近年多省聯(lián)考數(shù)學(xué)試題分析及教學(xué)建議

摘要：在推進(jìn)高考綜合改革進(jìn)程中，教育部組織了多次聯(lián)考，為各省（區(qū)、市）新高考落地保駕護(hù)航。在廣西新高考即將落地之際，分析高考適應(yīng)性演練中的試題具有非常重要的指導(dǎo)意義。多省聯(lián)考試題與當(dāng)年高考數(shù)學(xué)試題關(guān)系密切，根據(jù)2024年1月進(jìn)行的九省聯(lián)考的數(shù)學(xué)試題情況，教師指導(dǎo)學(xué)生備戰(zhàn)2024年高考應(yīng)關(guān)注試卷新結(jié)構(gòu)并指導(dǎo)學(xué)生及時(shí)適應(yīng)、關(guān)注非主干知識(shí)的工具性、重視訓(xùn)練解答具有創(chuàng)新性和探究性的問題。關(guān)鍵詞：聯(lián)考；試題分析；數(shù)學(xué)高考；教學(xué)建議2024年1月，為了提前適應(yīng)新高考的考試題型和考試模式，教育部組織全國(guó)第三批啟動(dòng)高考綜合改革試點(diǎn)的安徽、黑龍江、吉林、江西、甘肅、廣西、貴州，以及后來相繼宣布加入的河南和新疆等九個(gè)省區(qū)，共同進(jìn)行了一次大規(guī)模的2024年新高考適應(yīng)性演練，俗稱九省聯(lián)考。事實(shí)上，這并不是教育部第一次組織高考適應(yīng)性演練，早在2021年，教育部就組織了河北、遼寧、江蘇、福建、湖北、湖南、廣東、重慶8個(gè)省市的八省聯(lián)考，在2023年又組織了云南、吉林、黑龍江、安徽四個(gè)省份的四省聯(lián)考。本文通過分析2021年的八省聯(lián)考、2023年的四省聯(lián)考數(shù)學(xué)試題與當(dāng)年高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)卷之間的關(guān)聯(lián)，以及分析2024年九省聯(lián)考數(shù)學(xué)試題，提出一些高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)備考建議。一、多省聯(lián)考與當(dāng)年高考數(shù)學(xué)試題關(guān)聯(lián)分析近年的多省聯(lián)考中語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、英語(yǔ)試題由教育部組織命題，命制多省聯(lián)考試題時(shí)和命制高考試題一樣要遵循《中國(guó)高考評(píng)價(jià)體系》以及普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)，那么多省聯(lián)考和當(dāng)年的高考試題之間有什么關(guān)聯(lián)？多省聯(lián)考試題是否釋放出一定的信號(hào)？如何通過多省聯(lián)考試題引導(dǎo)高三備考教學(xué)？不少高中一線數(shù)學(xué)教師都存在諸如此類的困惑。首先，我們從考查的知識(shí)板塊層面，將2021年的八省聯(lián)考和2023年的四省聯(lián)考數(shù)學(xué)試題與當(dāng)年的高考新課標(biāo)Ⅰ卷和Ⅱ卷進(jìn)行整理，得到各知識(shí)板塊考查匯總表（如下頁(yè)表1所示）。為方便觀察和了解聯(lián)考試題與高考試題對(duì)各知識(shí)板塊的考查情況，筆者整理、匯總出這兩次聯(lián)考試題與當(dāng)年高考試題各題型考查相關(guān)知識(shí)板塊的題量（如下頁(yè)表2所示）。先分析解答題。