①-②得：，化簡(jiǎn)得：.所以：數(shù)列的前項(xiàng)和：.7．已知首項(xiàng)為4的數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且．(1)求證：數(shù)列為等比數(shù)列；(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）根據(jù)，得出與的關(guān)系，進(jìn)一步變形得出等比數(shù)列；（2）利用分組求和法及等比數(shù)列求和公式可求得結(jié)果.【詳解】（1）由題意，即，故，即，又，故數(shù)列是以-1為首項(xiàng)，-1為公比的等比數(shù)列.（2）由（1）知，，即．?dāng)?shù)列的前n項(xiàng)和為，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，故．8．設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：．【答案】(1)；(2)證明見(jiàn)解析.【分析】（1）根據(jù)給定條件，結(jié)合探討數(shù)列的特征，再求出通項(xiàng)公式即得.（2）由（1）的結(jié)論，利用裂項(xiàng)相消法求和，再借助單調(diào)性推理即得.【詳解】（1）依題意，當(dāng)時(shí)，，解得，當(dāng)時(shí)，，整理得，即有，兩式相減得，因此數(shù)列為等差數(shù)列，由，，得公差，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式．（2）由（1）知，，因此，則，顯然數(shù)列是遞增數(shù)列，即有，而，所以．9．設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且滿足．(1)求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求時(shí)，n的最小值．【答案】(1).(2)n的最小值為20.【分析】（1）利用求通項(xiàng)公式；（2）先寫(xiě)出數(shù)列的通項(xiàng)公式，再利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式求出，最后解不等式得出答案.【詳解】（1），當(dāng)時(shí)，有，解得當(dāng)時(shí)，有，因?yàn)?，所以，化?jiǎn)可得.數(shù)列是以1為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列.數(shù)列的通項(xiàng)公式為.（2），，即數(shù)列是以3為首項(xiàng)，4為公差的等差數(shù)列.，解得或.n為正整數(shù)n的最小值為20.10．已知為數(shù)列的前項(xiàng)和，，．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)若，，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】(1)(2)【分析】（1）法一：根據(jù)得到，從而得到，可得的奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)分別為等差數(shù)列，求出奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)的通項(xiàng)公式，得到答案；法二：變形得到，結(jié)合，得到，利用求出答案；（2）變形得到，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，分為奇數(shù)和偶數(shù)兩種情況，求和，得到答案.【詳解】（1）法一:當(dāng)時(shí)，，即，由，得，由，得，兩式相減得：．又，滿足上式．所以當(dāng)時(shí)，，又當(dāng)時(shí)，，兩式相減得：，所以數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)是以為首項(xiàng)，4為公差的等差數(shù)列，所以（n為奇數(shù)），數(shù)列的偶數(shù)項(xiàng)是以為首項(xiàng)，4為公差的等差數(shù)列，所以（n為偶數(shù)），所以，即的通項(xiàng)公式是．法二：因?yàn)椋?，同理可得，故，因?yàn)?，所以，即，?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，適合上式，所以的通項(xiàng)公式是.（2）因?yàn)?，故?dāng)時(shí)，①，當(dāng)時(shí)，②，①、②兩式相減得：，因?yàn)椋?，所以，因?yàn)?，所以?dāng)為奇數(shù)時(shí)，，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，所以，所以；當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，,當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，，綜上，.11．已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，（且）．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．【答案】(1)(2)．【分析】（1）利用（）化簡(jiǎn)題中條件，可得列是以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，求得，再根據(jù)（），即可求解；（2）利用錯(cuò)位相減法求和即可.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，即，解得．因?yàn)椋ǎ?，所以（），又（，），，所以（），又，所以?shù)列是以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，所以，所以．當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，滿足上式，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為．（2）由（1）知，所以，所以，所以，所以．易錯(cuò)點(diǎn)五：裂項(xiàng)求和留項(xiàng)出錯(cuò)（數(shù)列求和）常見(jiàn)的裂項(xiàng)技巧積累裂項(xiàng)模型1：等差型（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）（11）（12）積累裂項(xiàng)模型2：根式型（1）（2）（3）（4）（5）（6）積累裂項(xiàng)模型3：指數(shù)型（1）（2）（3）（4）（5）（6），設(shè)，易得，于是（7）積累裂項(xiàng)模型4：對(duì)數(shù)型積累裂項(xiàng)模型5：三角型（1）（2）（3）（4），則積累裂項(xiàng)模型6：階乘（1）（2）常見(jiàn)放縮公式：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）；（9）；（10）；（11）；（12）；（13）．（14）．易錯(cuò)提醒：用裂項(xiàng)相消法求和時(shí)，裂項(xiàng)后可以產(chǎn)生連續(xù)相互抵消的項(xiàng)，但是要注意抵消后并不一定只剩下第一項(xiàng)和最后一項(xiàng)，也有可能前面剩兩項(xiàng)，后面也剩兩項(xiàng)，一般來(lái)說(shuō)前面剩余幾項(xiàng)后面也剩余幾項(xiàng)，若前面剩余的正數(shù)項(xiàng)，則后面剩余的是負(fù)數(shù)項(xiàng)。例．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，證明：.【詳解】（1）因?yàn)?，?dāng)時(shí)，，，，，當(dāng)時(shí)，由得，兩式相減得，，，，所以有，從而，所以數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，偶數(shù)項(xiàng)是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，，所以.（2）由，且，所以.變式1．記為數(shù)列的前n項(xiàng)和，滿足，.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)證明：.【詳解】（1）因?yàn)椋喈?dāng)時(shí)，，所以，整理得：，即，∴顯然對(duì)于也成立，∴的通項(xiàng)公式（2）∴由于，所以，故得證.變式2．已知首項(xiàng)為1的數(shù)列，其前項(xiàng)利為，且數(shù)列是公差為1的等差數(shù)列．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【詳解】（1）數(shù)列是公差為1的等差數(shù)列，且，即，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，滿足，綜上，的通項(xiàng)公式為．（2）由題意，所以，因