從表2可以看到，每年聯(lián)考的解答題涉及的知識(shí)板塊和最終的高考新課標(biāo)卷是完全一致的，即傳統(tǒng)的三角、數(shù)列、概率統(tǒng)計(jì)、立體幾何、解析幾何、導(dǎo)數(shù)六大板塊。再觀察表1，2021年新課標(biāo)Ⅱ卷和2023年新課標(biāo)Ⅰ卷都將概率統(tǒng)計(jì)題編排在第21題，難度較大，相對(duì)之前多年高考試卷將圓錐曲線和導(dǎo)數(shù)放在最后兩題而言，還是有些變化的。我們?cè)賹⒙?lián)考解答題各板塊試題題號(hào)與當(dāng)年高考題各板塊試題題號(hào)作差求絕對(duì)值，得到第60頁(yè)表3。從表3中不難看出，聯(lián)考數(shù)學(xué)解答題與當(dāng)年高考數(shù)學(xué)解答題，考查各知識(shí)板塊的題號(hào)差大多不超過1（占比87.5%），可見聯(lián)考解答題中考查各知識(shí)板塊試題所處的位置和當(dāng)年高考試卷基本一致。也就是說，這兩次聯(lián)考解答題和當(dāng)年高考解答題的考查知識(shí)板塊完全一致，且各板塊知識(shí)在本卷中的考查難度也基本相同，但可能在個(gè)別板塊上會(huì)有較大的難度調(diào)整。再分析選擇題與填空題。觀察表2可以發(fā)現(xiàn)，每年的高考題考查各知識(shí)板塊知識(shí)的題數(shù)，也就是所占分值，和當(dāng)年聯(lián)考試題幾乎保持一致。2023年新課標(biāo)Ⅰ卷相對(duì)當(dāng)年的聯(lián)考卷，多了三角函數(shù)和解析幾何題，少了立體幾何和創(chuàng)新題。綜合以上分析，2021年與2023年的聯(lián)考數(shù)學(xué)試題對(duì)比當(dāng)年的高考數(shù)學(xué)試題，有以下幾個(gè)特點(diǎn)：一是試題的整體結(jié)構(gòu)、題量、題型及各題型分值均完全一致；二是解答題考查的六個(gè)知識(shí)板塊完全一致，各知識(shí)板塊試題的題號(hào)也基本一致；三是選擇題、題空題在各個(gè)知識(shí)板塊所占的題量、分值基本一致，只在少數(shù)板塊上有所調(diào)整。特別強(qiáng)調(diào)一點(diǎn)，雖然聯(lián)考題與當(dāng)年高考題有以上諸多近似，但是有一點(diǎn)卻有較大差異，就是試題的難度。例如，2023年的四省聯(lián)考試題，難度明顯較大，當(dāng)年聯(lián)考結(jié)束后，考生普遍愁眉苦臉，同時(shí)也引發(fā)全國(guó)范圍內(nèi)廣大一線教師的熱烈討論。緊接著，因?yàn)檫@次聯(lián)考所謂“釋放出來的信號(hào)”，各地的高考模擬題瞬間加大難度。但事實(shí)上，2023年新課標(biāo)Ⅰ卷和Ⅱ卷，整體比較平穩(wěn)，試題難度也適中，并沒有刻意加大難度。二、2024年九省聯(lián)考數(shù)學(xué)試題分析2024年1月19日下午，九省聯(lián)考數(shù)學(xué)試題公開，立即引發(fā)了廣泛關(guān)注。有教師稱之為高考數(shù)學(xué)試題結(jié)構(gòu)的一次“顛覆性調(diào)整”，其在試題結(jié)構(gòu)和分值等方面主要有以下四個(gè)變化：一是全卷題量由原來的22道題減少為19道題；二是單選題數(shù)量不變還是8道，但是多選題、填空題以及解答題各減少1道，也就是題型結(jié)構(gòu)由原來的“8+4+4+6”，變?yōu)椤?+3+3+5”；三是單選題和填空題每題分值不變，依然是5分，但多選題每道題分值由原來的5分增加至6分，解答題雖然減少了1道題，但總分卻增了7分，由原來的70分增加到77分；四是解答題各小題分值由原來的“10+12+12+12+12+12”，改變?yōu)椤?3+15+15+17+17”。以上是題型結(jié)構(gòu)和分值上的變化，我們?cè)賮矸治龈黝}考查的知識(shí)板塊情況。筆者整理各題考查的內(nèi)容與考查各知識(shí)板塊的題量，得到表4、表5。表4試題的考查內(nèi)容[題號(hào)考查內(nèi)容題號(hào)考查內(nèi)容1統(tǒng)計(jì)11抽象函數(shù)2橢圓12集合3數(shù)列13表面積與體積4空間中的位置關(guān)系14不等式5排列組合15導(dǎo)數(shù)6直線和圓16概率統(tǒng)計(jì)7三角恒等變換17立體幾何8雙曲線18拋物線9三角函數(shù)圖象與性質(zhì)19數(shù)論10復(fù)數(shù)]表5考查各知識(shí)板塊的題量[知識(shí)板塊選填/個(gè)解答/個(gè)集合10復(fù)數(shù)10函數(shù)與導(dǎo)數(shù)11平面向量00三角函數(shù)10數(shù)列20計(jì)數(shù)原理10概率統(tǒng)計(jì)11立體幾何21解析幾何31其他11小計(jì)145]由表4、表5可以看出這份聯(lián)考試題相對(duì)以往的高考題，有以下六個(gè)明顯的變化。一是第1題、第2題單項(xiàng)選擇題不再是考查集合和復(fù)數(shù)，而是考查統(tǒng)計(jì)和圓錐曲線；對(duì)集合的考查放在了第12題，也就是填空題第1題，對(duì)復(fù)數(shù)的考查放在了第10題，也就是多選題第2題，考查難度均有所提升。二是雖然近三年新課標(biāo)卷必出現(xiàn)一道平面向量題，但是這次并沒有出現(xiàn)以平面向量為完整背景的題目；而近年高考在選擇題、填空題中考查的重點(diǎn)板塊知識(shí)——函數(shù)與導(dǎo)數(shù)，只出現(xiàn)了1道題，也就是第11題——多選題最后一題，考查的是抽象函數(shù)?？梢姶舜尉攀÷?lián)考減少的3道選填題，主要是減少了針對(duì)向量和函數(shù)的考查。但是，這并不代表削弱向量和函數(shù)，事實(shí)上，選擇題的第6題和第8題分別考查了向量的坐標(biāo)和向量的數(shù)量積，而第9題、第12題、第14題、第18題等涉及求解最值的問題中，都用到了函數(shù)的思想，因此，這份試題也暗示和強(qiáng)調(diào)了向量和函數(shù)在解決數(shù)學(xué)問題中的工具性作用。三是解答題第1題顛覆性地考查了導(dǎo)數(shù)，這是歷年高考真題中從來沒有出現(xiàn)的情況，近幾年高考導(dǎo)數(shù)試題題號(hào)最靠前的就是2023年的新課標(biāo)Ⅰ卷，放在第19題，其余基本都是放在最后兩道題的位置。四是解答題第4題圓錐曲線問題，如果用常規(guī)的方法來解答，雖然可以完成求解，但是計(jì)算量很大，學(xué)生要在有限的時(shí)間內(nèi)按此方法得出正確結(jié)果難度非常大。但如果通過適當(dāng)?shù)靥砑虞o助線，將三角形面積轉(zhuǎn)化為四邊形面積，就能很快計(jì)算出結(jié)果。五是最后一題第19題，以新定義的方式出現(xiàn)，試題情境是在密碼學(xué)理論中有重要地位的蓋莫爾（ElGamal）加密體制，題干給了出離散對(duì)數(shù)的定義，要求考生利用該定義求解三個(gè)小問。其中第1小問較為容易，但第2、第3小問難度較大，要利用數(shù)論知識(shí)中的費(fèi)馬小定理進(jìn)行求解。數(shù)論相關(guān)知識(shí)超出了普通高中數(shù)學(xué)教材必修和選擇性必修的范疇。筆者翻閱了《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》（以下簡(jiǎn)稱《課程標(biāo)準(zhǔn)》），發(fā)現(xiàn)它對(duì)“數(shù)論”的表述唯一一次出現(xiàn)的地方是在第四章“課程內(nèi)容”中的第（三）部分“選修課程”中的“E類課程”即學(xué)校根據(jù)自身的需求開發(fā)或選用的課程，表述如下：“拓展視野的數(shù)學(xué)課程。例如，機(jī)器人與數(shù)學(xué)、對(duì)稱與群、球面上的幾何、歐拉公式與閉曲面分類、數(shù)列與差分、初等數(shù)論初步”［2］。本次九省聯(lián)考出現(xiàn)這樣一道題，確實(shí)令人匪夷所思，是否超出了《課程標(biāo)準(zhǔn)》的范疇也無法界定。但此題一出，一方面讓極少部分的數(shù)學(xué)競(jìng)賽生感到驚喜，另一方面給了絕大多數(shù)的非數(shù)學(xué)競(jìng)賽生當(dāng)頭一棒。六是從整卷的難度來看，一方面減少了題目數(shù)量，尤其是減少了1道較為耗時(shí)的多選題和1道解答題，從這點(diǎn)看，確實(shí)給了學(xué)生更多思考的時(shí)間；另一方面，除了各題型的最后一題，其他題目相對(duì)往年的聯(lián)考題或高考真題，明顯降低了難度，但填空題第14題和解答題第19題，明顯帶有濃厚的數(shù)學(xué)競(jìng)賽的味道，即便是解答題第18題，如果不采用巧妙的幾何轉(zhuǎn)化，計(jì)算也是非常困難。因此，這份聯(lián)考試題在難度方面呈現(xiàn)出的一個(gè)特點(diǎn)便是常規(guī)問題更加簡(jiǎn)單，讓大部分的學(xué)生能得到更多的分?jǐn)?shù)，同時(shí)勻出更多時(shí)間讓優(yōu)秀的學(xué)生在更加靈活創(chuàng)新的題目上進(jìn)行思考和比拼，目的是選拔出真正的拔尖創(chuàng)新型人才。三、高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)備考啟示和建議通過分析近年多省聯(lián)考試題與當(dāng)年高考新課標(biāo)Ⅰ卷和Ⅱ卷的關(guān)聯(lián)，以及分析2024年九省聯(lián)考試題發(fā)生的變化，筆者收獲了一些啟示，據(jù)此對(duì)高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)備考提出如下建議。（一）高度關(guān)注多省聯(lián)考試題，及時(shí)適應(yīng)試卷新結(jié)構(gòu)近年進(jìn)行的兩次多省聯(lián)考的數(shù)學(xué)試題，與當(dāng)年的高考新課標(biāo)Ⅰ卷和Ⅱ卷的關(guān)聯(lián)度還是相當(dāng)高的，不僅題型結(jié)構(gòu)和分值完全一致，而且各知識(shí)板塊考查的占比和分值也非常接近。因此可以認(rèn)為每年的多省聯(lián)考在傳遞一些改革的信號(hào)，一定程度上指明了高考的方向，或者說在呈現(xiàn)一些命題的趨勢(shì)。因此，在高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)備考過程中，教師要高度重視對(duì)近年高考試題，尤其是對(duì)當(dāng)年多省聯(lián)考試題進(jìn)行研究和分析，進(jìn)而指導(dǎo)日常的復(fù)習(xí)備考教學(xué)。2024年高考數(shù)學(xué)究竟會(huì)不會(huì)按新的試卷結(jié)構(gòu)出題，筆者不敢妄自揣測(cè)，但是基于往年多省聯(lián)考與當(dāng)年高考試題高度關(guān)聯(lián)，筆者強(qiáng)烈建議在往后的高考模擬題訓(xùn)練中，重視對(duì)新結(jié)構(gòu)試題的訓(xùn)練，讓學(xué)生提前熟悉試卷新結(jié)構(gòu)，優(yōu)化節(jié)奏把控、時(shí)間安排以及應(yīng)試策略，提升學(xué)生面對(duì)試卷新結(jié)構(gòu)的整體應(yīng)對(duì)能力。（二）重視主干知識(shí)，關(guān)注非主干知識(shí)的工具性2024年的九省聯(lián)考數(shù)學(xué)試題減少了題目的數(shù)量，這必然導(dǎo)致知識(shí)覆蓋相對(duì)傳統(tǒng)試題不夠全面（例如向量、函數(shù)題的減少），因此在高三復(fù)習(xí)備考過程中，教師一方面要注重對(duì)主干知識(shí)的學(xué)習(xí)，重視理解和掌握主干內(nèi)容的基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本思想方法和基本學(xué)習(xí)路徑；另一方面也要注重利用非主干知識(shí)（如集合、復(fù)數(shù)、向量、不等式、計(jì)數(shù)原理等）求解主干知識(shí)的過程，增強(qiáng)學(xué)生對(duì)非主干知識(shí)的工具性的體驗(yàn)和感受。此外，九省聯(lián)考試卷雖然減少了題目的數(shù)量，但除各題型的最后一題外，其余題目的難度較往年高考試題有了明顯的降低，沒有太偏、太難的問題，學(xué)生對(duì)常規(guī)問題的求解更加得心應(yīng)手。命題者進(jìn)行這樣的難度設(shè)計(jì)，目的非常明確，就是希望大部分考生通過對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)、技能和思想方法的掌握，能夠盡量多得分，而通過“題海戰(zhàn)術(shù)”“機(jī)械刷題”等方式見識(shí)更多偏難怪題的學(xué)生將不占優(yōu)勢(shì)。也就是告訴所有考生，要抓住數(shù)學(xué)本質(zhì)，而對(duì)大量刷題的行為，一定是耗時(shí)耗力卻收效甚微的。（三）重視訓(xùn)練解答創(chuàng)新性和探究性問題2024年九省聯(lián)考試題結(jié)構(gòu)發(fā)生改變，一方面減少了題目數(shù)量，另一方面增加了各解答題的分值，并且在第14題、第18題、第19題明顯加大了創(chuàng)新力度和解題難度。這樣的設(shè)計(jì)可以看出命題者有以下幾個(gè)非常明顯的意圖：一是減少題目數(shù)量，降低常規(guī)題難度，讓大部分考生能夠更快速地完成常規(guī)題目的解答，留下更多的時(shí)間思考求解難題和創(chuàng)新題；二是刻意調(diào)整知識(shí)板塊在試卷中所處位置，打破高考試題固定、刻板的印象，增加創(chuàng)新性；三是解答題分值提高，更加注重考查數(shù)學(xué)思維，強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)語(yǔ)言的嚴(yán)謹(jǐn)表達(dá)；四是常規(guī)問題求解時(shí)間減少，創(chuàng)新問題增加，以及第18題需進(jìn)行幾何轉(zhuǎn)化，目的都是希望考生在數(shù)學(xué)測(cè)試中能夠“少算多想”，通過最后幾道解答題的比拼，真正選拔出具有較強(qiáng)數(shù)學(xué)思維能力和數(shù)學(xué)創(chuàng)新意識(shí)的人才，彰顯《中國(guó)高考評(píng)價(jià)體系》中提到的高考“服務(wù)選才”的核心功能。因此，筆者建議在高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)備考中，一是更加注重對(duì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)問題和本源問題的學(xué)習(xí)，強(qiáng)化對(duì)教材的學(xué)習(xí)和落實(shí)，減少機(jī)械刷題，追求“